多元函数积分学

多元函数积分学
多元函数积分学

多元函数积分学

一. 计算

【例1】(分段函数积分)设(),01,

,,0,x x f x D x y ≤≤?=-∞<<+∞-∞<<+∞?

?为其他,

()()__________.D

f y f x y dxdy +=??

解 由于

()(),01,,01,

0,0,y y x y x y f y f x y ≤≤+≤+≤??=+=??

??其他,其他,

故在区域1{(,):1,01}D x y y x y y =-≤≤-≤≤上(),(),f y y f x y x y =+=+ 在1D 的外部()0,()0.f y f x y =+= 于是

1

111120010()()()1()()2

1124

|D

D y

y

y y f y f x y dxdy y x y dxdy

dy y x y dx y x y dy ydy ----+=+=+=+==??????

??

【例2】(“穿针法”与“截面法”) 曲线()22,

,0

x z f x y y ?==?=?绕z 轴旋转一周生成的曲面与

1,2z z ==所围成立体区域记为Ω,求222

1

.dxdydz x y z

Ω

++???

(赛.2006.苏) 分析:计算三重积分常用的方法是“穿针法”与“截面法”,若积分区域是旋转体,一般使用“截面法”.

解 曲面方程为222,x y z +=

记222():.D z x y +≤ 则 原式

=

2

22222221

100()

1D z dz dxdy dz d d x y z z πρ

θρρ=+++?

????

=2

22201

1122ln()ln 12z dz z π

ρπ??

+=+ ???

?

?

=22

1

1224ln 13ln 23|z dz z z πππ??++= ?+???.

【例3】 (球坐标,柱坐标)

计算1, 1.I dxdydz z Ω

=

Ω≤其中

分析 被积函数中含有绝对值的积分,在计算时先要去掉绝对值,这是解题的一般方法. 因

此要将积分区域分成几部分. Ω是椎体的部分,

1的零值面是单位

球面,它将Ω分成2部分.

解 积分区域被单位球面分成上下两部分12ΩΩ和, 于是

1

2

11)(1I dxdydz

dxdydz dxdydz

Ω

ΩΩ==+-??????

以上积分均要采用球面坐标计算:

1

4

cos 1

22001

201

1)(1)sin 2sin (1)4)

12

dxdydz d d r r dr

d r r dr π

?

ππ

π

θ??π

π??Ω=-=-=

??????

??

14

cos 2

220

1

1

200

(1(1)sin 2sin (1)(212

dxdydz d d r r dr

d r r dr π?

π

π

θ??π

π??Ω=-=-=

??????

??

所以1)6

I π

=

.

【例4】(利用积分换序)

()

2

11

______.t t

tdt e

dx =??

分析:2

2

22,cos ,sin ,x x e x x e -等函数的原函数没初等表达式,对它们直接积分是积不出的,在累次积分中一般用积分换序来处理.

解 原式()2

22

1

120

00011

(1).26|t t x x

x dx te dt x e dx e ??===- ??????

【例5】(利用积分与路径无关) 计算曲线积分22,4L xdy ydx

I x y -=

+? 其中L 是以点(0,1)为

中心,R 为半径的圆周(1)R >取逆时钟方向.

解 2222,,44y x P Q x y x y -==++ 22224,(,)(0,0),(4)P y x Q

x y Q x y P

?-?==≠?+?

作足够小的椭圆cos ,:([0,2],)2

sin x C C y δθθπδθ

?=?

∈??=?取逆时钟方向,于是由格林公式有 22

0,4L C xdy ydx x y -

+-=+?

即2

122

222220.44L C xdy ydx xdy ydx d x y x y πδθπδ--===++??? 【例6】(原函数法)计算曲线积分43224(4)(65),L

I x xy dx x y y dy L =

++-?

其中为曲线

21

(3)5

y x =--上点(2,1)A --沿逆时钟方向到该曲线上点(3,0)B 的一段曲线. (赛.2000.

苏)

解 令432244,65,P x xy Q x y y =+=- 则2

12x y Q P xy ==且,P Q 在全平面上偏导数连续,所以Pdx Qdy +存在原函数,用观察法看出5

23512,5

u x x y y =

+-使.du Pdx Qdy =+ 于是

(3,0)

523

5(2,1)

12625|I x x y y --??=+-

= ???

. 【例7】(利用格林公式)设Γ为222(0)x y x y +=≥上从(0,0)O 到(2,0)A 的一段弧,连续函数()f x 满足:()()2

2()()x

x

f x x y f x e dx e

xy dy Γ

=+++-?,求()f x .(赛.2008.

苏) 解 设

()()2()x x y f x e dx e xy dy a Γ

++-=?

,则2()f x x a =+. 记Γ与AO 包围的区

域为D ,应用格林公式,

22(())()(())()x x x x a y f x e dx e xy dy y f x e dx e xy dy Γ+Γ

=++--++-?

?

2

2

222cos 22

300

40

()0

()2

34cos .242

x x D

D D

e y x a e dxdy x y dxdy a dxdy d d a d a a π

π

θ

π

θρρπ

π

θθπ=------=

++=+

=+

=+????????

?

从而32(2)a ππ=

-, 于是2

3().2(2)

f x x ππ=+

- 【例8】(利用公式直接计算)计算

,S

dS

z ?? 其中S 是球面2222x y z a ++=被平面

z h =(0)h a <<所截的顶部.

分析:第一型曲面积分的计算公式:若(,,)f x y z 在光滑曲面:(,),(,)S z z x y x y D =∈

上连续,则

(,,)(,,(,S

D

f x y z dS f x y z x y =????.

解 曲面S

的方程为z =定义域D 为圆域:2222x y a h +≤-.

由于

=

所以

2222220022

2200

2ln()2ln S D

dS a a dxdy d rdr z a x y a r r a a

dr a a r a a r h

πθπππ==---==--=-?????. 说明:第一型曲线积分公式,第二型曲线积分公式也要熟练掌握.

【例9】(利用对称性) 计算222

2

222(), 1.x y z x y z dV a b c Ω

++Ω++≤???其中:

解 令222

(222),I x y z xy yz xz dV Ω

=

+++++??? 由对称性知 0.xydV xzdV yzdV Ω

Ω

Ω

===?????????

方法一:用截面法求

2z dV Ω

???. 记{(,,):0}x y z z +

Ω

=∈Ω≥,

22

222

2

2220

:

122

220

224

21,

15c x y z D a

b

c

c

z dV z dV z dz d z z ab dz abc c σ

ππ+

Ω

Ω+≤-==??=?-= ???

?????????

?

由对称性

22

24

15

x dV y dV abc πΩ

Ω

==??????. 故原式=

2224

().15

abc a b c π++

方法二:利用对称性求

2z dV Ω

???. 由轮换对称性知 222

222,z x y dV dV dV c a b ΩΩΩ

==????????? 利用广义球坐标变换:cos sin ,sin sin ,cos ,x ar y ar z cr θ?θ??=== 得

22222122222200014sin ,315z x y z dV dV d d r abcr dr abc c a b c πππθ??Ω

Ω??=++=?= ???????????? 故原式=

2224

().15

abc a b c π++ 【例10】(高斯公式)计算()(),S

x y dxdy y z dydz -+-??

其中∑为柱面221x y +=及平面0,3z z ==所围成的空间闭区域Ω的边界曲面的外侧. 解 记(),0,,P y z x Q R x y =-==- 由高斯公式,得

()()[()00]().

