专题26 平面向量的数量积及平面向量的应用(押题专练)-2017年高考数学(理)一轮复习精品资料(原卷版)
专题26 平面向量的数量积及平面向量的应用（押题专练）
2017年高考数学（理）一轮复习精品资料
1.已知向量a ，b 满足a ·b ＝0，|a |＝1，|b |＝2，则|a －b |＝( )
A.0
B.1
C.2
D. 5
2.已知a ＝(1，－2)，b ＝(x ，2)，且a ∥b ，则|b |＝( ) A.2 5 B. 5 C.10 D.5
3.向量a ，b 满足|a |＝1，|b |＝2，(a ＋b )⊥(2a －b )，则向量a 与b 的夹角为( )
A.45°
B.60°
C.90°
D.120°
4．已知a ，b 为单位向量，其夹角为60°，则(2a －b )·b ＝( )
A ．－1
B ．0
C ．1
D ．2
5．已知AB →和AC →是平面内两个单位向量，它们的夹角为60°，则2AB →－AC →与CA →的夹角是
( )
A ．30°
B ．60°
C ．90°
D ．120°
6．已知a ＝(3，－2)，b ＝(1,0)，向量λa ＋b 与a －2b 垂直，则实数λ的值为( )
A ．－16
B .16
C ．－17 D.17
7.在△ABC 中，若|AB →＋AC →|＝|AB →－AC →|，AB ＝2，AC ＝1，E ，F 为BC 边的三等分点，则AE →·AF
→＝( )
A.89
B.109
C.259
D.269
8.已知向量OA →⊥AB →，|OA →|＝3，则OA →·OB →＝________.
9.已知向量a ，b ，其中|a |＝2，|b |＝2，且(a －b )⊥a ，则向量a 和b 的夹角是________.
10.已知A (－1，cos θ)，B (sin θ，1)，若|OA →＋OB →|＝|OA →－OB →|(O 为坐标原点)，则锐角θ＝
________.
11.设非零向量a 与b 的夹角是5π6，且|a |＝|a ＋b |，则|2a ＋t b ||b |
的最小值是________. 12.已知平面上三点A ，B ，C ，BC →＝(2－k ，3)，AC →＝(2，4).
(1)若三点A ，B ，C 不能构成三角形，求实数k 应满足的条件；
(2)若△ABC 为直角三角形，求k 的值.
13.已知平面向量a ＝(3，－1)，b ＝???
?12，32. (1)证明：a ⊥b ；
(2)若存在不同时为零的实数k 和t ，使c ＝a ＋(t 2－3)b ，d ＝－k a ＋t b ，且c ⊥d ，试求函数关系式k ＝f (t ).
14.已知|a |＝4，|b |＝3，(2a －3b )·(2a ＋b )＝61，
(1)求a 与b 的夹角θ；
(2)求|a ＋b |；
(3)若AB →＝a ，BC →＝b ，求△ABC 的面积.
平面向量的数量积与应用举例专题训练
平面向量的数量积与应用举例专题训练 A组基础题组 1.已知向量a=(2,1),b=(1,m),c=(2,4),且(2a-5b)⊥c,则实数m=( ) A.- B.- C. D. 2.已知向量a=(1,0),|b|=,a与b的夹角为45°,若c=a+b,d=a-b,则c在d方向上的投影为( ) A. B.- C.1 D.-1 3.向量a,b满足|a+b|=2|a|,且(a-b)·a=0,则a,b的夹角的余弦值为( ) A.0 B. C. D. 4.如图,已知平面四边形ABCD,AB⊥BC,AB=BC=AD=2,CD=3,AC与BD交于点O.记 I1=·,I2=·,I3=·,则( ) A.I1 10.已知向量a=(cos x,sin x),b=(3,-∈[0,π]. (1)若a∥b,求x的值; (2)记f(x)=a·b,求f(x)的最大值和最小值以及对应的x的值. B组提升题组 1.已知a、b均为单位向量,且a·b=0.若|c-4a|+|c-3b|=5,则|c+a|的取值范围是( ) A.[3,] B.[3,5] C.[3,4] D.[,5] 2.非零向量m,n的夹角为,且满足|n|=λ|m|(λ>0),向量组x1,x2,x3由一个m和两个n排列而成,向量组 y1,y2,y3由两个m和一个n排列而成,若x1·y1+x2·y2+x3·y3的所有可能值中的最小值为4|m|2,则λ = . 3.在平面直角坐标系xOy中,已知点A(-1,-2),B(2,3),C(-2,-1). (1)求以线段AB,AC为邻边的平行四边形的两条对角线的长; (2)设实数t满足(-t)·=0,求t的值. 平 面 向 量 数 量 积 练 习 题 一.选择题 1.下列各式中正确的是 （ ） （1）(λ·a ) ·b =λ·(a b )=a · (λb ), （2）|a ·b |= | a |·| b |, （3）(a ·b )· c = a · (b ·c ), （4）(a +b ) · c = a ·c +b ·c A ．（1）（3） B ．（2）（4） C ．（1）（4） D ．以上都不对. 2.在ΔABC 中,若(CA CB)(CA CB)0+?-= ,则ΔABC 为 （ ） A ．正三角形 B ．直角三角形 C ．等腰三角形 D ．无法确定 3． 已知|a |＝6，|b |＝3，a·b ＝－12，则向量a 在向量b 方向上的投影是( ) A ．－4 B ．4 C ．－2 D ．2 4.已知||=1,||=2，且(－)与垂直，则与的夹角为 （ ） A ．60° B ．30° C ．