幻方,教学设计

二年级《幻方》教学设计与点评设计：嘉定区南苑小学葛懿点评：嘉定区教师进修学院居丽华一、教学内容：九年制义务教育课本二年级数学第一学期二、教学目标：知识与技能：1、初步认识幻方，知道幻方中蕴涵的简单的数学原理2、初步探索幻方中蕴涵的一些数学规律3、能运用幻方的特点正确的判断是否是幻方4、能运用幻方的规律正确地填写或算出幻方中的缺数过程与方法：通过学生与学生、学生与老师、并且两者均与课本的“对话”，让学生感知幻方的有趣及魅力让学生自主探究幻方的奥秘，培养学生自主探究的能力和团结协作的能力情感、态度与价值观：让学生初步认识幻方，以及对幻方起源的了解，激发学生对中国传统数学文化的热爱，增强学生的民族自豪感，进一步学好有用、有趣、有价值的数学三、教学重点：1.初步掌握幻方的基本数学原理，并能正确地判断是否是幻方2.探索幻方的规律，并能运用规律灵巧地找出幻方中的缺数四、教学难点：学生自主探究出幻方中蕴涵的规律，并运用这些规律进行正确的解答关于幻方的习题五、教具准备：教学课件等师：那么这些点子是怎样在龟背上进行排列的呢？1、师：说说，你们准备怎样来研究这个幻方呢？2、集体计算幻方的横行、竖行、斜行的三个数字的和谁来汇报一下你的答案3、师：那么，他们又有什么秘密蕴涵在其中呢？请你们以小组为单位

一起讨论一下，你们还有什么发现学生反馈，教师教师归纳并小结：由1到9九个数排成的横行、竖行、斜行的三个数的和都相等——将此句醒目板书5在中心5相对的两个数的和是10双数在四个角上，单数在中间[点评：让学生讨论九宫格上的“秘密”，起到了小组合作、探究知识的作用又将学生的“发现”形象的“画”在龟背上，符合二年级学生的认知规律这样的板书，直观、具体]过渡语：你们真聪明，把古人流传下来几千年的文化遗产很快的了解到了其中的秘密所在那你们能不能用你们所了解的幻方的知识去判断其他一些变换无穷的9宫格中的数学问题三、练习：1、判断下列是幻方吗？5宫格才能算是幻方学生练习：做在书上后，反馈，并说说为什么不是幻方2、填空，都是15汇报交流：校对有错的出示书上的练习形式：师：那么象这样龟背上的意思你看得懂吗？集体完成书上第83页的练习3、游戏：帮小动物渡过河题目如下：[点评：练习呈现的形式多样，让学生“乐此不疲”；练习的密度较高，让学生在充分练习的基础上锻炼数学思维]五：课后拓展：同学们，你们今天上课的表现真棒，不仅用你们的聪明才智找到了幻方中蕴涵着的数学问题，而且还运用了这些数学知识解决了很多的数学问题，不过，老师还想告诉你们一个小秘密，你们想知道吗？其实并不是所有幻方横行、竖行、斜行的三个数字的和都是15的，只要他们的和是相同的，这样也可以组成

一个幻方的下面老师就要来考考你们了，请看题目：一起把课题读一遍1三个数字的和都是182、请用3、4、5、6、7、就是几）[点评：教师设计拓展练习题，既拓展了学生的思维，又让学生感受到幻方的意义——横行、竖行、斜行的三个数的和都相等，这样的设计，“盘活”了知识，让学生体验到“幻方”的无穷魅力]四.课堂总结：通过今天的学习你有什么收获？幻方一、教学目标：1.初步认识幻方，了解幻方的起源，激发热爱祖国的思想感情2.能正确计算每一个九宫格中8个三数之和3.探索幻方的规律，并能运用规律灵巧地找出幻方中的缺数 4.培养自主探究的能力和团结协作的能力二、教学学重点难点：1.能正确计算每一个九宫格中8个三数之和2.探索幻方的规律，并能运用规律灵巧地找出幻方中的缺数三教学过程：一、创设故事情境，激趣导入1、介绍“洛书”师：公元前三千多年，有条洛河经常发大水，皇帝夏禹带领百姓去治理洛河，这时，从水中浮起一只大乌龟，背上有奇特的图案聪明的古人已经破译了龟背上神秘莫测的图案，小朋友们请你仔细观察，龟背上的图案有什么奇特之处？颜色都怎样呢？生：A、有圆点B、有黑点、有白点C、有9格图案??小结：观察的真仔细，龟背上的图案代表了几个不同的数，人们称它为“洛书”2、介绍“幻方”师：根据龟背上所分布的情况，人们绘制了一个表格，、数数这张表格共有几格空格？师：横着的三格叫

