新初一暑假数学作业

第一章 有理数

4.1生活中的负数

4.1.1比0小的数

在早期，人们为了表示人数、猎物的多少，产生了数数的需要，慢慢地自然数产生了；随着活动范围的扩大，人们又提出了许多新的问题，比如“半个苹果”等就不能用自然数表示其数量，必须创造新的数，于是人们引入了分数，除了整数和分数外，生活中还

存在这样的数：

像6，1000，8844…这样大于0的数叫做正数(positive number)，可以在正数前面加

上“＋”；

在正数前面加上“－”号的数叫做负数(negative number)，如－6，－200，－155，…， 它们都是比0小的数.

0既不是正数，也不是负数. “－”号读作“负”，如“6-”读作“负六”；“＋”号读作“正”，如“6+”读作“正六”； 一个数前面的“＋”、“－”叫做它的符号;为了突出正数的符号，可以在前面加上“＋”，但通常正数前面的“＋”号可省略.

对我们所学过的数按与0的关系进行分类

?????正数数零负数

零和正数又可以称为非负数(non-negative number).

想一想

1.如果买入200kg 大米记为 200kg + ，那么卖出120kg 大米可记作__________.

2.太平洋最深处的马里亚纳海沟低于海平面11034m ，它的海拔高度可表示为_______.

3.如果节约100?千瓦时电记作+100?千瓦时，那么浪费20?千瓦时电记作_______.

4.如果10%+表示增加10%，那么3%-表示____________.

做一做

把一些数放在一起，就组成一个数的集合，简称数集（set of number ）.所有正数组成正

数集合，所有负数组成负数集合，把下列各数填入相应的集合中去.

－11，4.8，＋73，－2.7，16，0，3

4

-

生活中，有许多像零上05C ，零下03C 这类具有相反意义的量（每组中的两个量都具有

相反意义），例如：增产500t 与减产300t ，前进50米元与后退10米，盈利240元与亏损160元…都可以用正数与负数来表示.

为了把具有相反意义的量区分开，我们规定其中的一个量是“正”的，那么与之相反的量就是“负”的.

想一想

① 0”是整数吗？是正数吗？是有理数吗？

正数集合负数集合

② ―2”是整数吗？是正数吗？是有理数吗？

③自然数就是整数吗？是正数吗？是有理数吗？

4.1.2 有理数的定义及其表示 分一分 将所学过的数进行分类.

()123integer 0123??

???

正整数：如，

，整数零：负整数：如-，-，-

()11,,1.5,23

fraction 11,, 1.5,23?

????-??

正分数:如分数负分数：如--

整数和分数统称为有理数(rational number).

即按定义有理数可以分为：

???????????

??????

正整数

整数零负整数有理数正分数分数负分数

如果我们把整数看成是分母为1的分数，那么在这个意义下，所有的有理数都是分数.

想一想 有理数是否还有其他的分类?

练一练

一、 基础落实 1. 填空题

（1）如果4年后记作+4，那么8年前记作 .

（2）如果运出货物7吨记作-7吨，那么+100吨表示_______________ . （3）一年内小亮体重增加了3kg ，记作+3kg ，小阳体重减少了2kg ，则小阳增长了

kg.

(4)如果正午记作0小时，午后３点钟记作＋３小时，那么上午８点钟记作_______. （5） 指出下列各句话的实际意义

①收入增加－5元_____________________.

② 电梯下降－7米___________________________.

2.在一次军事训练中，一架直升机“停”在离海面800m 的低空，一艘潜水艇潜在水下5000m 处. 设海平面的高度为0m ，请用正数或负数表示该直升机和潜水艇的高度.

3．(1)“一只闹钟，一昼夜误差不超过20秒.”这句话是什么含义? (2)笑笑说：“一个数，非正即负.”你认为她说的对吗?为什么?

4．在适当的空格内打上“√”的记号

自然数

整数

分数

正数

负数

有理数

5是

1

3

是

－9是 0是

5.将下列各数分别填入相应的集合中：

{}{

}{}{}{

}{

}13

6,9.3,,42,0,0.33,.

65

;.

.

--- 正数集合：；负数集合：整数集合：；分数集合：非负数集合：；负有理数集合：

6. 某班同学的平均身高为145cm ，下面是其中五名同学的身高：

若把平均身高记为0cm，则上面五名同学的身高如何表示？

7、对负数的认识经历了漫长的过程，直到1831年，英国著名数学家摩根（1806-1871）在他的《论数学的研究和困难》中仍坚持认为负数是荒谬的，他举例说：“父亲56岁，他的儿子29岁，问什么时候，父亲的岁数将是儿子的2倍？”解方程得到的答案是2

-年，他说这个结果是荒谬的，聪明的同学，你能帮一帮这位著名的数学家，给出这个答案的合理性解释吗？

二、能力提高

1. 下列说法正确的是（）.

A 有最小的正数，没有最小的负数

B 有最大的负数，没有最小的负数

C 有最小的正数，也有最大的负数

D 既没有最大的负数，也没有最小的正数

2. 填空

最小的正整数是，最大的负整数是，

最小的非负数是，最大的非正数是.

3．某日傍晚，黄山风景区的气温由中午的零上02C下降了07C，这天傍晚，黄山风景区的气温是多少？

三、拓展延伸

1．8

4

是分数这种说法对吗？

2. 观察下面一列数，探究其排列规律：

＋1，

1

2

-，

1

4

+，

1

8

-，

1

16

+，

1

32

-，

1

64

+，

1

128

-，……

（1）写出这列数的第15个数. （2）写出第n个数3．如图：大圆覆盖的区域表示有理数的范围，中圆覆盖的区域表示整数的范围，小圆覆盖的区域内的数都是正数，请将下列各有理数填在适当的区域内：

－7.3，－5

4

3

，－4，－2

4

1

，0，＋

2

7

，＋2.4，＋3，＋8

4.2数轴

4.2.1数轴的定义与表示

你会读温度计吗？下列三个温度计的读数分别是多少？

我们能否利用一个类似于温度计图形，用它的刻度（也就是点）来表示所有的有理数呢？这就是我们今天要一起研究的——数轴

数轴的定义和画法：

1 与温度计类似，我们可以画下列直线

2 数轴：象这样规定了原点、正方向和单位长度的直线称为数轴

例1.判断下图中所画的数轴是否正确？如不正确，指出错在哪里？

A

B

C

解：都不正确；

（1）缺少单位长度；（2）缺少正方向；（3）缺少原点；（4）单位长度不一致.

有了数轴就可以直观地把有理数表示出来了. ＋3可以用数轴上位于原点右边3个单位的点表示，－4可以用数轴上位于原点左边4个单位的点表示；在原点右边2.5个单位长度

的点表示＋2.5，在原点左边1

3

个单位的点表示

1

3

-. 数轴是非常重要的数学工具，它使数和

直线上的点建立了对应关系，它揭示了数与形之间的内在联系.

任何一个有理数都可以用数轴上的点表示.

