圆的标准方程教案

《圆的标准方程》教学设计

一、教材分析

学习了“曲线与方程”之后,作为一般曲线典型例子,安排了本节的“圆的方程”。圆是学生比较熟悉的曲线,在初中曾经学习过圆的有关知识,本节内容是在初中所学知识及前几节内容的基础上,进一步运用解析法研究它的方程,它与其他图形的位置关系及其应用王新敞同时,由于圆也是特殊的圆锥曲线,因此,学习了圆的方程,就为后面学习其它圆锥曲线的方程奠定了基础王新敞也就是说,本节内容在教材体系中起到承上启下的作用,具有重要的地位,在许多实际问题中也有着广泛的应用。

二、学情分析

学生在初中的学习中已初步了解了圆的有关知识,本节将在上章学习了曲线与方程的基础上,学习在平面直角坐标系中建立圆的代数方程,运用代数方法研究直线与圆,圆与圆的位置关系,了解空间直角坐标系,在这个过程中进一步体会数形结合的思想,形成用代数方法解决几何问题的能力。

三、教学目标

(一)知识与技能目标

(1)会推导圆的标准方程。

(2)能运用圆的标准方程正确地求出其圆心和半径。

(3)掌握圆的标准方程的特点,能根据所给有关圆心、半径的具体条件准确地写出圆的标准方程。

(二)过程与方法目标

(1)体会数形结合思想,初步形成代数方法处理几何问题能力。

(2)能根据不同的条件,利用待定系数法求圆的标准方程。

(三)情感与态度目标

圆是基于初中的知识,同时又是初中的知识的加深,使学生懂得知识的连续性;圆在生活中很常见,通过圆的标准方程,说明理论既来源于实践,又服务于实践,可以适时进行辩证唯物主义思想教育.

四、重点、难点、疑点及解决办法

1、重点:圆的标准方程的推导过程和圆标准方程特征的理解与掌握。

2、难点:圆的标准方程的应用。

3、解决办法:充分利用课本提供的2个例题,通过例题的解决使学生初步熟悉圆的标准方程的用途和用法。

五、教学过程

首先通过课件展示生活中的圆,那么我们今天从另一个角度来研究圆。

(一)复习提问

在初中,大家学习了圆的概念,哪一位同学来回答?

问题1:具有什么性质的点的轨迹称为圆?

平面内与一定点距离等于定长的点的轨迹称为圆(教师在课件上画圆).

问题2:图哪个点是定点?哪个点是动点?动点具有什么性质?圆心和半径都反映了圆的什么特点?

圆心C是定点,圆周上的点M是动点,它们到圆心距离等于定长|MC|=r,圆心和半径分别确定了圆的位置和大小.

问题3:求曲线的方程的一般步骤是

什么?其中哪几个步骤必不可少?

求曲线方程的一般步骤为:

(1)建立适当的直角坐标系,用(x,y)

表示曲线上任意点M的坐标,简称建系设点;(如图)

(2)写出适合条件P的点M的集合P={M|P(M)|},简称写点集;

(3)用坐标表示条件P(M),列出方程f(x,y)=0,简称列方程;

(4)化方程f(x,y)=0为最简形式,简称化简方程;

(5)证明化简后的方程就是所求曲线的方程,简称证明.

其中步骤(1)(3)(4)必不可少.

下面我们用求曲线方程的一般步骤来建立圆的标准方程.

(二)建立圆的标准方程

1.建系设点

由学生在黑板上板演,并问有无不同建立坐标系的方法.教师指出:这两种建立坐标系的方法都对,原点在圆心这是特殊情况,现在仅就一般情况推导.因为C是定点,可设C(a,b)、半径r,且设圆上任一点M坐标为(x,y).2.写点集

根据定义,圆就是集合P={M||MC|=r}.

3.列方程

由两点间的距离公式得:

4.化简方程

将上式两边平方得:

(x-a)2+(y-b)2=r2. (1) 方程(1)就是圆心是C(a,b)、半径是r的圆的方程.我们把它叫做圆的标准方程.

这时,请大家思考下面一个问题.

问题4:圆的方程形式有什么特点?当圆心在原点时,圆的方程是什么?

