辽宁省沈阳市大东区2015届高三质量监测数学(理科)试卷

辽宁省沈阳市大东区2015届高三质量监测数学（理科）试卷

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，其中第Ⅱ卷第22-24

题为选考题，其它为必考题。共150分，考试时间为120分钟。考生做答时，将答案答在答题卡上，在本试卷上答题无效。

第Ⅰ卷（选择题，共60分）

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知:全集为U=R,集合{}{}2|(1)4,,1,0,1,2,3M x x x R N =-<∈=-,则

()N CuM =

A.{}3,1-

B.{}2,1,0,1-

C.{}3,2,0,1-

D.{}3,2,1,0 2.在复平面内,复数i z i 2)1(=+ (i 为虚数单位)的共轭复数对应的点位于

A ．第一象限

B ．第二象限

C ．第三象限

D ．第四象限

3.已知n m ,为异面直线,⊥m 平面α,⊥n 平面β.直线l 满足

,,,l m l

n l l αβ⊥⊥??,则

A ．βα//,且α//l

B ．βα⊥,且β⊥l

C ．α与β相交,且交线垂直于l

D ．α与β相交,且交线平行于l

4.设数列{}n a ，1a =1，前n 项和为n S ，若13n n S S +=()*n N ∈，则数列{}n a 的第5项是

A . 81

B .

1

81

C. 54

D. 162 5.分别在区间[0,1]和[0,2]内任取一个实数，依次记为m 和n ，则m 2

A.65 B .61 C.32 D.3

1 6.函数??

?

??>-≤-=1||,1

||11

||,1)(2x x x x x f 的大致图像是

7.阅读如图所示的程序框图,若输入的10k =,则该算法的功能是

A ．计算数列{}12n -的前10项和

B ．计算数列{}12n -的前9项和

C ．计算数列{}21n -的前10项和

D ．计算数列{}21n -的前9项和

8.设ABC ?中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，则“o 90C ∠>”的一个充分非必要条件是

A .222sin sin sin A

B

C +<

B.1sin ,cos 4A B ==

C.22(1)c a b >+-

D.sin cos A B < 9.如图，E 、F 分别为棱长为1的正方体的棱11A B 、11B C 的中点，点G 、H 分别为面对角线AC 和棱1DD 上的动点（包括端点）,则四面体EFGH 的体积

A ．既存在最大值，也存在最小值 B.为定值； C. 只存在最小值； D 只存在最大值。

10.直线 过抛物线2y ＝2px(p>0)的焦点，且与抛物线交

于A ，B 两点，若线段AB 的长是8，AB 的中点到y 轴的距离是2，则此抛物线

方程是 A ．2y ＝12x

B ．2y ＝8x

C ．2y =6x

D ．2y =4x

11.给出下列四个命题：

①“0,2>-∈?x x R x ”的否定是“0,2≤-∈?x x R x ”； ②对于任意实数x,有)()(),()(x g x g x f x f =--=-且0>x 时,

A

B

C

D

1

A

1

B

1

C

1

D

E F

G

H

第9题图

,0)(>'x f ,0)(>'x g )()(0x g x f x '>'<时，则

③函数)1,0(33log )(≠>-+=a a x

x x f a 是偶函数；④已知0>a ，则0x 满足关于x 的方

程b ax =的充要条件是"2

121,"0202bx ax bx ax R x -≥-∈?,

其中真命题的个数为

A.1 B .2 C.3 D.4

12.设函数()f x =a R ∈,e 为自然对数的底数).若曲线sin y x =上存在00(,)x y 使得00(())f f y y =,则a 的取值范围是( )

A.[1,]e

B. []

1,11--e C.[1,1]e + D.1[-1,1]e e -+ 第Ⅱ卷（非选择题，共90分）

本卷包括必考题和选考题两部分，第13-21为必考题，每个试题考生都必须做答，第22-24题为选考题，考生根据要求做答.

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题纸中横线上.

13.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为_______

14.六个字母排成一排,且B A ,均在C 的同侧,则不同的排法共有________种(用

数字作答)

15.已知正方形ABCD 的边长为2，P 是正方形ABCD 的外接圆上的动点，则

AP AB ?的最大值为 _______________.

16.已知双曲线)0,0(1:22

22>>=-b a b

y a x C ，右顶点是A ，若双曲线C 右支上存在

两点B 、C ，使ΔABC 为正三角形，则双曲线C 的离心率e 的取值范围是

________________

三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演

算步骤。

17.(本小题满分12分)

已知函数22()2sin ()4f x x x π

=--

(Ⅰ)求()f x 的单调递增区间；

(Ⅱ)求函数()f x 在区间[0,]6

π

上的最大值.