S P Q R x y dxdy y z dydz dV x y z y z dV y z dV ΩΩ

Ω

?????-+-=++ ??????=-++=-??????????? 方法一:利用对称性和三重积分的物理意义 (1)

0,ydV xOz y Ω

=Ω???其中关于面对称,被积函数为的奇函数.

(2)

39

3,22zdV z V ππΩ

=?=?=???这里依据物理意义知, ,3.π?

?ΩΩ ??

?

3的质心坐标(x,y,z )=0,0,的体积为2 方法二:利用对称性和截面法 223

30

0:1

9

0.2z

D x y zdV zdz

d zdz σππΩ

+≤=-

=-=-=-???????原式 方法三:用柱坐标计算

2130009

(sin ).2

d rdr r z dz πθθπ=-=-???原式

【例11】(综合题1)计算曲面积分

333

(),x y z dS ∑

++∑??其中为曲面

0.z a =>

解 因曲面∑关于0x =对称,函数3

x 关于x 为奇函数,所以

30;x dS ∑

=∑??因曲面关于 3300.y y y y dS ∑

==??对称,函数关于为奇函数,所以 于是

3

2322222

22

22

3

()()()2

D

a

D

z dS a x y a a x y dxdy a d a d a

ππ

θρρρ∑==--=--=-=

????????原式

这里222:.D x y a +≤

【例12】(综合题2)设()f x 连续可导,(1)1,f G =为不包含原点的单连通域,任取

,M N G ∈,在G 内曲线积分2

1

()2()

N

M

ydx xdy x f y -+?

与路径无关. (赛.2004 .苏) (1)求();f x

(2)求21

()2()

ydx xdy x f y Γ-+?,其中Γ为222

333,x y a += 取正向. 解 记22

(,),(,),2()2()

y x

P x y Q x y x f y x f y -=

=++ 因为在G 内曲线积分N

M

P d x Q d y

+?

与路径无关,所以(,)x y G ?∈有,Q P

x y

??=?? 即 22'

222

22()2()()(2())(2())

x f y x f y y f y x f y x f y -+-=++. 由此推得'()2(),yf y f y = 又(1) 1.f = 解此变量可分离的微分方程得2().f y y =

2().f x x =于是

取小椭圆222:2,x y εεΓ+= 取正向,ε为充分小的正数, 使得εΓ位于Γ的内部. 设Γ与εΓ所包围的区域为D . 在D 上,,P Q 的一阶偏导数连续,,x y Q P = 应用格林公式得

()0x y D

Pdx Qdy Q P dxdy ε

-Γ+Γ+=-=?

??,

这里ε-

Γ为负向(即顺时钟方向),于是

原式2222

2

2

sin cos

.

Pdx Qdy Pdx Qdy Pdx Qdy

d

εε

πεθεθθ

ε

-

ΓΓΓ

=+=-+=+

?

--

==

?

?

???

?

【例13】(综合题3)已知点(1,0,0)

A与点(1,1,1)

B,∑是由直线AB绕Oz轴旋转一周而成的旋转曲面介于平面0

z=与1

z=之间部分的外侧,函数()

f u在(,)

-∞+∞内具有连续导数,计算曲面积分

22

[()2][()](1).

I xf xy x dydz y yf xy dzdx z dxdy

=-+-++

??

解直线AB的方程为

1

,

011

x y z

-

==直线

1,

:

x

AB

y z

=

?

?

=

?

绕z轴旋转而成的旋转曲面的方程为222

1

x y z

+=+,即2221

x y z

+-=. 记

22

()2,(),(1)

P xf xy x Q y yf xy R z

=-=-=+,则

''

()()2,2()(),2(1) P Q R

f xy xyf xy y f xy xyf xy z

x y z

???

=+-=--=+???

于是2().

P Q R

y z

x y z

???

++=+

???

补面22

1

:0(1)

z x y

∑=+≤,下则;22

2

:1(2)

z x y

∑=+≤,上则. 由高斯公式知,12

(22)

P Q R

I Pdydz Qdzdx Pdxdy dV

x y z

y z dV

∑+∑+∑Ω

Ω

??

???

=++=++

?

???

??

=+

?????

???

由对称性知,0,

ydV

Ω

=

???利用截面法得

222

113

00

:1

3

(),

4

z

D x y z

zdV zdz d z z dz

σππ

Ω+≤+

==+=

???????,

12

3

.

2

∑+∑+∑

==

?? 又

1

1

2

2

12,

448,D

D

I Pdydz Qdzdx Rdxdy dxdy dxdy I Pdydz Qdzdx Rdxdy dxdy dxdy ππ∑∑∑∑=++==-=-=++===????????????

所以01211.3

I I I I π=--=-

二. 应用

【例1】 设222()0(0)0,2,f u u f x y z tz ==Ω++≥在可导,: 求 2

223

01lim

().t f x

y z dV t →+Ω

++??? (赛.2002.苏)

解 用球坐标计算三重积分,有

22arccos 2

22

220

022arccos

222220

()()sin 2()(cos )2()12|

r t

r t

t

t f x

y z dV d dr f r r d r r f r dr r f r dr

t πθ??

π?πΩ

++=?

?=-=?- ???

??????

??

于是

222

2

3

20

06

022222

54002'201()()22lim

()2(2)(4)2lim

2lim 63032(4)(0)32lim (0)15415

t

t t t

t t t t r f r dr r f r dr

t r f r dr

t f t t t

f t f f t ππππ→+→+→+→+-===-==?

??原式

【例2】 求2

01lim

sin().6t t x t dx xy dy →+??(赛.2008.苏) 解 交换积分次序

220

sin()sin()t

t t y

x

dx xy dy dy xy dx =?

???

两次应用洛必达法则和积分变换得

2

2

240

5

5

5000sin()sin 2sin 1

lim

lim

lim 663618

t

t t t t tx dx u du t t t t t →+

→+

→+====??原式.

【例3】一质点在变力F 2[cos ,sin ]x x xy e y x e y --=++的作用下,从原点沿抛物线

2y x =运动到点(1,1),A ,再沿直线运动到B(0,2), 求在该过程中变力所做的功.

解 变力所做的功为2(cos )(sin ).x

x L

W xy e

y dx x e y dy --=

+++?

设2cos ,sin ,x x P xy e y Q x e y --=+=+ 则

2s i n ,s i n

.x x Q P

x e y x e y x y

--??=-=-?? 添加有向线段BO 与L 构成封闭正向回路,由格林公式知

212123005(2).12x L BO D D x Q P d xd dx xdy x x x dx x y σσ-+????=-===--= ?????

???????? 又:0,:20,BO x y =→ 则

2

s i n c o s 2 1.

BO

ydy ==-?

? 所以,517

(cos 21)cos 2.1212

W =

--=- 【例4】 设函数(,),(,)P x y Q x y 具有一阶连续偏导数,且对任意实数00,x y 和任意实数

R ,皆有(,)(,)0,L

P x y dx Q x y dy +=?其中L 是半圆:0y y =

(,)

0,0.Q

P x y x

?≡≡?(赛

.1998.京) 分析:只要对平面任意点(00,x y )证0000(,)

(,)0,0.|x y Q

P x y x ?==? 为此可由格林公式和积分中值定理考虑.

解 设00(,)x y 是平面上的任一点,只需证0000(,)(,)0,

0.|x y Q

P x y x

?==?

作半圆 0y y =由题设0,BCA

Pdx Qdy +=?

故有

,BCAB

AB

AB

Pdx Qdy Pdx Qdy Pdx +=+=?

