离散数学习题答案(耿素云屈婉玲)

离散数学习题答案

习题二及答案：（P38）

5、求下列公式的主析取范式，并求成真赋值： （2）()()p q q r ?→∧∧ 解：原式()p q q r ?∨∧∧q r ?∧()p p q r ??∨∧∧

()()p q r p q r ??∧∧∨∧∧37m m ?∨，此即公式的主析取范式，

所以成真赋值为011，111。

6、求下列公式的主合取范式，并求成假赋值： （2）()()p q p r ∧∨?∨

解：原式()()p p r p q r ?∨?∨∧?∨∨()p q r ??∨∨4M ?，此即公式的主合取范式，

所以成假赋值为100。

7、求下列公式的主析取范式，再用主析取范式求主合取范式： （1）()p q r ∧∨ 解：原式()(()())p q r r p p q q r ?∧∧?∨∨?∨∧?∨∧

()()()()()()p q r p q r p q r p q r p q r p q r ?∧∧?∨∧∧∨?∧?∧∨?∧∧∨∧?∧∨∧∧ ()()()()()p q r p q r p q r p q r p q r ??∧?∧∨?∧∧∨∧?∧∨∧∧?∨∧∧

13567m m m m m ?∨∨∨∨，此即主析取范式。

主析取范式中没出现的极小项为0m ，2m ，4m ，所以主合取范式中含有三个极大项0M ，2M ，4M ，故原式的主合取范式024M M M ?∧∧。

9、用真值表法求下面公式的主析取范式： （1）()()p q p r ∨∨?∧ 解：公式的真值表如下：

由真值表可以看出成真赋值的情况有7种，此7种成真赋值所对应的极小项的析取即为主析取范式，故主析取范式

1234567m m m m m m m ?∨∨∨∨∨∨

习题三及答案：（P52-54）

11、填充下面推理证明中没有写出的推理规则。 前提：,,,p q q r r s p ?∨?∨→

结论：s 证明：

① p 前提引入 ② p q ?∨ 前提引入 ③ q ①②析取三段论 ④

q r ?∨ 前提引入

⑤ r ③④析取三段论 ⑥ r s → 前提引入

⑦ s ⑤⑥假言推理

15、在自然推理系统P 中用附加前提法证明下面推理： （2）前提：()(),()p q r s s t u ∨→∧∨→ 结论：

p u →

证明：用附加前提证明法。 ① p 附加前提引入 ② p q ∨ ①附加

③ ()()p q r s ∨→∧ 前提引入

④ r s ∧ ②③假言推理

⑤ s ④化简

⑥ s t ∨ ⑤附加

⑦

()s t u ∨→ 前提引入

⑧ u ⑥⑦假言推理 故推理正确。

16、在自然推理系统P 中用归谬法证明下面推理：

（1）前提：

p q →?，r q ?∨，r s ∧? 结论：p ?

证明：用归谬法

① p 结论的否定引入 ② p q →? 前提引入 ③ q ? ①②假言推理 ④ r q ?∨ 前提引入

⑤ r ? ③④析取三段论 ⑥

r s ∧? 前提引入

⑦ r ⑥化简 ⑧r r ∧? ⑤⑦合取 由于0r r

∧??，所以推理正确。

17、在自然推理系统P 中构造下面推理的证明：

只要A 曾到过受害者房间并且11点以前没离开，A 就是谋杀嫌犯。A 曾到过受害者房间。如果A 在11点以前离开，看门人会看见他。看门人没有看见他。所以，A 是谋杀嫌犯。

解：设p ：A 到过受害者房间，q ：A 在11点以前离开，r ：A 是谋杀嫌犯，s ：看门人看见过A 。 则前提：()p q r ∧?→，p ，q s →，s ?

