最新人教版高中数学必修5第二章《等比数列》名师导航

2.4 等比数列

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三点剖析

1．等比数列的定义

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数q ，这个数列就叫等比数列，这个常数就叫做等比数列的公比．定义还可以叙述为：在数列{a n }中，若n

n a a 1 =q （n ∈N *），q 为常数，则数列{a n }是等比数列，易知q≠0． 理解等比数列的定义时：

（1）由于等比数列的每一项都可能作分母，故每一项均不为0，因此q≠0．

（2）对于公比q ，要注意它是每一项与它的前一项的比，防止把相邻两项的顺序颠倒．

（3）“从第2项起”是因为首项没有“前一项”，同时应注意：如果一个数列，不从第2项起，而是从第3项起或从第4项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么此数列不是等比数列，但可以说从第2项起或第3项起是一个等比数列．

2．等比数列的通项公式

等比数列的通项公式为a n =a 1q n-1，a 1为首项，q 为公比．它是由不完全归纳法得到的，在理解这一公式时应注意．

（1）在已知a 1和q 的前提下，利用通项公式a n =a 1q n-1可求出等比数列中的任一项．

（2）已知等比数列中任意两项的前提下，可以确定等比数列的任一项．

（3）用函数观点看待等比数列的通项.

等比数列{a n }的通项公式a n =a 1q n-1可以改写为a n =q

a 1·q n ，当q ＞0，且q≠1时，y=q x 是一个指数函数，而y=q

a 1·q x 是一个不为0的常数与指数函数的积，因此等比数列{a n }的图象是函数y=q

a 1·q x 的图象上的一群孤立的点． 3．等比中项

在等差数列中，等差中项唯一，在等比数列中等比中项是互为相反数的两个值，即G= ±ab ，这一点同学们务必记熟，再就是任意两个实数间都有一个等差中项存在，但任意两个实数间未必存在等比中项，如0和任一实数，或一正一负数之间都不存在等比中项．

4．等比数列常用性质

请同学们记熟，并自己试着证明一下：设a n =a 1q n-1（a 1、q≠0），

（1）当q>1，a 1>0或01，a 1<0或00时，数列为递减数列；当q=1时，数列为常数列；当q<0时，数列为摆动数列．

（2）a n =a m q n-m （m 、n ∈N *）．

（3）若m+n=p+q （m 、n 、p 、q ∈N *），则a m ·a n =a p ·a q ．

（4）{a n }是有穷等比数列，则与首末两项等距离的两项之积都相等，且等于首末两项

之积．

（5）数列{λa n }（λ为不等于0的常数）仍是公比为q 的等比数列；若{b n }是公比为q′的等比数列，则数列{a n b n }是公比为qq′的等比数列；数列{n

a 1}是公比为q 1的等比数列；数列{|a n |}是公比为|q|的等比数列．

（6）在数列{a n }中每隔k （k ∈N *）项取出一项，按原来顺序组成新数列，仍为等比数列且公比为q k+1．

（7）数列{a n }是各项均为正数的等比数列时，数列{lga n }是公差为lgq 的等差数列．

（8）数列{a n }中连续相邻两项的和（差）构成公比为q 的等比数列．

（9）若m ，n ，p （m ，n ，p ∈N *）成等差数列时，a m ，a n ，a p 成等比数列．

问题探究

问题1：已知数列{a n }、{b n }是项数相同的等比数列，仿照下表中的例子填写下表，从中你能得到什么结论？

a n

b n a n b n 判断数列{a n b n }是否是等比数列 例

3×（32）2 -5×2n-1 -10×（34）n-1 是 自选1

自选2

探究：填表请同学们自己完成．

根据这个表格，我们可以得到：若数列{a n }、{b n }是项数相同的等比数列，则数列{a n b n }也是等比数列．

证明如下：

数列{a n }的公比为p ，数列{b n }的公比为q ，那么数列{a n b n }的第n 项与第n+1项分别为a 1p n-1·b 1q n-1与a 1p n ·b 1q n ，即a 1b 1（pq ）n-1与a 1b 1（pq ）n ．

