第9章 第9节 离散型随机变量的均值与方差、正态分布

2010~2014年高考真题备选题库

第9章 计数原理与概率、随机变量及其分布 第9节 离散型随机变量的均值与方差、正态分布

1．（2014浙江，5分）已知甲盒中仅有1个球且为红球，乙盒中有m 个红球和n 个蓝球(m ≥3，n ≥3)，从乙盒中随机抽取i (i ＝1,2)个球放入甲盒中．

(1)放入i 个球后，甲盒中含有红球的个数记为ξi (i ＝1,2)；

(2)放入i 个球后，从甲盒中取1个球是红球的概率记为p i (i ＝1,2)． 则( )

A ．p 1>p 2，E (ξ1)

B ．p 1

E (ξ2)

C ．p 1>p 2，E (ξ1)>E (ξ2)

D ．p 1

E (ξ1)

解析： 法一(特值法)：取m ＝n ＝3进行计算、比较即可．

法二(标准解法)：从乙盒中取1个球时，取出的红球的个数记为ξ，则ξ的所有可能取值为0,1，则P (ξ＝0)＝

n m ＋n ＝P (ξ1＝1)，P (ξ＝1)＝m

m ＋n

＝P (ξ1＝2)，所以E (ξ1)＝1·P (ξ1＝1)＋2·P (ξ1

＝2)＝m m ＋n ＋1，所以p 1＝E (ξ1)2＝2m ＋n

2(m ＋n )

；从乙盒中取2个球时，取出的红球的个数记为η，

则η的所有可能取值为0,1,2，则P (η＝0)＝C 2n C 2m ＋n ＝P (ξ2＝1)，P (η＝1)＝C 1n C 1

m

C 2m ＋n

＝P (ξ2＝2)，P (η

＝2)＝C 2m

C 2m ＋n ＝P (ξ2＝3)，所以E (ξ2)＝1·P (ξ2＝1)＋2P (ξ2＝2)＋3P (ξ2＝3)＝2m m ＋n ＋1，所以p 2＝

E (ξ2)3＝3m ＋n 3(m ＋n )

，所以p 1>p 2，E (ξ1)

2．（2014浙江，4分）随机变量ξ的取值为0,1,2.若P (ξ＝0)＝15，E (ξ)＝1，则D (ξ)＝________.

解析：由题意设P (ξ＝1)＝p ，ξ的分布列如下

由E (ξ)＝1，可得p ＝3

5

，

所以D (ξ)＝12×15＋02×35＋12×15＝2

5

.

答案：25

3．（2014山东，12分）乒乓球台面被球网分隔成甲、乙两部分，如图，甲上有两个不相交的区域A ，B ，乙被划分为两个不相交的区域C ，D .某次测试要求队员接到落点在甲上的来球后向乙回球．规定：回球一次，落点在C 上记3分，在D 上记1分，其他情况记0分．对落点在A 上的来球，队员小明回球的落点在C 上的概率为12，在D 上的概率为1

3；对落点在B

上的来球，小明回球的落点在C 上的概率为15，在D 上的概率为3

5.假设共有两次来球且落在A ，

B 上各一次，小明的两次回球互不影响．求：

(1)小明的两次回球的落点中恰有一次的落点在乙上的概率； (2)两次回球结束后，小明得分之和ξ的分布列与数学期望．

解：(1)记A i 为事件“小明对落点在A 上的来球回球的得分为i 分”(i ＝0,1,3)， 则P (A 3)＝12，P (A 1)＝13，P (A 0)＝1－12－13＝1

6

；

记B i 为事件“小明对落点在B 上的来球回球的得分为i 分 ”(i ＝0,1,3)， 则P (B 3)＝15，P (B 1)＝35，P (B 0)＝1－15－35＝1

5

.

记D 为事件“小明两次回球的落点中恰有一次的落点在乙上”． 由题意，D ＝A 3B 0＋A 1B 0＋A 0B 1＋A 0B 3， 由事件的独立性和互斥性， P (D )＝P (A 3B 0＋A 1B 0＋A 0B 1＋A 0B 3) ＝P (A 3B 0)＋P (A 1B 0)＋P (A 0B 1)＋P (A 0B 3)

＝P (A 3)P (B 0)＋P (A 1)P (B 0)＋P (A 0)P (B 1)＋P (A 0)P (B 3) ＝12×15＋13×15＋16×35＋16×15＝3

10

， 所以小明两次回球的落点中恰有一次的落点在乙上的概率为3

10.