18. (本小题满分12分)

如图,三棱柱ABC-A 1B 1C 1中,CA=CB,AB=AA 1,∠BA A 1=60°，E 为BC 中点

(Ⅰ)证明：A 1C ∥平面AB 1E (Ⅱ)证明:AB ⊥A 1C;

(Ⅲ)若平面ABC⊥平面AA 1B 1B,AB=CB=2,求直线A 1C 与平面BB 1C 1C 所成角的正弦值.

19.（本题满分12分）

某学生社团在对本校学生学习方法开展问卷调查的过程中发现，在回收上来的1000份有效问卷中，同学们背英语单词的时间安排共有两种：白天背和晚上临睡前背。为研究背单词时间安排对记忆效果的影响，该社团以5%的比例对这1000名学生按时间安排类型进行分层抽样，并完成一项实验，实验方法是，使两组学生记忆40个无意义音节（如XIQ 、GEH ），均要求在刚能全部记清时就停止识记，并在8小时后进行记忆测验。不同的是，甲组同学识记结束后一直不睡觉，8小时后测验；乙组同学识记停止后立刻睡觉，8小时后叫醒测验。

两组同学识记停止8小时后的准确回忆（保持）情况如图（区间含左端点而不含右端点）

(Ⅰ)估计1000名被调查的学生中识记停止后8小时40个音节的保持率大于等于60%的人数；

(Ⅱ)从乙组准确回忆个数在[12,24)范围内的学生中随机选取3人，记能准确回忆20个以上（含20）的人数为随机变量X ，求X 分布列及数学期望； (Ⅲ)从本次实验的结果来看，上述两种时间安排方法中哪种方法背英语单词记忆效果更好? 计算并说明理由。 20.（本小题满分12分）

如图，已知椭圆），（012222>>=+b a b

y a x 的离心率为2，以该椭圆上的点和椭

圆的左、右焦点12,F F 为顶点的三角形的周长为1).一等轴双曲线的顶点是该椭圆的焦点，设P 为该双曲线上异于顶点的任一点，直线1PF 和2PF 与椭圆的交点分别为B A 、和C D 、.

（Ⅰ）求椭圆和双曲线的标准方程；

（Ⅱ）设直线1PF 、2PF 的斜率分别为1k 、2k ，证明12·1k k =；

（Ⅲ）是否存在常数λ，使得·AB CD AB CD λ+=恒成立？若存在，求λ的值；若不存在，请说明理由. 21.(本小题满分12分) 已知函数bx ax x g x x x f -=

=2

3

1)(,ln )(其中R b a ∈, （Ⅰ）若6)(2-+-≥ax x x f 在),0(+∞上恒成立，求实数a 的取值范围；

（Ⅱ）当a b 32-=时，若)(2

3

)1(x g x f ≤+对),0(+∞∈x 恒成立，求a 的最小值.

（请考生从22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分）

22.（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲

如图，AB 为⊙O 的直径，过点B 作⊙O 的切线BC ，OC 交⊙O 于点E ，AE 的延长线交BC 于点D 。 （Ⅰ）求证：CE 2 = CD · CB ；

（Ⅱ）若AB = BC = 2，求CE 和CD 的长。

23.（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程

已知：动点P Q 、都在曲线2cos ,

:2sin x t C y t =??=?

（t 为参数）上，对应参数分别为=t α与

=2t α（02απ<<），M 为PQ 的中点。

（Ⅰ）求M 的轨迹的参数方程；

（Ⅱ）将M 到坐标原点的距离d 表示为α的函数，并判断M 的轨迹是否过坐标原点。 24．（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲 设函数()|27|1f x x =-+。

（Ⅰ）求不等式()|1|f x x ≤-的解集；

（Ⅱ）若存在x 使不等式()f x ax ≤成立，求实数a 的取值范围。

2015年大东区高三质量监测数学参考答案和评分参考

（理科）

一、选择题：每小题5分，共60分

1.A

2. D

3.D

4.C

5.A

6.B

7.A

8.B

9. A 10. B 11. B 12.A 二、填空题：每小题5分，共20分

13. 168π+ 14.480 15.222+ 16.），（3

3

21 三、解答题

17.(本题满分12分)

（Ⅰ） ()cos 2)1cos(

2)2f x x x π

??

=+---???

?

sin 21x x =+-2sin(2)13

x π

=+-，……… 4分

由222232

k x k πππ

ππ-≤+≤+

得：增区间为5,.1212k k k Z ππππ?

?

-

+∈???

?

， …………………7分 （Ⅱ）

2[0,],2,6333x x ππππ??

∈∴+∈????