??

由格林公式

(),x y BCAB

D

AB

Pdx Qdy Q P dxdy Pdx +=-=?

??? 其中D 是闭曲线BCAB 所围成区

域,利用积分中值定理得

210(,)

(,)2()2

|

x y P y R Q P R ξηπ

ξ=-,其中100[,],(,).x R x R D ξξη∈-+∈

两边约去R ,并令0,R → 得00(,)0P x y =,即(,)0P x y ≡. 所以00(,)

()

0|

x y x y Q P -=,

00(,)

0|

x x y Q =,即0x Q ≡.

【例5】设有一半径为R 的球形物体,其内任意一点P 处的体密度01

,||

PP ρ=

其中0P 为一定点,且0P 到球心的距离0r 大于

R ,求物体的质量. (赛.2001.京) 解 以球心为原点建立空间直角坐标系,使点0P 位于z 轴的00(0,0,)P

r 处. 利用球面坐标及余弦定理,球体内任一点(,,)P r ?θ到0P

的距离等于

0||PP = 则该物

体的质量

2222

22

00003

1||24.3R x y z R R

m dv d r dr PP R

dr r r ππθππ++≤====

???????

【例6】设函数(),()[,]f x g x a b 在区间上都连续,且都单调增加,证明:

()()()()()b

b

b

a

a

a

f x d x

g x d x b a

f x

g x d x

≤-?

?? 证 转化为二重积分证明. 考虑二重积分 [()()][()()]

b

b

a

a

I f x f

y g x g y dxdy =

--?? 因为函数(),()[,]f x g x a b 在区间上都单调增加,则对于[0,1]上任何,x y ,必有 [()()][()()]0.f x f y g x g y --≥ 故由二重积分的保号性知0.I ≥ 又

()()()()()()()(),

b

b

b

b

a a

a

a

b b

b b

a

a

a

a

I f x g x dxdy f x g y dxdy

f y

g y dxdy f y g x dxdy =-+-??

?

?

?

?

?

?

在上式右端第3、4项中将字母,x y 对调,得 ()

2

()()()()b

b b b a

a

a

a

I f x g x d x d y f x g y d x d y

=-??

??

. 将上式两端分别化为两次积分,得

()()()()b

b

b

b

a

a

a

a

f x d x

g y d y f x g x d x

d y

≤?

?

?

? 整理得()()()()().b

b b a

a

a

f x dx

g x dx b a f x g x dx ≤-?

??.

习题

1. 设Γ是sin (0)(0,0)(,0)y a x a π=>上从到的一段曲线,___________a =时,曲线

积分

2

2()(2)y x y dx xy e dy Γ

+++?

取最大值. (赛.2006.苏)

2.

5

51

1

______.ln y

dy dx y x

=?

?

3. 求

|sin()|,:02.D

y x d D x y σπ-≤≤≤??

其中

4. 曲线22,

0,x z y ?=?=?

绕z 轴旋转一周生成的曲面与1,2z z ==所围成的立体区域记为Ω. 求

222

().x y z d x d y d z Ω

++??? (赛.2006.苏)

5. 求证:

2223

3, 1.2x y z ππΩ

<<Ω++≤其中为 (赛.2004.苏) 6. 设曲线AB 的极坐标方程为1cos (),2

2

π

π

ρθθ=+-

≤≤

一质点P 在力F 的作用下沿

AB 从点(0,1)A -运动到点(0,1)B , 力F 的大小等于点P 到定点(3,4)M 的距离,其

方向垂直于线段MP ,且与y 轴正向的夹角为锐角,求力F 对质点P 所作的功。(赛.2002.苏)

7. 计算2222

2

2

[(2)(3)],0.0,L x y z a x y ds a x y z ?++=++-Γ>?++=?

? 其中: 8. 计算

22

()(4),4L

x y dx x y dy

x y -+++? 其中L 为不通过原点(0,0)O 的简单光滑闭曲线,L 为逆时钟方向. 9. 计算曲面积分

242(1),zxdydz zydzdx z dxdy ∑

-+-??

其中∑为(0)y z e y a =≤≤绕z

轴旋转一周所成曲面之下侧.

多元函数微分学知识点梳理

第九章 多元函数微分学 内容复习 一、基本概念 1、知道:多元函数的一些基本概念(n 维空间,n 元函数,二重极限,连续等);理解:偏导数;全微分. 2、重要定理 (1)二元函数中,可导、连续、可微三者的关系 偏导数连续?可微???函数偏导数存在 ?连续 (2)(二元函数)极值的必要、充分条件 二、基本计算 (一) 偏导数的计算 1、 偏导数值的计算(计算),(00y x f x ') (1)先代后求法 ),(00y x f x '=0),(0x x y x f dx d = (2)先求后代法(),(00y x f x '=00),(y y x x x y x f ==') (3)定义法(),(00y x f x '=x y x f y x x f x ?-?+→?),(),(lim 00000)(分段函数在分段点处的偏导数) 2、偏导函数的计算(计算(,)x f x y ') (1) 简单的多元初等函数——将其他自变量固定,转化为一元函数求导 (2) 复杂的多元初等函数——多元复合函数求导的链式法则(画树形图,写求导公式) (3) 隐函数求导 求方程0),,(=z y x F 确定的隐函数),(y x f z =的一阶导数,z z x y ???? ,,,(),,y x z z F F z z x y z x F y F x y x y z ''???=-=-?''????? 公式法:(地位平等)直接法:方程两边同时对或求导(地位不平等) 注:若求隐函数的二阶导数,在一阶导数的基础上,用直接法求。 3、高阶导数的计算 注意记号表示,以及求导顺序 (二) 全微分的计算 1、 叠加原理

一元函数微分学教案

第二章 一元函数微分学 一、 导数 (一)、导数概念 1、导数的定义: 设函数)(x f y =在点0x 的某个邻域内有定义,当自变量在点0x 处取得改变量x ?时,函数)(x f 取得相应的改变量,)()(00x f x x f y -?+=?,如果当0→?x 时,x y ??的极限存在,即x y x ??→?0lim x x f x x f x ?-?+=→?)()(lim 000存在,则此极限值为函数)(x f 在点0x 的导数,可记作)(0x f '或|0x x y ='或|0x x dx dy =或|0 )(x x dx x df = 2、根据定义求导数的步骤(即三步曲) ①求改变量)()(x f x x f y -?+=? ②算比值 x y ??x x f x x f ?-?+=)()( ③取极限x y x f y x ??='='→?0lim )(x x f x x f x ?-?+=→?)()(lim 0 例1:根据定义求2 x y =在点3=x 处的导数。 解:223)3(-?+=?x y 2)(6x x ?+?= x x y ?+=??6 6)6(lim lim 0 0=?+=??→?→?x x y x x 3、导数定义的几种不同表达形式 ①x x x x x f x x f x f x ?+=??-?+='→?00000) ()(lim )(令 ②000)()(lim )(0x x x f x f x f x x --='→ 时 =当0)()(lim )(0000x x x f x f x f x ??-='→? ③x f x f f x )0()(lim )0(0-='→ 4、左右导数的定义: 如果当)0(0-+→?→?x x 时,x y ??的极限存在,则称此极限为)(x f 在点0x 为右导数(左