(2)由题意，随机变量ξ可能的取值为0,1,2,3,4,6， 由事件的独立性和互斥性，得 P (ξ＝0)＝P (A 0B 0)＝16×15＝1

30

，

P (ξ＝1)＝P (A 1B 0＋A 0B 1)＝P (A 1B 0)＋P (A 0B 1)＝13×15＋16×35＝1

6

，

P (ξ＝2)＝P (A 1B 1)＝13×35＝1

5

，

P (ξ＝3)＝P (A 3B 0＋A 0B 3)＝P (A 3B 0)＋P (A 0B 3)＝12×15＋16×15＝2

15，

P (ξ＝4)＝P (A 3B 1＋A 1B 3)＝P (A 3B 1)＋P (A 1B 3)＝12×35＋13×15＝11

30，

P (ξ＝6)＝P (A 3B 3)＝12×15＝1

10.

可得随机变量ξ的分布列为：

所以数学期望E (ξ)＝0×130＋1×16＋2×15＋3×215＋4×1130＋6×110＝91

30

.

4．（2014江苏，10分）盒中共有9个球，其中有4个红球、3个黄球和2个绿球，这些球除颜色外完全相同．

(1)从盒中一次随机取出2个球，求取出的2个球颜色相同的概率P ；

(2)从盒中一次随机取出4个球，其中红球、黄球、绿球的个数分别记为x 1，x 2，x 3，随机变量X 表示x 1，x 2，x 3中的最大数，求X 的概率分布和数学期望E (X )．

解：(1)取到的2个颜色相同的球可能是2个红球、2个黄球或2个绿球，所以P ＝

C 24＋C 23＋C 2

2

C 2

9＝6＋3＋136＝518

. (2)随机变量X 所有可能的取值为2,3,4.

{X ＝4}表示的随机事件是“取到的4个球是4个红球”，故P (X ＝4)＝C 44

C 49＝1126；

{X ＝3}表示的随机事件是“取到的4个球是3个红球和1个其他颜色的球，或3个黄球

和1个其他颜色的球”，故P (X ＝3)＝C 34C 15＋C 33C 16

C 4

9＝20＋6126＝1363

； 于是P (X ＝2)＝1－P (X ＝3)－P (X ＝4)＝1－1363－1126＝11

14.

所以随机变量X 的概率分布如下表：

因此随机变量X E (X )＝2×1114＋3×1363＋4×1126＝20

9

.

5．（2014安徽，12分）甲乙两人进行围棋比赛，约定先连胜两局者直接赢得比赛，若赛完 5局仍未出现连胜，则判定获胜局数多者赢得比赛．假设每局甲获胜的概率为2

3

，乙获胜

的概率为1

3

，各局比赛结果相互独立．

(1)求甲在4局以内(含4局)赢得比赛的概率；

(2)记X 为比赛决出胜负时的总局数，求X 的分布列和均值(数学期望)．

解：用A 表示“甲在4局以内(含4局)赢得比赛”，A k 表示“第k 局甲获胜”，B k 表示“第k 局乙获胜”，则P (A k )＝23，P (B k )＝1

3

，k ＝1,2,3,4,5.

(1)P (A )＝P (A 1A 2)＋P (B 1A 2A 3)＋P (A 1B 2A 3A 4)

＝P (A 1)P (A 2)＋P (B 1)P (A 2)P (A 3)＋P (A 1)P (B 2)·P (A 3)P (A 4) ＝????232＋13×????232＋23×13×????232

＝5681

. (2)X 的可能取值为2,3,4,5.

P (X ＝2)＝P (A 1A 2)＋P (B 1B 2)＝P (A 1)P (A 2)＋P (B 1)P (B 2)＝5

9，

P (X ＝3)＝P (B 1A 2A 3)＋P (A 1B 2B 3) ＝P (B 1)P (A 2)P (A 3)＋P (A 1)P (B 2)P (B 3) ＝29

， P (X ＝4)＝P (A 1B 2A 3A 4)＋P (B 1A 2B 3B 4)

＝P (A 1)P (B 2)P (A 3)P (A 4)＋P (B 1)P (A 2)P (B 3)P (B 4) ＝1081

， P (X ＝5)＝1－P (X ＝2)－P (X ＝3)－P (X ＝4)＝8

81.

故X 的分布列为

X 的数学期望E (X )＝2×59＋3×29＋4×1081＋5×881＝224

81

.