因为n n n n b a b a 11++=11111)

()(-n n

qp b a pq b a =pq （它是一个与n 无关的常数）， 所以{a n b n }是一个公比为pq 的等比数列．

特别地，如果{a n }是等比数列，c 是不为0的常数，那么数列{c\5a n }也是等比数列． 问题2：已知{a n }是无穷等比数列，公比为q ，在数列{a n }中，每10项取出一项，组成一个新的数列，这个数列是等比数列吗？如果是，它的公比是多少？

探究：判断数列是否为等比数列，可根据等比数列的定义，也就是判断此数列的每一项与前一项的比是否为常数．本题关键是首先把新数列找出来，然后再按等比数列的定义判断．

设新数列首项为a m （m 为常数，m ∈N *），由题意，新数列为a m ，a m+10，a m+20，a m+30，…，

a m+10（n-1），…，其相邻两项为a m+10（n-2），a m+10（n-1） ．

因为{a n }是等比数列，故有a n =a 1q n-1，

∴a m+10（n-2）=a 1q m+10（n-2）-1，a m+10（n-1）=a 1q m+10（n-1）-1．

∴2)-(n m 1)

-(n m 10a 10a ++=1-2)-10(n m 1-11)-10(n m 1q a q a ++=q 10（常数）.

∴新数列是等比数列，它的公比为q 10．

精题精讲

例1．已知等比数列{a n }，若a 1+a 2+a 3=7，a 1a 2a 3=8，求a n ．

思路解析

求等比数列的通项公式，只要求出a 1和q 即可．由于a 1，a 2，a 3成等比数列，∴12a a =23a a ，即a 22=a 1a 3．由此可求a 2，再由条件即可解得a 1和q ；或利用a 2=a 1q ，a 3=a 1q 2将已知关系化简为a 1和q 的方程求解；或将a 1=q

a 2，a 3=a 2q 代入已知条件进行求解． 解：∵a 1a 3=a 22，∴a 1a 2a 3=a 23=8.∴a 2=2．

从而???==+，a a ，

a a 453131解得???==4,131a a 或???==.

1,431a a 当a 1=1时，q=2；当a 1=4时，q=2

1． 故a n =2n-1或a n =23-n ．

黑色陷阱

解答中易产生的错误是在求得a 1=1，a 3=4或a 3=4，a 1=1后，由a 3=a 1q 2分别得出q=±2或q=±2

1，故所得的数列为a n =2n-1或a n =23-n 或a n =（-2）n-1或a n =（-2）3-n ．

上述错误的原因在于忽视了a 2=2，a 1>0，必有q>0这一隐含条件的限制．

例2．已知S n 是数列{a n }的前n 项和，S n =p n （p ∈R ，n ∈N *），那么数列{a n } （ ）

A ．是等比数列

B ．当p≠0时是等比数列

C ．当p≠0，p≠1时是等比数列

D ．不是等比数列

思路解析

利用等比数列的概念判断．首先根据S n =p n 求出数列{a n }的表达式，然后根据数列为等比数列的条件进行判定.

由S n =p n （p ∈R ，n ∈N *），得a 1=S 1=p ，并且当n≥2时，a n =S n -S n-1=p n -p n-1=（p-1）p n-1． 故a 2=（p-1）p ． 因此数列{a n }成等比数列等价于???????=--≠-≠--.)1()1(01021p p

p p p ，p ，

p n n 而1

2a a =p p p )1(-=p-1． 故满足条件的实数p 不存在，本题应选D.