135° D ．45° 5.设||= 4，||= 3，夹角为60°，则|+|等于 （ ） A ．37 B ．13 C ．37 D ．13 6．设x ，y ∈R ，向量a ＝(x,1)，b ＝(1，y )，c ＝(2，－4)，且a ⊥c ，b ∥c ，则|a ＋b |等于( ) A. 5 B.10 C ．2 5 D ．10 7． 已知向量a ＝(1,2)，b ＝(2，－3)．若向量c 满足(c ＋a )∥b ，c ⊥(a ＋b )，则c 等于( ) A.????79，73 B.????－73，－79 C.????73，79 D.????－79，－73 二.填空题 8.已知e 是单位向量，∥e 且18-=?e a ，则向量a =__________. 9．已知向量a ，b 夹角为45°，且|a |＝1，|2a －b |＝10，则|b |＝________. 10． 已知a ＝(2，－1)，b ＝(λ，3)，若a 与b 的夹角为钝角，则λ的取值范围是__________． 三.解答题 11． (10分)已知a ＝(1,2)，b ＝(－2，n ) (n >1)，a 与b 的夹角是45°. (1)求b ； (2)若c 与b 同向，且a 与c －a 垂直，求c . 第26讲平面向量的数量积及应用 高三新数学第一轮复习教案〔讲座26〕一平面向量的数量积及应 用 一?课标要求： 1?平面向量的数量积 ①通过物理中"功"等实例，明白得平面向量数量积的含义及其物理意义； ②体会平面向量的数量积与向量投影的关系； ③把握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算； ④能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判定两个平面向量的垂直关系。 2.向量的应用 经历用向量方法解决某些简单的平面几何咨询题、力学咨询题与其他一些实际咨询题的过程，体会向量是一种处理几何咨询题、物理咨询题等的工具，进展运算能力和解决实际咨询题的能力。 二.命题走向 本讲以选择题、填空题考察本章的差不多概念和性质，重点考察平面向量的数量积的概念及应用。重点体会向量为代数几何的结合体，此类题难度不大，分值5~9分。 平面向量的综合咨询题是”新热点〃题型，其形式为与直线、圆锥曲线、三角函数等联系，解决角度、垂直、共线等咨询题，以解答题为主。 推测07年高考： 〔1〕一道选择题和填空题，重点考察平行、垂直关系的判定或夹角、长度咨询题；属于中档题目。 〔2〕一道解答题，可能以三角、数列、解析几何为载体，考察向量的运算和性质；三?要点精讲 1 .向量的数量积 〔1〕两个非零向量的夹角 非零向量a与a，作OA = a , OB = b，那么/ A O A= B〔0 we 2 〔4〕注意在两向量的夹角定义，两向量必须是同起点的，范畴 . 平面向量数量积运算平面向量数量积的基本运算题型一DCBCEFABCDBAD，，＝120°，点的边长为2，∠1 例(1)(2014·天津)已知菱形分别在边→→AFDFAEBCBEDC________. .若λ·上，的值为＝3＝，1＝λ，则→→PBPAPAOPBAB) · (2)已知圆为切点，的半径为1，， 那么为该圆的两条切线，的最小值为，( 2 －43＋2 ＋B.A.－2 3＋2C.－4＋D.22 －→→→→→OBOAOAABOA________. ·＝|＝1 变式训练(2015·湖北)已知向量3⊥，则，| 利用平面向量数量积求两向量夹角题型二 22babaababab与＋(|，且2－(1)(2015·重庆例2 )若非零向量，则，)⊥(3满足||)＝|3的夹 角为( ) ππ3πA. B. C. D.π424πabababab的夹角2－＋与＝|2，|，则|＝32(2)若平面向量与平面向量，的夹角等于|3的余弦值等于( ) 1111A. B.－ C. D.－262612121→→→→ABCOAOABACAB与)＝(＋，则上的三点，若2 变式训练(2014·课标全国Ⅰ)已知，，为圆2→AC的夹角为________. 教育资料． . 利用数量积求向量的模题型三 baababab等于＋的夹角为|120°，则|＝2，且例3 (1)已知平面向量|2和与，|||＝1，) ( B.4 A.2 D.6 5 C.2ABCDADBCADCADBCPDC上的动点，则是腰＝，∠1＝90°，，＝(2)已知直角梯形2中，，∥→→PAPB|的最小值为________. ＋3|1eeeebbe·.是平面单位向量，且若平面向量·满足变式训练3 (2015·浙江)已知，＝beb|＝，则＝|·________. 112212 ＝12 §5.3 平面向量的数量积 一、选择题 1．若向量a ，b ，c 满足a ∥b 且a ⊥c ，则c ·(a ＋2b )＝( ) A ．4 B ．3 C ．2 D ．0 解析：由a ∥b 及a ⊥c ，得b ⊥c ， 则c ·(a ＋2b )＝c ·a ＋2c ·b ＝0. 答案：D 2．若向量a 与b 不共线，a ·b ≠0，且c ＝a －? ?? ?? a ·a a · b b ，则向量a 与 c 的夹角为( ) A ．0 B.π6 C.π3 D.π 2 解析 ∵a·c ＝a·???? ??a －? ????a·a a·b b ＝a·a －? ?? ?? a 2a· b a·b ＝a 2－a 2＝0， 又a ≠0， c ≠0，∴a⊥c ，∴〈a ，c 〉＝π 2 ，故选D. 