6．（2014福建，13分）为回馈顾客，某商场拟通过摸球兑奖的方式对1 000位顾客进行奖励，规定：每位顾客从一个装有4个标有面值的球的袋中一次性随机摸出2个球，球上所标的面值之和为该顾客所获的奖励额．

(1)若袋中所装的4个球中有1个所标的面值为50元，其余3个均为10元，求： ①顾客所获的奖励额为60元的概率； ②顾客所获的奖励额的分布列及数学期望；

(2)商场对奖励总额的预算是60 000元，并规定袋中的4个球只能由标有面值10元和50元的两种球组成，或标有面值20元和40元的两种球组成．为了使顾客得到的奖励总额尽可能符合商场的预算且每位顾客所获的奖励额相对均衡，请对袋中的4个球的面值给出一个合适的设计，并说明理由．

解：(1)设顾客所获的奖励额为X .

①依题意，得P (X ＝60)＝C 11C 13

C 24＝12

，

即顾客所获的奖励额为60元的概率为1

2.

②依题意，得X 的所有可能取值为20,60. P (X ＝60)＝12，P (X ＝20)＝C 23

C 24＝12，

即X 的分布列为

E (X )＝20×12＋60×1

2

＝40(元)．

(2)根据商场的预算，每个顾客的平均奖励额为60元．所以，先寻找期望为60元的可能方案．对于面值由10元和50元组成的情况，如果选择(10,10,10,50)的方案，因为60元是面值之和的最大值，所以期望不可能为60元；如果选择(50,50,50,10)的方案，因为60元是面值之和的最小值，所以期望也不可能为60元，因此可能的方案是(10,10,50,50)，记为方案1.

对于面值由20元和40元组成的情况，同理可排除(20,20,20,40)和(40,40,40,20)的方案，所以可能的方案是(20,20,40,40)，记为方案2.

以下是对两个方案的分析：

对于方案1，即方案(10,10,50,50)，设顾客所获的奖励额为X 1，则X 1的分布列为

X 1的期望为E (X 1)＝20×16＋60×23＋100×1

6

＝60，

X 1的方差为D (X 1)＝(20－60)2×16＋(60－60)2×23＋(100－60)2×16＝1 600

3.

对于方案2，即方案(20,20,40,40)，设顾客所获的奖励额为X 2，则X 2的分布列为

X 2的期望为E (X 2)＝40×16＋60×23＋80×1

6

＝60，

X 2的方差为D (X 2)＝(40－60)2×16＋(60－60)2×23＋(80－60)2×16＝400

3

.

由于两种方案的奖励额的期望都符合要求，但方案2奖励额的方差比方案1的小，所以应该选择方案2.

7．（2014天津，13分）某大学志愿者协会有6名男同学，4名女同学．在这10名同学中，3名同学来自数学学院，其余7名同学来自物理、化学等其他互不相同的七个学院．现从这10名同学中随机选取3名同学，到希望小学进行支教活动(每位同学被选到的可能性相同)．

(1)求选出的3名同学是来自互不相同学院的概率；

(2)设X 为选出的3名同学中女同学的人数，求随机变量X 的分布列和数学期望．

解：(1)设“选出的3名同学是来自互不相同的学院”为事件A ，则P (A )＝C 13·C 27＋C 03·

C 3

7C 3

10

＝4960

. 所以选出的3名同学是来自互不相同学院的概率为49

60.

(2)随机变量X 的所有可能值为0,1,2,3.

P (X ＝k )＝C k 4·C 3－

k

6

C 3

10

(k ＝0,1,2,3)． 所以，随机变量X 的分布列是

随机变量X 的数学期望E (X )＝0×16＋1×12＋2×310＋3×130＝6

5

.

8．（2014北京，13分）李明在10场篮球比赛中的投篮情况统计如下(假设各场比赛相互独立)：

(1)

(2)从上述比赛中随机选择一个主场和一个客场，求李明的投篮命中率一场超过0.6，一场不超过0.6的概率；

(3)记x 为表中10个命中次数的平均数．从上述比赛中随机选择一场，记X 为李明在这场比赛中的命中次数．比较EX 与x 的大小．(只需写出结论)

解：(1)根据投篮统计数据，在10场比赛中，李明投篮命中率超过0.6的场次有5场，分别是主场2，主场3，主场5，客场2，客场4.