结论：r 证明： ① q s → 前提引入

② s ? 前提引入

③ q ? ①②拒取式

④ p 前提引入

⑤ p q ∧? ③④合取引入

⑥ ()p q r ∧?→ 前提引入

⑦ r ⑤⑥假言推理

习题五及答案：（P80-81）

15、在自然推理系统N ξ中，构造下面推理的证明： （3）前提：(()())x F x G x ?∨，()xG x ?? 结论：()xF x ? 证明： ① ()xG x ?? 前提引入 ② ()x G x ?? ①置换 ③ ()G c ? ②UI 规则 ④

(()())x F x G x ?∨ 前提引入

⑤ ()()F c G c ∨ ④UI 规则 ⑥ ()F c ③⑤析取三段论

⑦

()xF x ? ⑥EG 规则

22、在自然推理系统N ξ中，构造下面推理的证明：

（2）凡大学生都是勤奋的。王晓山不勤奋。所以王晓山不是大学生。 解：设F(x)：x 为大学生，G(x)：想是勤奋的，c ：王晓山 则前提：(()())x F x G x ?→，()G c ? 结论：()F c ? 证明： ① (()())x F x G x ?→ 前提引入 ② ()()F c G c → ①UI 规则 ③ ()G c ? 前提引入 ④

()F c ? ②③拒取式

25、在自然推理系统N ξ中，构造下面推理的证明：

每个科学工作者都是刻苦钻研的，每个刻苦钻研而又聪明的人在他的事业中都将获得成功。王大海是科学工作者，并且是聪明的。所以，王大海在他的事业中将获得成功。（个体域为人类集合）

解：设F(x)：x 是科学工作者，G(x)：x 是刻苦钻研的，H(x)：x 是聪明的，I(x)：x 在他的事业中获得成功，c ：王大海 则前提：(()())x F x G x ?→，(()()())x G x H x I x ?∧→，()()F c H c ∧ 结论：()I c 证明： ① ()()F c H c ∧ 前提引入 ② ()F c ①化简

③ ()H c ①化简 ④ (()())x F x G x ?→ 前提引入 ⑤ ()()F c G c → ④UI 规则 ⑥

()G c ②⑤假言推理

⑦ ()()G c H c ∧ ③⑥合取引入 ⑧ (()()())x G x H x I x ?∧→ 前提引入 ⑨ ()()()G c H c I c ∧→ ⑧UI 规则 ⑩ ()I c ⑦⑨假言推理

习题七及答案：（P132-135） 22、给定

{}1,2,3,4A =，A 上的关系{}1,3,1,4,2,3,2,4,3,4R =，试

（1）画出R 的关系图； （2）说明R 的性质。 解：（1）

（2）R R 是反自反的，不是自反的；

R 的关系图中任意两个顶点如果有边的都是单向边，故R 是反对称的，不是对称的；

R 的关系图中没有发生顶点x 到顶点y 有边、顶点y 到顶点z 有边，但顶点x 到顶点z 没有边的情况，故R 是

传递的。 26 设

{}1,2,3,4,5,6A =，R 为A 上的关系，R 的关系图如图7.13所示：

（1）求2

3,R

R 的集合表达式；

（2）求r(R), s(R), t(R)的集合表达式。 解：（1）由R 的关系图可得{1,5,2,5,3,1,,4,5

R =

所以{2

3,1,3,3,3,5R R R =?=，{3

23,1,3,3,3,5

R

R R =?=，

可得{}3,1,3,3,3,5,n>=2n

R

=当；

（2）{}A

r(R)=R I 1,5,2,5,3,1,3,3,4,5,1,1,2,2,4,4,,6,6

= ，

{}1()R 1,5,5,1,2,5,5,2,3,1,1,3,3,3,4,5,5,4s R R -==

{232()R R ...R 1,5,2,5,3,1,,4,5,t R R R ===

46、分别画出下列各偏序集,A R ≤

的哈斯图，并找出A 的极大元、极小元、最大元和最小元。

（1）{}A ,,,,,,,,,,,,,I R a d a c a b a e b e c e d e ≤

=

解：哈斯图如下：

A 的极大元为e 、极小元为a ； A 的最大元为e 、最小元为a 。 48、设

,B,S A R 和为偏序集，在集合A B ?上定义关系T 如下：

112211221212

,,,A B,,,a b a b a b T a b a Ra b Sb ?∈??∧

证明T 为A B ?上的偏序关系。 证明：（1）自反性：

1111111111

112212121111,A B R R S b Sb R b Sb ,,,,T a b a a a a a b T a b a Ra b Sb a b T a b ∈?∴∴∴∧?∧∴ 任取，则：

