2015年秋九年级数学上册 24 解直角三角形复习教案 (新版)华东师大版

解直角三角形

【知识与技能】

1.通过复习，使学生系统地掌握本章知识，熟练应用三角函数进行计算.

2.了解仰角、俯角、坡度等相关概念，掌握直角三角形的边与边、角与角、边与角的关系，能应用这些关系解决相关问题.

【过程与方法】

应用锐角三角函数的有关知识解决实际问题，进一步培养学生应用知识解决问题的能力.

【情感态度】

通过解直角三角形的复习，体会数学在解决实际问题中的作用，激发学生学习数学的热情.

【教学重点】

解直角三角形及其应用.

【教学难点】

解直角三角形及其应用.

一、知识结构框图，整体把握

二、释疑解惑，加深理解

1.直角三角形的边角关系：在Rt △ABC 中，

∠A+∠B=90°,a 2+b 2=c 2， sinA=cosB=a c

, cosA=sinB=

b c , tanA=a b ,tanB=b a

. 2.互余两角三角函数间的关系：

如∠A+∠B=90°,sinA=cosB，

cosA=sinB,tanA·tanB=1,

3.同角三角函数间的关系：

sin2A+cos2A=1.

4.特殊角的三角函数

5.解直角三角形的基本类型及其解法如下表：

解直角三角形注意：

（1）一些较复杂的解直角三角形的问题可以通过列方程或方程组的方法求解.

（2）解直角三角形的方法可概括为“有弦（斜边）用弦（正弦、余弦），无弦有切（正切），宁乘毋除，取原避中”.其意指：当已知或求解中有斜边时，可用正弦或余弦；无斜边时，就用正切；当所求元素既可用乘法又可用除法时，则用乘法，不用除法；既可由已知数据又可用中间数据来求解时，则取原始数据，忌用中间数据.

6.应用题解题步骤

度量工具、工程建筑、测量距离等方面应用题的解题步骤可概括为如下几步：

第一步，审清题意，要弄清仰角、俯角、坡度、坡角、水平距离、垂直距离、水平等概念的意义.

第二步，构造出要求解的直角三角形，对于非直角三角形的图形可作适当的辅助线把它们分割成一些直角三角形和矩形（包括正方形）.

第三步，选择合适的边角关系式，使运算尽可能简便，不易出错.

第四步，按照题目中已知数的精确度进行近似计算，并按照题目要求的精确度确定答案及注明单位.

三、典例精析，复习新知

例1（内蒙古呼和浩特中考）如图，A 、B 两地之间有一座

山，汽车原来从A 地到B 地经过C 地沿折线A →C →B 行驶，现

开通隧道后，汽车直接沿直线AB 行驶.已知AC=10千米，∠

A=30°,∠B=45°，则隧道开通后，汽车从A 地到B 地比原来少走多少千米？（结果保留根号）

例2（湖南娄底中考）2013年3月，某煤矿发生瓦斯爆炸，该

地救援队立即赶赴现场救援，救援队利用生命探测仪在地面A 、B 两

处探测到C 处有生命迹象.已知A 、B 两点相距4米，探测线与地面

的夹角分别是30°和45°（如图），试确定生命所在点C 的深度.（精确到0.1米，参考数

1.732）

解：过点C 作CD ⊥AB 于点D.

设CD=xm.在Rt △CBD 中，

∵∠CBD=45°,∠D=90°,

∴BD=CD=xm.

在Rt △ACD 中，∵tan ∠CAD 4

CD x AD x ==+,

∵∠CAD=30°,4

x x =+.

解得≈5.5.

答：生命所在点C 的深度约是5.5m.

四、复习训练，巩固提高

1.（江苏连云港中考）在Rt△ABC中，∠C=90°,若sinA=513，则cosA的值是（）

A.5/12

B.8/13

C.2/3

D.12/13

2.（广东深圳中考）如图，已知l1∥l2∥l3，相邻两条平行直线间的距离相等，若等腰直角△ABC的三个顶点分别在这三条平行直线上，则sinα的值是（）

第2题图第3题图

3.（湖北荆门中考）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°,D是AB的中点，过D点作AB 的垂线交AC于点E，BC=6,sinA=3/5,则DE=_______.

4.如图，某校一幢教学大楼的顶部竖有一块“传承文明，启智

求真”的宣传牌CD,小明在山坡的坡角A处测得宣传牌底部D的仰

角为60°，沿山坡向上走到B处测得宣传牌顶点C的仰角为45°，

已知山坡AB的坡度i=1AB=10米，AE=15米，求这块宣传

牌CD的高度.（测角器的高度忽略不计，结果精确到0.1米，参考

数据 1.732）

【答案】1.D 2.D 3.15/4 4.2.7米

五、师生互动，课堂小结

本节课你学到了哪些知识？还有哪些知识没有掌握？

1.布置作业：从教材本章“复习题”中选取.

2.完成练习册中本课时练习.