所以在随机选择的一场比赛中，李明的投篮命中率超过0.6的概率是0.5. (2)设事件A 为“在随机选择的一场主场比赛中李明的投篮命中率超过0.6”， 事件B 为“在随机选择的一场客观比赛中李明的投篮命中率超过0.6”，

事件C 为“在随机选择的一个主场和一个客场中，李明的投篮命中率一场超过0.6，一场不超过0.6”．

则C ＝A B ∪A B ，A ，B 独立． 根据投篮统计数据，P (A )＝35，P (B )＝2

5.

P (C )＝(A B )＋P (A B ) ＝35×35＋25×2

5 ＝1325

. 所以在随机选择的一个主场和一个客场中，李明的投篮命中率一场超过0.6，一场不超过0.6的概率为1325

.

(3)EX ＝x .

9．（2014湖南，12分）某企业有甲、乙两个研发小组，他们研发新产品成功的概率分别为23和3

5

，现安排甲组研发新产品A ，乙组研发新产品B ，设甲、乙两组的研发相互独立． (1)求至少有一种新产品研发成功的概率；

(2)若新产品A 研发成功，预计企业可获利润120万元；若新产品B 研发成功，预计企业可获利润100万元，求该企业可获利润的分布列和数学期望．

解：记E ＝{甲组研发新产品成功}，F ＝{乙组研发新产品成功}． 由题设知P (E )＝23，P (E )＝13，P (F )＝35，P (F )＝2

5.

且事件E 与F ，E 与F ，E 与F ，E 与F 都相互独立． (1)记H ＝{至少有一种新产品研发成功}，则H ＝E F ，于是

P (H )＝P (E )P (F )＝13×25＝2

15

，

故所求的概率为P (H )＝1－P (H )＝1－215＝13

15

.

(2)设企业可获利润为X (万元)，则X 的可能取值为0,100,120,220. 因P (X ＝0)＝P (E F )＝13×25＝2

15，

P (X ＝100)＝P (E F )＝13×35＝3

15，

P (X ＝120)＝P (E F )＝23×25＝4

15，

P (X ＝220)＝P (EF )＝23×35＝6

15.

故所求的X 分布列为

数学期望为E (X )＝0×215＋100×315＋120×415＋220×615＝300＋480＋1 32015＝2 10015

＝140.

10．（2014重庆，12分）一盒中装有9张各写有一个数字的卡片，其中4张卡片上的数字是1,3张卡片上的数字是2,2张卡片上的数字是3.从盒中任取3张卡片．

(1)求所取3张卡片上的数字完全相同的概率；

(2)X 表示所取3张卡片上的数字的中位数，求X 的分布列与数学期望．(注：若三个数a ，b ，c 满足a ≤b ≤c ，则称b 为这三个数的中位数．)

解：(1)由古典概型中的概率计算公式知所求概率为p ＝C 34＋C 3

3

C 3

9＝584

. (2)X 的所有可能值为1,2,3，且P (X ＝1)＝C 24C 15＋C 34C 39

＝1742，P (X ＝2)＝C 13C 14C 12＋C 23C 16＋C 3

3

C 3

9＝43

84

， P (X ＝3)＝C 22C 17

C 39＝112

，

故X 的分布列为

从而E (X )＝1×1742＋2×4384＋3×112＝47

28

.

11．（2014江西，14分）随机将1,2，…，2n (n ∈N *，n ≥2)这2n 个连续正整数分成A ，

B 两组，每组n 个数，A 组最小数为a 1，最大数为a 2；B 组最小数为b 1，最大数为b 2，记ξ＝a 2－a 1，η＝b 2－b 1.

(1)当n ＝3时，求ξ的分布列和数学期望；

(2)令C 表示事件“ξ与η的取值恰好相等”，求事件C 发生的概率P (C )；

(3)对(2)中的事件C ，C 表示C 的对立事件，判断P (C )和P (C )的大小关系，并说明理由．

解：(1)当n ＝3时，ξ的所有可能取值为2,3,4,5.

将6个正整数平均分成A ，B 两组，不同的分组方法共有C 3

6＝20种，所以ξ的分布列为

Eξ＝2×15＋3×310＋4×310＋5×15＝7

2

.

(2)ξ和η恰好相等的所有可能取值为：n －1，n ，n ＋1，…，2n －2.

又ξ和η恰好相等且等于n －1时，不同的分组方法有2种；ξ和η恰好相等且等于n 时，不同的分组方法有2种；

ξ和η恰好相等且等于n ＋k (k ＝1,2，…，n －2)(n ≥3)时，不同的分组方法有2C k 2k 种； 所以当n ＝2时，P (C )＝46＝2

3

，

当n ≥3时，P (C )＝

2? ??