答案 D 3. 设向量a =（1.cos θ）与b =（-1， 2cos θ）垂直，则cos2θ等于 （ ） A 2 B 1 2 C .0 D.-1 解析 22,0,12cos 0,cos 22cos 10.a b a b θθθ⊥∴?=∴-+=∴=-=正确的是C. 答案C 4．已知|a |＝6，|b |＝3，a ·b ＝－12，则向量a 在向量b 方向上的投影是( )． A ．－4 B ．4 C ．－2 D ．2 解析 设a 与b 的夹角为θ，∵a ·b 为向量b 的模与向量a 在向量b 方向上的投影的乘积，而cos θ＝ a · b |a ||b |＝－2 3 ， ∴|a |cos θ＝6×? ???? －23＝－4. 答案 A 5．若a ，b ，c 均为单位向量，且a ·b ＝0，(a －c )·(b －c )≤0，则|a ＋b －c |的最大值为( )． A.2－1 B ．1 C. 2 D ．2 解析 由已知条件，向量a ，b ，c 都是单位向量可以求出，a 2＝1，b 2＝1，c 2＝1，由a ·b ＝0，及(a －c )(b －c )≤0，可以知道，(a ＋b )·c ≥c 2＝1，因为|a ＋b － c |2＝a 2＋b 2＋c 2＋2a ·b －2a ·c －2b ·c ，所以有|a ＋b －c |2＝3－2(a ·c ＋b ·c )≤1， 故|a ＋b －c |≤1. 答案 B 6．已知非零向量a 、b 满足|a |＝3|b |，若函数f (x )＝1 3x 3＋|a |x 2＋2a·b x ＋1 在x ∈R 上有极值，则〈a ，b 〉的取值范围是( ) A.? ? ????0，π6 B.? ? ???0，π3 C.? ?? ?? π6，π2 D.? ?? ?? π6，π 解析 ∵f (x )＝13x 3＋|a |x 2 ＋2a·b x ＋1在x ∈R 上有极值，∴f ′(x )＝0有两不 相等的实根，∵f ′(x )＝x 2＋2|a |x ＋2a·b ，∴x 2＋2|a |x ＋2a·b ＝0有两个不相等的实根，∴Δ＝4|a |2－8a·b ＞0，即a·b ＜12|a |2，∵cos 〈a ，b 〉＝a·b |a ||b |， |a |＝3|b |，∴cos 〈a ，b 〉＜1 2|a |2|a ||b |＝3 2，∵0≤〈a ，b 〉≤π， ∴π 6＜〈a ，b 〉≤π. 答案 D 7．如图，已知正六边形P 1P 2P 3P 4P 5P 6，下列向量的数量积中最大的是 ( )． 06—平面向量的数量积及其应用 突破点(一) 平面向量的数量积 1．向量的夹角；2．平面向量的数量积；3．平面向量数量积的运算律 平面向量数量积的运算 1.利用坐标计算数量积的步骤 第一步，根据共线、垂直等条件计算出这两个向量的坐标，求解过程要注意方程思想的应用； 第二步，根据数量积的坐标公式进行运算即可． 2．根据定义计算数量积的两种思路 (1)若两个向量共起点，则两向量的夹角直接可得，根据定义即可求得数量积；若两向量的起点不同，需要通过平移使它们的起点重合，然后再计算． (2)根据图形之间的关系，用长度和相互之间的夹角都已知的向量分别表示出要求数量积的两个向量，然后再根据平面向量数量积的定义和性质进行计算求解． [典例] (1)设向量a ＝(－1,2)，b ＝(m,1)，如果向量a ＋2b 与2a －b 平行，那么a 与b 的数量积等于( ) A ．－72 B ．－12 C.32 D.52 (2)在等腰梯形ABCD 中，已知AB ∥DC ，AB ＝2，BC ＝1，∠ABC ＝60°.点E 和F 分别在线段BC 和DC 上，且 BE ＝23 BC ， DF ＝16 DC ，则 AE · AF 的值为________． [解析] (1)a ＋2b ＝(－1,2)＋2(m,1)＝(－1＋2m,4)，2a －b ＝2(－1,2)－(m,1)＝(－2－m,3)，由题意得 3(－1＋2m )－4(－2－m )＝0，则m ＝－12，所以b ＝????－12，1，所以a ·b ＝－1×????－12＋2×1＝52. (2)取 BA ， BC 为一组基底，则 AE ＝ BE － BA ＝23 BC － BA ， AF ＝ AB ＋ BC ＋ CF ＝－ BA ＋ BC ＋512 BA ＝－712 BA ＋ BC ，∴ AE · AF ＝????23 BC － BA ·????－712 BA ＋ BC ＝712| BA |2－2518 BA · BC ＋23| BC |2＝712×4－2518×2×1×12＋23＝2918. [答案] (1)D (2)2918 [易错提醒] (1)解决涉及几何图形的向量数量积运算问题时，一定要注意向量的夹角与已知平面角的关系是相等还是互补．(2)两向量a ，b 的数量积a ·b 与代数中a ，b 的乘积写法不同，不能漏掉其中的“·”． 突破点(二) 平面向量数量积的应用 平面向量的垂直问题 1.第一，计算出这两个向量的坐标； 第二，根据数量积的坐标运算公式，计算出这两个向量的数量积为0即可． 2．已知两个向量的垂直关系，求解相关参数的值 根据两个向量垂直的充要条件，列出相应的关系式，进而求解参数． [例1] (1)△ABC 是边长为2的等边三角形，已知向量a ，b 满足 AB ＝2a ， AC ＝2a ＋b ，则下列结 论正确的是( ) A ．|b |＝1 B ．a ⊥b C ．a ·b ＝1 D ．