例2.借助数轴回答下列问题

（1）有没有最小的正整数？有没有最大的正整数？如果有，把它指出来；

（2）有没有最小的负整数？有没有最大的负整数？如果有，把它标出来.

解答：观察数轴易知：

（1）有最小的正整数，它是1，没有最大的正整数；

（2）没有最小的负整数，有最大的负整数，它是-1.

做一做

1.分别指出数轴上点所表示的数.

E

D

C B

A

-5-4-2

-3-15

34

2

1

2.在数轴上画出表示下列各数的点: -5.5; -2.5; -

3.

3.在数轴上画出表示下列各数的点，并指出这些点相互间的位置关系: -6、6; -3、3;

-1.5、1.5.

4.2.2相反数

想一想

66

-

和有什么相同点与不同点?它们在数轴上的位置有什么关系? 33 1.5 1.5

--

与，与呢？

如果两个数只有符号不同，那么我们称其中一个数为另一个数的相反数(opposite number)，也称这两个数互为相反数. 特别地，0的相反数是0.

在数轴上，表示互为相反数的两个点位于原点的两侧，并且与原点的距离相等.

例3：（1）分别写出

1

5711.2

2

+

、-、-3、的相反数；

（2）指出 2.4

-是什么数的相反数.

解：（1）5的相反数是5

-，7-相反数是7;

1

2

-3的相反数是

2

1

3; +11.2的相反数是11.2

-.

（2） 2.4

-是2.4的相反数.

表示一个数的相反数，可以在这个数的前面添一个“”号.a的相反数是a

-.如5

-的相反数可以表示为(5)

--，我们知道5

-的相反数是5所以(5)5

--=. 即负数的相反数就是和它相应的正数.

想一想

(1)互为相反数的两个数和是多少？如果用a，b表示一对相反数，如何用一个式子表示它们之间的关系？

(2)一个数的相反数的相反数和这个数有怎样的关系?

把0000

3C2C0C5C

--

、、、按从低到高的顺序排列；在数轴上画出表示3205

--

、、、的点，你能比较这几个数的大小吗？

想一想数轴上的两个点，右边点表示的数与左边点表示的数有怎样的大小关系?

例4.比较下列各组数的大小.

(1)36(2)32(3)0.5 3.5

---

和、0、-和

解：（1）36

-<.（正数大于负数）

（2）32

>0>-.（正数大于0，0大于负数）

（3）0.5 3.5

--

>.（在数轴上，-0.5对应的点在-1.5所对应的点的右侧）

B A

-5

-4

-2

-3

-1

5

3

4

2

1

练一练

一、 基础落实

（一）选择题:

1. 下列说法正确的是 （ ）.

A.数轴上的点都表示整数

B.一个有理数在数轴上表示的点离原点越远，这个有理数越大

C.在数轴上可能有两个不同的点表示同一个有理数

D.在数轴上与原点距离相等的点（原点除外）有两个 2.下列说法正确的是（ ）.

A 有最小的正数，没有最小的负数

B 有最大的负数，没有最小的负数

C 有最小的正数，也有最大的负数

D 既没有最大的负数，也没有最小的正数 3.若一个数的相反数不是正数，则这个数一定是（ ）. A. 正数 B. 正数或0 C. 负数 D. 负数或0 4. 一个数比它的相反数小，这个数是（ ）.

A. 正数

B. 负数

C. 非负数

D. 非正数

（二）填空题

1. 规定了________、_________、____________________叫数轴，所有的有理数都可以用________上的点来表示.

2.在数轴上表示-3的点在原点的_____侧，与原点的距离是____个单位长度.

3.与原点的距离为2个单位长度的点有_____个，它们分别表示有理数____和____.

4.最小的正整数是 ，最大的负整数是 ，最小的非负数是 ，最大的非正数是 .

5.已知点A 在数轴上表示3，将点A 向左移动5个单位，再向右移动1个单位，此时点A 表示数为______. （三）解答题

1. 比较下列各组数的大小.

(1)3512(2)80183

11

419(4)12.58(5)(6)32

55-------与与(3)与与与

与

2．如图，点A 、B 、C 为数轴上的3点，请回答下列问题：

C

B A -4

-2

-3

-1

5

3

4

2

1

(1)点A 向右移动3个单位长度后，哪个点表示的数最大？

(2)点C 向左移动6个单位长度后，点B 表示的数比点C 表示的数大多少？

3. 将下列各数表示在数轴上，并用“<”连接起来122，－3，0，1.5，12-.

4.下表记录的是我国8个城市某天的最低气温（0

C ），请将这8个城市的名称按气温从低到高的顺序重新排列.

北京

哈尔滨 南京 乌鲁木齐

拉萨 广州 台北 海口 -7

-25 0

-12

-8

14

12

15

二、能力提高

1．我们用字母a 表示一个有理数，

（1）如果a 是正数，那么a -是什么数? （2）如果a 是零，那么a -是什么数? （3）如果a 是负数，那么a -是什么数? 2．已知a 与2-a 互为相反数，求a 的相反数.

3.下面是一个正方体形纸盒的展开图，请把10,7,10,2,7,2---分别填入六个正方形，使得按虚线折成正方体后，相对面上的两数互为相反数.

4．a 、b 、c 在数轴上位置如图所示，指出a 、b 、c 的正负性，并比较三者大小关系

4.3

绝对值

例如: 图中两只小狗分别位于3和－3的位置，它们到原点的距离都是3，我们称3为3

和－3的绝对值.

一般地， 数轴上表示数a 的点与原点的距离叫做数a 的绝对值(absolute value)，记作a .

于是上述问题就有33,33,=-=

根据绝对值与相反数的意义填空：

9

(1)1.2___,

___,7____.4

9

(2)6___,12.3___,____.4

===-=-=-

=

6-的相反数是______,12.3-的相反数是______,9

4

-的相反数是______, (3)0____.0=的相反数是______.

议一议 一个数的绝对值与这个数的大小有什么关系?

正数的绝对值是_________； 负数的绝对值是___________； 0的绝对值是_____.

填一填

（1）7

8

-的符号是_____，绝对值是_____.

（2）12.3的符号是_____，绝对值是_____.

（3）符号是“+”，绝对值是2

3

的数是_____.

（4）符号是“-”，绝对值是6的数是_____.

(5) 相反数和绝对值都等于它本身的数有 个，它们是 .

上述结论可以使用数学语言表述如下:

即：①若a ＞0，则|a |=a ； ②若a ＜0，则|a |=–a ； ③若a =0，则|a |=0. 或写成

(0)0(0)

(0)a a a a a a >??

==??-

绝对值的非负性：

由绝对值的定义可知：不论有理数a 取何值，它的绝对值总是正数或0(通常也称非负数)，绝对值具有非负性，即|a |≥0.

想一想 绝对值等于3

5的数是谁？你能找到绝对值为-2011的数吗？.

