2013年高考真题解析分类汇编(理科数学)11：概率与统计

2013高考试题解析分类汇编（理数）11：概率与统计

一、选择题

错误！未指定书签。1．（2013年普通高等学校招生统一考试辽宁数学（理）试题（WORD版））某学校组织学生参加英语测试,成绩的频率分布直方图如图,数据的分组一次为

[)[)

20,40,40,60,[)[)

60,80,820,100.若低于60分的人数是15人,则该班的学生人数是

（）A．45B．50C．55D．60

答案：B

第一、第二小组的频率分别是0.1、0.2，所以低于60分的频率是0.3，设班级人数为m，

则15

0.3

m

=，50

m=。选B.

2错误！未指定书签。．（2013年高考陕西卷（理））某单位有840名职工, 现采用系统抽样方法, 抽取42人做问卷调查, 将840人按1, 2, , 840随机编号, 则抽取的42人中, 编

号落入区间[481, 720]的人数为（）A．11 B．12 C．13 D．14

答案：B

使用系统抽样方法，从840人中抽取42人，即从20人抽取1人。,所以从编号1～480的人

中，恰好抽取24人，接着从编号481～720共240人中抽取12人。故选B

错误！未指定书签。 3．（2013年普通高等学校招生统一考试安徽数学（理）试题（纯WORD版））某班级有50名学生,其中有30名男生和20名女生,随机询问了该班五名男生和五名女

生在某次数学测验中的成绩,五名男生的成绩分别为86,94,88,92,90,五名女生的成绩

分别为88,93,93,88,93.下列说法一定正确的是（）A．这种抽样方法是一种分层抽样

B．这种抽样方法是一种系统抽样

C．这五名男生成绩的方差大于这五名女生成绩的方差

D．该班级男生成绩的平均数小于该班女生成绩的平均数

答案：C

对A选项，分层抽样要求男女生总人数之比=男女生抽样人数之比，所以A选项错。

对B选项，系统抽样要求先对个体进行编号再抽样，所以B选项错。

对C选项，男生方差为40，女生方差为30。所以C选项正确。

对D选项，男生平均成绩为90，女生平均成绩为91。所以D选项错。

所以选C

4错误！未指定书签。 ．（2013年高考湖南卷（理））某学校有男、女学生各500名.为了解男

女学生在学习兴趣与业余爱好方面是否存在显著差异,拟从全体学生中抽取100名学生

进行调查,则宜采用的抽样方法是 （ ） A ．抽签法 B ．随机数法 C ．系统抽样法 D ．分层抽样法 答案：D

本题考查抽样方法的判断。由于男生和女生存在性别差异，所以宜采用的抽样方法是分层抽

样法，选D. 5．（2013年高考陕西卷（理））如图, 在矩形区域ABCD 的A , C 两点处各有一个通信基站, 假

设其信号覆盖范围分别是扇形区域ADE 和扇形区域CBF (该矩形区域内无其他信号来源, 基站工作正常). 若在该矩形区域内随机地选一地点, 则该地点无．

信号的概率是 （ ）

A ．14

π

- B ．12π

-

C ．22

π

-

D ．

4

π

答案：A

该地点信号的概率=4

2121

2

π

π=??=+的面积矩形的面积扇形的面积扇形ABCD CBF ADE

所以该地点无．信号的概率是14

π

-。选A 6错误！未指定书签。 ．（2013年高考四川卷（理））节日里某家前的树上挂了两串彩灯,这两

串彩灯的第一次闪亮相互独立,若接通电后的4秒内任一时刻等可能发生,然后每串彩

灯在内4秒为间隔闪亮,那么这两串彩灯同时通电后,它们第一次闪亮的时刻相差不超过2秒的概率是 （ ） A ．

1

4

B ．

12

C ．

34

D ．

78

答案：C

设两串彩灯第一次闪亮的时刻分别为x ，y ，由题意可得0≤x ≤4，0≤y ≤4，

它们第一次闪亮的时候相差不超过2秒，则|x﹣y|≤2，由几何概型可得所求概率为上述两平

面区域的面积之比，

故选C

由图可知所求的概率为：=

。

错误！未指定书签。 7．（2013年普通高等学校招生统一考试福建数学（理）试题（纯WORD版））某校从高一年级学生中随机抽取部分学生,将他们的模块测试成绩分为6组:[40,50),