???2＋∑k ＝1n －2C k 2k C n 2n

.

(3)由(2)知，当n ＝2时，P (C )＝1

3，因此P (C )>P (C )．

而当n ≥3时，P (C )

P (C )

???

2＋∑k ＝1n －2C k 2k

2n . ① 用数学归纳法来证明：

a ．当n ＝3时，①式左边＝4(2＋C 12)＝4(2＋2)＝16，①式右边＝C 3

6＝20，所以①式成立．

b ．假设n ＝m (m ≥3)时①式成立，

即4? ??

???

2＋∑k ＝1m －2C k 2k

2

m 成立， 那么，当n ＝m ＋1时，左边＝4? ??

???2＋∑k ＝1m ＋1－2C k 2k

＝4? ??

???

2＋∑k ＝1m －2C k 2k ＋4C m －12(m －1)

2(m －1) ＝

(2m )！m ！m ！＋4·(2m －2)！

(m －1)！(m －1)！

＝(m ＋1)2(2m )(2m －2)！(4m －1)(m ＋1)！(m ＋1)！

<(m ＋1)2(2m )(2m －2)！(4m )(m ＋1)！(m ＋1)！

＝C m ＋1

2(m ＋1)·2(m ＋1)m (2m ＋1)(2m －1)

12(m ＋1)＝右边．

即当n ＝m ＋1时①式也成立．

综合a ，b 得：对于n ≥3的所有正整数，都有P (C )

则X 的数学期望E (X )＝( A.3

2 B ．2 C.52

D ．3 解析：本题考查离散型随机变量的数学期望，考查考生的识记能力．

E (X )＝1×35＋2×

3

10＋3×110＝1510＝3

2

.

答案：A

13．（2013湖北，5分）如图，将一个各面都涂了油漆的正方体，切割为125个同样大小的小正方体．经过搅拌后，从中随机取一个小正方体，记它的涂漆面数为X ，则X 的均值E (X )＝( )

A.126125

B.65

C.168125

D.75

解析：本题考查正方体中的概率和期望问题，意在考查考生的空间想象能力． P (X ＝0)＝27125，P (X ＝1)＝54125，P (X ＝2)＝36

125，

P (X ＝3)＝

8125，E (X )＝0×P (X ＝0)＋1×P (X ＝1)＋2×P (X ＝2)＋3×P (X ＝3)＝0×27

125

＋

1×54125＋2×36125＋3×8125＝150125＝6

5

，故选B. 答案：B

14．（2013北京，13分）下图是某市3月1日至14日的空气质量指数趋势图．空气质量指数小于100表示空气质量优良，空气质量指数大于200表示空气重度污染．某人随机选择3月1日至3月13日中的某一天到达该市，并停留2天．

(1)求此人到达当日空气重度污染的概率；

(2)设X 是此人停留期间空气质量优良的天数，求X 的分布列与数学期望； (3)由图判断从哪天开始连续三天的空气质量指数方差最大？(结论不要求证明) 解：本题考查统计图、古典概型、离散型随机变量的分布列和数学期望、方差等基础知识，意在考查数形结合思想和考生的数据处理能力、运算求解能力．

设A i 表示事件“此人于3月i 日到达该市”(i ＝1,2，…，13)．根据题意，P (A i )＝1

13，且

A i ∩A j ＝?(i ≠j )．

(1)设B 为事件“此人到达当日空气重度污染”，则B ＝A 5∪A 8. 所以P (B )＝P (A 5∪A 8)＝P (A 5)＋P (A 8)＝2

13

.

(2)由题意可知，X 的所有可能取值为0,1,2，且P (X ＝1)＝P (A 3∪A 6∪A 7∪A 11)＝P (A 3)＋P (A 6)＋P (A 7)＋P (A 11)＝4

13

，

P (X ＝2)＝P (A 1∪A 2∪A 12∪A 13)＝P (A 1)＋P (A 2)＋P (A 12)＋P (A 13)＝4

13，

P (X ＝0)＝1－P (X ＝1)－P (X ＝2)＝5

13.

所以X 的分布列为

故X 的期望EX ＝0×513＋1×413＋2×413＝12

13

.

(3)从3月5日开始连续三天的空气质量指数方差最大．

15．（2013湖北，12分）假设每天从甲地去乙地的旅客人数X 是服

从正态分布N (800,502)的随机变量．记一天中从甲地去乙地的旅客人数不超过900的概率为p 0.

