11-9二项分布与正态分布习题(理)含答案

一、选择题

1．某人参加一次考试，4道题中解对3道即为及格，已知他的解题正确率为0.4，则他能及格的概率是( )

A ．0.18

B ．0.28

C ．0.37

D ．0.48

[答案] A

[解析] C 340.43

·0.6＋C 44·

0.44＝0.1792.故应选A. 2．某气象站天气预报的准确率为80%，则5次预报中至少有4次准确的概率为( ) A ．0.2 B ．0.41 C ．0.74 D ．0.67

[答案] C

[解析] 设事件A 为“预报一次，结果准确”P ＝P(A)＝0.8，至少有4次准确这一事件是下面两个互斥事件之和：5次预报，恰有4次准确；5次预报，恰有5次准确，故5次预

报，至少有4次准确的概率为P 5(4)＋P 5(5)＝C 45×0.84×0.2＋C 55×0.85×0.20

≈0.74.故应选

C.

3．(2011·湖北理，5)已知随机变量ξ服从正态分布N(2，σ2)，且P(ξ<4)＝0.8，则P(0<ξ<2)＝( )

A ．0.6

B ．0.4

C ．0.3

D ．0.2

[答案] C

[解析] 本题考查利用正态分布求随机变量的概率． ∵P(ξ<4)＝0.8，∴P(ξ≥4)＝0.2，又μ＝2， ∴P(0<ξ<2)＝P(2<ξ<4)＝0.5－P(ξ≥4) ＝0.5－0.2＝0.3.

4．位于坐标原点的一个质点P 按下述规则移动：质点每次移动一个单位，移动的方向为向上或向右，并且向上、向右移动的概率是12

.质点P 移动五次后位于点(2,3)的概率是( )

A ．(12)5

B ．

C 25(12)5

C ．C 35(12)3

D ．C 25C 35(12

)5

[答案] B

[解析] 由于质点每次移动一个单位，移动的方向为向上或向右，移动五次后位于点(2,3)，所以质点P 必须向右移动二次，向上移动三次，故其概率为C 35(12)3·(12)2＝C 35(12)5＝C 25(12)5

.故应选B.

5．在4次独立重复试验中，随机事件A 恰好发生1次的概率不大于其恰好发生两次的概率，则事件A 在一次试验中发生的概率P 的取值范围是( )

A ．[0.4,1)

B ．(0,0.6]

C ．(0,0.4]

D ．[0.6,1)

[答案] A

[解析] C 14P(1－P)3≤C 24P 2(1－P)2,

4(1－P)≤6P ，P ≥0.4，又0

6．如图是当σ取三个不同值σ1、σ2、σ3的三种正态曲线N(0，σ2)的图像，那么σ1、σ2、σ3的大小关系是( )

A ．σ1>1>σ2>σ3>0

B ．0<σ1<σ2<1<σ3

C ．σ1>σ2>1>σ3>0

D ．0<σ1<σ2＝1<σ3

[答案] D

[解析] 当μ一定时，曲线由σ确定，当σ越小，曲线越高瘦，反之越矮胖．故选D. 二、填空题

7．在某项测量中，测量结果X 服从正态分布N(1，σ2)(σ>0)．若X 在(0,1)内取值的概率为0.4，则X 在(0,2)内取值的概率为________．

[答案] 0.8

[解析] ∵X ～N(1，σ2)， X 在(0,1)内取值概率为0.4， ∴X 在(1,2)内取值的概率也为0.4. ∴X 在(0,2)内取值的概率为0.8.

8．在一次抗洪抢险中，准备用射击的方法引爆从桥上游漂流而下的一巨大汽油罐，已知只有5发子弹备用，首次命中只能使汽油流出，再次命中才能引爆成功，每次射击命中率都是2

3

，每次命中与否互相独立，求油罐被引爆的概率______．

[答案]

232243

[解析] 记“油罐被引爆”的事件为事件A ，其对立事件为A ，则P(A )＝C 15(23)(13)4

＋(13

)5 ∴P(A)＝1－[C 15(23)(13)4

＋(13)5]＝232243.