为偏序关系，具有自反性，为偏序关系，具有自反性，又，，故满足自反性

（2）反对称性：

11221122221112122121

1221121221121122,,,A B ,,,,R S b b ,,T a b a b a b T a b a b T a b a Ra b Sb a Ra b Sb a Ra a Ra a a b Sb b Sb a b a b ∈?∧∧∴∧=∴∧=∴=任取，若且，则有：（1）（2）

，又为偏序关系，具有反对称性，所以，又为偏序关系，具有反对称性，所以，故满足反对称性

（3）传递性：

112233112222331122121222332323

12231312231313131133,,,,A B ,,,,,,,,,R ,S b Sb b Sb ,,T a b a b a b a b T a b a b T a b a b T a b a Ra b Sb a b T a b a Ra b Sb a Ra a Ra a Ra b Sb b Sb a Ra a b T a b ∈??∧?∧∴∧∴∧∴∧?任取，，若且，则有：又为偏序关系，具有传递性，所以又为偏序关系，具有传递性，所以，故满足传递性。

综合（1）（2）（3）知T 满足自反性、反对称性和传递性，故T 为A B ?上的偏序关系。

习题九及答案：（P179-180） 8、

S=Q Q,Q S a,b ,x,y a,b x,y ax,ay+b

S ?*?∈*=为有理数集，为上的二元运算，有

（1）S *运算在上是否可交换、可结合？是否为幂等的？

（2）S *运算是否有单位元、零元？如果有，请指出，并求出中所有可逆元素的逆元。 解：（1）

,a,b xa,xb+y ax,bx+y a,b ,x y x y *==≠*∴*运算不具有交换律

()()

(),a,b c,d

ax,bx+y c,d acx,adx+bx+y ,a,b c,d ,*ac,ad+b

xac,xad+xb+y acx,adx+bx+y ,a,b c,d x y x y x y x y **=*=**====**∴*而运算有结合律

2a,b s a,b a,b a ,a,b ad b ∈*=+≠∴*任取，则有：运算无幂等律

（2）

()()a,b *,a,b a,b s ax,ay+b a,b a,b s ax a a x 10a,b ay b b ay 0x 10x 1

y 0y 0101010

x y =?∈=?∈?=?-=?∴????+==???

-==??∴???

==??∴**∴*令对均成立则有：对均成立对成立必定有运算的右单位元为，，可验证，也为运算的左单位元，

运算的单位元为，

()()()a,b *,,,a,b s a,b *,,ax,ay+b ,a 1x 0ax x a 1y+b 0ay b y a 1y+b 0a,b s a,b *,,a,b s x y x y x y x y x y x y

x y x y =?∈=?=?-=?=?????

-=+=????

-=?∈=?∈令，若存在使得对上述等式均成立，则存在零元，否则不存在零元。由由于不可能对均成立，

故不可能对均成立，故不存在零元；

a,b ,a,b *,e 101x ax 1a

a ay

b 0b y a a 0a,b 1b

a a,

b ,a a

x y x y ==?

=?=????≠??+=??=-

??

∴=≠-设元素的逆元为，则令，（当0）

当时，的逆元不存在；

当0时，的逆元是

11

、{}S 12S S ?