(1)求p 0的值；(参考数据：若X ～N (μ，σ2)，有P (μ－σ＜X ＜μ＋σ)＝0.682 6，P (μ－2σ＜X ≤μ＋2σ)＝0.954 4，P (μ－3σ＜X ≤μ＋3σ)＝0.997 4.)

(2)某客运公司用A 、B 两种型号的车辆承担甲、乙两地间的长途客运业务，每车每天往返一次．A 、B 两种车辆的载客量分别为36人和60人，从甲地去乙地的营运成本分别为1 600元/辆和2 400元/辆．公司拟组建一个不超过21辆车的客运车队，并要求B 型车不多于A 型车7辆．若每天要以不小于p 0的概率运完从甲地去乙地的旅客，且使公司从甲地去乙地的营运成本最小，那么应配备A 型车、B 型车各多少辆？

解：本题考查正态分布、简单的线性规划等基础知识，考查数形结合思想、化归与转化思想，考查运算求解能力、逻辑推理能力，考查综合运用知识分析问题和解决问题的能力．

(1)由于随机变量X 服从正态分布N (800,502)，故有μ＝800，σ＝50， P (700

p 0＝P (X ≤900)＝P (X ≤800)＋P (800

2P (700

(2)设A 型、B 型车辆的数量分别为x ，y 辆，则相应的营运成本为1 600x ＋2 400y . 依题意，x ，y 还需满足：x ＋y ≤21，y ≤x ＋7，P (X ≤36x ＋60y )≥p 0. 由(1)知，p 0＝P (X ≤900)，故P (X ≤36x ＋60y )≥p 0等价于36x ＋60y ≥900. 于是原问题等价于求满足约束条件?????

x ＋y ≤21，y ≤x ＋7，

36x ＋60y ≥900，

x ，y ≥0，x ，y ∈N ，

且使目标函数z ＝1 600x ＋2 400y 达到最小的x ，y .

作可行域如图所示，可行域的三个顶点坐标分别为P (5,12)，Q (7,14)，R (15,6)．

由图可知，当直线z ＝1 600x ＋2 400y 经过可行域的点P 时，直线z ＝1 600x ＋2 400y 在y 轴上截距z

2 400

最小，即z 取得最小值．

故应配备A 型车5辆、B 型车12辆．

16．（2013江西，12分）小波以游戏方式决定是参加学校合唱团还是参加学校排球队．游戏规则为：以O 为起点，再从A 1，A 2，A 3，A 4，A 5，A 6，A 7，A 8(如图)这8个点中任取两点分别为终点得到两个向量，记这两个向量的数量积为X .若X ＝0就参加学校合唱团，否则就参加学校排球队．

(1)求小波参加学校合唱团的概率； (2)求X 的分布列和数学期望．

解：本题将平面向量与概率统计知识相交汇，创新味十足，属能力立意的好题，主要考查平面向量的数量积、相互独立事件、离散型随机变量的分布列与数学期望等相关知识．

(1)从8个点中任取两点为向量终点的不同取法共有C 28＝28种，X ＝0时，两向量夹角为直角共有8种情形，所以小波参加学校合唱团的概率为P (X ＝0)＝828＝27

.

(2)两向量数量积X 的所有可能取值为－2，－1,0,1，X ＝－2时，有2种情形；X ＝1时，有8种情形；X ＝－1时，有10种情形．所以X 的分布列为：

EX ＝(－2)×114＋(－1)×514＋0×27＋1×27＝－3

14

.

17．（2011浙江，4分）某毕业生参加人才招聘会，分别向甲、乙、丙三个公司投递了个人简历．假定该毕业生得到甲公司面试的概率为2

3，得到乙、丙两公司面试的概率均为p ，且

三个公司是否让其面试是相互独立的．记X 为该毕业生得到面试的公司个数．若P (X ＝0)＝1

12，

则随机变量X 的数学期望E (X )＝________.