用MATLAB算多元函数积分

用MATLAB 计算多元函数的积分 三重积分的计算最终是化成累次积分来完成的,因此只要能正确的得出各累次积分的积分限,便可在MA TLAB 中通过多次使用int 命令来求得计算结果。但三重积分的积分域Ω是一个三维空间区域,当其形状较复杂时,要确定各累次积分的积分限会遇到一定困难,此时,可以借助MATLAB 的三维绘图命令,先在屏幕上绘出Ω的三维立体图,然后执行命令 rotate3d on ↙ 便可拖动鼠标使Ω的图形在屏幕上作任意的三维旋转,并且可用下述命令将Ω的图形向三个坐标平面进行投影: view(0,0),向XOZ 平面投影; view(90,0),向YOZ 平面投影; view(0,90),向XOY 平面投影. 综合运用上述方法,一般应能正确得出各累次积分的积分限。 例11.6.1计算zdv Ω ???,其中Ω是由圆锥曲面222z x y =+与平面z=1围成的闭区域 解 首先用MA TLAB 来绘制Ω的三维图形,画圆锥曲面的命令可以是: syms x y z ↙ z=sqrt(x^2+y^2); ↙ ezsurf(z,[-1.5,1.5]) ↙ 画第二个曲面之前,为保持先画的图形不会被清除,需要执行命令 hold on ↙ 然后用下述命令就可以将平面z=1与圆锥面的图形画在一个图形窗口内: [x1,y1]=meshgrid(-1.5:1/4:1.5); ↙ z1=ones(size(x1)); ↙ surf(x1,y1,z1) ↙ 于是得到Ω的三维图形如图:

由该图很容易将原三重积分化成累次积分: 111zdv dy -Ω=???? 于是可用下述命令求解此三重积分: clear all ↙ syms x y z ↙ f=z; ↙ f1=int(f,z.,sqrt(x^2+ y^2),1); ↙ f2=int(f1,x,-sqrt(1- y^2), sqrt(1- y^2)); ↙ int(f2,y,-1,1) ↙ ans= 1/4*pi 计算结果为4 π 对于第一类曲线积分和第一类曲面积分,其计算都归结为求解特定形式的定积分和二重积分,因此可完全类似的使用int 命令进行计算,并可用diff 命令求解中间所需的各偏导数。 例11.6.2用MATLAB 求解教材例11.3.1 解 求解过程如下 syms a b t ↙ x=a*cos(t); ↙ y=a*sin(t); ↙ z=b*t; ↙ f=x^2 +y^2+z^2; ↙ xt=diff(x,t); ↙ yt=diff(y,t); ↙ zt=diff(z,t); ↙ int(f*sqrt(xt^2 +yt^2+zt^2),t,0,2*pi) ↙ ans= 2/3*( a^2 +b^2)^1/2*a^2*pi+8/3*( a^2 +b^2)^1/2*b^2*pi^3 对此结果可用factor 命令进行合并化简: factor (ans ) ans= 2/3*( a^2 +b^2)^1/2*pi*(3* a^2 +4*b^2*pi^2) 例11.6.3用MATLAB 求解教材例11.4.1 解 求解过程如下 syms x y z1 z2↙ f= x^2 +y^2; ↙ z1=sqrt(x^2 +y^2); ↙ z2=1; ↙ z1x=diff(z1,x); ↙ z1y=diff(z1,y); ↙ z2x=diff(z2,x); ↙ z2y=diff(z2,y); ↙

《高等数学一》第六章多元函数微分学历年试题模拟试题课后习题大汇总(含答案解析)

第六章多元函数微分学 [单选题] 1、 设积分域在 D由直线x+y二0所围成,则 | dxdy 如图: [单选题] 2、 A 9 B、4 C 3

【从题库收藏夹删除】 【正确答案】A 【您的答案】您未答题 【答案解析】 [单选题] 3、 设H 二才,则y=() A V 皿2-1) B 、xQnx-1) D 【从题库收藏夹删除】 【正确答案】C 【您的答案】您未答题 【答案解析】 首先设出-,J ' 二一;,然后求出 最后结果中把二】用’’次方代换一下就可以得到结果. [单选题] 4、 Ft F'y,尸空二 dx F f y

[% I 设Z = 则去九£ |() km ,(心+& J D )L 『(也几) AK^*° A'X ?■ 【从题库收藏夹删除】 【正确答案】D 【您的答案】您未答题 【答案解析】本题直接根据偏导数定义得到 [单选题] 5、 设z=ln (x+弄),示=() A 1 B 、 X+旷" C 1-2妒 盂+沙 D X + 帘 一" 【从题库收藏夹删除】 【正确答案】A 【您的答案】您未答题 【答案解析】 B 、 lim U m /侃+山+ 3) — / (险用) Ay 了0+山』0)—/(兀 几) Ar lim /(x+Ax.y)-/^) 4y

|"S 1 I 对x求导,将y看做常数,小门?八 [单选题] 6、 设U 了:,;_丁;:£=() 【从题库收藏夹删除】 【正确答案】A 【您的答案】您未答题 【答案解析】<■■-?■■■■■:川[单选题] 7、 设f(x r x+y) = ^ + x2t则£0,卩)+ £(尽刃二() A丨; B、… C : D ', 【从题库收藏夹删除】 【正确答案】B 【您的答案】您未答题 【答案解析】 f(x,兀+y)=砂+ F二疏》+兀) /fcy) = ^y X '(^y)=y 二兀 £(2)+另(“)=曲 [单选题] 8

多元函数积分的计算方法技巧

第10章 多元函数积分的计算方法与技巧 一、二重积分的计算法 1、利用直角坐标计算二重积分 假定积分区域可用不等式 表示, 其中, 在上连续. 这个先对, 后对的二次积分也常记作 如果积分区域可以用下述不等式 表示,且函数,在上连续,在上连续,则 (2) D a x b x y x ≤≤≤≤??12()()?1()x ?2()x [,]a b y x f x y d dx f x y dy D a b x x (,)(,)() ()σ??????=12D c y d y x y ≤≤≤≤,()()φφ12φ1()y φ2()y [,]c d f x y (,)D f x y d f x y dx dy dy f x y dx D y y c d c d y y (,)(,)(,)()()()()σφφφφ??????=????? ? ??=1212

显然,(2)式是先对,后对的二次积分. 积分限的确定 几何法.画出积分区域的图形(假设的图形如下 ) 在上任取一点,过作平行于轴的直线,该直线穿过区域,与区域的边界有两个交点与, 这里的、 就是将,看作常数而对积分时的下限和上限;又因是在区间上任意取的,所以再将看作变量而对积分时,积分的下限为、上限为. 例1计算, 其中是由抛物线及直线所围成的区域. x y D ],[b a x x y D D ))(,(1x x ?))(,(2x x ?)(1x ?)(2x ?x y x [,]a b x x a b xyd D ??σD y x 2=y x =- 2

2.利用极坐标计算二重积分 1、就是极坐标中的面积元素. 2、极坐标系中的二重积分, 可以化归为二次积分来计算. 其中函数, 在上连续. 则 注:本题不能利用直角坐标下二重积分计算法来求其精确值. D y y x y :,-≤≤≤≤+1222xyd dy xydx x y dy D y y y y σ?????==???? ??-+-+12 2 212 2 2 212[] =+-=-?12 245 8 2512y y y dy ()rdrd θr →cos θ r →sin θrdrd →θ f x y dxdy D (,)??f r r rdrd D (cos ,sin )θθθ??αθβ?θ?θ≤≤≤≤12()()r ?θ1()?θ2()[,]αβf r r rdrd d f r r rdr D (cos ,sin )(cos ,sin )() () θθθθθθα β ?θ?θ????=12

