山西省运城市康杰中学2018届高考数学模拟试题一理 精

康杰中学2017—2018高考数学（理）模拟题（一）

【满分150分，考试时间为120分钟】

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知集合{}{}

22,1,0,2,3,|1,A B y y x x A =--==-∈，则A B 中元素的个数是

A.2

B.3

C.4

D.5

2．i 是虚数单位，复数()z a i a R =+∈满足i z z 312

-=+，则z =

2或55

3．设向量a 与b 的夹角为θ，且)1,2(-=a ，)3,2(2=+b a ，则θcos ＝

A. 35-

B.35

C.55

- 4．已知1tan 2θ=

，则tan 24πθ??

-= ???

A.7

B.7-

C.

1

7

D.17

-

5．《九章算术》中，将底面是直角三角形的直三棱柱称之为“堑堵”，已知某“堑堵”的三视图如图所示，则该“堑堵”的表面积为 A. 4

B. 6+

C. 4+

D. 2

6．已知数列{}{},n n a b 满足1n n n b a a +=+，则“数列{}n a 为等差数列”是“数列{}n b 为等差数列”的

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充分必要条件

D.即不充分也不必要条件

7．执行如图所示的程序框图，则输出的a = A.1 B.1- C. 4- D.5

2

-

8．在()10

2x -展开式中，二项式系数的最大值为a ，含7x 项的系数为b ，则b a

= A.

80

21

B.

21

80

C.21

80

-

D.8021

-

9．设实数,x y 满足约束条件250403100x y x y x y --≤??

+-≤??+-≥?

，则22z x y =+的最小值为

B.10

C.8

D.5

10．现有一半球形原料，若通过切削将该原料加工成一正方体工件，则所得工件体积与原料体积之比的最大值为

11．已知O 为坐标原点，F 是双曲线()22

22:10,0x y a b a b

Γ-=>>的左焦点，B A ,分别为Γ

的左、右顶点，P 为Γ上一点，且x PF ⊥轴， 过点A 的直线l 与线段PF 交于点M ，与

y 轴交于点E ，直线BM 与y 轴交于点N ，若2OE ON =，则Γ的离心率为

A.3

B.2

C.

32 D.4

3

12．已知函数 ()()

2ln x x f x e e x -=++，则使得()()23f x f x >+ 成立的x 的取值范围是

A.()1,3-

B.()(),33,-∞-+∞

C.()3,3-

D.()

(),13,-∞-+∞

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13．曲线3y x =

与y =

所围成的封闭图形的面积为 .

14．已知{}n a 是等比数列，5371

,422

a a a =

+=，则7a = . 15．设21,F F 为椭圆)0(1:22

22>>=+b a b

y a x C 的左、右焦点，经过1F 的直线交椭圆C 于

B A ,两点，若AB F 2?是面积为34的等边三角形，则椭圆

C 的方程为 .

16．已知12,x x 是函数()2s i n 2

c o s 2f

x x x m

=+-在0,2π??

????

内的两个零点，则()12sin x x += .

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。 （一）必考题：共60分。

17.（12分）在ABC ?中,角C B A ,,所对的边分别为c b a ,,. 已知B b A c A b B A a cos 2cos sin cos cos 2

=--.

（I ）求B ；

（II ）若a b 7=，ABC ?的面积为32，求a .

18.（12分）在某校举行的航天知识竞赛中，参与竞赛的文科生与理科生人数之比为1:3，且成绩分布在[]40,100，分数在80以上（含80）的同学获奖. 按文理科用分层抽样的方法抽取200人的成绩作为样本，得到成绩的频率分布直方图（见下图）.

（I ）在答题卡上填写下面的22?列联表，能否有超过0095的把握认为“获奖与学生的文理科有关”？

（II ）将上述调査所得的频率视为概率，现从该校参与竞赛的学生中，任意抽取3名学生，记“获奖”学生人数为X ，求X 的分布列及数学期望.

附表及公式：)

)()()(()(2

2

d b c a d c b a bc ad n K ++++-=，其中d c b a n +++=

19.（12分）在四棱锥ABCD P -中，底面ABCD 是边长为2的菱形，60ABC ∠=?，

PB PC PD ==.

（I ）证明：⊥PA 平面ABCD ；

（II ）若2=PA ，求二面角A PD B --的余弦值.

20.（12分）已知抛物线()2:20C x py p =>，圆22:1O x y +=.

（I ）若抛物线C 的焦点F 在圆O 上，且A 为C 和圆O 的一个交点，求AF ； （II ）若直线l 与抛物线C 和圆O 分别相切于点N M ,，求MN 的最小值及相应p 的值.

21.（12分）已知函数x x x f ln )(=

，)12

(ln )(--

=ax

x x x g . （I ）求函数)(x f 的最大值；

（II ）当10,a e ??∈????

时，函数)],0(()(e x x g y ∈=有最小值，记()g x 的最小值为()h a ，

求函数()h a 的值域.

（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请用2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑。 22.[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）

在平面直角坐标系xOy 中，曲线1:4C x y +=，曲线21cos :(sin x C y θ

θθ=+??=?