[50,60), [60,70), [70,80), [80,90), [90,100)加以统计,得到如图所示的频率分布

直方图,已知高一年级共有学生600名,据此估计,该模块测试成绩不少于60分的学生人

数为（）A．588 B．480 C．450 D．120

答案：B

由图知道60分以上人员的频率为后4项频率的和，由图知道

P=+++=

(0.030.0250.0150.01)*100.8

故分数在60以上的人数为600*0．8=480人．

8错误！未指定书签。．（2013年高考江西卷（理））总体有编号为01,02,…,19,20的20个个体组成。利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法是从随机数表第1行的第5列和

（）A．08 B．07 C．02 D．01

答案：D

本题考查随机数的使用和求值。从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右

依次选取两个数字中小于20的编号依次为08,02,14,07,02,01,。其中第二个和第四个

都是02，重复。所以第5个个体的编号为01。故选D 。 9错误！未指定书签。 ．（2013年高考新课标1（理））为了解某地区的中小学生视力情况,拟

从该地区的中小学生中抽取部分学生进行调查,事先已了解到该地区小学.初中.高中三个学段学生的视力情况有较大差异,而男女生视力情况差异不大,在下面的抽样方法中,最合理的抽样方法是 （ ） A ．简单随机抽样 B ．按性别分层抽样 C ．按学段分层抽样 D ．系统抽样 答案：C ．

我们常用的抽样方法有：简单随机抽样、分层抽样和系统抽样，

而事先已经了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异，而男女生视力情况差异不大．

了解某地区中小学生的视力情况，按学段分层抽样，这种方式具有代表性，比较合理．

故选C ．

10错误！未指定书签。．（2013年普通高等学校招生统一考试重庆数学（理）试题（含答案））

以下茎叶图记录了甲.乙两组各五名学生在一次英语听力测试中的成绩(单位:分)

已知甲组数据的中位数为15,乙组数据的平均数为16.8,则,x y 的值分别为 （ ）

A ．2,5

B ．5,5

C ．5,8

D ．8,8

答案：C

【命题立意】本题考查样本估计中的数字特征，中位数，平均数以及茎叶图。因为甲的中位数为15，由茎叶图可知，即5x =。乙组数据的平均数为1

10(58141)16.85

y ++++-=，解得8y =，选C.

11错误！未指定书签。．（2013年普通高等学校招生统一考试广东省数学（理）卷（纯WORD 版））

已知离散型随机变量X 的分布列为

X

1

2

3

P

35

310

110

则X 的数学期望EX =

（ ）

A ．32

B ．2

C ．52

D ．3

答案：A

331153

12351010102

EX =?+?+?==,故选A ．

12错误！未指定书签。．（2013年高考湖北卷（理））如图,将一个各面都涂了油漆的正方体,

切割成125个同样大小的小正方体.经过搅拌后,从中随机取出一个小正方体,记它的涂油漆面数为X ,则X 的均值为()E X = （ ）

A ．

126

125

B ．

65

C ．

168

125

D ．

75

答案：B

本题考查离散型随机变量的分布列。用分布列解决这个问题,根据题意易知X=0,1,2,3.列表如下

所以5

1251253125212511250)(==?+?+?+?=X E .故选B.

二、填空题

13错误！未指定书签。．（2013年高考上海卷（理））盒子中装有编号为1,2,3,4,5,6,7,8,9

的九个球,从中任意取出两个,则这两个球的编号之积为偶数的概率是___________(结

果用最简分数表示) 答案：

1318

. 【解答】9个数5个奇数，4个偶数，根据题意所求概率为252913

118

C C -=．

14错误！未指定书签。．（2013年高考湖北卷（理））从某小区抽取100户居民进行月用电量调

查,发现其用电量都在50到350度之间,频率分布直方图所示.

(I)直方图中x 的值为___________;

(II)在这些用户中,用电量落在区间[)100,250内的户数为_____________.