一元函数微分学习题

第二部分 一元函数微分学 [选择题] 容易题 1—39,中等题40—106,难题107—135。 1.设函数)(x f y =在点0x 处可导,)()(00x f h x f y -+=?,则当0→h 时,必有( ) (A) y d 是h 的同价无穷小量. (B) y y d -?是h 的同阶无穷小量。 (C) y d 是比h 高阶的无穷小量. (D) y y d -?是比h 高阶的无穷小量. 答D 2.已知)(x f 是定义在),(+∞-∞上的一个偶函数,且当0'x f x f , 则在),0(+∞内有( ) (A )0)(,0)(<''>'x f x f 。 (B )0)(,0)(>''>'x f x f 。 (C )0)(,0)(<''<'x f x f 。 (D )0)(,0)(>''<'x f x f 。 答C 3.已知)(x f 在],[b a 上可导,则0)(<'x f 是)(x f 在],[b a 上单减的( ) (A )必要条件。 (B) 充分条件。 (C )充要条件。 (D )既非必要,又非充分条件。 答B 4.设n 是曲线x x x y arctan 2 2 2 -=的渐近线的条数,则=n ( ) (A) 1. (B) 2 (C) 3 (D) 4 答D 5.设函数)(x f 在)1,1(-内有定义,且满足)1,1(,)(2-∈?≤x x x f ,则0=x 必是

)(x f 的( ) (A )间断点。 (B )连续而不可导的点。 (C )可导的点,且0)0(='f 。 (D )可导的点,但0)0(≠'f 。 答C 6.设函数f(x)定义在[a ,b]上,判断何者正确?( ) (A )f (x )可导,则f (x )连续 (B )f (x )不可导,则f (x )不连续 (C )f (x )连续,则f (x )可导 (D )f (x )不连续,则f (x )可导 答A 7.设可微函数f(x)定义在[a ,b]上,],[0b a x ∈点的导数的几何意义是:( ) (A )0x 点的切向量 (B )0x 点的法向量 (C )0x 点的切线的斜率 (D )0x 点的法线的斜率 答C 8.设可微函数f(x)定义在[a ,b]上,],[0b a x ∈点的函数微分的几何意义是:( ) (A )0x 点的自向量的增量 (B )0x 点的函数值的增量 (C )0x 点上割线值与函数值的差的极限 (D )没意义 答C 9.x x f = )(,其定义域是0≥x ,其导数的定义域是( ) (A )0≥x

多元函数微分学及应用(隐函数反函数)

习题课:多元函数求偏导,多元函数微分的应用 多元复合函数、隐函数的求导法 (1) 多元复合函数 设二元函数),(v u f z =在点),(00v u 处偏导数连续,二元函数),(),,(y x v v y x u u ==在点 ),(00y x 处偏导数连续, 并且),(),,(000000y x v v y x u u ==, 则复合函数 )),(),,((y x v y x u f z = 在点),(00y x 处可微,且 ()()()() x y x v v v u f x y x u u v u f x z y x ?????+?????= 00000000) ,(,,,,00??()()()() y y x v v v u f y y x u u v u f y z y x ?????+?????= 00000000) ,(,,,,00?? 多元函数微分形式的不变性:设),(),,(),,(y x v v y x u u v u f z ===,均为连续可微, 则将z 看成y x ,的函数,有 dy y z dx x z dz ??+??= 计算 y v v f y u u f y z x v v f x u u f x z ????+????=??????+????=??,,代人, dv v f du u f dy y v dx x v v f dy y u dx x u u f dy y v v f y u u f dx x v v f x u u f dy y z dx x z dz ??+??= ???? ????+????+???? ????+????=???? ??????+????+??? ??????+????=??+??= 我们将dv v f du u f dy y z dx x z dz ??+??=??+??= 叫做微分形式不变性。 例1 设??? ??=x y xy f x z , 3 ,求y z x z ????,。

一元函数微积分学内容提要

第四部分 一元函数微积分 第11章 函数极限与连续[内容提要] 一、函数:(138-141页) 1、函数的定义:对应法则、定义域的确定、函数值计算、简单函数图形描绘。 2、函数分类:基本初等函数(幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反 三角函数的统称);复合函数([()]y f x ?=);初等函数(由常数和基本初等函数构成的,且只能用一个式子表达的函数);分段函数;隐函数;幂指函数(()()g x y f x =);反函数。 3、函数的特性:奇偶性;单调性;周期性;有界性. 二、极限: 1、极限的概念:(141-142页) 定义1:(数列极限)给定数列{}n x ,如果当n 无限增大时,其通项n x 无限趋向 于某一个常数a ,即a x n -无限趋近于零,则称数列{}n x 以a 的极限,或称数列{}n x 收敛于a ,记为a x n n =∞ →lim ,若{}n x 没有极限,则称数列{} n x 发散。 定义2:(0x x →时函数)(x f 的极限)设函数)(x f 在点0x 的某一去心邻域0(,) U x δo 内有定义,当x 无限趋向于0x (0x x ≠)时,函数)(x f 的值无限趋向于 A ,则称0x x →时, )(x f 以A 为极限,记作A x f x x =→)(lim 0 。 左极限:设函数)(x f 在点0x 的左邻域00(,)x x δ-内有定义,当0x x <且无限趋向 于0x 时,函数)(x f 的值无限趋向于常数A ,则称0x x →时,)(x f 的左极限为A ,记作0 0(0)lim ()x x f x f x A -→-==。 右极限:设函数)(x f 在点0x 的右邻域00(,)x x δ+内有定义,当0x x >且无限趋向 于0x 时,函数)(x f 的值无限趋向于常数A ,则称0x x →时,)(x f 的右极限为A ,记作0 0(0)lim ()x x f x f x A +→+==。 定义3:(x 趋于无穷大时函数)(x f 的极限)设)(x f 在区间)0(>>a a x 时有定义, 若x 无限增大时,函数)(x f 的值无限趋向于常数A ,则称当∞→x 时,

2多元函数积分学.docx

2.多元函数积分学 K考试内容》(数学一) 二重积分、三重积分的概念及性质二重积分与三重积分的计算和应用两类曲线积分的概念、性质及计算两类曲线积分的关系格林公式平面曲线积分与路径无关的条件己知全微分求原函数两类曲面积分的概念、性质及计算两类曲面积分的关系高斯公式斯托克斯公式散度、旋度的概念及计算曲线积分和曲面积分的应用 K考试要求》(数学一) 1 ?理解二重积分、三重积分的概念,了解重积分的性质,了解二重积分的中值定理。 2.掌握二重积分的计算方法(直角坐标、极坐标),会计算三重积分(直角坐标、柱面坐标、球面坐标)。 3?理解两类曲线积分的概念,了解两类曲线积分的性质及两类曲线积分的关系。 4.掌握计算两类曲线积分的方法。 5.掌握格林公式并会运用平面曲线积分与路径元关的条件,会求全微分的原函数。 6.了解两类曲面积分的概念、性质及两类曲面积分的关系,掌握计算两类曲面积分的方法。会用高斯公式、斯托克斯公式计算曲面、曲线积分。 7.了解散度与旋度的概念,并会计算。 8.会用重积分、曲线积分及曲面积分求一些几何量与物理量(平面图形的面积、体积、曲面面积、弧长、质量、重心、转动惯量、引力、功及流量等)。 K考试要求』(数学二) 1.了解二重积分的概念及性质,掌握二重积分的计算方法(直角坐标、极坐标)。 K考试要求》(数学三) 1.了解二重积分的概念及性质,掌握二重积分的计算方法(直角坐标、极坐标)。 2.了解无界区域上较简单的广义二重积分及其计算。 K考试要求》(数学四) 同数学三