这是二元二次方程,展开后没有xy项,括号内变数x,y的系数都是1.点(a,b)、r分别表示圆心的坐标和圆的半径.当圆心在原点即C(0,0)时,方程为 x2+y2=r2.教师指出:圆心和半径分别确定了圆的位置和大小,从而确定了圆,所以,只要a,b,r三个量确定了且r>0,圆的方程就给定了.这就是说要确定圆的方程,必须具备三个独立的条件.注意,确定a、b、r,可以根据条件,利用待定系数法来解决.

(三)圆的标准方程的应用

学生练习一:

1说出下列圆的圆心和半径:(学生回答)

(1)(x-3)2+(y-2)2=5;

(2)(2x+4)2+(2y-4)2=8;

(3)(x+2)2+ y2=m2 (m≠0)

教师指出:已知圆的标准方程,要能够熟练地求出它的圆心和半径.

2、(1)圆心是(3,-3),半径是2的圆是

_________________.

(2)以(3,4)为圆心,且过点(0,0)的圆的方程为()

A x2+y2= 25

B x2+y2= 5

C (x+3)2+(y+4)2=

25 D (x-3)2+(y-4)2= 25

教师纠错,分别给出正确答案:2、 (1)(x-3)2+(y +

3)2=4;(2)D.

指出:要求能够用圆心坐标、半径长熟练地写出圆的标准方程.

例1求满足下列条件各圆的方程:

(1) 求以C(1,3)为圆心,并且和直线

0743=--y x 相切的圆的方程 (2) 圆心在x 轴上,半径为5且过点

(2,3)的圆。 解:(1)已知圆心坐标C(1,3),故只要求出圆的半径,就能写出圆的标准方程王新敞

因为圆C 和直线0743=--y x 相切,所以半径r 就等于圆心C 到这条直线的距离王新敞

根据点到直线的距离公式,得 516)4(3|

73413|22=-+-?-?=r 王新敞

因此,所求的圆的方程是

25256

)3()1(22=-+-y x 王新敞

(2)设圆心在x 轴上半径为5的圆的方程为

(x-a)2+y 2=25

∵点A (2,3)在圆上∴(2-a)2+32

=25∴a=-2或6 ∴所求圆的方程为(x +2)2+y 2=25或(x-6)2+y 2=25 这时,教师小结本题:求圆的方程的方法

(1)定义法

(2) 待定系数法,确定a ,b ,r ;

学生练习二:

1、 以C (3,-5)为圆心,且和直线3x-7y+2=0相切的圆的方程_________________________.

教师纠错,分别给出正确答案:(x -3)2+(y+5)2=32。 例2已知圆的方程222r y x

=+,求经过圆上一点),(00y x M 的切线方程王新敞 解:如图,设切线的斜率为k ,半径OM

的斜率为1k 王新敞

因为圆的切线垂直于过切点的半径,于是11k k -=王新敞

∵00

1x y k = ∴00y x k -=王新敞 (让学生注意斜率不存在时和为0的情况)

经过点M 的切线方程是 )(0000x x y x y

y --=-, 整理得 202000

y x y y x x +=+王新敞 因为点),(00y x M 在圆上,所以22

020r y x

=+,所求切线方程是200r y y x x =+ 法二:勾股定理

法三:向量

变式一:已知圆的方程为x 2+y 2

= 1,求过点(2,2)的切线方程。

变式二:已知圆的方程为(x-1)2+(y+1)2=1 ,求过点(2,2)的切线方程。

学生练习三:

1.已知圆25

2=

2

+y

x王新敞求:

(1)过点A(4,-3)的切线方程是_________________. (2)过点B(-5,2)的切线方程王新敞是_________________ 教师纠错,分别给出正确答案:(1)4x-3y=25;(2)x=-5或21x-20y+145=0

(四)本课小结

1.圆的方程的推导步骤;

2.圆的方程的特点:点(a,b)、r分别表示圆心坐标和圆的半径;

3.求圆的方程的两种方法:(1)待定系数法;(2)定义法.

4. 数型结合的数学思想

5. 过定点求圆切线方程.