答案：（Ⅰ）0.0044；（Ⅱ）70

本题考查频率分布直方图，以及利用样本估计总体。（Ⅰ）第一组的频率为0.0024500.12?=，第二组的频率为0.0036500.18?=，第三组的频率为0.0060500.3?=，第五组的频率为0.0024500.12?=，第六组的频率为0.0012500.06?=，所以第四组的频率为10.120.180.30.120.060.22-----=，所以0.22500.0044x =÷=。

（Ⅱ）落在[100,250]内的户数为第二，三，四组数据，所以

(0.180.30.22)1000.710070++?=?=。

15错误！未指定书签。．（2013年普通高等学校招生全国统一招生考试江苏卷（数学）（已校对

纯WORD 版含附加题））抽样统计甲、乙两位设计运动员的5此训练成绩(单位:环),结果

如下:

则成绩较为稳定(方差较小)的那位运动员成绩的方差为_____________. 答案：2 易

知均值都是90，乙方差较小，

()

()()()()()()

2

22222

2

1

118990909091908890929025

n

i i s x x

n ==-=

-+-+-+-+-=∑

16错误！未指定书签。．（2013年普通高等学校招生统一考试福建数学（理）试题（纯WORD 版））

利用计算机产生0~1之间的均匀随机数a,则时间“310a ->”发生的概率为________ 答案：

2

3

13103a a ->∴> a 产生0~1之间的均匀随机数1(,1)3a ∴∈1

12313

p -

∴== 18错误！未指定书签。．（2013年普通高等学校招生统一考试新课标Ⅱ卷数学（理）（纯WORD 版

含答案））从n 个正整数1,2,n …中任意取出两个不同的数,若取出的两数之和等于5的

概率为

1

14

,则n =________. 答案：8

从n 个正整数1，2，…，n 中任意取出两个不同的数，取出的两数之和等于5的情况有：（1，4），（2，3）共2种情况； 从n 个正整数1，2，…，n 中任意取出两个不同的数的所有不同取法种数为

，由古典概型

概率计算公式得：

从n 个正整数1，2，…，n 中任意取出两个不同的数，取出的两数之和等于5的概率为p=

．

所以

，即，解得n=8．

19错误！未指定书签。．（2013年普通高等学校招生统一考试辽宁数学（理）试题（WORD 版））

为了考察某校各班参加课外书法小组的人数,在全校随机抽取5个班级,把每个班级参

加该小组的认为作为样本数据.已知样本平均数为7,样本方差为4,且样本数据互相不相同,则样本数据中的最大值为____________ 答案：10

设五个班级的数据分别为a b c d e <<<<。由平均数方差的公式得

75

a b c d e

++++=，

22222(7)(7)(7)(7)(7)45a b c d e -+-+-+-+-=，显然各个括号为整数。设7,7,7,7,7a b c d e -----分别为,,,,p q r s t ，(,,,,)p q r s t Z ∈，则

22222

0(1)20(2)

p q r s t p q r s t ++++=??++++=? 。设2222

()()()()()f x x p x q x r x s =-+-+-+-= 2222242()()x p q r s x p q r s -+++++++=224220x tx t ++-，由已知()0f x >，由

判别式0< 得4t <，所以3t ≤，所以10e ≤。

20错误！未指定书签。．（2013年高考上海卷（理））设非零常数d 是等差数列12319

,,,,x x x x 的公差,随机变量ξ等可能地取值12319,,,,x x x x ,则方差_______D ξ=

答案：|D d ξ=.

【解答】10E x ξ=

，|D d ξ==．

21错误！未指定书签。．（2013年普通高等学校招生统一考试山东数学（理）试题（含答案））

在区间[]3,3-上随机取一个数x ,使得121x x +--≥成立的概率为______.

答案：

设()12f x x x =+--，则3,31()

1221,123,23x

f x x x x x

x --≤≤-??

=+--=--<

。由211x -≥，解得12x ≤<，即当13x ≤≤时，()1f x ≥。由几何概型公式得所求概率为

3121

3(3)63

-==--。

22错误！未指定书签。．（2013年普通高等学校招生全国统一招生考试江苏卷（数学）（已校对

纯WORD 版含附加题））现在某类病毒记作n m Y X ,其中正整数m ,n (7≤m ,9≤n )可以

任意选取,则n m ，都取到奇数的概率为____________. 答案：

20

63

. m 可以取的值有：1,2,3,4,5,6,7共7个 n 可以取的值有：1,2,3,4,5,6,7,8,9共9个

所以总共有7963?=种可能 符合题意的m 可以取1,3,5,7共4个 符合题意的n 可以取1,3,5,7,9共5个 所以总共有4520?=种可能符合题意 所以符合题意的概率为

20

63

。

三、解答题

23错误！未指定书签。．（2013年普通高等学校招生统一考试广东省数学（理）卷（纯WORD 版））

某车间共有12名工人,随机抽取6名,他们某日加工零件个数的茎叶图如图所示,其中茎为十位数,叶为个位数.