例1． 求－3和－6的绝对值，并比较它们的绝对值的大小. 解：33,66-=-=

3636<∴-<-

议一议 两个数比较大小，绝对值大的那个数一定大吗？.

数轴上表示两个正数的点都在原点的右边，并且表示绝对值较大的正数的点在右边；数

轴上表示两个负数的点都在原点的左边，并且表示绝对值较大的负数的点在左边；一个数所表示的点离开原点的距离越远，绝对值越大，离开原点的距离越近，绝对值越小. 由36->-和例1可知：

两个负数比较大小，绝对值大的反而小.

想一想

从小学开始，我们已在不同的情形中多次使用“”号，例如533(5)----、、等.

你能分别说出这3个“”号的意义吗？

例2. 比较下列各组数的大小.

①－1与－0.01； ②2--与0； ③－0.3与3

1-； ④???

? ?

?--91与10

1

-

-.

解：(1)这是两个负数比较大小，

∵|―1|=1， |―0.01|=0.01， 且 1>0.01， ∴―1< ―0.01. (2) 化简：―|―2|=―2，因为负数小于0，所以―|―2| < 0. (3) 这是两个负数比较大小， ∵|―0.3|=0.3，

?==-3.03

1

31，且 0.3 < ?

3.0， ∴3

13.0->-.

(4) 分别化简两数，得：

,

10

1101,9191-=--=???? ??-- ∵正数大于负数， ∴10191-

->???

??--

试一试 用“＞”连接下列个数：2.6，―4.5，101，0，―232.

议一议 如何直观地表示这些数的大小？

练一练 用“<”、 “>”或“=” 或号填空

（1）－1.2 －1.1， （2）2 －2， （3）

0 5-，（4）4- －4.

练一练

一、 基础落实

1.选择题

（1）下列说法不正确的是（ ）.

A. 若a 的绝对值比它本身大，则a 一定是负数

B. 如果两个数不相等，那么它们的绝对值也必不相等

C. 两个负有理数，绝对值大的离原点远

D. 两个负有理数，大的离原点近

（2）一个数的绝对值是正数，这个数一定是（ ）.

（A ）正数 （B ）非零数 （C ）负数 （D ）任意有理数 （3）一个有理数的绝对值是（ ）.

(A) 正数 (B) 负数 (C) 非正数 (D)非负数 （4）绝对值小于3的负整数有（ ）.

（A ）2个 （B ）3个 （C ）4个 （D ）无数个

（5）2-的相反数是（ ）.（A ）12- （B ）-2 （C ）1

2 （D ）2

（6）下列各式中正确的是（ ）.

（A ）--160> （B ）0.20.2>- （C ）45

77->- （D ）60-<

（7）下列结论正确的是（ ）.

（A ）a -一定是负数 （B ）a --一定是非正数 （C ）a 一定是正数 （D ）a -一定是负数

2. 判断对错

（1） 互为相反数的两个数到原点的距离相等； （2） 如果两个数的绝对值相等，那么这两个数相等； （3） 任何数的绝对值为非负数；

（4） 绝对值等于它本身的数是非负数；

3.计算: 214

(1)3 4.2(2)5 2.3(3)33

-?-+--

÷

4.化简:4

(5),(4),,( 3.2),(7).5

-++---

--++

5.比较下列各组数的大小：

（1）37-与 （2） 5.3 5.4--与

（3）35

88

--与 （4） 3.7(0.84)----与

6.某年哈尔滨的月平均气温（0C ） 如下表所示：

1月

2月

3月 4月 5月 6月 7月 8月 9月 10月 11月 12月 -20.2 -14.0 -2.3

6.0

14.7

21.3

22.3

19.7

14.2

4.1

-5.5

-12.8

请将112-月份按气温从低到高的顺序重新排列.

7.比赛用的乒乓球的质量有严格的规定，但实际生产出来的乒乓球的质量可能会有一些误差.

检验时，通常把比标准质量大的克数记为正数，比标准质量小的克数记为负数.请你根据以下记录，选出最接近标准质量的乒乓球.

1 2 3 4 5

+0.04g -0.02g

+0.03g +0.05g -0.04g

二、 能力提高

1．甲潜水员在海平面50m -作业，乙潜水员在海平面22m -作业，哪个离海平面比较近？近多少？

2.（1）已知0a ≤，则a -＝ ;（2）已知a a =-，则a . （3）已知2x >，则2x -＝ ;

（4）已知22x x -=-，则x 2.

3.若,a b 互为相反数，,c d 互为倒数，x 的绝对值是1，求a b

x cd x

+++的值.

4.已知2131410a b c -+-+-=，求a 、b 、c 的值.

4.4有理数的加法与减法

数往往和运算联系在一起，通过前面的学习，我们学会了在数轴上表示任意两个有理数，

那么是否可以借助数轴来表示有理数的加法运算过程？不妨约定：以原点为起点，规定向东的方向为正方向，向西的方向为负方向.

（1）先向西移动3个单位，再向西移动2个单位，一共向西移动了5个单位，用算式表示即（－3）＋（－2）＝－5.

（2）先向西移动3个单位，再向东移动2个单位，此时在原点左侧1个单位处，用算式表示即－3＋2＝－1.

（3）先向东移动3个单位，再向西移动2个单位，此时在原点右侧1个单位处，用算式表示即3＋（－2）＝1.

（4）先向西移动3个单位，再向东移动3个单位，此时在原点处， 即（－3）＋3=0.

试一试

加数 加数 和的符号

和的绝对值

和 +7 +13 -7 +13 +7 -13 -7 -13 +8

-20

议一议

两个有理数相加，和的符号怎样确定？和的绝对值怎样确定？

有理数加法（addition ）法则

同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加. 异号两数相加，绝对值相等时，和为0.

绝对值不等时，取绝对值.较大的加数的符号，并用 较大的绝对值减去较小的绝对值. 一个数同0相加，仍得这个数. 例1. 计算下列各题

（1） （－17）＋（－29） （2） （＋4）＋（－21） 解：（1）（－17）＋（－29）（同号两数相加） (1729)=-+（取相同的符号，并把绝对值相加） 46=-. （2）（＋4）＋（－21）（异号两数相加）

(214)=--（取绝对值较大的数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值）

17=-.

议一议 一般的，作为有理数的加法，应按怎样的步骤思考？ 算一算 计算

（3） （＋15）＋（－2） （4） （－10）＋（＋10） （5） （－7）＋0

引进负数后，小学里学过的加法交换律和结合律还成立吗？

上面两个算式的结果相等吗？擦去“△”“○”中的数字，再分别在其中写一个有理数，这时两个算式的结果还相等吗？

上面两个算式的结果相等吗？擦去“□”、“○”及“△”中的数字，再分别在其中写一个有理数，这时两个算式的结果还相等吗？

事实上，小学里学过的加法的交换律（commutative law ）、结合律（associative law ），在有理数范围内仍然适用.

有理数加法运算律

加法交换律：a b b a +=+.

加法结合律：()()a b c a b c ++=++.