本节课通过学习归纳本章内容，让学生系统掌握锐角三角函数的有关知识，熟练应用三角函数的有关知识解决实际问题，进一步培养学生应用知识的能力，在解决问题时，注意方程思想、构造直角三角形思想的应用.

青岛版九年级数学上册《解直角三角形》教案

《解直角三角形》教案课题解直角三角形备课人课型新授课课时 2 教学目标知识与能力会通过添加辅助线，把解非直角三角形的问题转化为解直角三角形的问题。过程与方法通过解直角三角形提高学生的分析问题和解决问题的能力情感态度价值观感受数形结合在解题中的作用课标要求能用锐角三角函数解直角三角形重点辅助线的做法难点做辅助线教法自主探究合作交流教具学具三角板教学程序教师活动学生活动

激情导入认定目标 1.在直角三角形中，由已知的———————————————————，求出另一些————的过程，叫做解直角三角形. 2.直角三角形中元素之间的关系（1）.两锐角之间的关系（2）.三边之间的关系（3）.边角之间的关系 3.如果知道直角三角形的几个元素就可以求其他的元素？有几种情况？出示学习目标自学导航 1、求下列各直角三角形中字母的值学生回顾口答一生口述目标，其余生静听、领会快速利用解直角三角形的方法解决1题（第5题）

自主探究激 2、例1在△ABC中,已知∠A﹦60°, ∠B﹦45°,AC﹦20厘米,求AB 的长思考（1）、?ABC不是直角三角形怎么办？（2）、如果转化成直角三角形过那个顶点做垂线可以解决问题？ 3、例2、△ABC中，∠A=30°，∠ ABC=135°，BC=2，求AC的长？思考（1）、?ABC如何在不改变已知角的情况下转化成直角三角形？指导生互动交流，解决生自学中的困惑问题点评：1、把解非直角三角形的问题转化为解直角三角形时添加辅助线一般保持原量不变。 1、自学导航2题思考探究2、3中如何解决试写出解答过程标出困惑之处组内交流自学导航中的困惑问题，全组达成一致意见。有困惑的组由科代表提出本组困惑问题，寻求其他组帮助，各组选派代表说明如何把解非直角三角形的问题转化为解直角三角形、添加辅助线的依据是什么？师生互动 1题3号生板演完成 2题2号生板演完成 1号生点评、互改各组针对出现问题

九年级数学下册第三章圆3.1圆教案(新版)北师大版

、教学目标 1. 知道圆的有关定义及表示方法 . 2. 掌握点和圆的位置关系 . 3. 会根据要求画出图形 . 二、课时安排 1 课时三、教学重点点和圆的位置关系 . 四、教学难点点和圆的位置关系 . 五、教学过程（一）导入新课生活中关于圆的图形展示，引导学生认识圆并谈谈对圆的理解：（二）讲授新课活动 1：小组合作 3.1 圆观察车轮，你发现了什么？车轮为什么做成圆

车轮做成三角形、正方形可以吗？探究 1：（1）如图， A，B 表示车轮边缘上的两点，点离与 B， O之间的距离有什么关系？（ 2）C 表示车轮边缘上的任意一点，要使车轮能够平稳地滚动， C，O之间的距离与 A， O之间的距离应满足什么关系？明确：车轮边缘上任意两点到轴心的距离都相等 , 任意一点到轴心的距离是一个定值 . 圆上的点到圆心的距离是一个定值 . 探究 2：投圈游戏一些学生正在做投圈游戏 , 他们呈“一”字排开 , 这样的队形对每个人公平吗 ?你认为他们应当排成什么样的队形 ? 为了使投圈游戏公平 , 现在有一条 3 米长的绳子 , 你准备怎么办 ? 定义：平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆，其中定点称为圆心，定长称为半径 . 注意： 1. 从圆的定义可知 : 圆是指圆周而不是圆面 O表示车轮的轴心， A，O 之间的距

2. 确定圆的要素是：圆心、半径圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小，确定一个圆，两者缺一不可 . 以点 O为圆心的圆记作：⊙ O，读作：“圆 O”. 探究 3：圆的有关性质战国时期的《墨经》一书中记载：“圜，一中同长也”.古代的圜（ huán）即圆，这句话是圆的定义，它的意思是：圆是从中心到周界各点有相同长度的图形 . 提问：如果一个点到圆心距离小于半径 , 那么这个点在哪里呢 ?大于圆的半径呢 ?反过来呢? 试根据圆的定义填空： 1.圆上各点到 ___________ 的距离都等于______________ . 2.到定点的距离等于定长的点都在 ____ . 探究 4：点与圆的位置关系如图，设⊙O 的半径为 r，A点在圆内， B点在圆上， C点在圆外，那么 OAr．结论：点的位置可以确定该点到圆心的距离与半径的关系，反过来，已知点到圆心的距离与半径的关系也可以确定该点与圆的位置关系 . 1.画图：已知 Rt△ABC，AB

人教版九年级数学下册教学设计(优秀)