2.多元函数积分学 K知识点概述H 2. 1二重积分 基本概念:定义、基本性质 计算方法:直角坐标法(x型简单区域;y型简单区域)极坐标法(r型简单区 域;&型简单区域)一般变换法 几何应用:面积、曲顶柱体体积物理应用:质量、质心、转动惯量 2. 2三重积分 基本概念:定义、基本性质 计算方法:直角坐标法:x型简单区域;y型简单区域;z型简单区域 投影法(先定积分后二重积分) 截面法(先二重积分后定积分)柱坐标法;球坐标法;一般变换法 儿何应用:体积物理应用:质量、质心、转动惯量、引力 2. 3曲线积分 第一类曲线积分 基本概念:定义、基本性质 计算方法:参数化法 儿何应用:弧长 物理应用:质量、质心、转动惯量、引力 第二类曲线积分 基本概念:定义、基本性质计算方法:参数化法 曲线积分基本定理(曲线积分与路径无关的条件(平面情形,空间情形); 全微分的原函数;场论基本概念与计算格林公式(平面曲线积分);斯托克 斯公式(空间曲线积分)物理应用:功,环流量,通量第一类曲线积分与第二类曲线积分的联系

多元函数微分学及其应用

第8章 多元函数微分学及其应用 参考解答 1、设22 , y f x y x y x ??+=- ??? ,求(),f x y ,(),f x y xy -。 解:()()()()2 21, 1y y x y x f x y x y x y x y x y y x x y x - -??+=+-=+=+ ?+? ? + ,故得 ()2 1,1y f x y x y -=+,()()21,1xy f x y xy x y xy --=-+ 2、求下列各极限: 2242222 2220000 cos sin 1(1) lim lim lim sin 204x r r y x y r r x y r θθθ→→→→===+ 注意:在利用极坐标变换cos , sin x r y r θθ==来求极限时,θ也是变量。本题中,0r →时,2r 为无穷小量,而2 sin 2θ为有界变量,故所求极限为零。 ()00sin sin (2) lim lim 1x t y a xy t xy t →→→== 3、证明极限2 2400 lim x y xy x y →→+不存在。 证明:当2 y kx =时,()2242,1xy k f x y x y k ==++,故2 22420 lim 1y kx x xy k x y k =→=++与k 有关。可见,(),x y 沿不同的路径趋于()0,0时,函数极限不同,故极限不存在。(两路径判别法) 4、讨论下列函数在()0,0点处的连续性: (1)()()()222222 22 ln , 0 ,0, 0 x y x y x y f x y x y ?+++≠?=?+=?? 解: ()() ()()() ()()()2 222,0,0,0,0 lim ,lim ln lim ln 00,0x y x y t f x y x y x y t t f →→→= ++=== 故原函数在()0,0点处连续。

实变函数教材

目录 1.数论的内容......... ... (3) 2.实变函数论的特点......... (4) 3.学习实变函数论的方法......... (5) 4.本教材的特色处理之处......... (5) 第一章集合论 §1.1集合概念与运算......... (6) §1.2集合的势、可数集与不可数集 (13) 习题...... (25) 第二章点集 §2.1R n空间...... ... (26) §2.2几类特殊点和集......... (30) §2.3有限覆盖定理与隔离性定理 (35) §2.4开集的构造及其体积... (38) 习题......... (45) 第三章测度论 §3.1Lebesgue外测度定义及其性质 (46) §3.2可测集的定义及其性质...... ... (48) §3.3可测集的构造......... (55) 习题......... (59) 第四章可测函数 §4.1可测函数定义及其性质... ...... (59) §4.2可测函数的结构......... (63) §4.3可测函数列的依测度收敛 (70) 习题

第五章Lebesgues积分理论 §5.1Lebesgue积分的定义及其基本性质... (77) §5.2Lebesgue积分的极限定理 (84) §5.3(L)积分的计算... (88) §5.4Fubini定理......... (93) 习题......... (98) 第六章积分与微分 §6.1单调函数与有界变差函数... (101) §6.2绝对连续函数......... (106) §6.3微分与积分......... (108) 习题......... (112) 附录 1.不可测集......... (113) 2.一般集合的抽象测度和抽象积分...... (115) 3.单调函数的可微性

一元函数微分学练习题(答案)

一元函数微分学练习题答案 一、计算下列极限: 1.93 25 235lim 222-=-+=-+→x x x 2.01)3(3)3(13lim 2 2223=+-=+-→x x x 3.x x x 11lim --→) 11(lim )11()11)(11(lim 00+--=+-+---=→→x x x x x x x x x 21 1 011 1 11lim -=+--= +--=→x x 4.0111 111lim )1)(1()1(lim 112lim 1212 21=--+-=-+=-++=-++-→-→-→x x x x x x x x x x x 5.21 )23()124(lim 2324lim 202230=++-=++-→→x x x x x x x x x x x x 6.x t x t x t x x t x t x t x t t t 2)2(lim ) )((lim )(lim 00220-=--=--+-=--→→→ 7.0001001311 1lim 13lim 4 2322 42=+-+=+-+ =+-+∞ →∞→x x x x x x x x x x 8.943)3(2) 13()31()12(lim )13()31()12(lim 10 82108 210 108822=-?=---=---=∞→∞→x x x x x x x x x x x 原式 9.2)211(lim 22 11)211(1lim )21...41211(lim =-=-- =++++∞→∞→∞→n n n n n n 10.21 2lim 02tan lim 3sin lim )2tan 3sin (lim 0000=+=+=+ →→→→x x x x x x x x x x x x x x 11.01 sin lim 20=→x x x (无穷小的性质)

完整word版微积分课程教学大纲

《微积分》课程教学大纲 课程类型: 公共基础课课程代码: 0140026 课程学时: 75 学分: 5 适用专业: 经济学专业(金融方向) 开课时间:一年级一学期开课单位: 基础部数学教研室 大纲执笔人: 兰星大纲审定人: 王培颖 一、课程性质、任务 课程性质:微积分已经被广泛应用于各种经济活动之中,并且与其他经济学分支互相渗透或结合。微积分即是掌握现代化科学知识必不可少的基础知识和基本工具,也是后继课程《概率论与数理统计》《计量经济学》等的基础课程,所经,微积分已经成为经济学专业学生必修的一门专业基础课。 教学目的与任务:首先要使学生掌握经济学专业所必须的微积分知识和方法,迸一步培养学生正确、熟练的计算能力,同时还要通过微积分课程的教学,对学生进行数学思想和方法的教育训练,进一步培养学生正确、深刻的思维能力,及独立的分析解决实际问题的能力。 备注:本教学大纲以赵树嫄等主编的《微积分》为编写标准。 二、课程教学内容 (一)教学内容、目标与学时分配 教学内容教学目标学时分配 75 理论教学部分 6 1、函数(第一章) 1/2 了解 1.1集合1 理解 1.2实数集1/2 1.3 理解函数关系 1/2 了解 4 1.分段函数 1/2 5建立函数关系的例题掌握. 11 1.6函数的几种简单性质了解 1 了解反函数与复合函数.17 1 掌握 8 1.函数的几种简单性质17 、极限与连续(第二章)2 . 21理解数列极限 2 2.函数极限理解22 理解变量极限. 23 2 4.无穷大与无穷小理解 21 5. 2掌握极限的运算法则 3 6. 2 两个重要极限了解3 2.7利用等价无穷小量代换求极限掌握 2 了解.8函数的连续性 22 9 3、导数与微分(第三章)理解 3.1引出导数概念的例题 1

