抛物线解析式问题
解析式问题
一般式、交点式、顶点式、半个顶点
1．抛物线过点（1，0），B （3，0），C （﹣1，2）三点，求这二次函数的表达式
2．二次函数的图象经过点（﹣1，﹣5），（0，﹣4）和（1，1），求这二次函数的表达式
3．二次函数的图象的顶点坐标是（2，4），过点（0，﹣4），求这二次函数的表达式
4．若抛物线经过（0，1）、（﹣1，0）、（1，0）三点，求这二次函数的表达式
5.二次函数的图象以A （﹣1，4）为顶点，且过点B （2，﹣5）．求该函数的关系式；
6．如图，已知二次函数的图象与x 轴交于点A （1，0）和点B ，与y 轴交于点C （0，6），对称轴为直线x=2，求二次函数解析式
7．二次函数的图象如图所示，求这二次函数的表达式
8．已知某二次函数的图象如图所示，则这个二次函数的解析式为（ ）
变式训练
1．抛物线y=2x 2+mx+n 经过点A （﹣1，a ），B （3，a ），且最低点的纵坐标为﹣4．求抛物线的表达式及a 的值；
2．抛物线y=x 2﹣bx+c 交x 轴于点A （1，0），对称轴是x=2．
求抛物线的解析式；
3．已知二次函数y=x 2+mx+n 的图象经过点P （﹣3，1），对称轴是经过（﹣1，0）且平行于y 轴的直线．求m 、n 的值；
4．抛物线y=x 2+bx+c 与x 轴交于A （﹣1，0），B （3，0）两点．
求该抛物线的解析式；
7题
8题 6题
九年级数学二次函数几种解析式的求法素材
二次函数的解析式求法 求二次函数的解析式这类题涉及面广，灵活性大，技巧性强，笔者结合近几年来的中考 试题，总结出几种解析式的求法，供同学们学习时参考。 一、 三点型 例1 已知一个二次函数图象经过（-1，10）、（2，7）和（1，4）三点，那么这个函 数的解析式是_______。 分析 已知二次函数图象上的三个点，可设其解析式为y=ax 2 +bx+c,将三个点的坐标代 入，易得a=2,b=-3,c=5 。故所求函数解析式为y=2x 2-3x+5. 这种方法是将坐标代入y=ax 2+bx+c 后，把问题归结为解一个三元一次方程组，求出待定系 数 a, b , c, 进而获得解析式y=ax 2+bx+c. 二、交点型 例2 已知抛物线y=-2x 2+8x-9的顶点为A ，若二次函数y=ax 2+bx+c 的图像经过A 点， 且与x 轴交于B （0，0）、C （3，0）两点，试求这个二次函数的解析式。 分析 要求的二次函数的图象与x 轴的两个交点坐标，可设y=ax(x-3),再求也y=-2x 2+8x-9的顶点A （2，-1）。将A 点的坐标代入y=ax(x-3),得到a=21 ∴y=21x(x-3),即 y= x x 23212 . 三、顶点型 例 3 已知抛物线y=ax 2 +bx+c 的顶点是A(-1,4)且经过点(1,2)求其解析式。 分析 此类题型可设顶点坐标为(m,k)，故解析式为y=a(x-m)2+k.在本题中可设y=a(x+1)2+4.
再将点(1,2)代入求得a=-21 ∴y=-,4)1(212++x 即y=-.272 12+-x x 由于题中只有一个待定的系数a ，将已知点代入即可求出，进而得到要求的解析式。 四、平移型 例 4 二次函数y=x 2 +bx+c 的图象向左平移两个单位，再向上平移3个单位得二次函 数,122+-=x x y 则b 与c 分别等于 (A)2,-2;(B)-6,6;(c)-8,14;(D)-8,18. 分析 逆用平移分式，将函数y=x 2 -2x+1的顶点（1，0）先向下平移3个单位，再向右平移 两个单位得原函数的图象的顶点为（3，-3）。 ∴y=x 3)3(22--=++x c bx =x .662 +-x ∴b=-6,c=6. 因此选（B ） 五、弦比型 例 5 已知二次函y=ax 2+bx+c 为x=2时有最大值2，其图象在X 轴上截得的线段长为 2，求这个二次函数的解析式。 分析 弦长型的问题有两种思路，一是利用对称性求出交点坐标，二是用弦比公式d=a ?
二次函数与一元二次方程的关系及解析式求法
---------------------------------------------------------------最新资料推荐------------------------------------------------------ 二次函数与一元二次方程的关系及解析式求法 中小学 1 对 1 课外辅导专家知识梳理 1.一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的解的情况等价于抛物线y=ax2+bx+c(c≠0)与直线 y=0(即 x 轴)的公共点的个数。 抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与 x 轴的公共点有三种情况：两个公共点（即有两个交点），一个公共点，没有公共点，因此有：(1)抛物线 y=ax2+bx+c 与 x 轴有两个公共点(x1，0)(x2，0) 一元二次方程 ax2+bx+c=0 有两个不等实根△ =b2-4ac>0。 (2)抛物线 y=ax2+bx+c 与 x 轴只有一个公共点时，此公共点即为顶点一元二次方程 ax2+bx+c=0 有两个相等实根，(3)抛物线y=ax2+bx+c 与 x 轴没有公共点一元二次方程 ax2+bx+c=0 没有实数根△=b2-4ac<0. (4)事实上，抛物线 y=ax2+bx+c 与直线 y=h 的公共点情况方程 ax2+bx+c=h 的根的情况。 抛物线y=ax2+bx+c 与直线y=mx+n 的公共点情况方程ax2+bx+c=mx+n 的根的情况。 2.二次函数解析式求法新课讲解例 1、二次函数与一元二次方程1、抛物线 y ? 2x ? 8 ? 3x2 与 x 轴有个交点，因为其判别式 b2 ? 4ac ?0，相应二次方程 3x2 ? 2x ? 8 ? 0的根的情况为．2、函数 y ? mx2 ? x ? 2m （ m 是常数）的图像与 x 轴的交点个数为（）A．0 个B．1 个C．2 个D．1 个或 2 个3、关于二次函数 y ? ax2 ? bx ? c 的图像有下列命题：①当 c ? 0 时，函数的图像经过原点；②当 c ? 1/ 7
二次函数待定系数法求函数解析式
精心整理 专题训练求二次函数的解析式 一、已知三点求解析式 1.抛物线y＝ax2＋bx＋c经过（－1，－22），（0，－8），（2，8）三点，求它的开口方 2. 3. 4. 5. 6. 7. 线的顶点记为M，它的对称轴与x轴的交点记为N.（1）求抛物线C的解析式；（2）求点M的坐标； 8.已知：如图，二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象经过A，B，C三点.求此抛物线的解析式.