根据有理数加法的运算律，在进行有理数的加法运算时，可以交换加数的位置，也可以先把其中几个数相加.

例2．计算：

（1） (+26)+(-18)+5+(-16)； （2） ??? ??-+??? ??-+??? ?

?

+++??? ??-218312417211321.

解： （1）原式=(26+5)+[(-18)+(-16)] = 31+(-34)= -(34-31)= - 3.

（2） 原式=417218211312321+????????? ??-++????????? ?

?-+??? ??-=()()41

774+-+-

=()()??????+-+-41774=()414+-=??? ?

?

--414=433-.

从几个例题中你能发现应用运算律时，通常将哪些加数结合在一起，可以使运算简便吗?

例3．10筐苹果，以每筐30千克为准，超过的千克数记作正数，不足的千克数记作负数，记录如下：2，-4，2.5，3，-0.5，1.5，3，-1，0，-2.5. 求这10 筐苹果的总重量.

解：由题意得：

2+(-4)+2.5+3+(-0.5)+1.5+3+(-1)+0+(-2.5) = (2+3+3)+(-4)+[2.5+(-2.5)]+[(-0.5)+(-1)+1.5] =8+(-4)= 4.

30×10 + 4 = 304.

答：10筐苹果总重量是304千克.

例4．运用加法运算律计算下列各题：

(1)(+66)+ (-12) + (+11.3) + (-7.4) + (+8.1) + (-2.5) (2)(+35

2)+ (-28

7) + (-312

5) + (-18

1) + (+55

3) + (+512

5)

(3)(+64

1)+ (+2

1) + (-6.25) + (+3

1) + (-9

7) + (-6

5)

分析：利用运算律将正、负数分别结合，然后相加，可以使运算比较简便；有分数

相加时，利用运算律把分母相同的分数结合起来，将带分数拆开，计算比较简便. 一定要注意不要遗漏括号；相加的若干个数中出现了相反数时，先将相反数结合起来抵消掉，或通过拆数、部分结合凑成相反数抵消掉，计算比较简便.

解：(1)原式=(66 + 11.3 + 8.1)+[(―12)+(―7.4)+(―2.5)]

= 85.4 + (–21.9) = 63.5.

(2)原式=(3+5

2)+(5+5

3)+[―(2+8

7)]+[―(1+8

1)] +(5+12

5)+[―(3+12

5)

=3+5+52+53+(–2)+(–1)+(–87)+(–81)+ 5 +(–3)+125+(–125)

=7.

(3)原式=(+641)+(―6.25)+(21+ 31)+(―65)+(―97)= ―97.

总结:

三个以上的有理数相加，可运用加法交换律和结合律任意改变加数的位置，简化运算. 常见技巧有：

(1)凑零凑整：互为相反数的两个数结合先加；和为整数的加数结合先加； (2)同号集中：按加数的正负分成两类分别结合相加，再求和； (3)同分母结合：把分母相同或容易通分的结合起来；

(4)带分数拆开：计算含带分数的加法时，可将带分数的整数部分和分数部分拆开，分别结合相加. 注意带分数拆开后的两部分要保持原来分数的符号.

读一读 用字母表示数

通过前面的学习，我们对有理数的概念及运算有了初步认识，尽管负数的引入，我们解决问题的范围扩大了很多，但随着生产的发展与实际的需要，数还是不能满足人们的需要.例如，要表示数量关系的一般规律，像乘法交换律“两个数相乘，可以交换它们的位置，乘积不变”，若用数来表示这个一般规律就无能为力了.于是，引起了数学史上数的再一次抽象，

即用字母表示数，这主要归功于法国数学家韦达（1540-1603），他引入了用字母等符号表示数，首次用元音字母表示未知数，辅音字母表示已知数，从而使代数不仅仅用数，也可用字母表示，推进了代数问题的一般讨论，因此韦达被称为“代数学之父”.1637年，法国数学家笛卡尔采用更简洁的符号表示数：用a ，b ，c …代表已知数；x ，y ，z …代表未知数，初步建立了代数符号系统，发展成为今天的习惯用法（不过他们当时都是在正数的情况下进行讨论）.用字母表示数使人类摆脱了使用具体数字研究问题的局限，提供了揭示数量关系一般性的可能，有助于探索事物的内在联系，是数学发展史上的一个里程碑.

一天中的最高气温与最低气温的差叫做日温差. 如果某天最高气温是05C 最低气温是03C -，那么这天的

日温差是多少05(3)C --？

议一议

笑笑说：“从上往下看，从05C 到03C ， 温度下降了0538()C +=” 淘气说：“减法是加法的逆运算，因为8(3)5+-=，所以5(3)8--=.” 笑笑和淘气的算法正确吗？

比较他们的算法是：

5(3)8

35+38

5(3)53

--=↓-=--=+减号变成加号变成它的相反数3

所以，

试一试 (1)5(3)5__--=+ (2)535__-=+ (3)5(3)5__

---=-+ (4)535__--=-+ 你能得出什么结论?

有理数减法(subtraction)法则

减去一个数等于加上这个数的相反数. 字母表示：()a b a b -=+-.

由此可见：有理数的加减混合运算可统一为加法运算. 例5. 计算

（1）(-32)-(+5)； （2）7.3-(-6.8)； （3）(3)1--； （4）258+-. 解：

减号变加号 减号变加号

（1） (32)(5)(32)(5)37--+=-+-=-. （2）7.3( 6.8)7.3( 6.8)14.1--=++=

减数变相反数 减数变相反数 （3）(3)1(3)(1)4--=-+-=-.

（4）25825(8)7(8)1+-=++-=+-=-.

在把有理数加减混合运算统一为加法的算式中， 负数前面的加号可以省略不写. 例如

25(8)++-可以写成258+-，它表示2、5与8-的和，我们把省略加号的和叫做代数和.

例6. 计算

（＋16）－（＋27）＋（－5）－（－42）.

解：原式＝＋16＋（－27）＋（－5）＋（＋42） 统一为加法

＝＋16－27－5＋42 省略加号，保留性质符号

读作：“正16，负27，负5，正42的和.” 把“＋”，“－”号看作性质符号 也可以读作“正16减27减5加42.” 把“＋”，“－”号看作运算符号 用代数和进行计算时，可任意的使用交换律和结合律，并且不用添加括号.

如例3和运算过程可以简单的写为： 原式＝＋16－27－5＋42

＝＋16＋42－27－5 ＝58－32 ＝26.

例7．计算：

(1)24 3.216 3.50.3-+--+； (2)()25.03243332210+-???

??--??? ??++-.

解：(1)因为原式表示-24，3.2，-16，-3.5，0.3的和，所以可将加数适当交换位置，并

作适当的结合进行计算，即

原式=-24-16+3.2+0.3-3.5

=-40+3.5-3.5 =-40+0

=-40.

(2) 原式=??

?

??-+??? ??++??? ??++-413243332210=41324333221-++-

=41433323221-++-=2

1

321+-=2117-.