第二十六章反比例函数 26.1 反比例函数 26.1.1 反比例函数 1．理解反比例函数的概念；(难点) 2．能判断一个给定的函数是否为反比例函数，并会用待定系数法求解析式；(重点) 3．能根据实际问题中的条件建立反比例函数模型．(重点) 一、情境导入 1．京广高铁全程为2298km，某次列车的平均速度v(单位：km/h)与此次列车的全程运行时间t(单位：h)有什么样的等量关系？ 2．冷冻一个物体，使它的温度从20℃下降到零下100℃，每分钟平均变化的温度T(单位：℃)与冷冻时间t(单位：min)有什么样的等量关系？问题：这些关系式有什么共同点？二、合作探究探究点一：反比例函数的定义【类型一】反比例函数的识别下列函数中：①y＝ 3 2x；②3xy＝1；③y＝ 1－2 x；④y＝ x 2.反比例函数有() A．1个B．2个C．3个D．4个解析：①y＝ 3 2x是反比例函数，正确；②3xy＝1可化为y＝ 1 3x，是反比例函数，正确； ③y＝ 1－2 x是反比例函数，正确；④y＝ x 2是正比例函数，错误．故选C. 方法总结：判断一个函数是否是反比例函数，首先要看两个变量是否具有反比例关系，然后根据反比例函数的定义去判断，其形式为y＝ k x(k为常数，k≠0)，y＝kx －1(k为常数，k ≠0)或xy＝k(k为常数，k≠0)．变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第3题【类型二】根据反比例函数的定义确定字母的值已知函数y＝(2m2＋m－1)x2m2＋3m－3是反比例函数，求m的值．解析：由反比例函数的定义可得2m2＋3m－3＝－1，2m2＋m－1≠0，然后求解即可．

华东师大版数学九年级上册教案

23.1 一元二次方程教学目标： 1、知道一元二次方程的定义，能熟练地把一元二次方程整理成一般形式02 =++c bx ax （a ≠0）2、在分析、揭示实际问题的数量关系并把实际问题转化为数学模型（一元二次方程）的过程中使学生感受方程是刻画现实世界数量关系的工具，增加对一元二次方程的感性认识。3、会用试验的方法估计一元二次方程的解。重点难点： 1．一元二次方程的意义及一般形式，会正确识别一般式中的“项”及“系数”。 2．理解用试验的方法估计一元二次方程的解的合理性。教学过程：一做一做： 1．问题一绿苑小区住宅设计，准备在每两幢楼房之间，开辟面积为900平方米的一块长方形绿地，并且长比宽多10米，那么绿地的长和宽各为多少？分析：设长方形绿地的宽为x 米，不难列出方程 x(x ＋10)＝900 整理可得 x 2＋10x －900=0. （1） 2．问题2 学校图书馆去年年底有图书5万册，预计到明年年底增加到7.2万册.求这两年的年平均增长率. 解：设这两年的年平均增长率为x ，我们知道，去年年底的图书数是5万册，则今年年底的图书数是5（1＋x ）万册；同样，明年年底的图书数又是今年年底的（1＋x ）倍，即5（1＋x ）(1＋x)＝5(1＋x)2万册.可列得方程 5（1＋x ）2=7.2, 整理可得 5x 2＋10x －2.2=0. （2） 3．思考、讨论这样，问题1和问题2分别归结为解方程（1）和（2）.显然，这两个方程都不是一元一次方程.那么这两个方程与一元一次方程的区别在哪里？它们有什么共同特点呢？（学生分组讨论，然后各组交流）共同特点：（1）都是整式方程（2）只含有一个未知数（3）未知数的最高次数是2 二、一元二次方程的概念上述两个整式方程中都只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2，这样的方程叫做一元二次方程）.通常可写成如下的一般形式： ax 2＋bx ＋c ＝0(a 、b 、c 是已知数，a ≠0)。其中2 ax 叫做二次项，a 叫做二次项系数；bx 叫做一次项，b 叫做一次项系数，c 叫做常数项。.

北师大版九年级数学上册教案：第三章概率的进一步认识复习

本章复习【知识与技能】回顾本章内容，用所学的概率知识去解决某些现实问题，再归纳和总结试验频率与理论概率的关系. 【过程与方法】学会与人合作，进一步发展学生合作交流的意识和能力.[来源:https://www.360docs.net/doc/638236904.html,] 【情感态度】形成解决问题的一些策略，体验解决问题的多样性，发展实践能力和创新精神. 【教学重点】用所学的概率知识去解决某些现实问题. 【教学难点】用所学的概率知识去解决某些现实问题. 一、知识结构【教学说明】通过回顾知识点，使学生掌握各知识点之间的联系. 二、释疑解惑，加深理解 1.用树状图或表格求概率. 回顾：用树状图或表格求概率时应注意什么情况？ 2.用频率估计概率. 如何用频率估计概率？【教学说明】让学生通过知识性内容的小结，了解本章所学内容，如何用所学知识解决实际问题.