9.如图所示，求此抛物线的解析式。 10.如图，抛物线c bx x y ++-=2 2 1与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，且OA ＝2，OC ＝3．求抛物线的解析式． 11．如图所示，抛物线y ＝ax 2＋bx －4a 经过点A （－1，0），C （0， 4）. （1（212.. 13.3）. 和y 二、已知顶点或对称轴求解析式 1.在平面直角坐标系内，二次函数图象的顶点为A （1，－4），且过点B （3，0），求该二次函数的解析式. 2.已知二次函数图象的顶点是（1，－3），且经过点M （2，0），求这个函数的解析式.
3.如果抛物线的顶点坐标是（3，－1），与y 轴的交点是（0，－4），求它的解析式。 4.已知抛物线y ＝x 2＋kx ＋k ＋3，若抛物线的顶点在y 轴上，求此抛物线的解析式。 5.已知抛物线经过点A （1，0），B （0，3），且对称轴是直线x ＝2，求该抛物线的解析式. 6.已知某二次函数，当x =3时，函数有最小值－2，且函数图象与y 轴交于)2 5 ,0(，求此二次函数的解析式。 7. 8.9.10.直线x ＝1的函 11.如图，已知抛物线的顶点为A （1， 4），抛物线与y 轴交于点B （0，3），与x 轴交于C ，D 两点.P 是x 轴上的一个动点.（1）求此抛物线的解析式；（2）当P A ＋PB 的 1 0 1 2 3 10 5 2 1 2
求抛物线解析式及应用
求抛物线的解析式 1（2011龙东五市）已知：抛物线与直线y=x+3分别交于x轴和y轴上同一点，交点分别是点A和点C，且抛物线的对称轴为直线x=－2。 （1）求出抛物线与x轴的两个交点A、B的坐标。 （2）试确定抛物线的解析式。 2.（2011鸡西、绥化，齐齐哈尔）已知：二次函数y= 4 3 x2+bx+c，其图象对称轴为直线x=1，且经过点（2，– 4 9 ）. （1）求此二次函数的解析式. 注：二次函数y=a x2+bx+c（a≠0）的对称轴是直线x=－ a b 2 . 3.如图，抛物线y=x2+bx+c经过A(－1，O)，B(4，5)两点，请解答下 列问题： (1)求抛物线的解析式； 4已知抛物线2 y ax bx =+经过点(33) A-- ，和点P （t，0），且t ≠ 0． （1）若该抛物线的对称轴经过点A，如图12，请通过观察图象，指出此时y的最小值，并写出t的值； x y o A C B -2
①、2 5（2009年重庆市江津区）如图，抛物线c bx x y ++-=2 与x 轴交与A(1,0),B(- 3，0)两点， （1）求该抛物线的解析式； . 3.如图，已知抛物线经过定点．．A （1，0），它的顶点P 是y 轴正半轴上的一个动点．． ，P 点关于x 轴的对称点为P′，过P′ 作x 轴的平行线交抛物线于B 、D 两点（B 点在y 轴右侧），直线BA 交y 轴于C 点．按从特殊到一般的规律探究线段CA 与CB 的比值： （1）当P 点坐标为（0，1）时，写出抛的解析式 .4 如图已知抛物线23233y x x =- ++与x 轴的两个交点为A B 、，与y 轴交于点C ． （1）求A B C ，，三点的坐标； x y B A ' P P 1 O C D . . . . . . A O P x y - 3 - 3 A B C
求二次函数解析式的四种方法详解
求二次函数解析式的四种基本方法 二次函数是初中数学的一个重要内容，也是高中数学的一个重要基础。熟练地求出二次函数的解析式是解决二次函数问题的重要保证。 二次函数的解析式有三种基本形式： 1、一般式：y=ax 2 +bx+c (a ≠0)。 2、顶点式：y=a(x －h)2+k (a ≠0)，其中点(h,k)为顶点，对称轴为x=h 。 3、交点式：y=a(x －x 1)(x －x 2) (a ≠0)，其中x 1,x 2是抛物线与x 轴的交点的横坐标。 4.对称点式： y=a(x －x 1)(x －x 2)+m (a ≠0) 求二次函数的解析式一般用待定系数法，但要根据不同条件，设出恰当的解析式： 1、若给出抛物线上任意三点，通常可设一般式。 2、若给出抛物线的顶点坐标或对称轴或最值，通常可设顶点式。 3、若给出抛物线与x 轴的交点或对称轴或与x 轴的交点距离，通常可设交点式。 4.若已知二次函数图象上的两个对称点（x 1、m)(x 2、m),则设成： y=a(x －x 1)(x －x 2)+m (a ≠0)，再将另一个坐标代入式子中，求出a 的值，再化成一般形式即可。 探究问题，典例指津： 例1、已知二次函数的图象经过点)4,0(),5,1(---和)1,1(．求这个二次函数的解析式． 分析：由于题目给出的是抛物线上任意三点，可设一般式y=ax 2+bx+c (a ≠0)。 解：设这个二次函数的解析式为y=ax 2+bx+c (a ≠0) 依题意得：?????=++-=-=+-145c b a c c b a 解这个方程组得：?? ???-===432c b a ∴这个二次函数的解析式为y=2x 2 +3x －4。 例2、已知抛物线c bx ax y ++=2的顶点坐标为)1,4(-，与y 轴交于点)3,0(，求这条抛物线的解析式。 分析：此题给出抛物线c bx ax y ++=2的顶点坐标为)1,4(-，最好抛开题目给出的c bx ax y ++=2，重新设顶点式y=a(x －h)2+k (a ≠0)，其中点(h,k)为顶点。 解：依题意，设这个二次函数的解析式为y=a(x －4)2 －1 (a ≠0) 又抛物线与y 轴交于点)3,0(。