例8：-3、+5、-7的代数和比它们的绝对值的和小多少？

分析：需要大家理解代数和的概念、绝对值的和及比大小的问题的求法. 解：由题意得：(|-3|+|+5|+|-7|)- (-3+5-7) = (3+5+7)-(-5) =15+5=20.

算一算. 利用代数和做下列加减混合运算.

（1）8( 2.25)( 3.25)-+--+

（2） 3111

2(1)3(4

)44242

---+-+

读一读

从数的运算来看，任何两个正整数相加，结果仍是正整数.我们说加法运算在正整数范围内是“通行无阻”的.但是，任何两个正整数相减，结果却不一定是正整数.有了0和负数，减法运算在整数范围内也就没有“障碍”了.同样，一个整数乘以一个整数，结果还是整数，但是，一个整数除以另一个整数，结果不一定是整数，于是又有了分数，从而有了有理数的概念.由此可见，满足运算的需要，是数的扩充的另一个重要运算.

练一练

一、 基础落实 1.计算

（1）1123-+ （2）21()32+- （3）13

4(3)48

-++

（4）153

5(1)464

--- （5）16(25)24(35)+-++-

33(6)(4)( 3.184)(4)88++-+- （7）(72)(1518)----（8）23132

[(12)()]

34243---+--+

2. 填空

(1)(15)()100;(2)(15)()1002121(3)()(

);(4)()(

)3

3

3

3

+-=---=---=-+=-

3. 10袋小麦称重记录如下：

107，105， 96，106，104，103，97，98，108，101. （1） 求这10袋小麦的总重量. （2） 平均重量是多少？

4. 死海，西亚著名大盐湖，湖面海拔高度为－413米. 我国最大的咸水湖是位于我国西部的青海湖，湖面海拔高度为3195米. 这两个咸水湖的湖面高度相差多少？

5. 纽约与北京的时差为－13时，小明在北京乘坐早晨八点的航

班飞行约20个小时到达纽约，那么小明到达纽约的时间是几点？

6.分别写出一个满足下列条件的算式:

(1)所有的加数是负整数，和是5-; (2)一个加数是0，和是5-;

(3)至少有一个加数是正整数，和是5-.

7.分别找出一个满足下列条件的整数:

(1)加上23-，和大于0; (2)加上23-，和小于0; (3)加上23-，和等于0;

8.计算（1）123499100-+-++- ，

（2）123499100-+-++-+ .

二、 能力提高

11111100101102102103103101-+-++

计算

.

三、拓展延伸

1.一个地方国际标准时间是指当地与伦敦的时差，北京的国际标准时间为+8，是指在时间上北京比伦敦早8个小时，纽约的国际标准时间为-5，是指时间上纽约比伦敦晚5个小时.下表列出了国外几个城市与北京的时差:

城市 时差/时

纽约 -13 巴黎 7- 东京 1+ 芝加哥

-

14

(1)如果现在北京的时间是7:00， 那么现在东京的时间是多少? (2)淘气现在想给远在巴黎的姑姑打电话，你认为合适吗?

2.如图：

化简：（1）a b + （2）b a -+

如图：

化简：（1）a b + （2）()a b +-

4.5有理数的乘除法

议一议

34(3)4(3)(4)33(3)3(3)(3)32(3)2(3)(2)31(3)1(3)(1)30(3)0?=-?=-?-=?=-?=-?-=?=-?=-?-=?=

-?=

-?-=

?=-?=

观察每列运算的结果，你能得出什么结论?每行呢?

有理数乘法 (multiplication) 法则

两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘. 任何数同0相乘都得0.

说一说 你对乘法法则的认识？

“同号得正”中正数乘以正数得正数就是小学学习的乘法，有理数中特别注意“负负得正”和“异号得负”.

用有理数乘法法则与小学学习的乘法相比，由于介入了负数，使乘法较小学当然复杂多了，但并不难，关键仍然是乘法的符号法则：“同号得正，异号得负”，符号一旦确定，就归结为小学的乘法运算了.

因此，在进行有理数乘法时更需时时强调：先定符号后定值.

想一想 “两个有理数相乘，把其中的一个因数换成它的相反数，所得的积是原来积的

相反数.”这句话正确吗?

算一算 （1）（－4）×（－6） （2）0.58-? （3）2

9()34

?-

例1．计算：11

(1)3(2)(3)()33?=-?-=

1

(1)31

3

11

(2)(3)()(3)1

33

?=-?-=+?=解：

像113333

-- 与，与乘积为

1的两个有理数数互为倒数（reciprocal ）；其中一

个是另一个的倒数.

练一练 写出下列各数的倒数0.3-，35

，215

.

想一想 几个有理数相乘，因数都不为0时，积的符号怎样确定？有一个因数为0时，

积是多少？

算一算

（1）2×3×4×（－5）＝

（2）2×3×（－4）×（－5）＝

（3）2×（－3）×（－4）×（－5）＝ （4）（－2）×（－3）×（－4）×（－5）＝

思考几个正数与负数相乘，积的符号与各因数符号之间有什么关系？ （5） 7×8×0×（－9）＝

想一想

1.交换两块写字板的位置，写字板上的两个数的积是否改变

?

擦去写字板上的数字，再分别在其中各写一个有理数，重复上面的操作，你得到什么结论?

2.任意选择三个有理数(至少有一个是负数)，分别填入下列□、○和◇内，并比较两个算式的运算结果

( □ × ○ )× ◇ 和□ ×( ○ × ◇ ).

比如:[(4)(6)]5_____;(4)[(6)5]______.-?-?=-?-?=

你得到什么结论?

3. 任意选择三个有理数(至少有一个是负数)，分别填入下列□、○和◇内，并比较两个算式的运算结果:□ ×( ○ + ◇) 和 □×○ + □×◇.

比如: (2)[(4)(6)]_____;(2)(4)(2)(6)]______.-?-+-=-?-+-?-=

你得到什么结论?

4.再换几个有理数试一试，你所得到的几个结论仍成立吗?

事实上，小学里学过的乘法的交换律(commutative law)、乘法结合律（associative law ）、乘法分配律(distributive law)，在有理数范围内仍然适用.

有理数乘法运算律

乘法交换律：ab ba =. 乘法结合律：()()ab c a bc =.

乘法对加法的分配律律：()a b c ab ac +=+.

例2：计算：

(1) ()()4385.08?-?-+； (2)()()25.0541653-????

??-??-.

解：(1) 原式=843

218??+= 8+3=11； (先乘后加)

(2)原式=41

59653???- (先定符号)

=8

1

1- . (后定值)

例3：计算：①4×(-12)+(-5)×(-8)+16； ②??

?

??--?1514311843.

解：①原式=8×(-6)+8×5+8×2=8×(-6+5+2)=8×1=8；

②原式=103

41071615144334438431514311843=--=?-?-?=??? ??--?.