一元函数微积分基本练习题及答案

一、极限题 1、求.)(cos lim 2 1 0x x x → 2、6 sin )1(lim 2 2 x dt e x t x ?-→求极限。 3、、)(arctan sin arctan lim 20x x x x x -→ 4、2 1 0sin lim x x x x ?? ? ??→ 5、? ?+∞ →x t x t x dt e dt e 0 20 2 2 2)(lim 6、 ) 1ln(1 lim -→+x e x x 7、x x x e x cos 11 20 ) 1(lim -→+ 8、 x x x x x x ln 1lim 1+--→ 9、) 1ln()2(sin ) 1)((tan lim 2 30 2 x x e x x x +-→ 10、1 0lim( )3 x x x x x a b c →++ , (,,0,1)a b c >≠ 11、)1)(12(lim 1--+∞ →x x e x 12、 )cot 1(lim 2 20x x x -→ 13、[] )1(3sin 1 lim 11x e x x ---→ 14、() ?? ???=≠+=0 021)(3 x A x x x f x 在0=x 点连续,则A =___________ 二、导数题 1、.sin 2 y x x y ''=,求设 2、.),(0y x y y e e xy y x '==+-求确定了隐函数已知方程 3、.)5()(2 3 的单调区间与极值求函数-=x x x f 4、要造一圆柱形油罐,体积为V ,问底半径r 和高h 等于多少时,才能使表面积最小, 这时底直径与高的比是多少?

考研数学(数学三)公认教材及参考书:

考研数学(数学三)公认教材及参考书 高等数学:同济五版 线性代数:同济六版 概率论与数理统计:浙大三版 推荐资料: 1、李永乐考研数学3--数学复习全书+习题全解(经济类) 2、李永乐《经典400题》 3、《李永乐考研数学历年试题解析(数学三)真题》 考研数学规划: 课本+复习指导书+习题集+模拟题+真题=KO 复习资料来说:李永乐的不错,注重基础;陈文灯的要难一些。 经济类一般都用李永乐的(经济类数学重基础不重难度),基础好的话可以考虑下陈文灯的书。李永乐的线性代数很不错陈文灯的高等数学很不错 2009年全国硕士研究生入学统一考试数学(三)考试大纲 考试科目:微积分、线性代数、概率论与数理统计 考试形式和试卷结构: (一)试卷满分为150分考试时间为180分钟. (二)内容结构:高等教学约56%线性代数约22% 概率论与数理统计约22% (三)题型结构: 单项选择:8小题,每小题4分,共32分 填空题:6小题,每小题4分,共24 解答题(包括证明题):9小题,共94分 全国硕士研究生入学统一考试英语考试大纲 完形填空:10分(20道选择题每题0.5分)[可以抛弃的题型] 阅读:60分 其中阅读A部分(阅读理解):40分(20道选择题每题2分)(这个是重中之重) 阅读B部分(新题型):10分(5道题每题2分一共有四种题型) 阅读C部分(翻译):10分(5道题每题2分) 作文:30分(除了阅读A之外最重要的部分) 小作文(书信作文):10分 大作文(图画作文):20分

微积分 一函数极限连续 考试内容 函数的概念及表示方法函数的有届性单调性周期性和奇偶性复合函数反函数分段函数和隐函数基本初等函数的性质及其图形初等函数函数的关系的建立数列极限与函数极限的定义及其性质函数的左极限和右极限无穷小量和无穷大量的概念及其关系无穷小量的性质和无穷小量的比较极限的四则运算极限存在的两个准则(单调有界准则和夹逼准则)两个重要极限 函数连续的概念函数间断点的类型初等函数的连续性闭区间上连续函数的性质 二一元函数微分学 考试内容 导数和微分的概念导数的几何意义和经济意义函数的可导性与连续性之间的关系平面曲线的切线和法线导数和微分的四则运算基本初等函数的导数复合函数反函数和隐函数的微分法高阶导数一阶微分形式的不变性微分中值定理洛必达法则函数的单调性判别函数的极值函数的图形的凹凸性拐点及渐近线函数图形的描绘函数的最大值和最小值 三一元函数积分学 考试内容 原函数和不定积分的概念不定积分的基本性质基本积分公式定积分的概念和基本性质定积分中值定理积分上限的函数及其导数牛顿-莱不尼茨公式不定积分和定积分的换元积分法和分部积分法反常积分定积分的应用 四多元函数微积分学 考试内容 多元函数的概念二元函数的几何意义二元函数的极限与连续的概念有界闭区域上二元连续函数的性质多元函数偏导数的概念与计算多元复合函数的求导法语隐函数求导法二阶偏导数全微分多元函数的机制和条件极值最大值最小值二重积分的概念基本性质和计算无界区域上的简单的反常二重积分 五无穷级数 考试内容 常数项级数的收敛与发散的概念收敛级数的和的概念级数的基本性质与收敛的必要条件几何级数与p级数及其收敛性正项级数收敛性的判别法任意项级数的绝对收敛与条件收敛交错级数与莱布尼茨定理冥级数及其收敛半径收敛区间(指开区间)和收敛域冥级数的和函数冥级数在其收敛区间的基本性质简单冥级数的和函数的求法初等函数的冥级数展开式 六常微分方程和差分方程 考试内容 常微分方程的基本概念变量可分离的微分方程齐次微分方程一阶线性微分方程线性微分方程解的性质及解的结构定理二阶常系数齐次线性微分方程及简单的非齐次线性微分方程差分与差分方程的概念差分方程的通解与特解一阶常系数线性差分方程微分方程的简单应用

多元函数积分的计算方法与技巧

.多元函数积分 二重积分的计算方法与应用。 (一)在作二次积分时,首先是把一个自变量看成是一个参数,而不是看成变量,这样第一步是作单变量函数的定积分,然后得到一个包含第二个变量的表达式,再对第二个变量求定积分,这样就得到了二重积分的值。这里对于选择进行积分运算的自变量的顺序是完全任意的,也就是说,假设函数的积分区间,是由曲线 和,x=a ,x=b 所围成的区域,那么f 在这个区域上的二重积分为 (二)另外一种常常更为简单的计算二重积分的方法,是在极坐标下,通过把二重积分转变为二次积分来得到结果。 一般公式就是 三重积分及其应用与计算。 在这两种坐标里计算多重积分,首先是给出分别在这些坐标系里的体积微元的表达式: 在圆柱坐标系里是; 在球面坐标系里是。 因此可以分别得到在这两个坐标系里的三重积分的计算公式: 在圆柱坐标系里是; 在 球 面坐标系 里是 )(1x y y =) (2x y y ==??=??)()(21),(),(x x b a D y y dy y x f dx dxdy y x f ??)()(21),(x x b a y y dx y x f dy ??=??) ()(21 )sin ,cos (),(θθβ αθθθσr r rdr r r f d d y x f D dz rdrd dv θ=αθαd drd r dv sin 2 =???=???Ω Ω dz rdrd z r r f dv z y x f θθθ),sin ,cos (),,(???=???Ω Ω α θααθαθαd drd r rcoa r r f dv z y x f sin ),sin sin ,cos sin (),,(2