二次函数y=abc解析式求法
第8课时二次函数y＝ax2＋bx＋c解析式求法 一、学习目标： 1．会用待定系数法求二次函数的解析式； 2．实际问题中求二次函数解析式． 二、课前基本练习 1．已知二次函数y＝x2＋x＋m的图象过点（1，2），则m的值为________________．2．已知点A（2，5），B（4，5）是抛物线y＝4x2＋bx＋c上的两点，则这条抛物线的对称轴为_____________________． 3．将抛物线y＝－(x－1)2＋3先向右平移1个单位，再向下平移3个单位，则所得抛物线的 解析式为____________________． 4．抛物线的形状、开口方向都与抛物线y＝－1 2x 2相同，顶点在（1，－2），则抛物线 的解 析式为________________________________． 三、例题分析 例1 已知抛物线经过点A（－1，0），B（4，5），C（0，－3），求抛物线的解析式． 例2 已知抛物线顶点为（1，－4），且又过点（2，－3）．求抛物线的解析式． 例3 已知抛物线与x轴的两交点为（－1，0）和（3，0），且过点（2，－3）．求抛物线的解析式． 四、归纳 用待定系数法求二次函数的解析式用三种方法： 1．已知抛物线过三点，设一般式为y＝ax2＋bx＋c． 2．已知抛物线顶点坐标及一点，设顶点式y＝a(x－h)2＋k． 3．已知抛物线与x轴有两个交点（或已知抛物线与x轴交点的横坐标），设两根式：y＝a(x－x1)(x－x2) ．（其中x1、x2是抛物线与x轴交点的横坐标） 五、实际问题中求二次函数解析式 例4 要修建一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，在水管的顶端安一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为1m处达到最高，高度为 3m，水柱落地处离池中心3m，水管应多长？ 六、课堂训练 1．已知二次函数的图象过（0，1）、（2，4）、（3，10）三点，求这个二次函数的关系式． 2．已知二次函数的图象的顶点坐标为（－2，－3），且图像过点（－3，－2），求这个二次 函数的解析式． 3．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图像与x轴交于A（1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C（0，3），求二次函数的顶点坐标．
二次函数解析式的确定(10种)
二次函数解析式的确定2 〈一〉三点式。 1，已知抛物线y=ax 2+bx+c 经过A （3，0），B （32，0），C （0，-3）三点， 求抛物线的解析式。 2，已知抛物线y=a(x-1)２+4 ， 经过点A （2，3），求抛物线的解析式。 〈二〉顶点式。 1，已知抛物线y=x 2-2ax+a 2+b 顶点为A （2，1），求抛物线的解析式。 2，已知抛物线 y=4(x+a)2-2a 的顶点为（3，1），求抛物线的解析式。 〈三〉交点式。 1，已知抛物线与 x 轴两个交点分别为（3，0）,(5,0),求抛物线y=(x-a)(x-b)的解析式。 2，已知抛物线线与 x 轴两个交点（4，0），（1，0）求抛物线y=21 a(x-2a)(x-b)的解析式。 〈四〉定点式。 1，在直角坐标系中，不论a 取何值，抛物线2225212-+-+-=a x a x y 经过x 轴上一定点Q ， 直线2)2(+-=x a y 经过点Q,求抛物线的解析式。 2，抛物线y= x 2 +(2m-1)x-2m 与x 轴的一定交点经过直线y=mx+m+4，求抛物线的解析式。 3，抛物线y=ax 2+ax-2过直线y=mx-2m+2上的定点A ，求抛物线的解析式。
〈五〉平移式。 1，把抛物线y= -2x 2 向左平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到抛物线y=a( x-h)2 +k,求此抛物线解析式。 2，抛物线32-+-=x x y 向上平移,使抛物线经过点C(0,2),求抛物线的解析式. 〈六〉距离式。 1，抛物线y=ax 2+4ax+1(a ﹥0)与x 轴的两个交点间的距离为2，求抛物线的解析式。 2，已知抛物线y=m x 2+3mx-4m(m ﹥0)与 x 轴交于A 、B 两点，与 轴交于C 点，且AB=BC,求此抛物 线的解析式。 〈七〉对称轴式。 1、抛物线y=x 2-2x+(m 2-4m+4)与x 轴有两个交点，这两点间的距离等于抛物线顶点到y 轴距离的2 倍，求抛物线的解析式。 2、已知抛物线y=-x 2+ax+4, 交x 轴于A,B （点A 在点B 左边）两点，交 y 轴于点C,且OB-OA=4 3OC ，求此抛物线的解析式。 〈八〉对称式。 1，平行四边形ABCD 对角线AC 在x 轴上，且A （-10，0），AC=16，D （2，6）。AD 交y 轴于E ，将 三角形ABC 沿x 轴折叠，点B 到B 1的位置，求经过A,B,E 三点的抛物线的解析式。 2，求与抛物线y=x 2+4x+3关于y 轴（或x 轴）对称的抛物线的解析式。
二次函数解析式的8种求法
