河西区2017—2018二模答案(数学理科)

河西区2017—2018学年度第二学期高三年级总复习质量调查（二）

数学试卷（理工类）参考答案及评分标准

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分. DCBA ACCD

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.

（9）9- （10）2 （11）π64 （12）2 （13）5 （14）e (，]3 三、解答题：本大题共6小题，共80分. （15）（本小题满分13分）

（Ⅰ）解：由余弦定理，得bc

a c

b A 2cos 222-+=，

∵4

π

=

A ，2222

1c a b =-，

∴c b 322=，

…………4分

由正弦定理，得C B sin 3sin 22=， ∴C C sin 3)4

3sin(

22=-π

， 整理得C C sin cos 2=， 所以2tan =C .

…………8分 （Ⅱ）解：34

tan 1tan 22tan 2-=-=

C

C C ，

…………10分

∴)4

2tan(π

-

C 4

tan

2tan 14tan

2tan π

π

C C +-=

7=.

…………13分

（16）（本小题满分13分）

（Ⅰ）解：甲地抽取的样本中优质品有7件，估计该地产品的优质品率为10

7

， 乙地抽取的样本中优质品有8件，估计该地产品的优质品率为5

4

. …………4分

（Ⅱ）解：由题意，X 的可能取值为1，2，3，

==)1(X P 151

3

102218=?C C C ， ==)2(X P 157

3

101

228=?C C C ， ==)3(X P 15

7

3103

8=C C ，

…………10分

所以随机变量X 的分布列为：

X 1 2 3

P

15

1 15

7 15

7 所以15721511)(?+?

=X E 5

12

1573=?+.

…………13分

（17）（本小题满分13分）

（Ⅰ）（ⅰ）证明：如图，以A 为原点，分别以AE ，AB ，AD 方向为x 轴、y 轴、z 轴正方向建立空间直角坐标系xyz A -，

由题意可得0(A ，0，)0，0(B ，2，)0，0(C ，2，)1，0(D ，0，)2，2(E ，0，)0，

0(F ，0，)23，1(N ，1，)0，1(M ，1，)2

1

，

…………1分

设平面MBD 的一个法向量n 1x (=，y ，)z ，1(-=MD ，1-，)23

，1(-=MB ，1，)2

1-，

由?????=?=?0

011MB MD n n ，即??

???

=-+-=+--021023z y x z y x ，

令1=x ，2=y ，2=z ，所以n 11(=，2，)2，

1(=FN ，1，)2

3

-，

因为+?+?12110)2

3

(2=-?，所以⊥FN n 1，

因为?FN 平面MBD ， 所以FN ∥平面MBD .

…………4分

z

y

x

A B

C

D E

F

M

N

（ⅱ）解：平面MBD 的一个法向量n 11(=，2，)2， 又0(=FD ，0，)2

1，

设点F 到平面MBD 的距离为d ， 则3

1

11=?=

n n FD d . …………7分

（Ⅱ）解：设CE CM λ=，10<<λ， 易得λ2(=M ，λ22-，)1λ-，

设平面MBD 的一个法向量n 1x (=，y ，)z ，

λ2(-=MD ，22-λ，)1+λ，λ2(-=MB ，λ2，)1-λ，

由????

?=?=?0

11MB MD n n ，即???=-++-=++-+-0)1(220)1()22(2z y x z y x λλλλλλ，

取1=y ，得n 1λ

λ21

3(

-=，1，)1，

…………9分

又平面ABD 的一个法向量n 21(=，0，)0，

由><21n n ,cos =

??=

2

12

1n n n n =-+-2)

213(221

3λ

λλ

λ31，

解得21=

λ或4

1=λ， 所以点M 是EC 的中点或EC 上靠近点C 的四等分点.

…………13分

（18）（本小题满分13分）

（Ⅰ）证明：由题意得，121)2(--=-n n n n S S S S ，则0452

112=+---n n n n S S S S ， 即0)4)((11=----n n n n S S S S ， ∴0)4(1=--n n n S S a ，

因为数列}{n a 的各项均为正数，所以041=--n n S S ，即41

=-n n

S S ， 所以}{n S 是以1为首项，4为公比的等比数列.