三、解答题

9．2011年12月底，一考生参加某大学的自主招生考试，需进行书面测试，测试题中有4道题，每一道题能否正确做出是相互独立的，并且每一道被该考生正确做出的概率都是3

4

. (1)求该考生首次做错一道题时，已正确做出了两道题的概率；

(2)若该考生至少正确做出3道题，才能通过书面测试这一关，求这名考生通过书面测试的概率．

[解析] (1)记“该考生正确做出第i 道题”为事件A i (i ＝1,2,3,4)，则P(A i )＝3

4，由于每

一道题能否被正确做出是相互独立的，所以这名考生首次做错一道题时，已正确做出了两道题的概率为

P(A 1A 2A 3)＝P(A 1)·P(A 2)·P(A 3) ＝34×34×14＝964

. (2)记“这名考生通过书面测试”为事件B ，则这名考生至少正确做出3道题，即正确

做出3道题或4道题，故P(B)＝C 34×????343×14＋C 44×????344＝189256

.

一、选择题

1．(2010·山东理)已知随机变量X 服从正态分布N(0，σ2)，P(X>2)＝0.023，则P(－2≤X ≤2)＝( )

A ．0.477

B ．0.628

C ．0.954

D ．0.977

[答案] C

[解析] ∵P(X>2)＝0.023，∴P(X<－2)＝0.023， 故P(－2≤X ≤2)＝1－P(X>2)－P(X<－2)＝0.954.

2．口袋里放有大小相等的两个红球和一个白球，有放回地每次摸取一个球，定义数列{a n }：

a n ＝?

????

－1 第n 次摸取红球1 第n 次摸取白球，如果S n 为数列{a n }的前n 项和，那么S 7＝3的概率为( )

A ．C 57????132·????235

B ．

C 27

????232·????135

C ．C 57????132·???

?135 D ．C 37????132·???

?235 [答案] B

[解析] 有放回地每次摸取一个球，摸到红球的概率为23，摸到白球的概率为1

3，这是一

个独立重复试验．S 7＝3，说明共摸7次，摸到白球比摸到红球多3次，即摸到白球5次，摸到红球2次，

所以S 7＝3的概率为C 27

????232·????135

.

二、填空题

3．将1枚硬币连续抛掷5次，如果出现k 次正面的概率与出现k ＋1次正面的概率相同，则k 的值是________．

[答案] 2

[解析] 由C k 5????12k ????125－k ＝C k ＋15????12k ＋1????124－k ，得k ＝2.

4．某射手射击1次，击中目标的概率是0.9，他连续射击4次，且他各次射击是否击中目标相互之间没有影响．有下列结论：

①他第3次击中目标的概率是0.9； ②他恰好击中目标3次的概率是0.93×0.1； ③他至少击中目标1次的概率是1－0.14.

其中正确结论的序号是________(写出所有正确结论的序号)． [答案] ①③

[解析] 本小题主要考查独立事件的概率．

“射手射击1次，击中目标的概率是0.9”是指射手每次射击击中目标的概率都是0.9，由于他各次射击是否击中目标相互之间没有影响，因此他在连续射击4次时，第1次、第2次、第3次、第4次击中目标的概率都是0.9，①正确；“他恰好击中目标3次”是在4次

独立重复试验中有3次发生，其概率是C 34×0.93

×0.1，②不正确；

“他至少击中目标1次”的反面是“1次也没有击中”，而“1次也没有击中”的概率是0.14，故至少击中目标1次的概率是1－0.14，③正确．

三、解答题

5．有甲、乙、丙3批饮料，每批100箱，其中各有一箱是不合格的，从3批饮料中各抽出一箱，求：

(1)恰有一箱不合格的概率； (2)至少有一箱不合格的概率．

[解析] 记抽出“甲饮料不合格”为事件A ，“乙饮料不合格”为事件B ，“丙饮料不合格”为事件C ，则

P(A)＝0.01，P(B)＝0.01，P(C)＝0.01.

(1)从3批饮料中，各抽取一箱，恰有一箱不合格的概率为P ＝P(A —

BC)＋P(AB —

C)＋

P(ABC —

)

＝0.01×0.992＋0.01×0.992＋0.01×0.992 ≈0.029.