(五)、布置作业习题7.6 1,2,3

(六)、板书设计

六、教学反思:

为了激发学生的主体意识,教学生学会学习和学会创造,同时培养学生的应用意识,本节内容可采用“引导探究”教学模式进行教学设计王新敞所谓“引导探究”是教师把教学内容设计为若干问题,从而引导学生进行探究的课堂教学模式,教师在教学过程中,主要着眼于“引”,启发学生“探”,把“引”和“探”有机的结合起来。教师的每项教学措施,都是给学生创造一种思维情景,一种动脑、动手、动口并主动参与的学习机会,激发学生的求知欲,促使学生解决问题王新敞其基本教学模式是:

《圆的标准方程》学案(学生用)

课堂练习

1、说出下列圆的圆心和半径:

(1)(x-3)2+(y-2)2=5;圆心_______,半径________.

(2)(2x+4)2+(2y-4)2=8;圆心_______,半径

________.

(3)(x+2)2+ y2=m2 (m≠0)圆心_______,半径

________.

2、(1)圆心是(3,4),半径是2的圆是_________________.

(2)以(3,4)为圆心,且过点(0,0)的圆的方程为()

A x2+y2= 25

B x2+y2= 5

C (x+3)2+(y+4)2= 25

D (x-3)2+(y-4)2= 25

3.以C(3,-5)为圆心,且和直线3x-7y+2=0相切的圆

的方程_________________________.

4.已知圆2522=+y x 王新敞

求: (1)过点A (4,-3)的切线方程是_________________.

(2)过点B (-5,2)的切线方程王新敞

是_________________ 考题在线(思考题)

1、(2007湖南理)圆心为(11),且与直线4x y +=相切的圆的方程是 .

2、(2006杭州期末)求与直线y=x 相切,圆心在直线y=3x 上,且过点(

3、(2007湖北文)由直线1y x =+上的一点向圆22(3)1x y -+=引切线,则切线长的最小值为( )

A .1

B .

C D .3 4、已知点),(00y x M 在圆222r y x =+内,

则200r y y x x =+与圆222r y x =+的位置关系是_____________.

《圆的标准方程》(课堂实录)

成都市洛带中学刘德军

师:让我们来看一下生活中常见的一些事物(通过课件展示生活中的圆),这些都是什么图形?

生:圆。

师:对,远在我们生活中很常见,也代表着很美的东西,完美无缺,十全十美,都是指的圆,圆是很美的曲线,那么我们今天从另一个角度来研究圆。

(一)复习提问

师:在初中,大家学习了圆的概念,哪一位同学来回答?

生:平面内与一定点距离等于定长的点的轨迹称为圆.

师:这是高中的概念。(教师在课件上画圆)改变半径大小,和圆心的位置,圆发生了变化,这说明了什么?

生:半径决定大小,圆心决定位置。

师:对:图哪个点是定点?哪个点是动点?动点具有什么性质?圆心和半径都反映了圆的什么特点?

生:圆心C是定点,圆周上的点M是动点,它们到圆心距离等于定长|MC|=r,圆心和半径分别确定了圆的位置和大小。

师:求曲线的方程的一般步骤是什

么?其中哪几个步骤必不可少?

生:求曲线方程的一般步骤为:

(1)建立适当的直角坐标系,用(x,y)

表示曲线上任意点M的坐标,简称建系设点;(如图)

(2)写出适合条件P的点M的集合P={M|P(M)|},简称写点集;

(3)用坐标表示条件P(M),列出方程f(x,y)=0,简称列方程;

(4)化方程f(x,y)=0为最简形式,简称化简方程;

(5)证明化简后的方程就是所求曲线的方程,简称证明.

其中步骤(1)(3)(4)必不可少.

师:下面我们用求曲线方程的一般步骤来建立圆的标准方程.(请一位同学板演)

生:因为C是定点,可设C(a,b)、半径r,且设圆上任一点M坐标为(x,y).

根据定义,圆就是集合P={M||MC|=r}.

由两点间的距离公式得:

将上式两边平方得:

(x-a)2+(y-b)2=r2. (1) 方程(1)就是圆心是C(a,b)、半径是r的圆的方程.我们把它叫做圆的标准方程.

师:非常好,有无不同建立坐标系的方法.

生:有,圆心为坐标原点。

师:这两种建立坐标系的方法都对,原点在圆心这是特殊情况,我们主要研究一般情况.请大家思考下面一个问题.圆的方程形式有什么特点?当圆心在原点时,圆的方程是什么?