(4a ＋b )⊥ BC (2)已知向量a ＝(k,3)，b ＝(1,4)，c ＝(2,1)，且(2a －3b )⊥c ，则实数k ＝( ) A ．－92 B ．0 C ．3 D.152 [解析] (1)在△ABC 中，由 BC ＝ AC － AB ＝2a ＋b －2a ＝b ，得|b |＝2，A 错误．又 AB ＝2a 且| AB |＝2，所以|a |＝1，所以a ·b ＝|a ||b |cos 120°＝－1，B ，C 错误．所以(4a ＋b )· BC ＝(4a ＋b )·b ＝4a ·b ＋|b |2＝4×(－1)＋4＝0，所以(4a ＋b )⊥ BC ， D 正确，故选D. (2)∵(2a －3b )⊥c ，∴(2a －3b )·c ＝0.∵a ＝(k,3)，b ＝(1,4)，c ＝(2,1)，∴2a －3b ＝(2k －3，－6)． ∴(2k －3，－6)·(2,1)＝0，即(2k －3)×2－6＝0.∴k ＝3.[答案] (1)D (2)C [易错提醒] x 1y 2－x 2y 1＝0与x 1x 2＋y 1y 2＝0不同，前者是两向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)共线的充要条件，后者是 平面向量的数量积 【知识点精讲】 一、平面向量的数量积 （1）已知两个非零向量a r 和b r ，记为OA a OB b ==u u u r r u u u r r ，，则)0(πθθ≤≤=∠AOB 叫做向量a r 与b r 的夹角，记作,a b <>r r ，并规定[],0,a b π<>∈r r 。如果a 与b 的夹角是2 π，就称a r 与b r 垂直，记为.a b ⊥r r （2）cos ,a b a b <>r r r r 叫做向量a r 与b r 的数量积（或内积），记作a b ?r r ，即b a ? cos ,a b a b <>r r r r . 规定：零向量与任一向量的数量积为0. 两个非零向量a r 与b r 垂直的充要条件是0.a b ?=r r 两个非零向量a r 与b r 平行的充要条件是.a b a b ?=±r r r r 二、平面向量数量积的几何意义 数量积a b ?r r 等于a r 的长度a r 与b r 在a r 方向上的投影cos b θr 的乘积，即cos a b a b θ ?=r r r r （b r 在a r 方向上的投影为cos a b b a θ?=r r r r ）；a r 在b r 方向上的投影为 cos .a b a b θ?=r r r r 三、平面向量数量积的重要性质 性质1 cos .e a a e a θ?=?=r r r r r 性质2 0.a b a b ⊥??=r r r r 性质3 当a r 与b r 同向时，a b a b ?=r r r r ；当a r 与b r 反向时，a b a b ?=-r r r r ；22a a a a ?==r r r r 或 a =r 性质4 cos (00)a b a b a b θ?=≠≠r r r r r r r r 且 性质5 a b a b ?≤r r r r 注：利用向量数量积的性质2可以解决有关垂直问题；利用性质3可以求向量长度；利用性质4可以求两向量夹角；利用性质5可解决不等式问题。 四、平面向量数量积满足的运算律 （1）a b b a ?=?r r r r （交换律）； 平面向量的数量积 一．选择题 1. 已知 a ( 2,3), b ( 1, 1),则 a ?b 等于 （ ） A.1 B.-1 C.5 D.-5 r r r r r r r r 2．向量 a ， b 满足 a 1, b 4, 且 a b 2 ,则 a 与 b 的夹角为（ ） A ． B ． 4 C ． D ． 2 6 3 r r 60 0 r r ） 3．已知 a, b 均为单位向量，它们的夹角为 ，那么 a 3b （ A ． 7 B ． 10 C ． 13 D ． 4 4 ．若平面向量 与向量 的夹角是 ，且 ，则 ( ) A ． B ． C ． D ． 5. 下面 4 个有关向量的数量积的关系式① 0 ?0 =0 ②（ a ?b ） ?c = a ?（ b ? c ） ③ a ?b = b ?a ④ | a ?b | ≦ a ?b ⑤ | a ?b | | a | ?| b | 其中正确的是（ ） A ． ① ② B 。 ① ③ C 。③ ④ D 。③ ⑤ 6. 已知 | a |=8 ， e 为单位向量，当它们的夹角为 时， a 在 e 方向上的投影为（ ） 3 A ． 4 3B.4 C.4 2 3 D.8+ 2 7. 设 a 、 b 是夹角为 的单位向量，则 2a b 和 3a 2b 的夹角为（ ） A ． B ． C ． D ． 8. 已知 a =(2,3) , b =( 4 ,7) , 则 a 在 b 上的投影值为（ ） A 、 13 B 、 13 C 、 65 D 、 65 5 5 9. 已知 a (1,2), b ( 3,2), ka b 与 a 3b 垂直时 k 值为 （ ） A 、 17 B 、 18 C 、 19 D 、 20 培优点9 平面向量数量积的最值问题 平面向量部分，数量积是最重要的概念，求解平面向量数量积的最值、范围问题要深刻理解数量积的意义，从不同角度对数量积进行转化． 例 (1)已知AB →⊥AC →，|AB →|＝1t ，|AC →|＝t ，若点P 是△ABC 所在平面内的一点，且AP →＝AB →|AB →|＋4AC → |AC →|，则PB →·PC → 的最大值等于( ) A ．