(2)各抽出一箱都合格的概率为0.99×0.99×0.99 ≈0.97.

所以至少有一箱不合格的概率为1－0.97≈0.03.

6．(2010·全国卷Ⅰ)投到某杂志的稿件，先由两位初审专家进行评审．若能通过两位初审专家的评审，则予以录用；若两位初审专家都未予通过，则不予录用；若恰能通过一位

初审专家的评审，则再由第三位专家进行复审，若能通过复审专家的评审，则予以录用，否则不予录用．设稿件能通过各初审专家评审的概率均为0.5，复审的稿件能通过评审的概率为0.3.各专家独立评审．

(1)求投到该杂志的1篇稿件被录用的概率；

(2)记X表示投到该杂志的4篇稿件中被录用的篇数，求X的分布列及期望．

[分析]本题主要考查等可能性事件、互斥事件、独立事件、相互独立试验、分布列、数学期望等知识，以及运用概率知识解决实际问题的能力，考查分类与整合思想、化归与转化思想．(1)“稿件被录用”这一事件转化为事件“稿件能通过两位初审专家的评审”和事件“稿件能通过复审专家的评审”的和事件，利用加法公式求解．(2)X服从二项分布，结合公式求解即可．

[解析](1)记A表示事件：稿件能通过两位初审专家的评审；

B表示事件：稿件恰能通过一位初审专家的评审；

C表示事件：稿件能通过复审专家的评审；

D表示事件：稿件被录用．

则D＝A＋B·C，

而P(A)＝0.5×0.5＝0.25，P(B)＝2×0.5×0.5＝0.5，

P(C)＝0.3

故P(D)＝P(A＋B·C)＝P(A)＋P(B)·P(C)＝0.25＋0.5×0.3＝0.4.

(2)X～B(4,0.4)，X的可能取值为0,1,2,3,4且

P(X＝0)＝(1－0.4)4＝0.1296

P(X＝1)＝C14×0.4×(1－0.4)3＝0.3456

P(X＝2)＝C24×0.42×(1－0.4)2＝0.3456

P(X＝3)＝C34×0.43×(1－0.4)＝0.1536

P(X＝4)＝0.44＝0.0256

故其分布列为

期望EX＝4×0.4＝1.6.

7．甲、乙两人各射击一次，击中目标的概率分别是23和3

4.假设两人射击是否击中目标相

互之间没有影响；每人各次射击是否击中目标相互之间也没有影响．

(1)求甲射击4次，至少有1次未击中目标的概率；

(2)求两人各射击4次，甲恰好击中目标2次且乙恰好击中目标3次的概率； (3)假设某人连续2次未击中目标，则中止其射击． 问：乙恰好射击5次后，被中止射击的概率是多少？

[解析] (1)记“甲连续射击4次至少有1次未击中目标”为事件A 1.由题意，射击4次相当于作4次独立重复试验．

故P(A 1)＝1－P(A 1)＝1－(23)4＝65

81

，

所以甲连续射击4次至少有一次未击中目标的概率为65

81

.

(2)记“甲射击4次，恰有2次击中目标”为事件A 2，“乙射击4次，恰有3次击中目标”为事件B 2，则

P(A 2)＝C 24

×(23)2×(1－23)4－2＝8

27； P(B 2)＝C 34×(34)3×(1－34)4－3＝27

64. 由于甲、乙射击相互独立，故 P(A 2B 2)＝P(A 2)·P(B 2)＝

827×2764＝1

8

. 所以两人各射击4次，甲恰有2次击中目标且乙恰有3次击中目标的概率为1

8.

(3)记“乙恰好射击5次后被中止射击”为事件A 3，“乙第i 次射击未击中”为事件D i (i ＝1,2,3,4,5)，则

A 3＝D 5D 4D 3(D 2 D 1＋D 2D 1＋D 2D 1)，且P(D i )＝14.

由于各事件相互独立，故

P(A 3)＝P(D 5)P(D 4)P(D 3)P(D 2 D 1＋D 2D 1＋D 2D 1) ＝14×14×34×(1－14×14)＝451024

. 所以乙恰好射击5次后被中止射击的概率为45

1024

.