三、典例精析，复习新知 1.十字路口的交通信号灯每分钟红灯亮30秒，绿灯亮25秒，黄灯亮5秒．当你抬头看信号灯时，是黄灯的概率是（） A.1/3 B.5/12 C.1/12 D.1/2 解析：让黄灯亮的时间处于总时间即为抬头看信号灯时，是黄灯的概率.每分钟红灯亮30秒，绿灯亮25秒，黄灯亮5秒共60秒，所以是黄灯的概率是5/60=1/12.故选C. 解答：C 2.以下说法合理的是（） A.小明在10次抛图钉的试验中发现有3次钉尖朝上，由此他说钉尖朝上的概率是30% B.抛掷一枚普通的正方体骰子，出现6的概率是1/6的意思是每6次就有1次掷得6 C.某彩票的中奖机会是2%，那么如果买100张彩票一定有2张中奖 D.在一次课堂上进行的试验中，甲、乙两组同学估计硬币落地后，正面朝上的概率分别为0.48和0.51 解析：概率是反映事件发生机会的大小的概念，只是表示发生的机会的大小，机会大也不一定发生.A选项，10次抛图钉的试验太少，错误；B选项，概率是反映事件发生机会的大小的概念，机会大也不一定发生，错误；C选项，概率是反映事件发生机会的大小的概念，机会大也不一定发生，错误；D选项，根据概率的统计定义，可知正确. 解答：D[来源学优高考网] 3.如图，图中的两个转盘分别被均匀地分成5个和4个扇形，每个扇形上都标有数字，同时自由转动两个转盘，转盘停止后，指针都落在奇数上的概率是（） A.2/5 B.3/10 C.3/20 D.1/5 解析：列举出所有情况，看转盘停止后，指针都落在奇数上的情况数占总情

华东师大版九年级数学中考复习模拟试题

华东师大版九年级数学中考复习模拟试题一、填空题（20102=?） 1、1-2的相反数是，绝对值是，倒数是。 2、因式分解=-+-++121232826m m m x x x 。 3、桌上摆着一个由正方体木块组成，主视图如A 所示，左视图如B 所示，这个几何体最多有块木块，最少有块木块。 4、一幢大楼有三个楼梯，4个人从楼上下来，4个人同走一个楼梯的概率是。 5、已知点)3,(-a P 与O(2,b)关于原点对称，则a= ,b= . 6、已知函数x k y = 与8+-=x y 有两个不同的交点，则k 的取值范围为。 7、关于x 的方程(n-1)x n-1-2x n+1 +n=0是一元二次方程，则n= . 8、已知半径分别9CM 为3CM 和的两圆外切，那么它们的外公切线的中点到两圆切点的离是。 9、如图AB=8CM ，BC=7CM ，AC=6CM ，BE=CE ，那么CD= 。 10、如图，矩形ABCD 的顶点A 在坐标原点，AB ，AD 分别在X 轴，Y 轴的正半轴上，点B 的坐标为（1，0），点D 的坐标为)3,0(，当此矩形绕点B 旋转到如图 A ’B’C’D’位置时C’的坐标为 . 二、选择题（20102=?） 11、在同一坐标系中，若直线x k y 1=与双曲线x k y 2=没有交点，那么一定满足（） A B B C E D （9） A D B O A’ C’ D’ C (10) X Y

A 0 ,021<>k K B 0,021>K K D 021

青岛版九年级解直角三角形测试题

初中数学解直角三角形测试题一. 选择题：（每小题2分，共20分） 1. 在△EFG 中，∠G=90°，EG=6，EF=10，则cotE=（） A. 43 B. 34 C. 53 D. 35 2. 在△ABC 中，∠A=105°，∠B=45°，tanC 的值是（） A. 21 B. 33 C. 1 D. 3. 在△ABC 中，若22cos = A ，3tan = B ，则这个三角形一定是（） A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 等腰三角形 4. 如图18，在△EFG 中，∠EFG=90°，FH ⊥EG ，下面等式中，错误的是（） A.EG EF G =sin B. EF EH G =sin C. FG GH G =sin D. FG FH G =sin 5. sin65°与cos26°之间的关系为（） A. sin65°cos26° C. sin65°=cos26° D. sin65°+cos26°=1 6. 已知30°<α<60°，下列各式正确的是（） A. B. C. D. 7. 在△ABC 中，∠C=90°，5 2sin =A ，则sinB 的值是（） A. B. C. D. 8. 若平行四边形相邻两边的长分别为10和15，它们的夹角为60°，则平行四边形的面积是（）米2 A. 150 B. C. 9 D. 7 9. 如图19，铁路路基横断面为一个等腰梯形，若腰的坡度为i= 2∶3，顶宽是3米，路基高是4米，则路基的下底宽是（） A. 7米 B. 9米 C. 12米 D. 15米 10. 如图20，两条宽度都为1的纸条，交叉重叠放在一起，且它们的交角为α，则它们重叠部分（图中阻影部分）的面积为（） A. αsin 1 B. αcos 1 C. αsin D. 1 二. 填空题：（每小题2分，共10分） 11. 已知0°<α<90°，当α=__________时，2 1sin =α ，当α=__________时，。 12. 若，则锐角α=__________。

