2017年全国高考文科数学试题及答案-北京卷

2017年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷）

数学（文史类）

一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

（1）已知U =R ，集合{|22}A x x x =<->或，则U A =e

（A ）(2,2)- （B ）(,2)(2,)-∞-+∞ （C ）[2,2]- （D ）(,2][2,)-∞-+∞

（2）若复数(1i)(i)a -+在复平面内对应的点在第二象限，则实数a 的取值范围是

（A ）(,1)-∞ （B ）(,1)-∞- （C ）(1,)+∞ （D ）(1,)-+∞

（3）执行如图所示的程序框图，输出的s 值为

（A ）2 （B ）32

（C ）53 （D ）85 （4）若,x y 满足3,2,,x x y y x ≤??+≥??≤?

错误！未找到引用源。则2x y +的最大值为

（A ）1 （B ）3 （C ）5 （D ）9

（5）已知函数1

()3()3

x x f x =-，则()f x （A ）是偶函数，且在R 上是增函数 （B ）是奇函数，且在R 上是增函数

（C ）是偶函数，且在R 上是减函数 （D ）是奇函数，且在R 上是减函数

（6）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为

（A ）60 （B ）30 （C ）20 （D ）10

（7）设,m n 为非零向量，则“存在负数λ，使得m n λ=”是“0m n <”的

（A ）充分而不必要条件

（B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件

（8）根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限M 约为3613，而可观测宇宙中普通物质的原子总数N 约为8010.则下列各数中与M N

最接近的是（ ）（参考数据：lg3≈0.48） （A ）3310 （B ）5310 （C ）7310 （D ）9310

二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。

（9）在平面直角坐标系xOy 中，角a 与角β均以Ox 为始边，它们的终边关于y 轴对称.若1sin 3

a =

，则sin β=_________．

（10）若双曲线2

2

1y x m -=，则实数m =__________． （11）已知0x ≥，0y ≥，且1x y +=，则22x y +的取值范围是__________．

（12）已知点P 在圆22=1x y +上，点A 的坐标为(-2,0)，O 为原点，则AO AP ?的最大值为_________．

（13）能够说明“设,,a b c 是任意实数．若a b c >>，则a b c +>”是假命题的一组整数,,a b c 的值依次

为______________________________．

（14）某学习小组由学生和教师组成，人员构成同时满足以下三个条件：

（ⅰ）男学生人数多于女学生人数；

（ⅱ）女学生人数多于教师人数；

（ⅲ）教师人数的两倍多于男学生人数．

①若教师人数为4，则女学生人数的最大值为__________．

②该小组人数的最小值为__________．

三、解答题：共6小题，共80分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。

（15）（本小题13分）

已知等差数列{}n a 和等比数列{}n b 满足11242451,10,a b a a b b a ==+==．

（Ⅰ）求{}n a 的通项公式；

（Ⅱ）求和：13521n b b b b -++++．

（16）（本小题13分）

已知函数())2sin cos 3f x x x x π

=--

（Ⅰ）求()f x 的最小正周期； （Ⅱ）求证：当[,]44x ππ∈-时，1()2

f x ≥-

某大学艺术专业400名学生参加某次测评，根据男女学生人数比例，使用分层抽样的方法从中随机抽取了100名学生，记录他们的分数，将数据分成7组：[20,30），[30,40），......，[80,90]，并整理得到如下频率分布直方图：

（Ⅰ）从总体的400名学生中随机抽取一人，估计其分数小于70的概率；

（Ⅱ）已知样本中分数小于40的学生有5人，试估计总体中分数在区间[40,50）内的人数；

（Ⅲ）已知样本中有一半男生的分数不小于70，且样本中分数不小于70的男女生人数相等．试估计

总体中男生和女生人数的比例．

（18）（本小题14分）

如图，在三棱锥P ABC -中，,,,2PA AB PA BC AB BC PA AB BC ⊥⊥⊥===，D 为线段AC 的中点，E 为线段PC 上一点．

（Ⅰ）求证：PA BD ⊥；

（Ⅱ）求证：平面BDE ⊥平面PAC ；

（Ⅲ）当//PA 平面BDE 时，求三棱锥E BCD -的体积．

已知椭圆C 的两个顶点分别为A (?2,0)，B(2,0)，焦点在x ． （Ⅰ）求椭圆C 的方程；

（Ⅱ）点D 为x 轴上一点，过D 作x 轴的垂线交椭圆C 于不同的两点,M N ，过D 作AM 的垂线交BN 于点E .求证：△BDE 与△BDN 的面积之比为4:5．

（20）（本小题13分）

已知函数()cos x f x e x x =-

（Ⅰ）求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程；

（Ⅱ）求函数()f x 在区间[0,

]2π上的最大值和最小值.