“行”，竖着的三格叫“列”，数一数它有几行几列？生：三行三列斜着的三个格子叫对角线我们把龟背上的图案所表示的数填入表格中师：先看中间的图案，可以用数字几来表示？5剩下的黑点分别用数字几来表示？逐一填写4格角上的数：4、2、6、8剩下的白点??？逐一填写：9、7、1、3小结：古人将这张表格称为“幻方”，因为它由九个格子组成，所以又称为“九宫图”幻方在古代文化中扮演了一个重要的角色，因为当时人们把它看作宇宙中力量的象征那么幻方究竟神奇在什么地方呢？1、出示：请小朋友仔细观察上幻方里的数，你有什么发现吗？同桌说说看验证一下是否行、列、对角线上的三数之和是不是都是15出示课题2、师：刚才这个幻方的和都是15，它还有许多秘密呢，请看仔细，第一行和第三行交换第一列和第三列交换相对的两个数交换幻方经过这些变化请你猜猜看，它们还会是幻方吗？那怎么证明呢？做练习纸上第二题，任选其中两道题目来做师：他们还是幻方吗？仔细观察上面五个幻方你发现了什么？小结：幻方确实非常神奇，都是由1到9九个数排成的横行、竖行、斜行的三个数的和都是155在中间5两端的数的和是10双数在四个角上，单数在中间4、判断下面是幻方吗？媒体出示判断题三、运用规律，找出幻方中的缺数1.师：洛书龟对大家帮它的忙，感到很高兴，但是它向大禹透露，它还有只龟姐姐，这只龟姐姐背上的有些图案看不清了，你能帮

它找出来吗？你是怎么想的？生汇报2.师：看！又来了一只龟爷爷，背上的图案缺得更多了，请你帮帮它好吗？再填之前考虑一下，那几个空格的数不能先填呢？3.比一比，如果幻方的和全是15，看谁填得又对又快：小结：幻方的中间是5，两个端点数的和是10四个角上是双数，其余四个是单数，行、列和对角线上的三数之和都等于153.关于幻方的资料有很多，老师收集了一些我国南宋时期数学家杨辉将它命名为“纵横图”，又名“九宫图”“九子斜排，上下对易，左右相更，四维挺出”就是说：先把l～9九个数依次斜排，再把上l下9两数对调，左7右3两数对调，最后把四面的2、4、6、8向外面挺出，这样幻方就填好了有兴趣的同学可以在课后进行收集四、全课总结：通过研究，你掌握了幻方的那些规律？主备人：审核人：聪明的罗伯月日姓名32依照这种方法把全部的数填完，一个三阶幻方就诞生了，剩余的几步如下图：416241628163574281635749235357例2把从1开始的9个连续奇数，分别填入图中的9个方格内，使得每个横行、竖行与对角线上排列的3个数的和都相等例3把1到25这25个数字填入以下五阶幻方中，使每一行、每一列、每条对角线上的数的和都相等例4在下图的空格中填入适当的数，使每行、每列及两条对角线上的三个数的和都等于18652笑话一：不识数水果摊上贴着：大鸭梨4元1斤，10元3斤小明对妈妈说：“快买！这个卖梨的不识数，3斤应该