人教版九年级数学上册全册教案

(此文档为word格式，下载后您可任意编辑修改！) 数学教案（七年级上册）第1章有理数第2章整式的加减第3章一元一次方程第4章图形认识初步第一章有理数 1.1正数和负数教学目标： 1、了解正数与负数是从实际需要中产生的。 2、能正确判断一个数是正数还是负数，明确0既不是正数也不是负数。 3、会用正、负数表示实际问题中具有相反意义的量。重点：正、负数的概念重点：负数的概念、正确区分两种不同意义的量。 2、正数和负数教师：如何来表示具有相反意义的量呢？我们现在来解决问题4提出的问题。结论：零下5℃用－5℃来表示，零上5℃用5℃来表示。为了用数表示具有相反意义的量，我们把其中一种意义的量。如零上、向东、收入和高于等规定为正的，而把与它相反的量规定为负的。正的用小学学过的数（0除外）表示，负的用小学学过的数（0除外）在前面加上“－”（读作负）号来表示。根据需要，有时在正数前面也加上“+”（读作正）号。注意：①数0既不是正数，也不是负数。0不仅仅表示没有，也可以表示一个确定的量，如温度计中的0℃不是没有表示没有温度，它通常表示水结成冰时的温度。②正数、负数的“+”“－”的符号是表示量的性质相反，这种符号叫做性质符号。

三、巩固知识 1、课本P3 练习 2、课本P4例义。四、总结 ①什么是具有相反意义的量？②什么是正数，什么是负数？③引入负数后，0的意义是什么？五、布置作业课本P5习题1.1第1、2题。 1.2.1有理数教学目标： 1、正确理解有理数的概念及分类，能够准确区分正整数、0、负整数、正分数、负分数。 2、掌握有理数的分类方法，会对有理数进行分类，体验分类是数学上常用的处理问题的方法。重点：正确理解有理数的概念重点：有理数的分类教学过程：一、知识回顾，导入新课什么是正数，什么是负数？问题1：学习了负数之后，我们对数的认识范围扩大了，你能写出三个不同类型的数吗？（请三位同学上黑板上写出，其他同学在自己的练习本上写出，如果有出现不同类型的数，同学们可上黑板补充。）问题2：观察黑板上的这么数，并给它们分类。先让学生独立思考，接着讨论和交流分类的情况，得出数的类型有5类：正整数、0、负整数、正分数、负分数。二、讲授新课 1、有理数的定义引导学生对前面的数进行概括，得出：正整数、零、负整数统称为整数；正分数和负分数统称分数。整数可以看作分母为1的分数，正整数、零、负整数、正分数和负分数都可以写成分数的形式，这样的数称为有理数，即整数和分数统称有理数。 2、有理数的分类让学生在总结出5类数基础上，进行概括，尝试进行分类，通过交流和讨论，再加上老师适当的指导，逐步得出下面的两种分类方式。（1）按定义分类：（2）按性质分类：

华师大版九年级数学上册全册教案

第22章一元二次方程 22.1 一元二次方程【知识与技能】 1.知道一元二次方程的意义，能熟练地把一元二次方程整理成一般形式ax2+bx+c=0（a≠0）. 2.在分析、揭示实际问题的数量关系并把实际问题转化为数学模型（一元二次方程）的过程中，使学生感受方程是刻画现实世界数量关系的工具，增加对一元二次方程的感性认识. 【过程与方法】通过解决实际问题，把实际问题转化为数学模型，引入一元二次方程的概念，让学生认识一元二次方程及其相关概念，提高学生利用方程思想解决实际问题的能力. 【情感态度】通过生活学习数学，并用数学解决生活中的问题来激发学生的学习热情. 【教学重点】判定一个数是否是方程的根. 【教学难点】由实际问题列出的一元二次方程解出根后，还要考虑这些根是否确定是实际问题的根.

一、情境导入，初步认识问题1 绿苑小区住宅设计，准备在每两幢楼房之间，开辟面积为900平方米的一块长方形绿地，并且长比宽多10米，那么绿地的长和宽各为多少？【分析】设长方形绿地的宽为x米，不难列出方程x（x+10）=900，整理可得x2+10x-900=0.（1）问题2 学校图书馆去年年底有图书5万册，预计到明年年底增加到7.2万册.求这两年的年平均增长率. 解：设这两年的年平均增长率为x，我们知道，去年年底的图书数是5万册，则今年年底的图书数是5（1+x）万册，同样，明年年底的图书数又是今年年底的（1+x）倍，即5（1+x）·（1+x）=5（1+x）2万册.可列得方程5 （1+x）2=7.2，整理可得5x2+10x-2.2=0（2）【教学说明】教师引导学生列出方程，解决问题. 二、思考探究，获取新知思考、讨论问题1和问题2分别归结为解方程（1）和（2）.显然，这两个方程都不是一元二次方程.那么这两个方程与一元二次方程的区别在哪里？它们有什么共同特点呢？共同特点：（1）都是整式方程（2）只含有一个未知数（3）未知数的最高次数是2 【归纳总结】上述两个整式方程中都只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2，这样的方程叫做一元二次方程.通常可写成如下的一般形式：