13 B ．15 C ．19 D ．21 答案 A 解析 建立如图所示的平面直角坐标系，则B ????1t ，0，C (0，t )，AB →＝????1t ，0，AC →＝(0，t )， AP →＝AB →|AB →|＋4AC →| AC →|＝t ????1t ，0＋4t (0，t )＝(1,4)，∴P (1,4)， PB →·PC →＝????1t －1，－4· (－1，t －4) ＝17－????1t ＋4t ≤17－21t ·4t ＝13， 当且仅当t ＝12 时等号成立． ∴PB →·PC →的最大值等于13. (2)如图，已知P 是半径为2，圆心角为π3 的一段圆弧AB 上的一点，若AB →＝2BC →，则PC →·P A →的最小值为________． 答案 5－213 解析 以圆心为坐标原点，平行于AB 的直径所在直线为x 轴，AB 的垂直平分线所在的直线为y 轴，建立平面直角坐标系(图略)，则A (－1，3)，C (2，3)， 设P (2cos θ，2sin θ)????π3≤θ≤2π3， 则PC →·P A →＝(2－2cos θ，3－2sin θ)·(－1－2cos θ，3－2sin θ)＝5－2cos θ－43sin θ＝5－213sin(θ＋φ)， 其中0 一．方法综述 平面向量的数量积是高考考查的重点、热点，往往以选择题或填空题的形式出现.常常以平面图形为载体，借助于向量的坐标形式等考查数量积、夹角、垂直的条件等问题；也易同三角函数、解析几何等知识相结合，以工具的形式出现．由于命题方式灵活多样，试题内容活泼、新颖，因此，在高考试卷中备受青睐，是一个稳定的高频考点．解决这类问题有三种基本方法：投影法、基底法和坐标法．“三法”的准确定位应是并举！即不应人为地、凭主观划分它们的优劣，而应具体问题具体分析． 本专题举例说明解答解决平面向量数量积问题的方法、技巧. 二．解题策略 类型一投影定义法 【例1】【2018届河南省中原名校高三上第一次考评】已知P是边长为2的正△ABC边BC上的动点，则·（＋）＝_________． 【答案】6 【解析】设BC的中点为D，则AD⊥BC， 【指点迷津】 1、数量积与投影的关系（数量积的几何定义）： 向量,a b 数量积公式为cos a b a b θ?=，可变形为()cos a b a b θ?=?或() cos a b b a θ?=?，进而与向量投影找到联系 （1）数量积的投影定义：向量,a b 的数量积等于其中一个向量的模长乘以另一个向量在该向量上的投影，即a b a b b λ→?=?（记a b λ→为a 在b 上的投影） （2）投影的计算公式：由数量积的投影定义出发可知投影也可利用数量积和模长进行求解： a b a b b λ→?= 即数量积除以被投影向量的模长 2、数量积投影定义的适用范围：作为数量积的几何定义，通常适用于处理几何图形中的向量问题 （1）图形中出现与所求数量积相关的垂直条件，尤其是垂足确定的情况下（此时便于确定投影），例如：直角三角形，菱形对角线，三角形的外心（外心到三边投影为三边中点）学科&网 （2）从模长角度出发，在求数量积的范围中，如果所求数量积中的向量中有一个模长是定值，则可以考虑利用投影，从而将问题转化为寻找投影最大最小的问题 【举一反三】 已知圆M 为直角三角形ABC 的外接圆，OB 是斜边AC 上的高，且6,22AC OB ==，AO OC <，点P 为线段OA 的中点，若DE 是 M 中绕圆心M 运动的一条直径，则PD PE ?=_________ M C A O B P D E Q 【答案】-5 【解析】思路：本题的难点在于DE 是一条运动的直径，所以很难直接用定义求解.考虑到DE 为直径，所以延长EP 交圆M 于Q ，即可得DQ QE ⊥，则PD 在PE 上的投影向量为PQ .所求 PD PE PE PQ ?=-?，而由PE PQ ?联想到相交弦定理，从而PE PQ AP PC ?=?.考虑与已知条 件联系求出直径AC 上的各段线段长度.由射影定理可得：2 8AO CO OB ?==，且 平面向量的数量积 A 组 专项基础训练 一、选择题(每小题5分，共20分) 1． (2012·辽宁)已知向量a ＝(1，－1)，b ＝(2，x )，若a ·b ＝1，则x 等于 ( ) A ．－1 B ．－12 C.12 D ．1 2． (2012·重庆)设x ，y ∈R ，向量a ＝(x,1)，b ＝(1，y )，c ＝(2，－4)，且a ⊥c ，b ∥c ，则|a ＋b |等于( ) A. 5 B.10 C ．2 5 D ．10 3． 已知向量a ＝(1,2)，b ＝(2，－3)．若向量c 满足(c ＋a )∥b ，c ⊥(a ＋b )，则c 等于( ) A.? ????79，73 B.? ????－73，－79 C.? ????73，79 D.? ?? ??－79，－73 4． 在△ABC 中，AB ＝3，AC ＝2，BC ＝10，则AB →·AC →等于 ( ) A ．－32 B ．－23 C.23 D.32 二、填空题(每小题5分，共15分) 5．已知向量a ，b 夹角为45°，且|a |＝1，|2a －b |＝10，则|b |＝________. 6．在△ABC 中，M 是BC 的中点，AM ＝3，BC ＝10，则AB →·AC →＝________. 7． 已知a ＝(2，－1)，b ＝(λ，3)，若a 与b 的夹角为钝角，则λ的取值范围是__________． 