一元函数微分学知识点

第一章 函数与极限 1. 函数 会求函数的定义域,对应法则; 几种特殊的函数(复合函数、初等函数等); 函数的几种特性(有界性、单调性、周期性、奇偶性) 2. 极限 (1)概念 无穷小与无穷大的概念及性质; 无穷小的比较方法;(高阶、低阶、同阶、等价) 函数的连续与间断点的判断 (2)计算 函数的极限计算方法(对照极限计算例题,熟悉每个方法的应用条件) 极限的四则运算法则 利用无穷小与无穷大互为倒数的关系; 利用无穷小与有界函数的乘积仍为无穷小的性质; 消去零因子法; 无穷小因子分出法; 根式转移法; 利用左右极限求分段函数极限; 利用等价无穷小代换(熟记常用的等价无穷小); 利用连续函数的性质; 洛必达法则(掌握洛必达法则的应用条件及方法); ∞ ∞或00型,)()(lim )()(lim x g x f x g x f ''= 两个重要极限(理解两个重要极限的特点);1sin lim 0=→x x x ,1)()(sin lim 0)(=??→?x x x e x x x =+→10)1(lim ,e x x x =+∞→)11(lim , 一般地,0)(lim =?x ,∞=ψ)(lim x ,)()(lim )())(1lim(x x x e x ψ?ψ=?+ 3 函数的连续 连续性的判断、间断点及其分类 第二章 导数与微分 1 导数 (1)导数的概念:增量比的极限;导数定义式的多样性,会据此求一些函数的极限。 导数的几何意义:曲线上某点的切线的斜率 (2)导数的计算:

基本初等函数求导公式; 导数的四则运算法则;(注意函数积、商的求导法则) 复合函数求导法则(注意复合函数一层层的复合结构,不能漏层) 隐函数求导法则(a :两边对x 求导,注意y 是x 的函数;b :两边同时求微分;) 高阶导数 2 微分 函数微分的定义,dx x f dy x x )(00'== 第三章 导数的应用 洛必达法则(函数极限的计算) 函数的单调性与极值,最值、凹凸性与拐点的求法

第八讲 多元函数积分学知识点

第八讲 多元函数积分学知识点 一、二重积分的概念、性质 1、 ∑??=→?=n i i i i d D f dxdy y x f 1 0),(lim ),(δηξ ,几何意义:代表由),(y x f ,D 围成的曲顶柱体体积。 2、性质: (1)=??D dxdy y x kf ),(??D dxdy y x f k ),( (2)[]??+D dxdy y x g y x f ),(),(= ??D dxdy y x f ),(+??D dxdy y x g ),( (3)、D d x d y D =?? (4)21D D D +=,??D dxdy y x f ),(=??1),(D dxdy y x f +??2 ),(D dxdy y x f (5)若),(),(y x g y x f ≤,则≤??D dxdy y x f ),(??D dxdy y x g ),( (6)若,),(M y x f m ≤≤则MD dxdy y x f mD D ≤≤??),( (7)设),(y x f 在区域D 上连续,则至少存在一点D ∈),(ηξ,使=??D dxdy y x f ),(D f ),(ηξ 二、计算 (1) D:)()(,21x y x b x a ??≤≤≤≤ ????=) ()(21),(),(x x b a D dy y x f dx dxdy y x f ?? (2) D :)()(,21y x y d y c ??≤≤≤≤, ????=) ()(21),(),(x x d c D dy y x f dy dxdy y x f ?? 技巧:“谁”的范围最容易确定就先确定“谁”的范围,然后通过划水平线和 垂直线的方法确定另一个变量的范围 (3)极坐标下:θθθrdrd dxdy r y r x ===,sin ,cos ????=) (0)sin ,cos ( ),(θβαθθθr D rdr r r f d dxdy y x f 三、曲线积分 1、第一型曲线积分的计算 (1)若积分路径为L :b x a x y ≤≤=),(φ,则

多元函数微分学习题

第五部分 多元函数微分学(1) [选择题] 容易题1—36,中等题37—87,难题88—99。 1.设有直线? ??=+--=+++031020 123:z y x z y x L 及平面0224:=-+-z y x π,则直线L ( ) (A) 平行于π。 (B) 在上π。(C) 垂直于π。 (D) 与π斜交。 答:C 2.二元函数??? ??=≠+=)0,0(),(, 0)0,0(),(,),(22y x y x y x xy y x f 在点)0,0(处 ( ) (A) 连续,偏导数存在 (B) 连续,偏导数不存在 (C) 不连续,偏导数存在 (D) 不连续,偏导数不存在 答:C 3.设函数),(),,(y x v v y x u u ==由方程组? ??+=+=2 2v u y v u x 确定,则当v u ≠时,=??x u ( ) (A) v u x - (B) v u v -- (C) v u u -- (D) v u y - 答:B 4.设),(y x f 是一二元函数,),(00y x 是其定义域内的一点,则下列命题中一定正确的是( ) (A) 若),(y x f 在点),(00y x 连续,则),(y x f 在点),(00y x 可导。 (B) 若),(y x f 在点),(00y x 的两个偏导数都存在,则),(y x f 在点),(00y x 连续。 (C) 若),(y x f 在点),(00y x 的两个偏导数都存在,则),(y x f 在点),(00y x 可微。 (D) 若),(y x f 在点),(00y x 可微,则),(y x f 在点),(00y x 连续。 答:D 5.函数2223),,(z y x z y x f +++=在点)2,1,1(-处的梯度是( ) (A) )32,31, 31(- (B) )32,31,31(2- (C) )92,91,91(- (D) )9 2 ,91,91(2- 答:A

《高等数学一》第六章多元函数微分学历年试题模拟试题课后习题大汇总(含答案解析)

第六章多元函数微分学 [单选题] 1、 设积分域在D由直线所围成,则=().A、 B、 C、 D、 【从题库收藏夹删除】 【正确答案】 B 【您的答案】您未答题 【答案解析】 [单选题] 2、 ().

A、9 B、4 C、3 D、1 【从题库收藏夹删除】 【正确答案】 A 【您的答案】您未答题 【答案解析】 [单选题] 3、 设,则=(). A、 B、 C、 D、 【从题库收藏夹删除】 【正确答案】 C 【您的答案】您未答题 【答案解析】 首先设出,然后求出 最后结果中把用次方代换一下就可以得到结果.

[单选题] 4、 设则().A、 B、 C、 D、 【从题库收藏夹删除】 【正确答案】 D 【您的答案】您未答题 【答案解析】本题直接根据偏导数定义得到. [单选题] 5、 设,=(). A、 B、

C、 D、 【从题库收藏夹删除】 【正确答案】 A 【您的答案】您未答题 【答案解析】 对x求导,将y看做常数,. [单选题] 6、 设,则= ().A、 B、 C、 D、 【从题库收藏夹删除】 【正确答案】 A 【您的答案】您未答题 【答案解析】 [单选题] 7、 A、 B、 C、

【从题库收藏夹删除】 【正确答案】 B 【您的答案】您未答题 【答案解析】 [单选题] 8、 函数的定义域为(). A、 B、 C、 D、 【从题库收藏夹删除】 【正确答案】 C 【您的答案】您未答题 【答案解析】 ,,综上满足:. [单选题] 9、 (). A、0

C、1 D、∞ 【从题库收藏夹删除】 【正确答案】 A 【您的答案】您未答题 【答案解析】 [单选题] 10、 设,则().A、 B、 C、 D、 【从题库收藏夹删除】 【正确答案】 D 【您的答案】您未答题 【答案解析】 [单选题] 11、

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