…………6分

（Ⅱ）解：由（Ⅰ）可知14-=n n S ， 当2≥n 时，2143--?=-=n n n n S S a ， 所以n n n S a b ?=+)3

(log 1

4

14)1(-?-=n n ， …………9分

则214240?++=n T 24)2(--++n n 14)1(-?-+n n ，

+

+=

2404n T n n n n 4)1(4)2(1-+-+-

，

两式相减，得324443++=-n T n n n 4)1(41--++- ， 所以9

44)943(+

?-=n n n T . …………13分

（19）（本小题满分14分）

（Ⅰ）解：由???=+-=0

622y x px y ，得06222=+-p py y ，

∵抛物线2C 与直线l 相切，

∴06842=-=?p p ，解得62=p ，

…………3分

∴抛物线2C 的方程为x y 642=，其准线方程为6-=x ， 由题意得：6=c ， ∵2

2==

a c e ，222c

b a +=， ∴122=a ，62=b ，

椭圆1C 的方程为

16

122

2=+y x . …………6分

（Ⅱ）设x T (，)y ，1(x M ，)1y ，2(x N ，)2y ，

由ON OM MN OT ++=2，得212x x x +=，212y y y +=， ∵直线OM 与ON 的斜率之积为2

1-， ∴

2

1

2121-=x x y y ，即022121=+y y x x ，

…………8分

∵点M ，N 在椭圆1C ：

16

122

2=+y x 上， ∴1222

12

1=+y x ，1222

22

2=+y x ，

故=+222y x )44(212

22

1x x x x ++)44(2212

22

1y y y y +++

)2(2121y x +=+++)2(42

222y x 60)2(42121=+y y x x ， 即点T 是椭圆

130

602

2=+y x 上的点，

…………12分

∴由椭圆的定义，存在两个定点1F ，2F ，且为椭圆130

602

2=+y x 的焦点，使得21TF TF +为定值，其坐标为30(1-F ，)0，30(2F ，)0. …………14分

（20）（本小题满分14分）

（Ⅰ）解：由1)(2

3

+++=bx ax x x f ，得b ax x x f ++=23)('2

3

)3(322a b a x -++=，

当3

a

x -=时，)('x f 有极小值，

∵导函数)('x f 的极值点是)(x f 的零点，

∴013

927)3(33=+-+-

=-ab

a a a f ， 又0>a ，所以a a

b 3

922+=， …………2分

因为)(x f 有极值，故0)('=x f 有两个不等的实根，

从而03

2

<-a b ，解得3>a ， 所以b 关于a 的函数关系式是a

a b 3

922+=，定义域为3(，)∞+. …………4分

（Ⅱ）解：由（Ⅰ）可知=-=a b a h 3)(2

=+-24935814a a a 2

3381)

27)(274(a a a --， ∵3>a ，所以0)(>a h ，即a b 32>.

…………8分

（Ⅲ）解：由（Ⅰ）可知)('x f 的极小值为3)3('2

a b a f -=-，

设1x ，2x 是)(x f 的两个极值点，则3221a x x -=+，3

21b

x x =，

所以=+)()(21x f x f )(2

22

13

23

1x x a x x +++2)(21+++x x b

22121))[((x x x x ++=+-]321x x +-+]2)[(21221x x x x a 2)(21++x x b 23

22743+-=ab

a

…………10分

又因为)(x f ，)('x f 这两个函数的所有极值之和不小于2

7

-

， 所以232274332+-+-ab a a b 27932-≥-=a a ， 设a a a g 3

9)(2+-

=，3>a ， ∵03

92)('2<--=a

a a g ，

∴)(a g 在3(，)∞+上单调递减， 因为2

7)6(-=g ，

所以)6()(g a g ≥，故6≤a ， 因此实数a 的取值范围3(，]6.

…………14分