三、解答题(共22分) 8． (10分)已知a ＝(1,2)，b ＝(－2，n ) (n >1)，a 与b 的夹角是45°. (1)求b ； (2)若c 与b 同向，且a 与c －a 垂直，求c . 9． (12分)设两个向量e 1、e 2满足|e 1|＝2，|e 2|＝1，e 1、e 2的夹角为60°，若向量2t e 1＋7e 2与 向量e 1＋t e 2的夹角为钝角，求实数t 的取值范围． 06—平面向量的数量积及其应用 突破点(一) 平面向量的数量积 1．向量的夹角；2平面向量数量积的运算 1.第一步，根据共线、垂直等条件计算出这两个向量的坐标，求解过程要注意方程思想的应用； 第二步，根据数量积的坐标公式进行运算即可． 2．根据定义计算数量积的两种思路 (1)若两个向量共起点，则两向量的夹角直接可得，根据定义即可求得数量积；若两向量的起点不同，需要通过平移使它们的起点重合，然后再计算． (2)根据图形之间的关系，用长度和相互之间的夹角都已知的向量分别表示出要求数量积的两个向量，然后再根据平面向量数量积的定义和性质进行计算求解． [典例] (1)设向量a ＝(－1,2)，b ＝(m,1)，如果向量a ＋2b 与2a －b 平行，那么a 与b 的数量积等于( ) A ．－72 B ．－12 (2)在等腰梯形ABCD 中，已知AB ∥DC ，AB ＝2，BC ＝1，∠ABC ＝60°.点E 和F 分别在线段BC 和DC 上，且BE ＝23BC ，DF ＝16 DC ，则AE ·AF 的值为________． [解析] (1)a ＋2b ＝(－1,2)＋2(m,1)＝(－1＋2m,4)，2a －b ＝2(－1,2)－(m,1)＝(－2－m,3)，由题 意得3(－1＋2m )－4(－2－m )＝0，则m ＝－12，所以b ＝? ????－12，1，所以a ·b ＝－1×? ?? ??－12＋2×1＝52. (2)取BA ，BC 为一组基底，则AE ＝BE －BA ＝23 BC －BA ，AF ＝AB ＋BC ＋CF ＝－BA ＋BC ＋512BA ＝－712BA ＋BC ，∴AE ·AF ＝? ????23 BC －BA ·? ????－712 BA ＋BC ＝712 |BA |2－2518BA ·BC ＋23|BC |2＝712×4－2518×2×1×12＋23＝2918. [答案] (1)D (2)2918 [易错提醒] (1)解决涉及几何图形的向量数量积运算问题时，一定要注意向量的夹角与已知平面角的关系是相等还是互补．(2)两向量a ，b 的数量积a ·b 与代数中a ，b 的乘积写法不同，不能漏掉其中的“·”． 突破点(二) 平面向量数量积的应用 的关系 平面向量的垂直问题 1.第一，计算出这两个向量的坐标； 第二，根据数量积的坐标运算公式，计算出这两个向量的数量积为0即可． 2．已知两个向量的垂直关系，求解相关参数的值 根据两个向量垂直的充要条件，列出相应的关系式，进而求解参数． [例1] (1)△ABC 是边长为2的等边三角形，已知向量a ，b 满足AB ＝2a ，AC ＝2a ＋b ，则下列结论正确的是( ) A ．|b |＝1 B ．a ⊥b C ．a ·b ＝1 D ．(4a ＋b )⊥BC (2)已知向量a ＝(k,3)，b ＝(1,4)，c ＝(2,1)，且(2a －3b )⊥c ，则实数k ＝( ) A ．－92 B ．0 C ．3 [解析] (1)在△ABC 中，由BC ＝AC －AB ＝2a ＋b －2a ＝b ，得|b |＝2，A 错误．又AB ＝2a 且|AB |＝2，所以|a |＝1，所以a ·b ＝|a ||b |cos 120°＝－1，B ，C 错误．所以(4a ＋b )·BC ＝(4a ＋b )·b ＝4a ·b ＋|b |2 ＝4×(－1)＋4＝0，所以(4a ＋b )⊥BC ，D 正确，故选D. (2)∵(2a －3b )⊥c ，∴(2a －3b )·c ＝0.∵a ＝(k,3)，b ＝(1,4)，c ＝(2,1)，∴2a －3b ＝(2k －3，－ 6)． 平面向量数量积运算 题型一 平面向量数量积的基本运算 例1 (1)(2014·天津)已知菱形ABCD 的边长为2，∠BAD ＝120°，点E ，F 分别在边BC ，DC 上，BC ＝3BE ，DC ＝λDF .若AE →·AF →＝1，则λ的值为________. (2)已知圆O 的半径为1，P A ，PB 为该圆的两条切线，A ，B 为切点，那么P A →·PB →的最小值为( ) A.－4＋ 2 B.－3＋ 2 C.－4＋2 2 D.－3＋2 2 变式训练1 (2015·湖北)已知向量OA →⊥AB →，|OA →|＝3，则OA →·OB →＝________. 题型二 利用平面向量数量积求两向量夹角 例2 (1)(2015·重庆)若非零向量a ，b 满足|a |＝22 3 |b |，且(a －b )⊥(3a ＋2b )，则a 与b 的夹角为( ) A.π4 B.π2 C.3π4 D.π (2)若平面向量a 与平面向量b 的夹角等于π 3，|a |＝2，|b |＝3，则2a －b 与a ＋2b 的夹角的余弦 值等于( ) A.126 B.－126 C.112 D.－1 12 变式训练2 (2014·课标全国Ⅰ)已知A ，B ，C 为圆O 上的三点，若AO →＝12(AB →＋AC →)，则AB → 与 AC → 的夹角为________. 