所以，当2,3

2

12

x x π

π

π

+

=

=

时，………………………… 11分

()f x 的最大值为1. ………………………………………… 12分

18. (本题满分12分)

（Ⅰ）连结A 1B ，使A 1B ∩AB 1=O ，连结EO, 因为ABB 1A 1为平行四边形，所以O 为A 1B 中点 又因为E 为BC 中点, 所以EO ∥A 1C 又因为EO ?平面AB 1E A 1C ?平面AB 1E

所以，A 1C ∥平面AB 1E

(Ⅱ)取AB 中点F,连结CF, A 1F ,

∵AB=1AA ,1BAA ∠=0

60,∴1BAA ?是正三角形∴A 1F ⊥AB, ∵CA=CB, ∴C F ⊥AB,

∵F F A CF =1 ,∴AB⊥面CFA 1,

∴AB⊥1AC ; ……………………………………………………… 8分

（Ⅲ）由(Ⅱ)知F C⊥AB, FA 1⊥AB,

又∵面ABC⊥面11ABB A ,面ABC∩面11ABB A =AB,∴F C⊥面11ABB A ,∴F C⊥FA 1, ∴FA,FC, FA 1两两相互垂直,以F 为坐标原点,FA 的方向为x 轴正方向,| FA |为单位长度,建立如图所示空间直角坐标系O xyz -,

由题设知A(1,0,0),1A

BC ),1BB =1AA =(-1,,0) ,1AC ),

设n =(,,)x y z 是平面11CBB C 的法向量,

则100

BC BB ??=???=??n n ,即???=+-=+0303x y x z ,可取n ∴1cos ,A C n =11|A C A C ?n |n ||

510

-=,………………………………… 10分

∴直线A 1C 与平面BB 1C 1C ………………………………… 12分 19. (本题满分12分) 解：（Ⅰ）∵10005%50?=，

由甲图知，甲组有4108421130++++++=（人），∴乙组有20人． 又∵4060%24?=，

∴识记停止8小时后40个音节的保持率大于等于60%的在甲组中有1人

乙组有(0.06250.0375)4208+??=（人） ∴(18)5%180+÷=

即估计1000名被调查的学生中识记停止8小时后40个音节的保持率大于等于60%的人

数为180人．………………………………………………………………………………… 4分

（Ⅱ）由乙图知，乙组在[12,24)之间有(0.0250.0250.075)42010++??=（人）

在[20,24)之间有0.0754206??=（人）

∴X 的可能取值为0,1,2,3……………………………………………………………6分

30463101

(0)30C C P X C ===，

21463103

(1)10C C P X C ===，

12463101

(2)2C C P X C ===，

03463101

(3)6

C C P X C ===

X ………8分

数学期望13119

()01233010265

E X =?

+?+?+?=．………………………10分 （Ⅲ）参考答案：

甲组学生准确回忆音节数共有：

28812612221841481010642=?+?+?+?+?+?+?个

故甲组学生的平均保持率为

0.246.940

130288401=?=? 乙组学生准确回忆音节数共有：

432

2040375.0300625.026075.022025.018025.

0140125.0100125.0

6=???+?+?+?+?+?

+?）（个

故乙组学生平均保持率为

0.240.54

6.2140

1

20432401>=?=?， 所以临睡前背单词记忆效果更好. ………………………………………………12分 （只要叙述合理都给分） 20. (本题满分12分)

（Ⅰ）由题意知，椭圆离心率为

c a =a =，又22a c +=1)，所以可解得a =2c =，所以2

2

2

4b a c =-=，

所以椭圆的标准方程为22

184

x y +=；………………………………………………2分

所以椭圆的焦点坐标为（2±，0），因为双曲线为等轴双曲线，且顶点是该椭圆的焦点，所以该双曲线的标准方程为

22

144

x y -=。………………………………………………4分 （Ⅱ）设点P(x 0,y 0)，则2001+=x y k ,2002-=x y k ，所以4

202

021-=x y

k k ，又点P(x 0,y 0)在

双曲线上，所以有1442

02

0=-y x ，即42

020-=x y ，所以14

202

21=-=x y k k ………6分 （Ⅲ）假设存在常数γ，使得|CD ||AB ||CD ||AB |γ=+恒成立，则由（Ⅱ）知1k 21=k ，所以设直线AB 的方程为y=k(x+2)，则直线CD 的方程为)2(k

1

y +=

x ，由方程组?????=++=148

)2(y 22

y x

x k ，消y 得：0888)12(2222=-+++k x k x k ，设A(x 1,y 1), B(x 2,y 2), 则由韦达定理得: 1

28

8,12822212

221+-=+-=+k k x x k k x x 所以1

2)1(244)(1||

22212

212

++=-++=k k x x x x k

AB ，

同理可得2)1(24112)11(244)()