二次函数解析式的8种求法 河北 高顺利 二次函数的解析式的求法是数学教学的难点，学不易掌握．他的基本思想方法是待定系数法，根据题目给出的具体条件，设出不同形式的解析式，找出满足解析式的点，求出相应的系数．下面就不同形式的二次函数解析式的求法归纳如下，和大家共勉： 一、定义型： 此类题目是根据二次函数的定义来解题，必须满足二个条件：1、a ≠0； 2、x 的最高次数为2次． 例1、若 y =( m 2+ m )x m 2 – 2m －1是二次函数，则m = ． 解：由m 2+ m ≠0得:m ≠0，且 m ≠－ 1 由m 2–2m –1 = 2得m =－1 或m =3 ∴ m = 3 ． 二、开放型 此类题目只给出一个条件，只需写出满足此条件的解析式，所以他的答案并不唯一． 例2、(1)经过点A （0，3）的抛物线的解析式是 ． 分析：根据给出的条件，点A 在y 轴上，所以这道题只需满足c b a y ++=χχ2 中的C =3，且a ≠0即可∴32++=χχy （注：答案不唯一） 三、平移型： 将一个二次函数的图像经过上下左右的平移得到一个新的抛物线．要借此类题目，应先将已知函数的解析是写成顶点式y = a ( x – h )2 + k ，当图像向左（右）平移n 个单位时，就在x – h 上加上（减去）n ；当图像向上（下）平移m 个单位时，就在k 上加上（减去）m ．其平移的规律是：h 值正、负，右、左移；k 值正负，上下移．由于经过平移的图像形状、大小和开口方向都没有改变，所以a 得值不变．
例3、二次函数 253212++=χχy 的图像是由22 1χ=y 的图像先向 平移 个 单位，再向 平移 个单位得到的． 解： 253212++= χχy = ()232 12-+χ， ∴二次函数 253212++=χχy 的图像是由221χ=y 的图像先向左平移3个单位，再向下平移2个单位得到的． 这两类题目多出现在选择题或是填空题目中 四、一般式 当题目给出函数图像上的三个点时，设为一般式c b a y ++=χχ2 ，转化成一个三元一次方程组，以求得a ，b ，c 的值； 五、顶点式 若已知抛物线的顶点或对称轴、极值，则设为顶点式()k h x a y +-=2．这顶点坐标为（ h ，k ），对称轴方程x = h ，极值为当x = h 时，y 极值=k 来求出相应的系数； 六、两根式 已知图像与 x 轴交于不同的两点()()1200x x ，，， ，设二次函数的解析式为()()21x x x x a y --=，根据题目条件求出a 的值． 例4、根据下面的条件，求二次函数的解析式： 1．图像经过（1，－4），（－1，0），（－2，5） 2．图象顶点是（－2，3），且过（－1，5） 3．图像与x 轴交于（－2，0），（4，0）两点，且过（1，－ 29） 解：1、设二次函数的解析式为：c b a ++=χχγ2，依题意得： 40542a b c a b c a b c -=++??=-+??=-+? 解得：?? ???-=-==321c b a
求二次函数解析式分类练习题
求二次函数解析式分类练习题 类型一：已知顶点和另外一点用顶点式 例1、已知一个二次函数的图象过点（0，1），它的顶点坐标是（8，9），求这个二次函数关系式． 练习： 1．已知抛物线的顶点是（－1，－2），且过点（1，10），求其解析式 类型二：已知图像上任意三点（现一般有一点在y轴上）用一般式 例2、已知二次函数的图象过（0，1）、（2，4）、（3，10）三点，求这个二次函数的关系式． 练习： 1、已知抛物线过三点：（－1，2），（0，1），（2，－7）．求解析式 类型三：已知图像与x轴两个交点坐标和另外一点坐标，用两根式 例3、已知二次函数的图象过（-2，0）、（4，0）、（0，3）三点，求这个二次函数的关系式． 练习：已知抛物线过三点：（－1，0）、（1，0）、（0，3）． （1）.求这条抛物线所对应的二次函数的关系式；（2）.写出它的开口方向、对称轴和顶点坐标；（3）.这个函数有最大值还是最小值？这个值是多少？ 巩固练习： 1、已知二次函数的图象过（3，0）、（2，-3）二点,且对称轴是x=1，求这个二次函数的关系式．
2、 已知二次函数的图象过（3，-2）、（2，-3）二点,且对称轴是x=1，求这个二次函数的关系式． 3、已知二次函数的图象与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点C 。若AC=20,BC=15, ∠ACB=90°，试确定这个二次函数的解析式 4、已知一个二次函数当x=8时,函数有最大值9,且图象过点（0，1）,求这个二次函数的关系式． 小测： 1、二次函数y=0.5x 2-x-3写成y=a(x-h)2+k 的形式后,h=___,k=___ 2、抛物线y=－x 2－2x ＋3的开口向 ，对称轴 ,顶点坐标 ;当x 时,y 最__值 = ,与x 轴交点 ,与y 轴交点 。 3、二次函数y=x 2－2x －k 的最小值为－5，则解析式为 。 4、已知抛物线y=x 2+4x+c 的的顶点在x 轴上，则c 的值为_________ 6、抛物线 的顶点是(－2,3)，则m= ,n= ;当x 时,y 随x 的增大而增大。 7、已知二次函数 的最小值 为1，则m= 。 8、m 为 时，抛物线 的顶点在x 轴上。 9、已知一个二次函数的图象经过点(6,0), 且抛物线的顶点是(4,－8)，求它的解析式。 10、已知抛物线与x 轴交点的横坐标为-2和1，且通过点(2,8). 1．已知抛物线y ＝ax 2经过点A (1，1)．(1)求这个函数的解析式； 2．已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象顶点坐标为(－2，3)，且过点(1，0)，求此二次函数的解析式． 