是12元才对笑话二：查票老教授搭乘火车旅行，列车长前来查票时，他竟找不到票，老教授急得满头大汗，列车长说：找不到就算了，再补张票好了老教授：这怎么可以，找不到那张票，我就不知道我要去哪里啊！笑话三：单数和复数数学老师问杰克：“你现在理解了什么是单数和复数吗？”“理解了”杰克回答“那么一条裤子是单数还是复数呢？”老师又问“很简单，”杰克回答，“上面是单数，下面是复数”随堂小测姓名成绩1．把3到11这9个数字填入下图中，使每行、每列及每条对角线上三个数的和都相等3．从1～100中找出49个连续数填入以下七阶幻方中，使每一行、每一列及每条对角线上的数的和都相等4．在下面空格中填入适当的数，使每行、每列及两条对角线上的三个数的和都等于1582．把12到36这25个数填入下图中，使每行、每列及每条对角线上5个数的和都相等725．如下图，在方格表中的每个方格中填入一个字母，使得方格表中每行、每列及每条对角线上的四个方格中的字母都是A、B、C、D，那么表中*处应填的字母是什么？ACBCD*幻方问题教案执教：杜羲传说公元前二千多年，在洛水里浮起一只大乌龟，它的背上有个奇特的图案，，后来人们把它称之为洛书，实际上它是由九个数字排成一定的格式，图中有一个非常有趣的性质：它的横、竖、对角线上的每三个数字之和都是15许多人产生了这样的问题，图中的九个数字，

有没有别的填法？如果把图形变成4×4个方格，是否也可以进行这样的填数游戏？1、奇偶性规律：偶数是能被2整除的整数，如0、2、6、8等，奇数是指被2除余1的整数奇偶数的加法具有下列性质：奇数+奇数=偶数奇数+偶数=奇数偶数+偶数+偶数2、数的整除规律：a整除b，且a整除c，则a整除b+c，或a整除b-c3、商和余数：整数a除以整数b时，商数是q，余数是r，必有等式a=b×q+r，0≤r

和对角线的三数之和为k，则解法的关键是找出中心数及各顶点的数我们分三步来完成：求每行、每列三个数的和，即k值确定中心数，即b2=？试填各顶点数及其它方格内数∵a1+b1+c1+a2+b2+c2+a3+b3+c3=3k又∵a1+b1+c1+a2+b2+c2+a3+b3+c3=1+2+…+9=45∴3k=45k=15∵a1+b2+c3=a2+b2+c2=a3+b2+c1=b1+b2+b3=15∴(a1+b2+c3)+(a2+b2+c2)+(a3+b2+c1)+(b1+b2+b3)=4×15(a1+a2+a3+b1+b2+b3+c1+c2+c3)+3b2=6045+3b2=60

3b2=15 b2=5试填a1，若a1为奇，∵a1+c3=10，故C3为奇，a2和a3也应同奇或同偶，若a2、a3同奇，则c2为奇，b3为奇，这样就出现了六个奇数，与1-9的自然数中只有5个奇数矛盾；若a2和a3同偶，则c2为偶，b3为偶，c1也为偶，这样共出现了五个偶数，与1-9的自然数中只有4个偶数矛盾，故a1不能为奇数，则a1应填偶数，此时c1、a3、c3也只能取偶数，由于a1+c3=C1+a3=10，又∵2+8=4+6=10，故只需取a1=2，C3=8，a3=4，c1=6即可，其它各方格中的数须填a2=9，b2=3C2=1，b1=7如图5所示，这样就得到本题的一个解，若取a1=4，c3=6，a3=2，c1=8，须取a2=9，b3=7，b1=3，c2=1，根据对称轮换，答案是唯一的说明：此题是引例中的问题，将1-9九个数，填入列3×3个方格内，使每行每列、每条对角线的和相等，这叫做三阶幻方，一般地，在n×n个方格内，填上n×n个连续自然数，

并且每行、每列、每条对角线上n个自然数的和都相等，则称它为n阶幻方解决幻方问题的关键是确定中心数和顶点数例2：把1到6这六个数分别填在图7-a中三角形三条边上的六个圆圈内，使每条边上三个圆圈内的数的和都相等分析与解：设填入顶点圆圈内的数分别为a、b、c，其余三个圆圈内的数分别是d、e、f每条边上三个圆圈内数的和为k，如图7-a21+(a+b+c)=3k说明：这个数阵问题中各条边是相互连接的，叫做封闭型数阵图封闭型数阵图的解题突破口，是确定各边顶点所应填的数为确定这些数，采用的方法是建立有关的等式，通过以最小值到最大值的讨论，来确定每条边上的几个数之和，再将和数进行拆分以找到顶点应填入的数，其余的数再利用和与顶点的数就容易被填出例3、把1-9这九个数，分别填入圆10-a中，使得从中辐射出的每条线上三个圆圈内的数的和相等分析与解：由图10-a可知，计算每条线段上的三个圆圈内数的和时都要用到中心数，因此确定中心数是解此题的关键该中心数为χ，其余各数如图10-b所示，每条线段上的三数之和为k∵χ+a1+a2=χ+b1+b2=χ+c1+c2=χ+d1+d2=k=4k说明：此题中的数阵图，称为辐射型数阵图，解法的关键是确定中心数具体方法是：通过所给条件建立有关等式，通过整除性的讨论，确定出中心数的取值，然后求出各边上数的和，最后将和自然数分拆成中心数的若干个自然数之和，确定边上其他的数例4、，如