(Ⅰ) 根据茎叶图计算样本均值;

1 7 9

2 0 1 5

3 0

第17题图

(Ⅱ) 日加工零件个数大于样本均值的工人为优秀工人,根据茎叶图推断该车间12名工人中有几名优秀工人;

(Ⅲ) 从该车间12名工人中,任取2人,求恰有1名优秀工人的概率.

解:(1)由题意可知,样本均值171920212530

226

x +++++=

=

(2) 样本6名个人中日加工零件个数大于样本均值的工人共有2名,

∴可以推断该车间12名工人中优秀工人的人数为:2

1246

?=

(3) 从该车间12名工人中,任取2人有2

1266C =种方法, 而恰有1名优秀工人有1

1

10220C C =

∴所求的概率为:111022122010

6633

C C P C ==

= 24错误！未指定书签。．（2013年高考北京卷（理））下图是某市3月1日至14日的空气质量

指数趋势图,空气质量指数小于100表示空气质量优良,空气质量指数大于200表示空气

重度污染,某人随机选择3月1日至3月13日中的某一天到达该市,并停留2天

.

(Ⅰ)求此人到达当日空气重度污染的概率;

(Ⅱ)设X 是此人停留期间空气质量优良的天数,求X 的分布列与数学期望;

(Ⅲ)由图判断从哪天开始连续三天的空气质量指数方差最大?(结论不要求证明)

解:设i A 表示事件“此人于3月i 日到达该市”( i =1,2,,13). 根据题意, 1

()13

i P A =

,且()i j A A i j =?≠ . (I)设B 为事件“此人到达当日空气重度污染”,则58B A A = , 所以58582()()()()13

P B P A A P A P A ==+=

. (II)由题意可知,X 的所有可能取值为0,1,2,且

P(X=1)=P(A 3∪A 6∪A 7∪A 11)= P(A 3)+P(A 6)+P(A 7)+P(A 11)= 413, P(X=2)=P(A 1∪A 2∪A 12∪A 13)= P(A 1)+P(A 2)+P(A 12)+P(A 13)= 4

13

,

P(X=0)=1-P(X=1)-P(X=2)= 5

13

,

所以X 的分布列为:

012

544131313

X P

故X 的期望5441201213131313

EX =?

+?+?=. (III)从3月5日开始连续三天的空气质量指数方差最大.

25错误！未指定书签。．（2013年普通高等学校招生统一考试福建数学（理）试题（纯WORD 版））

某联欢晚会举行抽奖活动,举办方设置了甲.乙两种抽奖方案,方案甲的中奖率为2

3

,中将可以获得2分;方案乙的中奖率为

2

5

,中将可以得3分;未中奖则不得分.每人有且只有一次抽奖机会,每次抽奖中将与否互不影响,晚会结束后凭分数兑换奖品.

(1)若小明选择方案甲抽奖,小红选择方案乙抽奖,记他们的累计得分为,X Y ,求3X ≤的概率;

(2)若小明.小红两人都选择方案甲或方案乙进行抽奖,问:他们选择何种方案抽奖,累计的得分的数学期望较大?

解:(Ⅰ)由已知得:小明中奖的概率为

23,小红中奖的概率为2

5

,两人中奖与否互不影响,记“这2人的累计得分3≤X ”的事件为A,则A 事件的对立事件为“5=X ”,

224(5)3515==

?= P X ,11

()1(5)15

∴=-==P A P X ∴这两人的累计得分3≤X 的概率为

11

15

. (Ⅱ)设小明.小红都选择方案甲抽奖中奖的次数为1X ,都选择方案乙抽奖中奖的次数为2X ,则这两人选择方案甲抽奖累计得分的数学期望为1(2)E X ,选择方案乙抽奖累计得分的数学期望为2(3)E X

由已知:12~(2,)3X B ,22~(2,)5

X B

124()233∴=?

=E X ,224()255

=?=E X 118(2)2()3∴==E X E X ,2212

(3)3()5

==E X E X

12(2)(3)> E X E X

∴他们都在选择方案甲进行抽奖时,累计得分的数学期望最大.