3．抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 的顶点坐标为(2，4)，且过原点，求抛物线的解析式． 4． 若一抛物线与x 轴两个交点间的距离为8，且顶点坐标为（1, 5），则它们的解析式为 。 5．已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c ，当x ＝－1时有最小值－4，且图象在x 轴上截得线段长为 4，求函数解析式． 6．抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 经过(0，0)，(12，0)两点，其顶点的纵坐标是3，求这个抛物线的解析式． 7.已知二次函数为x ＝4时有最小值 -3且它的图象与x 轴交点的横坐标为1，求此二次函数解析式． 8. 已知抛物线经过点(-1，1)和点(2，1)且与x 轴相切．(1)求二次函数的解析式。 n m x y ++=2)(2m x x y +-=624 22++=mx x y
二次函数解析式的几种求法
二次函数解析式的几种求法 初三《数学》“函数及其图象”的难点是二次函数，其重点是求函数的解析式。近几年全国各省市初中毕业会考、中考等，大都有求函数解析式这类题目出现。为使学生更好地掌握这部分知识，就如何求二次函数解析式的问题，谈谈下面几种方法。 一、 已知三点求二次函数的解析式 当已知二次函数的图象经过三已知点时，通常把这三点的坐标 代入一般式c bx ax y ++=2中，可得以a 、b 、c 为未知数的三元方程组，解此方程组求得a 、b 、c 的值再代入一般式可得所求函数解析式。 例1、已知二次函数的图象经过点A )2 3,2(-、B )6,7(、C )30,5(-，求这个二次函数的解析式。 解：设这个二次函数的解析式为c ba ax y ++=2，则由题意得： ???????=+-=++-=++3052567492324c b a c b a c b a 解这个方程组，得21=a ，3-=b ，25=c . 故所求的二次函数的解析式为2 53212+-=x x y . 二、已知顶点坐标、对称轴、或极值求二次函数的解析式 当已知顶点坐标、对称轴、或极值时，可设其解析式为n m x a y +-=2)(（即顶点式）较为简便。 例2、已知二次函数图象的顶点为（2，5），且与y 轴的交点的 纵坐标为13，求这个二次函数的解析式。 解：设这个二次函数的解析式为5)2(2+-=x a y . ∵它与y 轴的交点为（0，13）， ∴135)20(2=+-a ， ∴2=a 故 所求的解析式为5)2(22+-=x y . 即 13822+-=x x y 例3、已知二次函数的图象过点（－1，2），对称轴为1=x 且最小值为－2，求这个函数的解析式。 解：由题设知抛物线的顶点为（1，－2），因此，设所求二次函
抛物线的解析式练习
二次函数的解析式练习 1.抛物线图象如图所示，根据图象，抛物线的解析式可能．． 是（ ） A.223y x x =-+ B. 223y x x =--+ C. 223y x x =-++ D. 223y x x =-+- 2. （2010福州市）已知二次函数2y ax bx c =++的图像如图所示，则下列结论正确的是（ ） A.0a > B. 0c < C.240b ac -< D.0a b c ++> 3. (2010年安徽芜湖数学)二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象如图所示，反比例函数y ＝ a x 与正比例函数y ＝（b ＋c ）x 在同一坐标系中的大致图象可能是（ ） A B C D 4. (2010年黔南州)二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的图象如图所示，在下列选项中错误．． 的是（ ） A ．ac ＜0 B ．当x ＞1时，y 随x 的增大而增大 C ．a ＋b ＋c ＞0 D ．方程ax 2＋bx ＋c ＝0的根是x 1＝－1，x 2＝3 5. (2010东营市)如图，已知二次函数24y ax x c =-+的图象与坐标轴交于点A （-1， 0）和点B （0，-5）．求该二次函数的解析式； 6. (2010年恩施)在平面直角坐标系中，二次函数c bx x y ++=2 的图象与x 轴交于A 、B 两点， A 点在原点的左侧， B 点的坐标为（3，0），与y 轴交于 C （0，-3）点，点P 是直线BC 下方的抛物线上一动点.求这个二次函数的表达式．
7. (2010年凉山州)已知：抛物线2(0)y ax bx c a =++≠，顶点(1,4)C -，与x 轴交于A 、B 两点，(1,0)A -。求这条抛物线的解析式； 8. (2010年南平市)如图1，已知点B （1，3）、C （1，0），直线y=x +k 经过点B ，且与x 轴交于点A ，将△ABC 沿直线AB 折叠得到 △ABD. （1）填空：A 点坐标为（____，____），D 点坐标为（____，____）； （2）若抛物线y= 1 3 x 2+b x +c 经过C 、D 两点，求抛物线的解析式； 9. (2009年南平市)已知抛物线：x x y 22 12 1+-= （1）求抛物线1y 的顶点坐标. （2）将抛物线1y 向右平移2个单位，再向上平移1个单位，得到抛物线2y ，求抛物线2y 的解析式.