人教版九年级数学下册：全套教案

第二十六章二次函数 [本章知识要点] 1．探索具体问题中的数量关系和变化规律． 2．结合具体情境体会二次函数作为一种数学模型的意义，并了解二次函数的有关概念． 3．会用描点法画出二次函数的图象，能通过图象和关系式认识二次函数的性质． 4．会运用配方法确定二次函数图象的顶点、开口方向和对称轴． 5．会利用二次函数的图象求一元二次方程（组）的近似解． 6．会通过对现实情境的分析，确定二次函数的表达式，并能运用二次函数及其性质解决简单的实际问题． 26．1 二次函数 [本课知识要点] 通过具体问题引入二次函数的概念，在解决问题的过程中体会二次函数的意义． [MM 及创新思维] （1）正方形边长为a （cm ），它的面积s （cm 2）是多少？（2）矩形的长是4厘米，宽是3厘米，如果将其长与宽都增加x 厘米，则面积增加y 平方厘米，试写出y 与x 的关系式．请观察上面列出的两个式子，它们是不是函数？为什么？如果是函数，请你结合学习一次函数概念的经验，给它下个定义． [实践与探索] 例1． m 取哪些值时，函数)1()(2 2 +++-=m mx x m m y 是以x 为自变量的二次函数？分析若函数)1()(22 +++-=m mx x m m y 是二次函数，须满足的条件是： 02≠-m m ．解若函数)1()(2 2 +++-=m mx x m m y 是二次函数，则 02 ≠-m m ．解得 0≠m ，且1≠m ．因此，当0≠m ，且1≠m 时，函数)1()(2 2 +++-=m mx x m m y 是二次函数．回顾与反思形如c bx ax y ++=2 的函数只有在0≠a 的条件下才是二次函数．探索若函数)1()(22 +++-=m mx x m m y 是以x 为自变量的一次函数，则m 取哪些

九年级上学期-数学-知识点总结(华东师大版)

? ? ? ? 华师大版九年级上册数学知识点总结第21 章二次根式 1.二次根式的概念：形如的式子叫做二次根式． 2.二次根式的性质： ?(a > 0)（1）( a ) 2 =（a≥0）；（2） 0)；（3） 3.二次根式的乘除： a 2 = = ? (a = 0) ?(a < 0) ?= (a ≥0,b≥0) 计算公式：? ? ? = (a ≥0,b>0) 4.概念：?1.最简二次根式：(1) (2) (3) ? 2.同类二次根式： 5.二次根式的加减：(一化，二找，三合并) （1）将每个二次根式化为最简二次根式；（2）找出其中的同类二次根式；（3）合并同类二次根式． 6.二次根式化简求值步骤：(1)“一分”：分解因数（因式）、平方数（式）；(2)“二移”：根据算术平方根的概念，把根号内的平方数或者平方式移到根号外面；(3)“三化”：化去被开方数中的分母． 7.二次根式的混合运算：（1）二次根式的混合运算顺序与实数运算类似，先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号先算括号里面的．（2）对于二次根式混合运算，原来学过的所有运算律、运算法则及乘法公式仍然适用．（3）在二次根式混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍． 1.一元二次方程：第22 章一元二次方程 1) 一元二次方程：含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2 的整式方程． 2) 一元二次方程的一般形式：ax2 +bx +c = 0(a ≠ 0) ．它的特征：等式左边是一个关于未知数x 的二次多项式，等式右边是零． ax 2 叫做二次项，a叫做二次项系数；bx 叫做一次项，b 叫做一次项系数；c叫做常数项．2.一元二次方程的解法： 1) 直接开平方法：利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法．直接开平方法适用于解形如(x +a)2 =b 的一元二次方程．根据平方根的定义可知，x +a 是b 的平方根，当b ≥0时，x +a =± b ，x =-a ± b ，当b<0 时，方程没有实数根． 2) 配方法：配方法的理论根据是完全平方公式a2 ± 2ab +b2 = (a +b)2 ，把公式中的a 看做未知数x，并用x 代替，则有x2 ± 2bx +b2 = (x ±b)2 ．

青岛版九年级数学上册《解直角三角形的应用》教案

《解直角三角形的应用》教案教学目标 1．使学生了解仰角、俯角、方位角、坡角的概念． 2．逐步培养学生分析问题、解决问题的能力；渗透数形结合的数学思想和方法． 3．巩固用三角函数有关知识解决问题，学会解决方位角问题．学习重点将某些实际问题中的数量关系，归结为直角三角形元素之间的关系，从而利用所学知识把实际问题解决．教学难点学会准确分析问题并将实际问题转化成数学模型．教学过程一、寻疑之自主学习 1．仰角：如图1，从低处观察高处时，视线与水平线所成的锐角叫做仰角． 2．俯角：如图1，从高处观察低处时，视线与水平线所成的锐角叫做俯角． 3．方向角：如图2，点A位于点O的北偏西30°方向；点B位于点O的南偏东60°方向．图1 图2 4．坡角：如图，坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作α 5．坡度：如图，坡面的铅垂高度h与水平宽度l的比叫做坡度，用i表示，即i＝tanα ＝h l．