26错误！未指定书签。．（2013年普通高等学校招生统一考试天津数学（理）试题（含答案））

一个盒子里装有7张卡片, 其中有红色卡片4张, 编号分别为1, 2, 3, 4; 白色卡片3

张, 编号分别为2, 3, 4. 从盒子中任取4张卡片 (假设取到任何一张卡片的可能性相同).

(Ⅰ) 求取出的4张卡片中, 含有编号为3的卡片的概率.

(Ⅱ) 再取出的4张卡片中, 红色卡片编号的最大值设为X , 求随机变量X 的分布列和数学期望.

27错误！未指定书签。．（2013年普通高等学校招生统一考试大纲版数学（理）WORD 版含答案（已

校对））甲、乙、丙三人进行羽毛球练习赛,其中两人比赛,另一人当裁判,每局比赛结束

时,负的一方在下一局当裁判,设各局中双方获胜的概率均为1

,2

各局比赛的结果相互独立,第1局甲当裁判.

(I)求第4局甲当裁判的概率;

(II)X表示前4局中乙当裁判的次数,求X的数学期望.

28错误！未指定书签。．（2013年普通高等学校招生统一考试辽宁数学（理）试题（WORD版））现有10道题,其中6道甲类题,4道乙类题,张同学从中任取3道题解答.

(I)求张同学至少取到1道乙类题的概率;

(II)已知所取的3道题中有2道甲类题,1道乙类题.设张同学答对甲类题的概率都是3 5 ,

答对每道乙类题的概率都是4

5

,且各题答对与否相互独立.用X表示张同学答对题的个

数,求X的分布列和数学期望.

29错误！未指定书签。．（2013年高考陕西卷（理））

在一场娱乐晚会上, 有5位民间歌手(1至5号)登台演唱, 由现场数百名观众投票选出

最受欢迎歌手. 各位观众须彼此独立地在选票上选3名歌手, 其中观众甲是1号歌手的歌迷, 他必选1号, 不选2号, 另在3至5号中随机选2名. 观众乙和丙对5位歌手的演唱没有偏爱, 因此在1至5号中随机选3名歌手.

(Ⅰ) 求观众甲选中3号歌手且观众乙未选中3号歌手的概率;

(Ⅱ) X 表示3号歌手得到观众甲、乙、丙的票数之和, 求X 的分布列和数学期望.

解:(Ⅰ) 设事件A 表示:观众甲选中3号歌手且观众乙未选中3号歌手. 观众甲选中3号歌手的概率为32,观众乙未选中3号歌手的概率为5

3

-1. 所以P(A) = 15

453-132

=

?）（. 因此,观众甲选中3号歌手且观众乙未选中3号歌手的概率为

15

4 (Ⅱ) X 表示3号歌手得到观众甲、乙、丙的票数之和,则X 可取0,1,2,3.

观众甲选中3号歌手的概率为

32,观众乙选中3号歌手的概率为5

3. 当观众甲、乙、丙均未选中3号歌手时,这时X=0,P(X = 0) = 75

4

)531()321(2=-?-.

当观众甲、乙、丙中只有1人选中3号歌手时,这时X=1,P(X = 1) =

75

20

7566853)531(321()531(53321()531(322=

++=?-?-+-??-+-?））. 当观众甲、乙、丙中只有2人选中3号歌手时,这时X=2,P(X = 2) =

75

33

751291253)531(325353321()531(5332=

++=?-?+??-+-??）. 当观众甲、乙、丙均选中3号歌手时,这时X=3,P(X =3) = 75

18

)53(322=?.

X 的分布列如下表:

15

75753752751750=

=?+?+?+?=εE 所以,数学期望15

28

=EX

30错误！未指定书签。．（2013年高考湖南卷（理））某人在如图4所示的直角边长为4米的三

角形地块的每个格点(指纵、横的交叉点记忆三角形的顶点)处都种了一株相同品种的作

物.根据历年的种植经验,一株该种作物的年收获量Y(单位:kg)与它的“相近”作物株这里,两株作物“相近”是指它们之间的直线距离不超过1米.

(I)从三角形地块的内部和边界上分别随机选取一株作物,求它们恰好 “相近”的概率;

(II)从所种作物中随机选取一株,求它的年收获量的分布列与数学期望.

解: (Ⅰ) 由图知,三角形边界共有12个格点,内部共有3个格点.