十种二次函数解析式求解方法
十种二次函数解析式求解方法 〈一〉三点式。 1， 已知抛物线y=ax 2+bx+c 经过A （3，0），B （32，0），C （0，-3）三点，求抛物线的解析式。 2， 已知抛物线y=a(x-1)２+4 ， 经过点A （2，3），求抛物线的解析式。 〈二〉顶点式。 1， 已知抛物线y=x 2-2ax+a 2+b 顶点为A （2，1），求抛物线的解析式。 2， 已知抛物线 y=4(x+a)2-2a 的顶点为（3，1），求抛物线的解析式。 〈三〉交点式。 1， 已知抛物线与 x 轴两个交点分别为（3，0）,(5,0),求抛物线y=(x-a)(x-b)的解析式。 2， 已知抛物线线与 x 轴两个交点（4，0），（1，0）求抛物线y= 21a(x-2a)(x-b)的解析式。 〈四〉定点式。 1， 在直角坐标系中，不论 a 取何值，抛物线222 5212-+-+-=a x a x y 经过x 轴上一定点Q ，直线2)2(+-=x a y 经过点Q,求抛物线的解析式。 2， 抛物线y= x 2 +(2m-1)x-2m 与x 轴的一定交点经过直线y=mx+m+4，求抛物线的解析式。 3， 抛物线y=ax 2+ax-2过直线y=mx-2m+2上的定点A ，求抛物线的解析式。 〈五〉平移式。 1， 把抛物线y= -2x 2 向左平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到抛物线y=a( x-h)2 +k,求此抛 物线解析式。
2， 抛物线32-+-=x x y 向上平移,使抛物线经过点C(0,2),求抛物线的解析式. 〈六〉距离式。 1， 抛物线y=ax 2+4ax+1(a ﹥0)与x 轴的两个交点间的距离为2，求抛物线的解析式。 2， 已知抛物线y=m x 2+3mx-4m(m ﹥0)与 x 轴交于A 、B 两点，与 轴交于C 点，且AB=BC,求此抛物线的解析式。 〈七〉对称轴式。 1、 抛物线y=x 2-2x+(m 2-4m+4)与x 轴有两个交点，这两点间的距离等于抛物线顶点到y 轴距离的2倍，求抛物 线的解析式。 2、 已知抛物线y=-x 2+ax+4, 交x 轴于A,B （点A 在点B 左边）两点，交 y 轴于点C,且OB-OA= 43OC ，求此抛物线的解析式。 〈八〉对称式。 1， 平行四边形ABCD 对角线AC 在x 轴上，且A （-10，0），AC=16，D （2，6）。AD 交y 轴于E ，将三角形ABC 沿x 轴折叠，点B 到B 1的位置，求经过A,B,E 三点的抛物线的解析式。 2， 求与抛物线y=x 2+4x+3关于y 轴（或x 轴）对称的抛物线的解析式。 〈九〉切点式。 1， 已知直线y=ax-a 2(a ≠0) 与抛物线y=mx 2 有唯一公共点，求抛物线的解析式。 2， 直线y=x+a 与抛物线y=ax 2 +k 的唯一公共点A （2，1）,求抛物线的解析式。 〈十〉判别式式。 1、 已知关于X 的一元二次方程（m+1）x 2+2(m+1)x+2=0有两个相等的实数根，求抛物线y=-x 2+(m+1)x+3解析 式。 2、 已知抛物线y=(a+2)x 2-(a+1)x+2a 的顶点在x 轴上,求抛物线的解析式。 3、已知抛物线y=(m+1)x 2+(m+2)x+1与x 轴有唯一公共点，求抛物线的解析式。
二次函数解析式的8种求法
二次函数解析式的8种求法 二次函数的解析式的求法是数学教学的难点，学不易掌握．他的基本思想方法是待定系数法，根据题目给出的具体条件，设出不同形式的解析式，找出满足解析式的点，求出相应的系数．下面就不同形式的二次函数解析式的求法归纳如下，和大家共勉： 一、定义型： 此类题目是根据二次函数的定义来解题，必须满足二个条件：1、a ≠0； 2、x 的最高次数为2次． 例1、若 y =( m 2+ m )x m 2 – 2m －1是二次函数，则m = ． 解：由m 2+ m ≠0得:m ≠0，且 m ≠－ 1 由m 2–2m –1 = 2得m =－1 或m =3 ∴ m = 3 ． 二、开放型 此类题目只给出一个条件，只需写出满足此条件的解析式，所以他的答案并不唯一． 例2、(1)经过点A （0，3）的抛物线的解析式是 ． 分析：根据给出的条件，点A 在y 轴上，所以这道题只需满足c b a y ++=χχ2中的C =3，且a ≠0即可∴32++=χχy （注：答案不唯一） 三、平移型： 将一个二次函数的图像经过上下左右的平移得到一个新的抛物线．要借此类题目，应先将已知函数的解析是写成顶点式y = a ( x – h )2 + k ，当图像向左（右）平移n 个单位时，就在x – h 上加上（减去）n ；当图像向上（下）平移m 个单位时，就在k 上加上（减去）m ．其平移的规律是：h 值正、负，右、左移；k 值正负，上下移．由于经过平移的图像形状、大小和开口方向都没有改变，所以a 得值不变． 例3、二次函数 253212++=χχy 的图像是由22 1χ=y 的图像先向 平移 个 单位，再向 平移 个单位得到的．
二次函数几种解析式的求法
二次函数的解析式求法 求二次函数的解析式这类题涉及面广，灵活性大，技巧性强，笔者结合近几年来的中考 试题，总结出几种解析式的求法，供同学们学习时参考。 一、 三点型 例1 已知一个二次函数图象经过（-1，10）、（2，7）和（1，4）三点，那么这个函 数的解析式是_______。 分析 已知二次函数图象上的三个点，可设其解析式为y=ax 2 +bx+c,将三个点的坐标代入，易得a=2,b=-3,c=5 。故所求函数解析式为y=2x 2 -3x+5. 这种方法是将坐标代入y=ax 2 +bx+c 后，把问题归结为解一个三元一次方程组，求出待定系数 a, b , c, 进而获得解析式y=ax 2+bx+c. 二、交点型 例2 已知抛物线y=-2x 2 +8x-9的顶点为A ，若二次函数y=ax 2 +bx+c 的图像经过A 点，且与x 轴交于B （0，0）、C （3，0）两点，试求这个二次函数的解析式。 分析 要求的二次函数的图象与x 轴的两个交点坐标，可设y=ax(x-3),再求也y=-2x 2 +8x-9的 顶点A （2，-1）。将A 点的坐标代入y=ax(x-3),得到a=21 ∴y=21x(x-3),即 y= x x 23 212 . 三、顶点型 例 3 已知抛物线y=ax 2 +bx+c 的顶点是A(-1,4)且经过点(1,2)求其解析式。 分析 此类题型可设顶点坐标为(m,k)，故解析式为y=a(x-m)2 +k.在本题中可设y=a(x+1)2 +4.