算一算（1）2124

1(4)(1)()3257

-?+?-?-（2）213(523)36-?-+

通过求路程我们总结出了乘法法则，反过来，如何由路程和速度求出时间？比如：在哪一秒某人距出发点-12米？

13

1234

31

124

3

1123123

-÷=-↓-?=--÷=-?

除号变成乘号变成它的倒数所以，

有理数除法 (division) 法则

除以一个不等于0的数，等于乘以这个数的倒数.

由此可见，有理数的除法可以转化成乘法，因此有理数的除法还具有以下法则:

两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除.

0除以任何非0的数都得0

例4.计算：

(1) (―53)÷(―23)； (2) ()67624-÷??? ?

?

-； (3)??? ??-?÷-43875.3.

解：(1) 原式=5

3÷2

3=5

3×3

2=5

2；或原式=(-5

3)×(-3

2)=5

2；

(2)原式=()7

147

146

1762467624=+=???? ?

?+=-÷??

? ?

?-；

(3)原式=34

3

782743875.3=??=??? ??-?÷-.

算一算

1.计算下列各式

（1）（－54）÷9 （2）255

()()3612

-

÷- （3）1.44÷（－1.2） （4）94

(81)(16)49

-÷?÷-

2.化简

（1）427- （2）4510

-- （3）035- （4）4329

-

232

)5(--

-

练一练

一、 基础落实

1、计算（1）85(4)-+?- (2)3121(81)435

-?-+

(3) 3.228(9)( 3.272)9( 1.5)9?-+-?--? 1211

(4)()18362÷+-

4531353(5)()()(1)51355135?--÷--?-

2.说出下列各数的倒数:

11313

(1)3(2)(3)(4)22512

---

3.用“,,><=”填空： (1)若a<0， 则a___2a;

(2)若a

(3)若0

，则ab___0.

二、能力提高

11111.11111009943?

???????---- ??? ???

???????? 计算.

2.已知3a+2b=2，求8-6a-4b 的值.

32,5,3,4,1(2)()()(3)()a b c d ab cd

a b c d a b c d bc

==-=-=--+-+++已知求下列各式的值：（）

三、拓展延伸

()1

*3*2*16ab a b ab =

????-1、若定义一种新运算，计算.

a b c abc

a b c abc

2、若a,b,c 为有理数，++=-1且，求的值

.

4.6有理数的乘方

在小学阶段，我们学习了两种基本的运算，即加法和乘法.

乘法性质: b 个相同加数a 的和叫做a 与b 的积，用式子表示为: b c a a a =+++

个

. 求两个数的积的运算叫乘法，记作a b c =

（两个字母相乘，中间的乘号可以省略.） 由此可知，乘法就是加法的一种简便运算. 既然n 个相同加数a 的和叫做a 与n 的积，可记作na . 那么n 个相同数a 的积有没有简便的表示呢？让我们先来看下面的小实验：

将一张报纸对折再对折(报纸不得撕裂)，无法对折为止，把实验的结果填入下表：

对折次数 一次 二次 三次 四次 五次 报纸层数

至于对折10次，20次有多少层？ 2×2×2……×2等于多

少？显然这样的书写和计算都很麻烦，人们在社会和科学的实践中，通常都是寻找一种既简洁又美观的表达形式和方法. 如何用既简洁又美观的形式表示出层数？

2

r r r ?=读作的二次方（或的平方）. 3

a a a a ??=读作a 的三次方（或a 的立方）.

一般地，n 个相同因数a 相乘，记作n a ，即个n

n a

a a a a a ??=

（n 为自然数）. 读作：a 的n 次方.其中，a 为底数(base number)；n 为指数(exponent).

乘方(power)：求n 个相同因数的积的运算，叫做乘方.

注：（1）n a 也叫做a 的n 次幂（从结果而言），即乘方的结果称为幂(power)； （2）从运算的角度看，乘方是一种运算. 如：62中2为底数，6为指数，62（即64）为幂；

62可读作2的六次方（从运算符号而言），也可读作2的六次幂（从结果而言）.

在学习了乘方之后，我们学过的运算可以总结为：

运算 加法 减法 乘法 除法 乘方 --- 结果 和

差

积

商

幂

---

试一试 计算并指明底数、指数、幂.

（1）6222222264=?????=

（2）611111111

()222222264

=??

???=

（3）3(4)(4)(4)(4)64-=-?-?-=-

（4）6(2)(2)(2)(2)(2)(2)(2)64-=-?-?-?-?-?-=

（5）100(1)1-= （6）101(1)1-=- （7）1000=

从上面的运算可以看出 （1） 负数可以作为底数;

（2） 21(1)1n +-=-，2(1)1n -=;

（3）正数的任何次幂都是正数；负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数.

符号表示：当0a >时，0n a >；当0a =时，0n a =；

当为正偶数时，0

当0时当为

正奇数时，0n n

n a a n a ?>

（1）4(2)-＝ 4

2-＝

（2）2

(3)-＝ 2

3-＝

（3）5(2)-＝ 5

2-＝

（4）3

(3)-＝ 3

3-＝

想一想 ()n a -和n a -的是否相同?

个()

()()()()()n n a a a a a a --=----

读作“a -的n 次方”.

个n

n a

a a a a a -=-??

读作“a 的n 次方的相反数”. （2）()n a -和n a -的是否相等，何时相等？何时不等？ 当n 为奇数时，()n a -＝n a -，

当n 为偶数时，()n a -和n a -不相等，此时()n n a a -=与n a -互为相反数. 例2. 计算：

（1）3[(3)]-- （2）3(3)-- （3） 6(2)-- （4） 6[(

2)]-- （5）2

2()3

（6）223

想一想 分数的乘方需要注意哪些问题？.

科学记数法

“先见闪电，后闻雷声”，那是因为光的传播速度大约为300000000m s ，而声音在常温下的

传播速度大约是340m s . 人体中大约有25 000 000 000 000红细胞.

利用乘方，我们可以表示一些较大的数. 例如：

3000000003100000000=?也就是8310?.

25 000 000 000 000=2.51310000000000000 2.510?=?

一般地，一个大于10的数可以写成10n a ?的形式，其中110,a n ≤<是正整数.这种记数法称为科学记数法(scientific notation).

例3.用科学记数法记出下列各数：

(1)696 000； (2)1 000 000； (3)58 000； (4)―7 800 000.

解：(1)原式＝6.96×105；(2) 原式＝106；(3) 原式＝5.8×104；(4) 原式＝―7.8×106.

想一想（1）有多少个0?

101000n =

;

（2）在科学记数法中，10(110,)n a a n N ?≤<∈中10n 的指数n 与原数的整数位数有何关系？

试一试 （1）一个人每天吸入和呼出大约20000升空气，一年吸入和呼出的空气大约

有多少升？

（2）一个成年人的肾脏每天过滤2000升血液，一年过滤多少升血液？

有效数字

我们常会遇到近似数，如π，并采用四舍五入的办法得到某个数的近似数. 对于近似数，通常要考虑它与相应准确数的接近程度.