从三角形上顶点按逆时针方向开始,分别有0,0,1,1,0,1,1,0,0,1,2,1对格点,共8对格点恰好“相近”.

所以,从三角形地块的内部和边界上分别随机选取一株作物,它们恰好“相近”的概率

9

2

3128=?=

P (Ⅱ)三角形共有15个格点.

与周围格点的距离不超过1米的格点数都是1个的格点有2个,坐标分别为(4,0),(0,4).

15

4)51(=

=Y P 所以 与周围格点的距离不超过1米的格点数都是2个的格点有4个,坐标分别为(0,0), (1,3), (2,2),(3,1).15

4)48(=

=Y P 所以 与周围格点的距离不超过1米的格点数都是3个的格点有6个,坐标分别为(1,0), (2,0), (3,0), (0,1,) ,(0,2),(0,3,).15

6)45(=

=Y P 所以 与周围格点的距离不超过1米的格点数都是4个的格点有3个,坐标分别为(1,1), (1,2), (2,1).15

3)42(==Y P 所以 如下表所示:

4615

6901512627019210215342156451544815251)(==+++=?+?+?+?

=Y E 46)(=∴Y E .

31错误！未指定书签。．（2013年普通高等学校招生统一考试重庆数学（理）试题（含答案））

某商场举行的“三色球”购物摸奖活动规定:在一次摸奖中,摸奖者先从装有3个红球

与4个白球的袋中任意摸出3个球,再从装有1个蓝球与2个白球的袋中任意摸出1个球,根据摸出4个球中红球与蓝球的个数,设一.二.三等奖如下:

奖级 摸出红.蓝球个数 获奖金额 一等奖 3红1蓝 200元 二等奖 3红0蓝 50元 三等奖 2红1蓝 10元

其余情况无奖且每次摸奖最多只能获得一个奖级. (1)求一次摸奖恰好摸到1个红球的概率;

(2)求摸奖者在一次摸奖中获奖金额X 的分布列与期望()E X .

32错误！未指定书签。．（2013年普通高等学校招生统一考试浙江数学（理）试题（纯WORD 版））

设袋子中装有a 个红球,b 个黄球,c 个蓝球,且规定:取出一个红球得1分,取出一个黄

球2分,取出蓝球得3分.

(1)当1,2,3===c b a 时,从该袋子中任取(有放回,且每球取到的机会均等)2个球,记随机变量ξ为取出此2球所得分数之和,.求ξ分布列;

(2)从该袋子中任取(且每球取到的机会均等)1个球,记随机变量η为取出此球所得分数.若9

5

,35==ηηD E ,求.::c b a

解:(Ⅰ)由已知得到:当两次摸到的球分别是红红时2ξ=,此时331

(2)664

P ξ?==

=?;当两次摸到的球分别是黄黄,红蓝,蓝红时4ξ=,此时

2231135

(4)66666618P ξ???==++=

???;当两次摸到的球分别是红黄,黄红时3ξ=,此时32231

(3)66663P ξ??==+=??;当两次摸到的球分别是黄蓝,蓝黄时5ξ=,此时

12211

(5)66669P ξ??==+=??;当两次摸到的球分别是蓝蓝时6ξ=,此时

111

(6)6636

P ξ?===?;所以ξ的分布列是:

ξ

2 3 4 5 6

P

1

4 13 518 19 136

(Ⅱ)由已知得到:η有三种取值即1,2,3,所以η的分布列是: η 1 2 3 P

a

a b c ++

b

a b c ++

c

a b c

++

所以:2225233555253(1)(2)(3)9333a b c E a b c a b c a b c a b c D a b c a b c a b c ηη?==++??++++++??==-?+-?+-?

?++++++?

,所

以2,3::3:2:1b c a c a b c ==∴=.

33错误！未指定书签。．（2013年普通高等学校招生统一考试新课标Ⅱ卷数学（理）（纯WORD 版

含答案））经销商经销某种农产品,在一个销售季度内,每售出1t 该产品获利润500元,

未售出的产品,每1t 亏损300元.根据历史资料,得到销售季度内市场需求量的频率分布直方图,如图所示.经销商为下一个销售季度购进了130t 该农产品,以X (单位:t,

150100≤≤X )表示下一个销售季度内的市场需求量,T (单位:元)表示下一个销售季

度内销商该农产品的利润. (Ⅰ)将T 表示为X 的函数;

(Ⅱ)根据直方图估计利润T 不少于57000元的概率;

(Ⅲ)在直方图的需求量分组中,以各组的区间中点值代表该组的各个值,需求量落入该区间的频率作为需求量取该区间中点值的概率(例如:若[100,110)X ∈,则取105X =,且105X =的概率等于需求量落入[100,110)的概率),求利润T 的数学期望.