2017年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷）

数学（文史类）

一、选择题

（1）C （2）B （3）C （4）D （5）B

（6）D （7）A （8）D 二、填空题

（9）13 （10）2 （11）1

[,1]2 （12）6 （13）-1，-2，-3 （14）6，12

三、解答题

（15）解：（Ⅰ）设{}n a 的公差为d ，据已知2410a a +=，得11310d d +++=，

所以2d =. 所以1(1)12(1)21n a a n d n n =+-=+-=-

（Ⅱ）设{}n b 的公比为q ，因为245b b a =，所以39qq =，所以23q =

因为{}n b 是首项为1公比为q 的等比数列，所以13521,,,...,n b b b b -是首项为1公比为23q =的等比数列， 所以*135211(13)31...()132

n n n b b b b n N -?--++++==∈- 求和：13521n b b b b -++++． （16）解：

（Ⅰ）())2sin cos 3

f x x x x π=-- 12sin 2)sin 222x x x =?+?-

1cos 2sin 222x x =+ sin(2)3

x π=+ 所以，最小正周期为22||2

T πππω=== （Ⅱ）由（Ⅰ）知，()sin(2)3f x x π=+

因为[,]44x ππ∈- 所以52[,]366

x πππ+∈- 所以，当236

x π

π+=-，即4x π=-时，()f x 取最小值， 所以1()2

f x ≥-，得证 （17）解：（Ⅰ）由频率分布直方图知，分数小于70的频率为1(0.40.2)0.4-+=

（Ⅱ）设样本中分数在区间[40,50）内的人数为x ，则由频率和为1得

50.10.20.40.21100100

x +++++= 解得5x = （Ⅲ）因为样本中分数不小于70的人数共有(0.40.2)10060+?=（人）

所以，分数不小于70的人中男女各占30人

所以，样本中男生人数为30+30=60人，女生人数为100-60=40人 所以，总体中男生和女生的比例为

603402= （18）（Ⅰ）证明：,,PA AB PA BC AB

BC B ⊥⊥=， 又AB ?平面,ABC BC ?平面ABC ，PA ∴⊥平面ABC ，

又BD ?平面ABC ， PA D ∴⊥

（Ⅱ）证明：AB BC =，D 是AC 的中点，BD AC ∴⊥,

由（Ⅰ）知PA ⊥平面,

ABC PA ?平面PAC ， ∴平面PAC ⊥平面ABC ，

平面PAC 平面ABC AC =，

BD ?平面ABC ，BD AC ⊥，

BD ∴⊥平面PAC ，

BD ?平面BDE ，

∴平面BDE ⊥平面PAC ， （Ⅲ）//PA 平面BDE ，

又平面BDE

平面PAC DE =， PA ?平面PAC ，

//PA DE ∴ D 是AC 中点，

E ∴为PC 的中点，1DE ∴=

111221222BDE ABC S S ??∴=

=???= , 111111333

E BCD V DE -=??=??= （19）解：（Ⅰ）

焦点在x 轴上，且顶点为(2,0)± 2a ∴=

c e a =

=c ∴=

222

a b c =+ 1b ∴= ∴椭圆方程为2

214x y += （Ⅱ）设()()()00000,0,,,,D x M x y N x y - ，

直线AM 的方程是()0022

y y x x =++ ， DE AM ∴⊥，002DE x k y +∴=-

， 直线DE 的方程是()0002x y x x y +=-- ，直线BN 的方程是()0022y y x x -=-- ， 直线BN 与DE 直线联立

()()00000222x y x x y y y x x +?=--???-?=-?-?

， 整理为：()()00000222

x y x x x y x +-=-- ，即()()()2200042x x x y x --=- 即()()()22

0004424x x x x x ---=-，解得0425E x x +=，

代入求得045

E y y ==- ∴54

N E y y =

又

4S 5BDE E BDN N S y y ==△△ BDE ∴?和BDN ?面积的比为4:5

（20）解：

（Ⅰ）()cos x

f x e x x =-

∴()(cos sin )1x f x e x x '=--

∴曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线斜率为0(cos0sin 0)10k e =--= 切点为(0,1)，

∴曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程为1y =

（Ⅱ）()(cos sin )1x f x e x x '=--，

令()()g x f x '=

则()(cos sin sin cos )2sin x x g x e x x x x e x '=---=- 当[0,]2x π

∈，可得()2sin 0x g x e x '=-≤，

即有()g x 在[0,

]2π上单调递减，可得()(0)0g x g ≤=， 所以()f x 在[0,]2

π

上单调递减， 所以函数()f x 在区间[0,]2

π

上的最大值为0(0)cos 001f e =-=； 最小值为2()cos 2222f e ππππ

π

=-=-