题型三 利用数量积求向量的模 例3 (1)已知平面向量a 和b ，|a |＝1，|b |＝2，且a 与b 的夹角为120°，则|2a ＋b |等于( ) A.2 B.4 C.2 5 D.6 (2)已知直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠ADC ＝90°，AD ＝2，BC ＝1，P 是腰DC 上的动点，则|P A →＋3PB → |的最小值为________. 变式训练3 (2015·浙江)已知e 1，e 2是平面单位向量，且e 1·e 2＝1 2.若平面向量b 满足b ·e 1＝b ·e 2 ＝1，则|b |＝________. 平面向量数量积练习题 .选择题 1?下列各式中正确的是 ( ) (1)(入a) b=X a ()=a - b), (2) |a b |= | a | | -b |, (3) (a b) c= a (b c), (4) (a+b) c = a c+b c A ? (1) (3) B ? (2) (4) C . (1) (4) D ?以上都不对? LUU/ UUV LUU/ UUU 2. 在 A ABC 中若(CA CB)?(CA CB) 0,则 A ABC 为 ( ) A ?正三角形 B ?直角三角形 C ?等腰三角形 D ?无法确定 3. 已知|a|= 6, |b|= 3, a b =- 12,则向量a 在向量b 方向上的投影是( ) A . - 4 B . 4 C .- 2 D . 2 4. 已知|a |=1,|b |= 2， 且(a — b )与a 垂直，则a 与b 的夹角为 ( ) A . 60° B . 30° C . 135° D . 45° 5. 设 4, |b |= 3,夹角为 60°,则 |a + b | 等于( ) A . 37 B . 13 C . .37 D . .13 6 .设 x , y € R ，向量 a = (x,1), b = (1, y), c = (2, — 4)，且 a 丄c , b // c ,则 |a + b|等于( ) A. .5 B. .10 C . 2 , 5 D . 10 7. 已知向量 a = (1,2), b = (2, — 3).若向量 c 满足(c + a) / b , c ± (a + b),贝U c 等于( ) 7 二.填空题 8.已知e 是单位向量，a // e 且a e 18，则向量a = _____________ 9 .已知向量 a , b 夹角为 45 °,且 |a|= 1, |2a — ，贝U |b|= _____ . 10. ____________________________________________________________________________ 已知a = (2, — 1), b =(入3)，若a 与b 的夹角为钝角，贝U 入的取值范围是 ______________________ 三.解答题 11. (10 分)已知 a = (1,2), b = (— 2, n) (n>1), a 与 b 的夹角是 45 ° (1) 求 b ; 7 一 9 - D 7 一 9 7 一 3 G 7 一 9 - 7 一 3? - B 平面向量的数量积及应用 编稿：李霞 审稿：孙永钊 【考纲要求】 1．理解平面向量数量积的含义及其物理意义，了解平面向量的数量积与向量投影的关系，掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算，能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系. 2．会用向量方法解决某些简单的平面几何问题，会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题. 【知识网络】 【考点梳理】 考点一、向量的数量积 1. 定义： 已知两个非零向量a 和b ，它们的夹角为θ，我们把数量||||cos θa b 叫做a 和b 的数量积（或内积），记作?a b ，即||||cos ?=θa b a b . 规定：零向量与任一向量的数量积为0. 要点诠释： （1）两向量的数量积，其结果是个数量，而不是向量，它的值为两向量的模与余弦值决定 . （2）在运用数量积公式解题时，一定注意两向量夹角范围0?≤θ≤180?.此外，由于向量具有方向性，一定要找准 θ是哪个角. 2. 平面向量的数量积的几何意义 我们规定||cos θb 叫做向量b 在a 方向上的投影，当θ为锐角时，||cos θb 为正值；当θ为钝角时， 平面向量数量积及应用 平面向量的数量积 平面向量的应用 平面向量的坐标运算 ||cos θb 为负值；当θ=0?时，||cos ||θ=b b ；当θ=90?时，||cos 0θ=b ；当θ=180?时，||cos ||θ=-b b . ?a b 的几何意义：数量积?a b 等于a 的长度||a 与 b 在a 方向上的投影||cos θb 的乘积. 要点诠释： b 在a 方向上的投影是一个数量，它可正、可负，也可以等于0. 3. 性质： （1） 0⊥??=a b a b (2) 当a 与b 同向时，||||?=a b a b ；当a 与b 反向时，||||?=-a b a b . 特别地2 2 ||||?==，即a a a a a (3) cos |||| ?θ= a b a b (4) ||||?