1(1||2

222212212

++=+?+

=-++=k k k

k x x x x k

CD ， 又因为|CD ||AB ||CD ||AB |γ=+，

所以有8

2

3)1(242)1(2412|CD |1|AB |12

222=++-++=+=k k k k γ， 存在常数8

2

3=

γ，使得|CD ||AB ||CD ||AB |γ=+恒成立………………12分 21.(本题满分12分)

（Ⅰ）

2

()6f x x ax ≥-+-即

6ln a x x x ≤++

设6

()ln g x x x x =++则22

26(3)(2)'()x x x x g x x x +-+-==

3分

当(0,2)x ∈时'()0g x <,函数()g x 单调递减; 当(2,)x ∈+∞时'()0g x >,函数()g x 单调递增;

∴()g x 最小值(2)5ln 2g =+∴实数a 的取值范围是(,5ln 2]-∞+; 6分

（Ⅱ）当

2

3b a

=-时，构造函数 ()()()()()[)231

11ln 1,0,22G x f x g x x x ax ax x =+-

=++--∈+∞，由题意有G(x)≤0

对x ∈[0，+∞)恒成立，因为()()[)

'ln 11,0,G x x ax a x =++--∈+∞.

当a ≤0时，

()()()'ln 1110

G x x a x =++-+>，所以G(x)在[0，+∞)上单调递增，则G(x)

＞G(0)=0在(0，+∞)上成立，与题意矛盾.

当a ＞0时，令

()()[)()1

',0,,'1x G x x x a

x ??=∈+∞=

-+则，由于()10,11x ∈+

①当a ≥1时，

()()[)1

'01x a x x ??=

-<0,+∞+在，上单调递减，所以

()()()[)010,'00x a G x ??≤=-≤≤+∞在，上成立

，所以G(x)在[0，＋∞)上单调递减，

所以G(x)≤G(0)=0在[0，＋∞)上成立，符合题意.

②当0＜a ＜1时，()[)111',0,11a x a x a x x x ???

??--- ???

????=-=∈+∞++，所以

()10,1x x a

???∈-?

??

?在上单调递增，在11,x a ??

∈-+∞ ?

??上单调递减，因为()010a ?=->，所以

()100,1x a

???>∈-???

?在x 成立，即()1'001

G x a ??

>∈-????在x ，上成立，所以

()10,1G x a ??-????在上单调递增，则G(x)＞G(0)=0在10,1x a ??

∈- ?

??上成立，与题意矛盾.

综上知a 的最小值为1.

12分

其他合理方法即可.

22.（本题满分10分）选修4－1：几何证明选讲 (Ⅰ)证明：连接BE.

∵BC 为⊙O 的切线 ∴∠ABC ＝90°，CBE A ∠=∠……2分

,OA OE A AEO =∴∠=∠

∵∠AEO ＝∠CED ∴∠CED ＝∠CBE, ……4分 ∵∠C ＝∠C ∴△CED ∽△CBE ∴

CE CD CB CE

= ∴CE 2

＝CD?CB……6分

(Ⅱ)∵OB ＝1,BC ＝2 ∴OC

∴CE ＝OC －OE 1 ……8分

由(Ⅰ)CE 2

＝CD?CB 得1)2

＝2CD

∴CD ＝3 ……10分 23.（本题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程

(Ⅰ)依题意有)sin 2,cos 2(ααP ，)2sin 2,2cos 2(ααQ ,因此

)2sin sin ,2cos (cos αααα++M

M 的轨迹的参数方程为)20(,2sin sin 2cos cos ??

?<<+=+=πααα

αα

α为参数，y x ， ……6分

(Ⅱ)M 点到坐标原点的距离

)20(cos 2222παα<<+=+=

y x d

当πα=时，d=0,故M 的轨迹过坐标原点 ……10分 24．（本题满分10分）选修4－5：不等式选讲 解：（1）1172-≤+-x x

当1

当271≤

≤x 时，)1(1)72(-≤+--x x 解得27

33≤≤∴≥x x 当27>x 时，)1(1)72(-≤+-x x 解得52

7

5≤<∴≤x x

综上不等式的解集为[]5,3…………………………………………………………5分 （2）ax x ≤+-172

当2

7

≥

x ，能成立06)2(≥+-x a ， 满足，则若202≥≥-a a

27

2

0627)

202<≤≥+-<-a a a 解得，则（若 72

≥

∴a 当2

7

满足，则若202-<<+a a 不满足，则若202-==+a a

7

20827)202>>-+>+a a a 解得，则（若 27

2

-<>

∴a a 或 综上，27

2

-<≥a a 或……10分

另解：

画出()271f x x =-+的图象，如下所示

若()f x ax ≤有解，则27

2

-<≥

a a 或……10分

x