解析：∵P (X ＝0)＝112＝(1－p )2×13，∴p ＝1

2，随机变量X 的可能值为0,1,2,3，因此P (X

＝0)＝

112，P (X ＝1)＝23×(12)2＋23×(12)2＝13，P (X ＝2)＝23×(12)2×2＋13×(12)2＝512，P (X ＝3)＝2

3

×(12)2＝16，因此E (X )＝1×13＋2×512＋3×16＝53

. 答案：53

18．（2012新课标全国，12分）某花店每天以每枝5元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以每枝10元的价格出售．如果当天卖不完，剩下的玫瑰花作垃圾处理．

(1)若花店一天购进16枝玫瑰花，求当天的利润y (单位：元)关于当天需求量n (单位：枝，n ∈N )的函数解析式；

(2)花店记录了100天玫瑰花的日需求量(单位：枝)，整理得下表：

以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率．

①若花店一天购进16枝玫瑰花，X 表示当天的利润(单位：元)，求X 的分布列、数学期望及方差；

②若花店计划一天购进16枝或17枝玫瑰花，你认为应购进16枝还是17枝？请说明理由．

解：(1)当日需求量n ≥16时，利润y ＝80. 当日需求量n ＜16时，利润y ＝10n －80. 所以y 关于n 的函数解析式为

y ＝?

????

10n －80，n ＜16，80，n ≥16.(n ∈N )． (2)①X 可能的取值为60,70,80，并且

P (X ＝60)＝0.1，P (X ＝70)＝0.2，P (X ＝80)＝0.7. X 的分布列为

X 的数学期望为

EX ＝60×0.1＋70×0.2＋80×0.7＝76. X 的方差为

DX ＝(60－76)2×0.1＋(70－76)2×0.2＋(80－76)2×0.7＝44. ②答案一：

花店一天应购进16枝玫瑰花．理由如下：

若花店一天购进17枝玫瑰花，Y 表示当天的利润(单位：元)，那么Y 的分布列为

Y 的数学期望为

EY ＝55×0.1＋65×0.2＋75×0.16＋85×0.54＝76.4. Y 的方差为

DY ＝(55－76.4)2×0.1＋(65－76.4)2×0.2＋(75－76.4)2×0.16＋(85－76.4)2×0.54＝112.04.

由以上的计算结果可以看出，DX ＜DY ，即购进16枝玫瑰花时利润波动相对较小．另外，虽然EX ＜EY ，但两者相差不大．故花店一天应购进16枝玫瑰花．

答案二：

花店一天应购进17枝玫瑰花．理由如下：

若花店一天购进17枝玫瑰花，Y 表示当天的利润(单位：元)，那么Y 的分布列为

Y 的数学期望为

EY ＝55×0.1＋65×0.2＋75×0.16＋85×0.54＝76.4.

由以上的计算结果可以看出，EX ＜EY ，即购进17枝玫瑰花时的平均利润大于购进16枝时的平均利润．故花店一天应购进17枝玫瑰花．

19．（2012山东，12分）现有甲、乙两个靶．某射手向甲靶射击一次，命中的概率为3

4，

命中得1分，没有命中得0分；向乙靶射击两次，每次命中的概率为2

3，每命中一次得2分，

没有命中得0分．该射手每次射击的结果相互独立．假设该射手完成以上三次射击．

(1)求该射手恰好命中一次的概率；

(2)求该射手的总得分X 的分布列及数学期望EX .

解：(1)记：“该射手恰好命中一次”为事件A ，“该射手射击甲靶命中”为事件B ，“该射手第一次射击乙靶命中”为事件C ，“该射手第二次射击乙靶命中”为事件D ，由题意知P (B )＝34，P (C )＝P (D )＝2

3

，由于A ＝B C D ＋B C D ＋B C D ，

根据事件的独立性和互斥性得 P (A )＝P (B C D ＋B C D ＋B C D ) ＝P (B C D )＋P (B C D )＋P (B C D )

＝P (B )P (C )P (D )＋P (B )P (C )P (D )＋P (B )P (C )P (D ) ＝34×(1－23)×(1－23)＋(1－34)×23×(1－23)＋(1－34)×(1－23)×23 ＝736

. (2)根据题意，X 的所有可能取值为0,1,2,3,4,5. 根据事件的独立性和互斥性得 P (X ＝0)＝P (B C D ) ＝[1－P (B )][1－P (C )][1－P (D )] ＝(1－34)×(1－23)×(1－23)

＝136

. P (X ＝1)＝P (B C D )＝P (B )P (C )P (D ) ＝34×(1－23)×(1－23)＝112

.

P (X ＝2)＝P (B C D ＋B C D )＝P (B C D )＋P (B C D ) ＝(1－34)×23×(1－23)＋(1－34)×(1－23)×23

＝19

， P (X ＝3)＝P (BC D ＋B C D )＝P (BC D )＋P (B C D ) ＝34×23×(1－23)＋34×(1－23)×23＝13， P (X ＝4)＝P (B CD )＝(1－34)×23×23＝19，

P (X ＝5)＝P (BCD )＝34×23×23＝1

3.

