课时作业42

课时作业(四十二)

1．设A ＝[－2,4)，B ＝{x |x 2－ax －4≤0}，若B ?A ，求实数a 的取值范围． 分析 观察到方程x 2－ax －4＝0有两个实根，故此题不妨用求根公式来解决．

解析 因x 2－ax －4＝0有两个实根

x 1＝a 2－4＋a 24，x 2＝a 2＋4＋a 2

4，

故B ?A 等价于x 1≥－2且x 2<4，即

a

2－4＋a 24≥－2且a 2＋4＋a 2

4<4，

解之得0≤a <3.

2．已知方程x 2＋(3m －1)x ＋(3m －2)＝0的两个根都属于(－3,3)，且其中至少有一个根小于1，求m 的取值范围．

解析 原方程即为(x ＋1)(x ＋3m －2)＝0，所以方程两根分别为－1,2－3m ，

而－1在(－3,1)上，则由题意，另一根满足－3<2－3m <3?－13

3．已知方程4x 2＋2(m －1)x ＋(2m ＋3)＝0(m ∈R )有两个负根，求m 的取值范围．

解析 依题意有??? Δ＝4(m －1)2－4×4(2m ＋3)≥0，－(m －1)<0，

2m ＋3>0，

∴m ≥11.

4．求实数m 的范围，使关于x 的方程x 2＋2(m －1)x ＋2m ＋6＝0.

(1)有两个实根，且一个比2大，一个比2小；

(2)有两个实根α，β，且满足0<α<1<β<4；

(3)至少有一个正根．

解析 设y ＝f (x )＝x 2＋2(m －1)x ＋2m ＋6.

(1)依题意有f (2)<0，即4＋4(m －1)＋2m ＋6<0，得m <－1.

(2)依题意有??? f (0)＝2m ＋6>0，

f (1)＝4m ＋5<0，

f (4)＝10m ＋14>0，

解得－75

①有两个正根，此时可得????? Δ≥0，f (0)>0，2(m －1)－2>0，

即??? m ≤－1或m ≥5，

m >－3，

m <1，∴－3

②有一个正根，一个负根，此时可得f (0)<0，得m <－3.

③有一个正根，另一根为0，此时可得???

6＋2m ＝0，2(m －1)<0，

∴m ＝－3.

综上所述，得m ≤－1.

5．已知关于x 的二次方程x 2＋2mx ＋2m ＋1＝0.

(1)若方程有两根，其中一根在区间(－1,0)内，另一根在区间(1,2)内，求m 的范围；

(2)若方程两根均在区间(0,1)内，求m 的范围．

解析 (1)条件说明抛物线f (x )＝x 2＋2mx ＋2m ＋1与x 轴的交点分别在区间(－1,0)和(1,2)内，则??? f (0)＝2m ＋1<0，f (－1)＝2>0，f (1)＝4m ＋2<0，f (2)＝6m ＋5>0

?????? m <－12，m ∈R ，m <－12，m >－56?－56

∴实数m 的范围是(－56，－12)．

(2)据抛物线与x 轴交点落在区间(0,1)内，列不等式组??? f (0)>0，f (1)>0，Δ≥0，0<－m <1

?????? m >－12，m >－12，

m ≥1＋2或m ≤1－2，－1

?

－12

∴实数m 的范围是(－12，1－2]．

6．已知二次方程mx 2＋(2m －1)x －m ＋2＝0的两个根都小于1，求m 的取值范围．

解析 方法一 二次方程两个根都小于1，其充要条件为????? (2m －1)2＋4m (m －2)≥0， ①m [m ＋(2m －1)－m ＋2]>0， ②－2m －12m <1. ③

①即为8m 2－12m ＋1≥0，它的解集是(－∞，3－74]∪[3＋74，＋∞)．

②即为m (2m ＋1)>0，它的解集是(－∞，－12)∪(0，＋∞)．

③的解集是(－∞，0)∪(14，＋∞)．

所以，m 的取值范围是(－∞，－12)∪[3＋74，＋∞)．

方法二 二次方程mx 2＋(2m －1)x －m ＋2＝0有两个根的充要条件是Δ≥0. 设两根为x 1，x 2，由于x 1，x 2都小于1，即x 1－1<0，x 2－1<0，其充要条件为：

??? (x 1－1)＋(x 2－1)<0，(x 1－1)(x 2－1)>0，

即???

x 1＋x 2－2<0，x 1x 2－(x 1＋x 2

)＋1>0. 因此，方程两个根都小于1的充要条件是： ????? (2m －1)2＋4m (m －2)≥0，－2m －1m

－2<0，－m ＋2m ＋2m －1m ＋1>0，

以下同方法一(略)． 7．如果二次函数y ＝mx 2＋(m －3)x ＋1的图像与x 轴的交点至少有一个在原点的右侧，试求m 的取值范围．

解析 ∵f (0)＝1>0，

(1)当m <0时，二次函数图像与x 轴有两个交点且分别在y 轴两侧，符合题意．

(2)当m >0时，则????? Δ≥0，3－m m >0，解得0

综上所述，m 的取值范围是{m |m ≤1且m ≠0}．

8．已知a 是实数，函数f (x )＝2ax 2＋2x －3－a ，如果函数y ＝f (x )在区间[－1,1]上有零点，求a 的取值范围．

解析 函数y ＝f (x )在区间[－1,1]上有零点，即方程f (x )＝2ax 2＋2x －3－a ＝0在[－1,1]上有解．

a ＝0时，不符合题意，所以a ≠0，方程f (x )＝0在[－1,1]上有解?f (－1)·f (1)≤0或????? af (－1)≥0，af (1)≥0，

Δ＝4＋8a (3＋a )≥0，

－1a ∈[－1，1]

? 1≤a ≤5或a ≤－3－72或a ≥5?a ≤－3－72

或a ≥1.

－3－7

所以实数a的取值范围是a≤

2或a≥1.