生:这是二元二次方程,展开后没有xy项,括号内变数x,y的系数都是1.点(a,b)、r分别表示圆心的坐标和圆的半径.当圆心在原点即C(0,0)时,方程为 x2+y2=r2.师:圆心和半径分别确定了圆的位置和大小,从而确定了圆,所以,只要a,b,r三个量确定了且r>0,圆的方程就给定了.这就是说要确定圆的方程,必须具备三个独立的条件.注意,确定a、b、r,可以根据条件,利用待定系数法来解决.那么下面来做一下练习。

1说出下列圆的圆心和半径:(学生回答)

(1)(x-3)2+(y-2)2=5;

(2)(2x+4)2+(2y-4)2=8;

(3)(x+2)2+ y2=m2 (m≠0)

师:已知圆的标准方程,要能够熟练地求出它的圆心和半径.

2、(1)圆心是(3,-3),半径是2的圆是

_________________.

(2)以(3,4)为圆心,且过点(0,0)的圆的方程为()

A x2+y2= 25

B x2+y2= 5

C (x+3)2+(y+4)2=

25 D (x-3)2+(y-4)2= 25

生: (1)(x-3)2+(y+3)2=4;(2)D.

师:要求能够用圆心坐标、半径长熟练地写出圆的标准方程.那么我们再来看一下这一道题

例1求满足下列条件各圆的方程:Array(3)求以C(1,3)为圆心,并且和直线

x相切的圆的方程

-y

-

4

3=

7

(4)圆心在x轴上,半径为5且过点

(2,3)的圆。

师:如果要求一个圆,你要找些生么?

生:圆心和半径。

师:但是(2)中能不能直接找到圆心?

生:不能。

是:那用什么方法呢?

生:待定系数法。

师:非常好,下面同学们自己算一算。

生(板演):解:(1)已知圆心坐标C(1,3),故只要求出圆的半径,就能写出圆的标准方程王新敞因为圆C和直线x相切,所以半径r就等于圆心C到这条直线的距0

-y

-

4

3=

7

离王新敞

根据点到直线的距离公式,得 516)4(3|

73413|22=-+-?-?=r 王新敞

因此,所求的圆的方程是

25256

)3()1(22=-+-y x 王新敞

(2)设圆心在x 轴上半径为5的圆的方程为

(x-a)2+y 2=25

∵点A (2,3)在圆上∴(2-a)2+32=25∴a=-2或6 ∴所求圆的方程为(x +2)2+y 2=25或(x-6)2+y 2=25 师:求圆的方程的方法

(1)定义法

(2) 待定系数法,要确定a ,b ,r ;

我们来做做练习。

2、 以C (3,-5)为圆心,且和直线3x-7y+2=0相切的圆的方程_________________________.

生:(x -3)2+(y+5)2=32。

师:上一题,我们是知道圆的切线,求圆的方程,那我能不能把原来的结论和条件互换一下,知道圆,秋切线方程?下面我们来看一下例2

例2已知圆的方程222r y x

=+,求经过圆上一点),(00y x M 的切线方程王新敞 师:该怎么做呢?

生:知道点M,找斜率。

师:还应该注意些什么?

生:斜率不存在时。

师:为了避免这些,我们可不可以用其他的方法来做。 生思考后:勾股定理,向量。

师:(把学生分成三组分别用三种方法做)最后得出:200r y y x x =+

师:这个点是在圆上,如果是在圆外又该怎么做呢?(提示学生用待定系数法)

变式一:已知圆的方程为x 2+y 2= 1,求过点(2,2)的切线方程。

变式二:已知圆的方程为(x-1)2+(y+1)2=1 ,求过点(2,2)的切线方程。

师:同学们来做一下练习

1.已知圆2522=+y x 王新敞

求: (1)过点A (4,-3)的切线方程是_________________.

(2)过点B (-5,2)的切线方程王新敞

是_________________ 生:(1)4x-3y=25;(2)x=-5或21x-20y+145=0 师:我们这节课学习了些什么呢?

生:

1.圆的方程的推导步骤;

2.圆的方程的特点:点(a,b)、r分别表示圆心坐标和圆的半径;

3.求圆的方程的两种方法:(1)待定系数法;(2)定义法.

4. 数型结合的数学思想

5. 过定点求圆切线方程.

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