34错误！未指定书签。．（2013年高考江西卷（理））小波以游戏方式决定参加学校合唱团还是

参加学校排球队.游戏规则为:以O 为起点,再从12345678,,,,,,,,A A A A A A A A (如图)这8个点中任取两点分别为终点得到两个向量,记这两个向量的数量积为X .若0X 就参

加学校合唱团,否则就参加学校排球队. (1) 求小波参加学校合唱团的概率; (2) 求X 的分布列和数学期望

.

解:(1)从8个点中任意取两点为向量终点的不同取法共有2

828C =种,0χ=时,两向量夹角为直角共有8种情形;所以小波参加学校合唱团的概率为82(0)287

P χ==

=. (2)两向量数量积χ的所有可能取值为2,1,0,1,2χ--=时,有两种情形;1χ=时,有8种情形;1χ=-时,有10种情形.所以χ的分布列为:

(2)+(1)0114147714

E χ=-?-?+?+?=-.

35错误！未指定书签。．（2013年普通高等学校招生统一考试山东数学（理）试题（含答案））

甲、乙两支排球队进行比赛,约定先胜3局者获得比赛的胜利,比赛随即结束,除第五局甲队获胜的概率是

12外,其余每局比赛甲队获胜的概率都是2

3

,假设各局比赛结果相互独立.

(Ⅰ)分别求甲队以3:0,3:1,3:2胜利的概率;

(Ⅱ)若比赛结果为3:0或3:1,则胜利方得3分,对方得0分;若比赛结果为3:2,则胜利方得2分、对方得1分.求乙队得分X 的分布列及数学期望.

解:(Ⅰ)记“甲队以3:0胜利”为事件1A ,“甲队以3:1胜利”为事件2A ,“甲队以3:2胜利”为事件3A ,由题意,各局比赛结果相互独立, 故3

128()()3

27P A ==

, 22232228

()()(1)33327P A C =-?=,

122342214

()()(1)33227

P A C =-?=

所以,甲队以3:0,3:1,3:2胜利的概率分别是

827,827,427

; (Ⅱ)设“乙队以3:2胜利”为事件4A ,由题意,各局比赛结果相互独立,所以

122442214

()(1)()(1)33227

P A C =-?-=

由题意,随机变量X 的所有可能的取值为0,1,2,3,,根据事件的互斥性得

1212(0)()()()P X P A A P A P A ==+=+16

27

=,

34

(1)()27

P X P A ===,

44(2)()27

P X P A ===

, (3)P X ==1-(0)P X =(1)P X -=(2)P X -=327

=

故X 的分布列为

X

0 1

2

3

P

1627

4

27 427 327

所以

16443012327272727EX =?

+?+?+?79=

36错误！未指定书签。．（2013年高考湖北卷（理））假设每天从甲地去乙地的旅客人数X 是

服从正态分布(

)2

800,50N 的随机变量.记一天中从甲地去乙地的旅客人数不超过900

的概率为0p . (I)

求

p 的值;(参考数据:若()

2,X N μσ ,有()0.6826P X μσμσ-<<+=,

()220.9544

P X μσμσ-<<+=,

()330.9974P X μσμσ-<<+=.)

(II)某客运公司用A .B 两种型号的车辆承担甲.乙两地间的长途客运业务,每车每天

往返一次,A .B 两种车辆的载客量分别为36人和60人,从甲地去乙地的运营成本分别为1600元/辆和2400元/辆.公司拟组建一个不超过21辆车的客运车队,并要求B 型车不多于A 型车7辆.若每天要以不小于0p 的概率运完从甲地去乙地的旅客,且使公司从甲地去乙地的运营成本最小,那么应配备A 型车.B 型车各多少辆?

解:(I)01

0.50.95440.97722

p =+

?= (II)设配备A 型车x 辆,B 型车y 辆,运营成本为z 元,由已知条件得

2136609007,x y x y y x x y N +≤??+≥?

?

-≤??∈?

,而16002400z x y =+