故X 的分布列为

所以EX ＝0×136＋1×112＋2×19＋3×13＋4×19＋5×13＝41

12.

20．（2012广东，13分）某班50位学生期中考试数学成绩的频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间是：[40,50)，[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]．

(1)求图中x 的值；

(2)从成绩不低于80分的学生中随机选取2人，该2人中成绩在90分以上(含90分)的人数记为ξ，求ξ的数学期望．

解：(1)由题意得：

10x ＝1－(0.006×3＋0.01＋0.054)×10＝0.18， 所以x ＝0.018.

(2)∵成绩不低于80分的学生共有(0.018＋0.006)×10×50＝12人，其中90分以上(含90分)的共有0.006×10×50＝3人，

ξ的可能值为0,1,2，

P (ξ＝0)＝C 29C 212＝611，p (ξ＝1)＝C 19C 13C 212＝922，P (ξ＝2)＝C 23

C 212＝122

，

∴ξ的分布列为

∴Eξ＝0×611＋1×922＋2×122＝1

2

.

21．（2012江苏，10分）设ξ为随机变量．从棱长为1的正方体的12条棱中任取两条，当两条棱相交时，ξ＝0；当两条棱平行时，ξ的值为两条棱之间的距离；当两条棱异面时，ξ＝1.

(1)求概率P (ξ＝0)；

(2)求ξ的分布列，并求其数学期望E (ξ)．

解：(1)若两条棱相交，则交点必为正方体8个顶点中的1个，过任意1个顶点恰有3条棱，所以共有

8C 23对相交棱，因此

P (ξ＝0)＝8C 23

C 212＝8×366＝411

.

(2)若两条棱平行，则它们的距离为1或2，其中距离为2的共有6对， 故P (ξ＝2)＝

6C 212＝1

11

， 于是P (ξ＝1)＝1－P (ξ＝0)－P (ξ＝2)＝1－411－111＝6

11，

所以随机变量ξ的分布列是

因此E (ξ)＝1×611＋2×111＝6＋2

11

.

22．(2011新课标全国，12分)某种产品的质量以其质量指标值衡量，质量指标值越大表明质量越好，且质量指标值大于或等于102的产品为优质品，现用两种新配方(分别称为A 配方和B 配方)做试验，各生产了100件这种产品，并测量了每件产品的质量指标值，得到下面试验结果：

A 配方的频数分布表

B 配方的频数分布表

(1)分别估计用A 配方，B 配方生产的产品的优质品率；

(2)已知用B 配方生产的一件产品的利润y (单位：元)与其质量指标值t 的关系式为y ＝

????

?

－2，t <94，2，94≤t <102，4，t ≥102.

从用B 配方生产的产品中任取一件，其利润记为X (单位：元)，求X 的分

布列及数学期望．(以试验结果中质量指标值落入各组的频率作为一件产品的质量指标值落入相应组的概率)

解：(1)由试验结果知，用A 配方生产的产品中优质品的频率为22＋8

100＝0.3，所以用A 配

方生产的产品的优质品率的估计值为0.3.

由试验结果知，用B 配方生产的产品中优质品的频率为32＋10

100＝0.42，所以用B 配方生

产的产品的优质品率的估计值为0.42.

(2)用B 配方生产的100件产品中，其质量指标值落入区间[90,94)，[94,102)，[102,110]的频率分别为0.04,0.54,0.42，因此P (X ＝－2)＝0.04，P (X ＝2)＝0.54，P (X ＝4)＝0.42，

即X 的分布列为

X 的数学期望EX ＝－2×0.04＋2×0.54＋4×0.42＝2.68.

23．（2012新课标全国，5分）某一部件由三个电子元件按如图方式连接而成，元件1或元件2正常工作，且元件3正常工作，则部件正常工作．设三个电子元件的使用寿命(单位：小时)均服从正态分布N (1 000,502)，且各个元件能否正常工作相互独立，那么该部件的使用寿命超过1 000小时的概率为________．

解析：依题意，部件正常工作就是该部件使用寿命超过1 000小时，元件正常工作的概率为0.5，则部件正常工作的概率为12×[12×12＋12×(1－12)＋(1－12)×12]＝38

.

答案：3

8