再将点(1,2)代入求得a=-21 ∴y=-, 4)1(21 2++x 即y=-.27 2 12+ -x x 由于题中只有一个待定的系数a ，将已知点代入即可求出，进而得到要求的解析式。 四、平移型 例 4 二次函数y=x 2 +bx+c 的图象向左平移两个单位，再向上平移3个单位得二次函 数 ,122 +-=x x y 则b 与c 分别等于 (A)2,-2;(B)-6,6;(c)-8,14;(D)-8,18. 分析 逆用平移分式，将函数y=x 2 -2x+1的顶点（1，0）先向下平移3个单位，再向右平移两个单位得原函数的图象的顶点为（3，-3）。 ∴y=x 3)3(2 2 --=++x c bx =x .662 +-x ∴b=-6,c=6. 因此选（B ） 五、弦比型 例 5 已知二次函y=ax 2 +bx+c 为x=2时有最大值2，其图象在X 轴上截得的线段长为2，求这个二次函数的解析式。 分析 弦长型的问题有两种思路，一是利用对称性求出交点坐标，二是用弦比公式d= a ?就本题而言，可由对称性求得两交点坐标为A （1，0），B （3，0）。再应用交点式或顶点式求得解析式为y=-2x 2 +8x-6. 六、识图型
22.1.4 二次函数y=ax2+bx+c解析式求法(3)
22.1.4 二次函数y ＝ax 2 ＋bx ＋c 解析式求法（3） 一、阅读课本： 二、学习目标： 1．会用待定系数法求二次函数的解析式； 2．实际问题中求二次函数解析式． 三、课前基本练习 1．已知二次函数y ＝x 2＋x ＋m 的图象过点（1，2），则m 的值为________________． 2．已知点A （2，5），B （4，5）是抛物线y ＝4x 2＋bx ＋c 上的两点，则这条抛物线的 对称轴为_____________________． 3．将抛物线y ＝－(x －1)2＋3先向右平移1个单位，再向下平移3个单位，则所得抛 物线的 解析式为____________________． 4．抛物线的形状、开口方向都与抛物线y ＝－12 x 2相同，顶点在（1，－2），则抛物线的解 析式为________________________________． 四、例题分析 例1 已知抛物线经过点A （－1，0），B （4，5），C （0，－3），求抛物线的解析式． 例2 已知抛物线顶点为（1，－4），且又过点（2，－3）．求抛物线的解析式． 例3 已知抛物线与x 轴的两交点为（－1，0）和（3，0），且过点（2，－3）． 求抛物线的解析式． 五、归纳 用待定系数法求二次函数的解析式用三种方法： 1．已知抛物线过三点，设一般式为y ＝ax 2＋bx ＋c ． 2．已知抛物线顶点坐标及一点，设顶点式y ＝a(x －h)2＋k ． 3．已知抛物线与x 轴有两个交点（或已知抛物线与x 轴交点的横坐标）， 设两根式：y ＝a(x －x 1)(x －x 2) ．（其中x 1、x 2是抛物线与x 轴交点的横坐标） 六、实际问题中求二次函数解析式 例4 要修建一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，在水管的顶端安一个喷 水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为1m 处达到最高，高度为3m ，水柱落地处离池中心3m ，水管应多长？ 七、课堂训练 1．已知二次函数的图象过（0，1）、（2，4）、（3，10）三点，求这个二次函数的关系式． 2．已知二次函数的图象的顶点坐标为（－2，－3），且图像过点（－3，－2），求这
数学人教版九年级上册求抛物线的函数解析式
《求抛物线的函数解析式》教学设计 武平县实验中学赖小华 教学内容： 求解抛物线的函数解析式。 教学目标： 1.学生会运用待定系数法求解二次函数的解析式； 2.学生会根据不同的已知条件，灵活选择相应的求解方法。 教学重难点： 1．重点：运用待定系数法求解二次函数的解析式； 2．难点：根据不同的已知条件，巧妙选择相应的求解方法． 教学过程： 一、复习旧知，为学习新知作好铺垫 1.回顾：（1）我们已经学过二次函数的几种不同的形式？ (2)它们的开口方向如何判断，对称轴，顶点分别是什么？ 2.练习巩固：说出下列二次函数的开口方向，对称轴，以及顶点坐标（学生回答，教师点评） 二、探索新知 1.思考：如何求解某一个抛物线的解析式呢？ 分析：根据不同的已知条件，可将求函数解析式的题型分为三种情形： （1）已知抛物线上的三个点的坐标，求其解析式； （2）已知抛物线的顶点坐标，求其解析式； （3）已知抛物线与X轴的两个交点的坐标，求其解析式。 2.分题型展开：（教师引导，师生互动完成） （1）已知抛物线上的三个点的坐标，求其解析式； 例1：某抛物线经过（1，-4），（2，-9），（-1，-6），求该抛物线的解析式。 分析：求二次函数的解析式，就是要确定当中的a,b,c的值，由于本题已知抛物线上的三个点的坐标，故可设该抛物线的解析式为，再把已知的三个点的坐标代入即可。 小结：已知抛物线上的三个点的坐标：可设一般式 （2）已知抛物线的顶点坐标，求其解析式； 例2：某抛物线的顶点是（1，-2），且经过（2，-3），求该抛物线的解析式。 分析：由于本题已知抛物线的顶点为（1，-2），故可设该抛物线的解析式为
用待定系数法求二次函数的解析式教案
22.1 用待定系数法求二次函数的解析式 教学目标： 知识技能 利用已知点的坐标用待定系数法求二次函数的解析式 数学思考 学生了解二次函数的一般式，顶点式，交点式三种形式 问题解决 学生了解二次函数的三种形式，如何灵活的选择解析式 情感态度 在求解过程中，体会解决问题的方法，培养学生思维的灵活性 重难点： 重点：待定系数法求二次函数的解析式 难点：选择恰当的解析式求法 教学准备： 教师准备：制作课件，精选习题 学生准备：复习有关知识，预习本节课内容 教学过程： 一、忆（回顾旧知） 1、顶点式y=a(x-h) +k的五种性质。 2、一般式 y=ax2+bx+c 的五种性质。 【设计意图】 使学生更加熟练一般式和顶点式，因为它是本章的重点。 二、导（导入新课） 已知一次函数经过点（1，3）和（-2，-12），求这个一次函数的解析式。 解：设这个一次函数的解析式为y=kx+b, 因为一次函数经过点（1，3）和（-2，-12）， 所以 解得k=5，b=-2 一次函数的解析式为y=5x-2.