=***设，，...,10，问下面的运算能否与构成代数系统，如果能构成代数系统则说明运算是否满足交换律、结合律，并求运算的单位元和零元。

（3）x y x y *=大于等于和的最小整数； 解：（3）由*运算的定义可知：x y=max(x,y)*，

x,y S,x y S S S ∈*∈**有，故运算在上满足封闭性，所以运算与非空集合能构成代数系统； x,y S,x y=max(x,y)=max(y,x)=y ,x ∈***任取有所以运算满足交换律；

x,y,z S,x y)z=max(max(x,y),z)=max(x,y,z)=max(x,max(y,z))=x (y z),∈*****任取有(所以运算满足结合律；

x S x 1=max(x,1)=x=max(1,x)=1x,∈***任取，有所以运算的单位元是1； x S x 10=max(x,10)=10=max(10,x)=10x,∈***任取，有所以运算的零元是10； 16、

}}1212V 1,2,3,,1,x y V 5,6,,6x y V V x y x y =??=**设其中表示取和之中较大的数。，其中表示取和之中较小的数。求出和的所有的子代数。指出哪些是平凡的子代数，哪些是真子代数。

}}}{}{}{}{}{}{}111V 1,2,3,,1,1,,1,1,2,,1,1,3,,1V 1,2,3,,1,1,,1V 1,,1,1,2,,1,1,3,,1?????????解：（1）的所有的子代数是：；

的平凡的子代数是：；的真子代数是：；

{}{}}}}222V 5,6,,66,,6V 5,6,,66,,6V 6,,6*****（2）的所有的子代数是：，；

的平凡的子代数是：，；的真子代数是：。

习题十一及答案：（P218-219）

1、图11.11给出了6个偏序集的哈斯图。判断其中哪些是格。如果不是格，说明理由 解：（a ）、（c ）、（f ）是格；因为任意两个元素构成的集合都有最小上界和最大下界； （b ）不是格，因为{d,e}的最大下界不存在； （d ）不是格，因为{b,c}的最小上界不存在； （e ）不是格，因为{a,b}的最大下界不存在。

2、下列各集合低于整除关系都构成偏序集，判断哪些偏序集是格。 （1）L={1，2，3，4，5}； （2）L={1，2，3，6，12}；

解：画出哈斯图即可判断出：（1）不是格，（2）是格。 4、设L 是格，求以下公式的对偶式： （2）()()()a b c a b a c ∨∧≤∨∧∨

解：对偶式为：()()()a b c a b a c ∧∨≥∧∨∧，参见P208页定义11.2。 9、针对图11.11中的每个格，如果格中的元素存在补元，则求出这些补元。 解：

（a ）图：a,d 互为补元，其中a 为全下界，d 为全上界，b 和c 都没有补元；

（c ）图：a,f 互为补元，其中a 为全下界，f 为全上界，c 和d 的补元都是b 和e ，b 和e 的补元都是c 和d ； （f ）图：a,f 互为补元，其中a 为全下界，f 为全上界，b 和e 互为补元，c 和d 都没有补元。 10、说明图11.11中每个格是否为分配格、有补格和布尔格，并说明理由。 解：

（a ）图：是一条链，所以是分配格，b 和c 都没有补元，所以不是有补格，所以不是布尔格；

（c ）图：a,f 互为补元，c 和d 的补元都是b 和e ，b 和e 的补元都是c 和d ，所以任何元素皆有补元，是有补格；

(),c b d c a c ∨∧=∨= ()()c b c d f d d ∨∧∨=∧=()()()c b d c b c d ∴∨∧≠∨∧∨，所以∨对∧运算

不满足分配律，所以不是分配格，所以不是布尔格；

（f ）图：经过分析知图（f ）对应的格只有2个五元子格：L1={a,c,d,e,f}, L2={a,b,c,d,f}。画出L1和L2的哈斯图可知L1和L2均不同构于钻石格和五角格，根据分配格的充分必要条件（见P213页的定理11.5）得图（f ）对应的格是分配格；c 和d 都没有补元，所以不是有补格，所以不是布尔格。