二、解惑之例题解析例1如图2-14（课本第54页），一架飞机执行海上搜救任务，在空中A处发现海面上有一目标B，仪器显示这时飞机的高度为1.5km，飞机距目标4.5km.求飞机在A处观测目标B的俯角（精确到1'）. 例2 2003年10月15日“神舟”5号载人航天飞船发射成功．当飞船完成变轨后，就在离地球表面350 km的圆形轨道上运行．如图，当飞船运行到地球表面上P点的正上方时，从飞船上最远能直接看到地球上的点在什么位置？这样的最远点与P点的距离是多少？（地球半径约为6 400km，结果精确到0.1km） O Q F P α

解：在图中，FQ 是⊙O 的切线，△FOQ 是直角三角形． 6400cos 0.956400350 OQ OF ==≈+α 18α∴≈ ∴ PQ 的长为 186400 3.146402009.6180 π≈××= 答：当飞船在P 点正上方时，从飞船观测地球时的最远点距离P 点约2009.6km 解析：从飞船上能最远直接看到的地球上的点，应是视线与地球相切时的切点．例3 热气球的探测器显示，从热气球看一栋高楼顶部的仰角为30°，看这栋高楼底部的俯角为60°，热气球与高楼的水平距离为120m ，这栋高楼有多高（结果精确到0.1m ）解析： Rt △ABC 中，α =30°，AD ＝120，所以利用解直角三角形的知识求出BD ；类似地可以求出CD ，进而求出BC ．解：如图，α= 30°，β= 60°， AD ＝120． tan ,tan BD CD AD AD αβ== tan 120tan 30BD AD α∴=?=? 120== tan 120tan 60CD AD β=?= ? 120=?= BC BD CD ∴=+=+ 277.1=≈ A B C D α β

华东师范大学出版社九年级上册数学知识点总结

华师大版九年级上册数学知识点总结第21章二次根式 1. 二次根式的概念：形如的式子叫做二次根式． 2. 二次根式的性质：（1）=2)( a （a ≥0）；（2 ；（3） ?? ? ??<=>==)0___()0___() 0___(____2a a a a 3. 二次根式的乘除：计算公式：___(0,0) ___(0,0) a b a b ?=≥≥??=≥>?? 4. 概念： 1.2.?? ?最简二次根式：(1) (2) (3) 同类二次根式： 5. 二次根式的加减：(一化，二找，三合并 ) （1）将每个二次根式化为最简二次根式；（2）找出其中的同类二次根式；（3）合并同类二次根式． 6. 二次根式化简求值步骤：(1)“一分”：分解因数（因式）、平方数（式）；(2)“二移”：根据算术平方根的概念，把根号内的平方数或者平方式移到根号外面；(3)“三化”：化去被开方数中的分母． 7. 二次根式的混合运算：（1）二次根式的混合运算顺序与实数运算类似，先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号先算括号里面的．（2）对于二次根式混合运算，原来学过的所有运算律、运算法则及乘法公式仍然适用．（3）在二次根式混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．第22章一元二次方程 1. 一元二次方程： 1) 一元二次方程：含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整

式方程． 2) 一元二次方程的一般形式：)0(02≠=++a c bx ax ．它的特征：等式左边是一个关于未知数x 的二次多项式，等式右边是零． 2ax 叫做二次项，a 叫做二次项系数；bx 叫做一次项，b 叫做一次项系数；c 叫做常数项． 2. 一元二次方程的解法： 1) 直接开平方法：利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法．直接开平方法适用于解形如b a x =+2)(的一元二次方程．根据平方根的定义可知，a x +是b 的平方根，当0≥b 时，b a x ±=+， b a x ±-=，当b <0时，方程没有实数根． 2) 配方法：配方法的理论根据是完全平方公式22 2)(2b a b ab a +=+±，把公式中的a 看做未知数x ，并用x 代替，则有22 2)(2b x b bx x ±=+±．配方法的步骤：先把常数项移到方程的右边，再把二次项的系数化为1，再同时加上1次项的系数的一半的平方，最后配成完全平方公式． 3) 公式法：公式法是用求根公式解一元二次方程的解的方法．一元二次方程 ) 0(02≠=++a c bx ax 的求根公式： )04(2422≥--±-=ac b a ac b b x 4) 因式分解法：因式分解法就是利用因式分解的手段，求出方程的解的方法．分解因式法的步骤：把方程右边化为0，然后看看是否能用提取公因式，公式法（这里指的是分解因式中的公式法）或十字相乘，如果可以，就可以化为乘积的形式． 3. 一元二次方程根的判别式：一元二次方程 ) 0(02≠=++a c bx ax 中， ac b 42-叫做一元二次方程 )0(02≠=++a c bx ax 的根的判别式，通常用“?”来表示，即ac b 42-=?． 1) 当△>0时，一元二次方程有2个不相等的实数根；