【设计意图】由简单到复杂，由已知到未知，由旧知到新知，符合学生认知的规律。 三、求（求解析式） 例1 已知一个二次函数的图象过点（－1，10）、 （1，4）、（2，7）三点，求这个函数的解析式. 解：设所求的二次函数为y=ax2+bx+c 由已知得： 解方程得：a=2, b=-3, c=5 因此：所求二次函数是： y=2x2-3x+5 本题小结： 求二次函数y=ax2+bx+c的解析式，关键是求出待定系数a，b，c 的值。 由已知条件（如二次函数图像上三个点的坐标）列出关于a，b，c的方程组，并求出a，b，c，就可以写出二次函数的解析式。 例2 已知抛物线的顶点为（－1，－3），与y轴的交点为（0，－5），求抛物线的解析式。 解：因为抛物线的顶点为（-1，-3）， 所以，设所求的二次函数的解析式为y=a(x＋1)2-3 因为点（0，-5 ）在这个抛物线上， 所以a-3=-5，解得a=-2 故所求的抛物线解析式为 y=－2(x＋1)2-3 即：y=－2x2- 4x－5 顶点式y=a(x-h)2+k(a、h、k为常数，a≠0).
专题：求抛物线的解析式(新)
专题：求抛物线的解析式 教学目标 1．复习巩固用待定系数法由已知图象上三个点的坐标求二次函数的关系式. 2．使学生掌握已知抛物线的顶点坐标或对称轴等条件求出函数的关系式. 教学重点、难点：根据不同条件选择不同的方法求二次函数的关系式. 课前复习：二次函数的解析式的三种基本形式： 1、一般式： 2、顶点式： 3、交点式： 注意：求二次函数的解析式一般用待定系数法，但要根据不同条件，设出恰当的解析式。 一、运用待定系数法来求解析式 例1、根据下列条件求二次函数的解析式及其对称轴： (1) 图象经过A(0，1)，B(1，3)，C(－1，1）； (2) 图象经过A(1，0)，B(3，0)，C(1，-4）； (3) 图象顶点为（－1，－3），与y 轴交点为（0，－5） 二、运用平移、对称、旋转来求解析式 1、平移型： 例 2、把二次函数215 322 y x x = ++的图象向右平移2个单位，再向上平移3个单位，求所得二次函数的解析式。 Ex1、将抛物线2)2(2 1 :21-+=x y C 关于x 轴作轴对称变换， 再将变换后的抛物线沿y 轴的正方向平移0.5个单位，沿x 轴的正方向平移m 个单位，得到抛物线2C ，抛物线1C 、2C 的顶点分别为B 、D ． （1）直接写出当0=m 和4=m 时抛物线2C 的解析式； （2）分别求出符合下列条件的m 的值：①线段BD 经过原点；②点D 刚好落在抛物线1C 上；
2、翻折型（对称性）： 例3、已知二次函数y=-x 2-2x+3，求满足下列条件的二次函数的解析式：（1）图象关于x 轴对称；（2）图象关于y 轴对称；（3）图象关于经过其顶点且平行于x 轴的直线对称；（4）图象关于直线y=1对称；（5）图象关于直线x=1对称。 Ex2、如图示：己知抛物线1C ，2C 关于x 轴对称，抛物线1C ，3C 关于y 轴对称。如果抛物线2C 的解析式是()2 3y=- 214 x -+， 那么抛物线3C 的解析式是 3、旋转例4、抛物线y=-x 2-2x+3与x 轴正半轴交于B ，交y 轴于C 点，（1）将原抛物线绕平面内一点 旋转180°后，所得抛物线经过B ，C 点；（2）绕点（0，-1）旋转180°； Ex3、如果抛物线1C 的顶点在抛物线2C 上，同时，抛物线2C 的顶点在抛物线1C 上，那么，我们称抛物线1C 与2C 关联。抛物线1C :2)1(8 1 2-+= x y ，动点P 的坐标为（t ，2） ，将抛物线绕点P （t ，2）旋转?180得到抛物线2C ，若抛物线1C 与2C 关联，求抛物线2C 的解析式。