答案：D

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此题易得出错误的判断，排除错误的方法是熟悉数列{a n }成等比数列的必要条件是a n ≠0（n ∈N *），还要注意对任意n ∈N *，n≥2，1

-n n a a 都为同一常数是其定义的准确含义．

例3．三个正数成等差数列，它们的和等于15，如果它们分别加上1，3，9就成为等比数列，求此三个数．

思路解析

因为所求三个数成等差数列，且其和已知，故可设这三个数为a-d ，a ，a+d ，再根据已知条件寻找关于a 、d 的方程，通过解方程组即可获解．

解：设所求三个数为a-d ，a ，a+d ，则?

??+++=+=+++).d 9(a )d -1(a )3(a ,15d a a d -a 2 解得a=5，

d=2．

故所求三个数为3，5，7．

绿色通道

此类问题一般设成等差数列的数为未知数，然后利用等比数列的知识建立等式求解．另外，对本题若设所求的三个数为a ，b ，c ，则列出三个方程求解，运算过程繁冗些．因此，在计算过程中，设的未知数个数应尽可能少．

例4．在等比数列{a n }中，已知a 4a 7=-512，a 3+a 8=124，且公比为整数，则a 10=________． 思路解析

利用若m+n=p+q （m 、n 、p 、q ∈N *），则a m ·a n =a p \5a q 求解．

解：由a 4a 7=-512，得a 3a 8=-512．

解方程组a 3a 8=-512，

a 3+a 8=124，得a 3=-4，

a 8=128或a 3=128，

a 8=-4.（舍）

∴q=553

8a a =-2． ∴a 10=a 3q 7=-4（-2）7=512．

答案：512

绿色通道

本例主要考查等比数列的性质及解方程组的能力，当然若将条件化为a 1，q 的形式，亦可求解，只不过麻烦一些罢了，因此，在解题时，要灵活运用性质解题．

例5．已知四个数，前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，中间两数之积为16，前后两数之积为-128，求这四个数．

思路解析

题中已知条件很多，涉及到的数共4个，存在着几种关系.合适地设四个数为解决本题的关键．设好未知数后，根据关系列出表达式，然后求解即可.

解：设所求四个数为q a 2-aq ，q

a ，aq ，aq 3． 则由已知得（q

a ）（aq ）=16， ① （q a 2）（aq 3）=-128， ②

由①得a 2=16，∴a=±4．

由②得2a 2q 2-a 2q 4=-128．

将a 2=16代入得q 4-q 2-8=0．

解得q 2=4，∴q=±2．

因此所求的四个数为-4，2，8，32或4，-2，-8，-32．

绿色通道

根据四个数前三个成等差数列，后三个成等比数列，列方程可利用a 、q 表示四个数，根据中间两数之积为16，将中间两数设为q

a 、aq ，这样既可使未知量减少，同时解方程也较为方便．

例6．已知数列{a n }的前n 项和S n =2a n +1，求证：数列{a n }是等比数列，并求出通项公式． 思路解析

要证数列是等比数列，关键是看a n 与a n-1之比是否为一常数，由题设还需利用a n =S n -S n-1（n≥2）求得a n ．

证明：∵S n =2a n +1，∴S n+1=2a n+1+1．

∴S n+1-S n =（2a n+1+1）-（2a n +1）=2a n+1-2a n .

∴a n+1=2a n ． ①

又∵S 1=a 1=2a 1+1，∴a 1=-1≠0．

由①知，a n ≠0，

∴由n

n a a 1+=2知，数列{a n }是等比数列，a n =-2n-1． 绿色通道

（1）本题证明，关键是用等比数列的定义，其中说明a n ≠0是非常重要的．证明中，也可以写出S n-1=2a n-1+1，从而得到a n =2a n-1，只能得到n≥2时，{a n }是等比数列，得到n≥2时，a n =-2n-1，再将n=1时，a 1=-1代入验证．

（2）证明一个数列是等比数列，常用方法是：①要证明一个数列{a n }是等比数列，只

要证明对于任意自然数n ，n

n a a 1+都等于同一个常数即可．②对于一个数列，除了首项和末项（有穷数列）外，任何一项都是它的前后两项的等比中项，则此数列是等比数列．