近似数与准确数的接近程度即近似程度. 对近似程度的要求，叫做精确度. 近似数的精确度通常有以下两种表达方式:

一种是一个近似数，四舍五入到哪一位，就说这个近似数精确到哪一位. 如π＝3.1415926……，

若保留小数点后两位π≈3.14，我们说精确到0.01或说精确到百分位；

若保留小数点后三位π≈3.142，我们说精确到0.001或说精确到千分位；

若保留小数点后四位π≈3.1416，我们说精确到0.0001或说精确到万分位等等.

另一种是指定保留几个有效数字. 对于一个近似数，从左边第一个不是0的数起，到精确到的数位止，所有的数字都叫做这个数的有效数字(significant digits).

如：0.0207有效数字为2、0、7共三个有效数字;

1.20有效数字为1、2、0共三个有效数字;

6000有效数字为6、0、0、0共四个有效数字;

3

610

?有效数字为6，共一个有效数字（特别注意）.

例4.下列由四舍五入法得到的近似数，各精确到哪一位?各有哪几个有效数字?

(1)132.4；(2)0.0572；(3)2.40万.

解：(1)132.4精确到十分位(精确到0.1)，共有4个有效数字1、3、2、4；

(2)0.0572精确到万分位(精确到0.0001)，共有3个有效数字5、7、2；

(3)2.40万精确到百位，共有3个有效数字2、4、0.

注意：由于2.40万的单位是万，所以不能说它精确到百分位.

例5：用四舍五入法，按括号中的要求把下列各数取近似数.

(1)0.34082(精确到千分位)；

(2)64.8 (精确到个位)；

(3)1.504 (精确到0.01)；

(4)0.0692 (保留2个有效数字)；

(5)30542 (保留3个有效数字).

解：(1)0.34082 ≈0.341.

(2)64.8 ≈65.

(3)1.504 ≈1.50.

(4)0.0692 ≈0.069.

(5)30542≈3.05×4

10.

注意：(1)例5的(3)中，由四舍五入得来的1.50与1.5的精确度不同，不能随便把后面的0去掉；

(2)例5的(5)中，如果把结果写成30500，就看不出哪些是保留的有效数字，所以我们用科学记数法，把结果写成3.05×4

10；

(3)有一些量，我们或者很难测出它的准确值，或者没有必要算得它的准确值，这时通过粗略的估算就能得到所要的近似数，有时近似数也并不总是按“四舍五入”法得到的.

例如，某地遭遇水灾，约有10万人的生活受到影响. 政府拟从外地调运一批粮食救灾，需估计每天要调运的粮食数. 如果按一个人平均一天需要0.5千克粮食算，那么可以估计出每天要调运5万千克的粮食.

又如某校初一年级共有112名同学，想租用45座的客车外出秋游. 因为112÷45＝2．488…，这里就不能用四舍五入法，而要用“进一法”来估计应该租用客车的辆数，即应租3辆车.

练一练

一、基础落实

1.用科学记数法表示下列各数：

（1）地球的半径大约为6400km；

（2）地球与月球的平均距离大约为38400km；

（3）地球与太阳的距离大约为150 000 000km.

2.下列有科学记数法表示的数，原来各是什么数？

968

(1)1.310(2)9.59710(3)2.010

???

3.判断下列各式是否成立.

（1）(1)1

n

-=-

（2）当n为奇数时，()n n

a a

-=-，当n为偶数时()n n

a a

-=

（3）若220

a b

+=则0

a=且0

b=

（4）若330

a b

+=则a和b互为相反数

（5）22

a a

=

4．用四舍五入法，按括号中的要求取下列各数的近似数.

（1）4.38462（精确到千分位）（2）48.795（精确到0.01）

（3）0.07651（保留两个有效数字）（4）876000（保留两个有效数字）

5．指出下列各数的精确度和所含有的有效数字的个数.

（1）4.304 （2）43.04 （3）43.04万（4）5

4.30410

?

4.7有理数的混合运算

算一算44

71

2(1)()

82

-?-÷-

小学里，我们在进行四则混合运算时，要按“先乘除，后加减”的顺序运算，如果算式中有括号，就先进行括号内的运算.

在上面的算式中，含有有理数的加、减、乘、除、乘方等多种运算，像这样的有理数的混合运算，我们有以下运算顺序：

有理数混合运算顺序

算乘方，再算乘除，最后算加减；

同级运算，按照从左至右的顺序进行；

如果有括号，就先算小括号里的，再算中括号里的，最后算大括号里的.

注意：①加法和减法叫做第一级运算；乘法和除法叫做第二级运算；乘方和开方(今后将会学到)叫做第三级运算.

②可以应用运算律，适当改变运算顺序，使运算简便.

447115

2(1)()16()16480

828

-?-÷-=-?-?= 例1.计算：3＋50÷22

×(51-)－1

解：原式=3＋50÷4×(5

1

-)－1 (先算乘方) =15141503-???

?

??-??+ (化除为乘)

=2

1

125315141503-=--=-??- (先定符号，再算绝对值) 例2. 计算：10

1

4

1

1213

1÷

÷???

? ??-

解：原式=34105

4

611014112131-=????? ??-=÷÷??? ??-.

想一想 要准确完成这道练习，需要注意哪些地方？

例3.计算：27

8

2411

8133

18833?÷???

?

??-?

解：原式=??

?

??-???

82532525242788

27=8

25

25243252524?-?=8―3=5. 由以上运算可知，把原算式根据运算法则统一为乘法，又把括号里的数字视为一个数，

再次运用乘法交换律，利用倒数关系，使问题进一步简化，最后又根据数学特征，运用乘法分配律，顺利达到目的.本例在求解过程中，不断创新，寻求新的解法，这样既把所学知识用活，用巧，又培养自己的创新能力，提高数学素养.

4325

4.(3)[()()]

39-?-+-例计算

解法一: 81523

81[]81()69272727=?--=?-=-原式.

解法二: 815

81+81()2425692727

=?-?-=--=-原式().

议一议 ①2÷(21

―2)与2÷2

1-2有什么不同?

②2÷(2×3)与2÷2×3有什么不同?

试一试 计算：（1）??

?

??-÷??? ??-?22

176412；（2）21[1(10.5)][2(3)]

3

--??--

练一练

一、 基础落实

有理数的加、减、乘、除、乘方混合运算

434

(1)3(27)[(2)()(2)]3-÷---?-+-24(2)(4)(3)5(7)2-?--?--（3）23121[3()2]23-?-?--

（4）2

2314(3)[6()()]342-?--?---÷（5）12124(32)()5373

--+÷- （6）45317

4

[3()(2)]16434

--?-+-+-.

二、能力提高

()3

2

32010

20102,1(1)x x y xy

y -=-2

1、已知=.求的值；(2)的值

.