≤a b a b 4. 运算律 设已知向量a 、b 、c 和实数λ，则向量的数量积满足下列运算律： (1) ?=?a b b a (交换律) (2) ()()()λ?=λ?=?λa b a b a b (3) ()+?=?+?a b c a c b c 要点诠释： ①当0≠a 时，由0?=a b 不一定能推出0=b ，这是因为对任何一个与a 垂直的向量b ，都有 0?=a b ；当0≠a 时，?=?a b a c 也不一定能推出=b c ，因为由?=?a b a c ，得()0?-=a b c ，即a 与()-b c 垂直.也就是向量的数量积运算不满足消去律. ②对于实数,,a b c ，有()()a b c a b c ?=?，但对于向量来说，()()??=??a b c a b c 不一定相等，这是因为()??a b c 表示一个与c 共线的向量，而()??a b c 表示一个与a 共线的向量，而a 与c 不一定共线，所以 ()??a b c 与()??a b c 不一定相等. 5. 向量的数量积的坐标运算 ①已知两个非零向量11(x ,y )=a ，22(x ,y )=b ，那么1212x x y y ?=+a b ； 平面向量的数量积(20131119)作业 姓名 成绩 A 组 专项基础训练 一、选择题(每小题5分，共20分) 1． (2012·辽宁)已知向量a ＝(1，－1)，b ＝(2，x )，若a ·b ＝1，则x 等于 ( ) A ．－1 B ．－1 2 C.12 D ．1 2． (2012·重庆)设x ，y ∈R ，向量a ＝(x,1)，b ＝(1，y )，c ＝(2，－4)，且a ⊥c ，b ∥c ，则|a ＋b |等于( ) A. 5 B.10 C ．2 5 D ．10 3． 已知向量a ＝(1,2)，b ＝(2，－3)．若向量c 满足(c ＋a )∥b ，c ⊥(a ＋b )，则c 等于( ) A.???? 79，73 B.????－73，－79 C.????73，79 D.????－79 ，－7 3 4． 在△ABC 中，AB ＝3，AC ＝2，BC ＝10，则AB →·AC → 等于 ( ) A ．－3 2 B ．－23 C.23 D.3 2 二、填空题(每小题5分，共15分) 5．已知向量a ，b 夹角为45°，且|a |＝1，|2a －b |＝10，则|b |＝________. 6．在△ABC 中，M 是BC 的中点，AM ＝3，BC ＝10，则AB →·AC →＝________. 7． 已知a ＝(2，－1)，b ＝(λ，3)，若a 与b 的夹角为钝角，则λ的取值范围是__________． 三、解答题(共22分) 8． (10分)已知a ＝(1,2)，b ＝(－2，n ) (n >1)，a 与b 的夹角是45°. (1)求b ； (2)若c 与b 同向，且a 与c －a 垂直，求c . 9． (12分)设两个向量e 1、e 2满足|e 1|＝2，|e 2|＝1，e 1、e 2的夹角为60°，若向量2t e 1＋7e 2与向量e 1＋t e 2的 夹角为钝角，求实数t 的取值范围． 平面向量的数量积及应用 知识梳理： 平面向量的夹角及表示: (1).平面向量的夹角的定义 (2).范围: 表示方法: 当夹角为0或错误！未找到引用源。时,则称a与b ,记作: ; 当夹角为9错误！未找到引用源。时,则称a与b ,记作: ; 2.向量的数量积定义: 3.数量积几何意义与投影的概念: 4.数量积的性质:设a与b是非零向量,e是单位向量,错误！未找到引用源。是a与e的夹角, 则 ①错误！未找到引用源。= ；②a错误！未找到引用源。b时，a错误！未找到引用源。b错误！未找到引用源。③错误！未找到引用源。同向量，错误！未找到引用源。 ④错误！未找到引用源。反向量，错误！未找到引用源。⑤错误！未找到引用源。|错误！未找到引用源。=错误！未找到引用源。 特别地：错误！未找到引用源。=错误！未找到引用源。+错误！未找到引用源。+2a错误！未找到引用源。b 错误！未找到引用源。=错误！未找到引用源。+错误！未找到引用源。-2a 错误！未找到引用源。b (a+b)错误！未找到引用源。(a-b)=错误！未找到引用源。-错误！未找到引用源。 ⑥数量积的运算律: 交换律：；结合律：；分配律： ⑦数量积的坐标运算：； ⑧两向量垂直叛定：； ⑨两向量夹角公式： ； ⑩向量的模及两点间的距离： ； 二、题型探究 探究一：平面向量的数量积运算 例1：已知|a |=5，|b |=4，a 与b 的夹角为12错误！未找到引用源。，求： ○1错误！未找到引用源。 ○2错误！未找到引用源。 ○3错误！未找到引用源。-错误！未找到引用源。 ； ○4（2a-b ）错误！未找到引用源。（a+3b ） （答案：-10；21；9；-48） 探究二、数量积的综合应用 例2：已知向量a 和b 的夹角是120°，且2||=a ，5||=b ，则a b a ?-)2(= 例3：已知平面上三个向量a 、b 、c 的模均为1，它们相互之间的夹角均为120°， （1）求证：)(b a -⊥c ； （2）若1||>++c b a k )(R k ∈，求k 的取值范围. 解：（1）∵ 1||||||===c b a ，且a 、b 、c 之间的夹角均为120°，平面向量数量积练习题
第26讲平面向量的数量积及应用
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