为参数）

， 以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系． （I ）求曲线12,C C 的极坐标方程；

（II ）若射线)0(≥=ραθ与曲线12,C C 的公共点分别为,A B ，求

OB

OA

的最大值．

23.[选修4—5：不等式选讲]（10分） 已知函数()()10f x a x x a a =-+->. （I ）当2a =时，求不等式4)(≤x f 的解集；

（II ）如果对于任意实数x ，1)(≥x f 恒成立，求a 的取值范围．

康杰中学2018年数学（理）模拟试题（一）答案

1. B 【解析】当2x =±时，3y =；当1x =-时，0y =；当0x =时，1y =-；当3x =时，

8y =，所以{1,0,3,8}B =-，所以{1,0,3}A B =-，故选B.

2. C 【解析】因为222()1(21)13z z a i a i a a a i i +=+++=-+++=-，所以

211213

a a a ?-+=?

+=-?，解得2a =-

，所以|||2|z i =-+==，故选C. 3. A 【解析】因为(2)2(4,2)a b a b +-==，所以(2,1)b =，所以

3

cos 5||||5a b a b θ?=

==-?，故选A.

4．D 【解析】因为2

2122tan 42tan 211tan 31()2θθθ?

===--，所以tan tan 24tan(2)41tan tan 24

θθθ

π

-π-=π+＝

4

11347

13

-

=-+

，故选D. 5. B

【解析】由三视图知，该几何体是底面为斜边边长为2的等腰直角三角形、高为2的直三棱柱，所以该几何体的表面积为1

222262

?++?

=+ B. 6. A 【解析】若数列}{n a 是等差数列，设其公差为1d ，则

1212112)()(d a a a a a a b b n n n n n n n n =-=+-+=-+++++，所以数列}{n b 是等差数列.

若

数

列

}

{n b 是等差数列，设其公差为

2

d ，则

221211)()(d a a a a a a b b n n n n n n n n =-=+-+=-+++++，

不能推出数列}{n a 是等差数列.所以数列{}n a 为等差数列”是“数列{}n b 为等差数列”的充分不必要条件，故选A.

7．C 【解析】第一次循环，得1,1,2b a i =-=-=；第二次循环，得5

5,,322

b a i =-=-=；第三次循环，得4,4,4b a i =-=-=，…，以此类推，知该程序框图的周期3，又知当40i =退出循环，此时共循环了39次，所以输出的4a =-，故选C.

8. D 【解析】有题，得510C

a =，

3

103

)2(C

b -=，所以

21

80

)2(5

103

103-=-=C C a b ，故选D. 9. B 【解析】作出可行域，如图所示，因为22z x y =+表示区域内的点到原点距离的平方，由图知，1013|10003|2

2

2min

=???

?

??+-+?=z .故选

B.

10. A 【解析】当正方体的下底面在半球的大圆面上，上底面的四个顶点在球的表面上时，所得工件体积与原材料体积之比选项取得最大值，此时设正方体的棱长为a ，则球的半径

为R ==

33π=，故选A. 11. A 【解析】易证得MFA ?∽EOA ?，则

||||

||||

MF EO FA OA =

，即 ||||||()

||||EO FA EO c a MF OA a

??-=

=

；同理MFB ?∽NOB ?， ||||||()

||||NO FB NO c a MF OB a ??+=

=

，所以||()E O c a a ?-||()

N O c

a a

?+=

，又

2O E O N

=，所以2()c a a c -=+，整理，得3c

a

=，故选A. 12. D 【解析】因为)()ln()()ln()(22x f x e e x e e

x f x x x x

=++=-++=---，所以)(x f 是

偶函数，又)(x f 在)0,(-∞单调递减，在),0(∞+单调递增，所以)2()2(+>x f x f 等价于|3||2|+>x x ，解得1-x .故选D.

13. 125【解析】由题意，所围成的封闭图形的面积为12

5|)4132()(10423

3

10=-=-?x x dx x x .

14. 1【解析】设数列{}n a 的首项为1a ，公比为q ，则依题意，有412611

1

2

42a q a q a q ?=

???+=?，解得12182

a q ?

=???=?

，所以6

371

1218a a q ==?=. 15. 22

196

x y +=【解析】由题意，知2211||||||||||AF BF AB AF BF ===+ ①，又由椭圆

的定义知，21||||AF AF +＝21||||2BF BF a += ②，联立①②，解得

224

||||||3

AF BF AB a ===

，

112||||3

AF BF a ==

，所以

2F AB

S ?

＝

21||||sin 602AB AF ?=，所以3a =

，12||||F F AB ==

，所以c =以2

2

2

6b a c =-=，所以椭圆C 的方程为22196

x y +=.

16.

(

)2sin 2cos2)f x x x m x m ?=+-=+-，其中

（cos ??=

=

），由函数()f x 在0,2π??

????

内的两个零点，知方

程s i n (2)0

x m ?+-=在0,2π??

????内有两个根，即函数y m =

与)y x ?+的图象在0,2π??

????

内有两个交点，且12,x x 关于直线42x ?π=-对称，所以12x x +＝2?π-

，所以12sin()sin()cos 2x x ??π+=-==

17. 解：（I ）由已知及正弦定理，得

A C A

B B A A B B cos sin sin sin cos cos sin cos sin 22--= A

C A B B A A cos sin )sin sin cos (cos sin --=