()()1;*1,2*342*1b b a b a b a ??=+-=-??????2、定义运算，*，对任意两个整数a,b 都有a 试求的值

b

a

2244ab c

a c +-++2

3、已知：a 是最小正整数，b,c 是有理数，且2+b +(3a+2c)=0,求:的值

三、 拓展延伸

m m n 221、已知：=9,=4,mn<0,求：（2+n)+mn 的值.

2、已知201032a a a a A ++++= ，若1=a ，则___=A ，若1-=a ，则___=A .

有理数混合运算练习

一、精心选一选，慧眼识金 1、下列说法正确的是（ ）

A 、整数就是正整数和负整数

B 、负整数的相反数就是非负整数

C 、有理数中不是负数就是正数

D 、零是自然数，但不是正整数 2、 下面说法正确的有（ ）个

① π的相反数是－3.14；②符号相反的数互为相反数；③ －（－3.8）的相反数是3.8；④ 一个数和它的相反数不可能相等；⑤正数与负数互为相反数． A 、0 B 、1 C 、 2 D 、3

3、若三个有理数的和为0，则下列结论正确的是（ ） A 、这三个数都是0 B 、最少有两个数是负数 C 、最多有两个正数 D 、这三个数是互为相反数

4、某地今年1月1日至4日每天的最高气温与最低气温如下表：

日 期 1月1日 1月2日 1月3日 1月4日 最高气温 5℃ 4℃

0℃

4℃

最低气温

0℃

2-℃ 4-℃ 3-℃

其中温差最大的是（ ）

A 、1月1日

B 、1月2日

C 、1月3日

D 、 1月4日

5、已知有理数a 、b 在数轴上的位置如图所示，下列结论正确的是（ ） A 、a ＞b B 、ab ＜0 C 、b -a ＞0 D 、a +b ＞0

6、下列等式成立的是（ ）

A 、100÷7

1

×（-7）=100÷??

????-?)7(71 B 、100÷7

1×（-7）=100×7×（-7） C 、100÷71×（-7）=100×71×7 D 、100÷7

1×（-7）=100×7×7 7、6

)5(-表示的意义是（ ）

A 、6个-5相乘的积

B 、－5乘以6的积

C 、5个-6相乘的积

D 、6个-5相加的和 8、不超过3

)2

3(-的最大整数是（ ） A 、–4 B –3 C 、3 D 、4 9、下列各式中正确的是（ ）

A 、22)(a a -=

B 、33)(a a -=

C 、|| 22a a -=-

D 、|| 33a a =

10、在1,2,3,……,99,100这100个数中,任意加上“+”或“－”，相加后的结果一定是 （ ） A 、 奇数 B 、 偶数 C 、0 D 、不确定

二、细心填一填，一锤定音

11、把(－12)－(－13)+(－14)－(+15)+(+16)统一成加法的形式是________________,写成省略加号的形式是_________________,读作 ．

12、两个有理数之积是1，已知一个数是-7

1

2

，则另一个数是 ． 13、结合生活经验．．．．

,对式子(+6)+(－9)=－3作出解释 ． 14、我国的国土面积约为九佰六十万平方千米,用科学记数法写成约为___________2

km ． 15、计算：=-?-20042003)5.0()2(__________；（-2）

100

+（-2）101= .

16、小刚学学习了有理数运算法则后，编了一个计算程序，当他输入任意一个有理数时，显示屏上出现的结果总等于所输入的有理数的平方与1的和，当他第一次输入2，然后又将所得的结果再次输入后，显示屏上出现的结果应是 ．

三、耐心解一解，马到成功

17、（1）)411()413()212()411()21

1(+----+++- （2） )4

15

()310()10(815-÷-?-÷

（3）)411()2(32)53()5(2

3-?-÷+-?- （4）()3

3

2122316293??--?-÷-

???

（5）32

2)43

(6)12(7311-????

???÷-+-- （6）232223)2()2()2(2--+-+---

18、画一条数轴，并在数轴上表示：3.5和它的相反数，－21和它的倒数，绝对值等于3的数，最大的负

整数和它的平方，并把这些数由小到大用“<”号连接起来．

拓广探究题

19、已知a 、b 互为相反数，m 、n 互为倒数，x 绝对值为2，求x n

m c

b mn --++

-2的值．

20、已知水结成冰的温度是

0C ，酒精冻结的温度是–117℃。现有一杯酒精的温度为12℃，放在一个制冷装置里、每分钟温度可降低1.6℃，要使这杯酒精冻结，需要几分钟？（精确到0．1分钟）

21、有若干个数，第一个数记为a 1，第二个数记为a 2，…，第n 个数记为a n 。若a 1=

2

1

，从第二个数起，每个数都等于“1与它前面那个数的差的倒数”。试计算：a 2=______，a 3=____，a 4=_____，a 5=______。这排数有什么规律吗？由你发现的规律，请计算a 2008是多少？ 22、如果规定符号“﹡”的意义是a ﹡b =

ab

a b

+，求2﹡(3)-﹡4的值，这个运算满足交换律吗？结合律呢．

综合题

23、若a 、b 、c 均为整数，且∣a －b ∣3＋∣c －a ∣2＝1，求∣a －c ∣＋∣c －b ∣＋∣b －a ∣的值．

24、如图所示，一个点从数轴上的原点开始，先向右移动3单位长度，?再向左移动5个单位长度，可以

看到终点表示的数是-2，已知点A ，B 是数轴上的点，?请参照图1-8并思考，完成下列各题:

-5-4

-3

-2

-1

2

3

4

5

6

7

8

53

1

https://www.360docs.net/doc/619478993.html,

（1）如果点A 表示数-3，?将点A?向右移动7?个单位长度，?那么终点B?表示的数是_______，A ，B 两

点间的距离是________；

（2）如果点A 表示数3，将A 点向左移动7个单位长度，再向右移动5个单位长度，? 那么终点B 表示的数是_______，A ，B 两点间的距离为________；

（3）如果点A 表示数-4，将A 点向右移动168个单位长度，再向左移动256?个单位长度，那么终点B 表示的数是_________，A ，B 两点间的距离是________；

（4）一般地，如果A 点表示的数为m ，将A 点向右移动n 个单位长度，再向左移动p?个单位长度，那么，请你猜想终点B 表示什么数？A ，B 两点间的距离为多少？

有理数中的数学思想：

（一）转化思想：所谓转化思想就是把新知识转化为旧知识，把未知转化为已知，转化思想

是有理数运算中的精髓，不仅是有理数加减法中包含着转化思想，除法运算也是通过转化思想来实现的，“除以一个数等于乘以这个数的倒数”，这充分体现了有理数乘除运算中的转化，同时也为有理数混合运算奠定了基础。有理数混合运算的转化包含两层意思，一是有理数乘除之间的运算形式的转化；二是有理数乘除各自运算过程内的

转化，如：3)26()2()6(,6)23()2()3(+=÷+=-÷--=?-=-?+

（二）数形结合：我国著名数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直觉，形缺数时难入微”。把

抽

象的数与直观的图形结合起来，从而使问题化难为易，化繁为简。本章数轴与数的对