图12-a中，以○为顶点，有四个小的等腰三角形和三个大的等腰三解形，将1-9这九个数，填入○内，使每个三角形的三个顶点的数字之和相等分析与解：设应填入的数如图12-b所示，观察可知，在计算每个小三角形和大三角形各顶点数字和时，最中间的小三角形三个顶点分别用了三次，其中各顶点用了二次，设每个三角形的三个顶点数的和为k，即：a+b+c=k,d+e+f=k,c+e+g=k,g+h+I=ka+g+d=k,b+e+h=k,c+f+ I=k∵(a+b+c)+(d+e+f)+(c+e+g)+(g+h+i)+(a+g+d)+(b+e+h)+(c+ f+i)=7k即：+(c+e+g)=7ka+b+c+d+e+f+g+h+I=3k又∵a+b+c+d+e+f+g+h+I=1+2+…+9=45∴3k=45k=15在1-9这九个数中，15的三拆分有下列几种情况：15=1+9+5=1+8+6=2+9+4=2+8+5=3+7+5=2+7+6=3+8+4=4+5+6，在这些拆分中，2、4、5、6、8、出现过三次，其它数字出现过两次，所以C=2，e=8，g=5或c=6，e=4，g=5，再将其它数填入，这样就得到本题的两个解说明：此题中的数阵图为复合型数阵图，解题的关键是要以中心数和顶点数为突破口答案：1、解：先用1-9这九个自然数构造一个三阶幻方，这个三阶幻方的每行，每列之和为15，题目要求和为60，只需将每个数都加上15即可幻方导课:大禹治水的故事基础知识讲解：幻方定义：在3×3的正方形方格中，既不重复

又不遗漏地把九个正整数按一定规律排列，使得每行、每列及两条对角线上的三个正整数的和均相等，这样的图形叫三阶幻方，也叫九宫格幻和：三个正整数的和叫做幻和幻和=所有数的和÷3中心数=幻和÷3，中心数为九个正整数中间的那个数三阶幻方的构造构造步骤：求幻和；求中心数；定四角数；定其它数中间数*3=幻和幻和=9个数的和/3幻方的构造方法:九子斜排，上下对调，左右对调，四维突出题型一由已知数字来编排幻方例1用1~9解：九数斜排，上下对调，左右对调，四维突出关键：掌握按一定规律排列的九个数的幻方的编排方法A组1、2、8；B组2如果不能自由移动，那么怎样移动它还是一个三阶幻方？任意九个数字能组成8个幻方题型二由已知数字和给定的数来编排幻方例2用3~11解法一：中间数的求法：1、中间数即为9个数正中间的那个数，本题为7；2、九个数全部知道，那么可以先求出幻和，再求中间数关键：中间数、幻和的关系及求法解法二：九数斜排，上下对调，左右对调，四维突出写出一个基本幻方，然后根据题目中的数字将相应的数字填进九宫格中A组3、B组1解：幻方性质的应用四角上的数等于它的对角相邻的两个数的和的一半数学表达式：A=÷2本题的解题过程①=11×2—12②=9×2—12中间数=÷2A组6、7，B组4、5关键点：四角上数的性质，中间数的求法424.解：1、确定中间数2、确定一行、一列及两条对角线上其他的两个数的和

中心数=24÷3=8，那么，8与一行、一列、一条对角线上其余两个数的和为24，24—8=16，有1+15,2+14,3+13,4+12,5+11，6+10，7+9这几种说明在1~15这15个正整数中选出九个数，可以组成一个幻和是24的三阶幻方