青岛版九年级上册数学《解直角三角形》

《解直角三角形》（第1课时）教案探究版教学目标知识与技能 1．掌握直角三角形中角与角（两锐角互余）、边与边（勾股定理）、角与边（锐角三角比）之间的关系． 2．已知直角三角形的两个元素（至少一个是边），会解直角三角形．过程与方法通过综合运用勾股定理，直角三角形的两个锐角互余及锐角三角比解直角三角形，逐步培养学生分析问题、解决问题的能力．情感与态度渗透数形结合的数学思想，培养学生综合运用知识的能力和良好的学习习惯．教学重点直角三角形的解法．教学难点锐角三角比在解直角三角形中的灵活运用．教学过程一、情景导入教师用多媒体出示：如图，在Rt △ABC 中，∠C =90°， C B A （1）若AC =h ，BC =l ，你能求出AB 及∠B 吗？（2）若AC =h ，∠B =α，你能求出AB 及BC 吗？师生活动：师出示问题后，让学生分组讨论尝试求解．师在学生充分讨论后，给出结论：（1）AB sin ∠B =AC AB =再利用计算器即可求出∠B ；（2）AB = sin sin AC h αα=，BC =tan tan AC h αα = ．

设计意图：通过具体的问题，引发学生解直角三角形的思考，为引出本节课的内容做好铺垫．二、探究新知观察与思考（1）在Rt △ABC 中（如图所示），∠C =90°，∠A ，∠B ，∠C 的对边分别是a ，b ，c ．除直角C 已知外，你会用含有这些字母的等式把其他5个元素之间的关系表示出来吗？与同学交流． c a C B A 师生活动：教师引导学生观察示意图，启发学生利用三角比的知识把除∠C 之外的5个元素之间的关系表示出来．最后把学生说出的等式按“角”、“边”、“角与边”加以分类，并进行总结．师总结如下： ①角之间的关系：∠A +∠B =90°； ②边之间的关系：222a b c +=； ③角与边之间的关系：sin A = a c ，cos A = b c ，tan A =a b ．（2）观察上面的三组等式，你发现在直角三角形中，除直角以外，至少知道几个元素就可以求出其他的未知元素？师生活动：教师应引导学生通过思考和交流，理解在直角三角形中，除直角外知道其中的两个元素（至少一个是边），就可以求出其他三个未知元素，由此引出解直角三角形的概念．在讲解“除直角外知道其中的两个元素（至少一个是边），就可以求出其他三个未知元素”时师可让学生仔细观察②③两组等式，并重点讲解：（1）在②③两组等式中，每个等式中都含有三个量．如果已知其中的两个量，则第三个量可由相应的等式求出，其中②中，三个量都是边，③中的三个量有一个是角，另外两个是边，因而在已知的两个元素中，至少有一个元素是边．“至少有一个”的含义是或者其中一个元素是边，或者两个元素都是边，因此，解直角三角形问题可分为两类：已知两边（两

北师大版数学九年级下册第三章圆教学案

课题：圆【学习目标】 1、理解圆的描述定头，了解圆的集合定义. 2、经历探索点与圆的位置关系的过程，以及如何确定点和圆的三种位置关系【重点难点】重点：会确定点和圆的位置关系.。难点：初步渗透数形结合和转化的数学思想，并逐步学会用数学的眼光和运动、集合的观点去认识世界、解决问题. 【学法指导】自主探究、认真完成教学案的问题，并把自己的疑问写出来，最后小组交流并解决。【自主学习】（自学课本P65---P67思考下列问题） 1、举例说出生活中的圆。 2、车轮为什么做成圆形

3、你是怎样画圆的你能讲出形成圆的方法有多少种吗【合作探究】（由自主学习第四题归纳总结下列概念） 1圆的集合定义（集合的观点） 2、圆的运动定义：_____________________________________________ （运动的观点）圆心：----------------------------- 半径：_____________________________ 3、圆的表示方法：以点O为圆心的圆，记作“ ____________________ ”，读作 a ” 4、同时从圆的定义中归纳：（1）圆上各点到_____________ （圆心）的距离都等于_______ 半径）；（2）到定点的距离等于_____________ 的点都在同一个圆上.

弧^i ; 弧的表示半圆 -------------------------- ；等圆等弧^τζ ----------------------- 优弧: 劣弧: ------------------------- ； 6、点和圆的位置关系：在平面内任意取一点P, 置关系若C)O 的半径为r, 点P 到圆心0的距离为d,那么: <=> 点P 在圆【训练案】的距离都等于2cm 的所有点组成的图形；(2)到点A 和点B 的距离都点与圆有哪几种位 <=> 点P 在圆 1、设AB 二3cm,作图说明满足下列要求的图形: (1)到点A 和点B P