高中数学双曲线二级结论大全

双曲线二级结论大全

1.122PF PF a -=

2.标准方程22

221x y a b -= 3.11

1PF e d =>

4．点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的内角.

5．PT 平分△PF 1F 2在点P 处的内角，则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以实轴为直径的圆，除去实轴的两个端点.

6．以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相交.

7．以焦点半径PF 1为直径的圆必与以实轴为直径的圆外切.

8．设P 为双曲线上一点，则△PF 1F 2的内切圆必切于与P 在同侧的顶点.

9．双曲线22

221x y a b

-=（a ＞0,b ＞0）的两个顶点为1(,0)A a -,2(,0)A a ，与y 轴平行的直线交双曲线于P 1、

P 2时A 1P 1与A 2P 2交点的轨迹方程是22

221x y a b

+=.

10．若000(,)P x y 在双曲线22

1x y a b

-=（a ＞0,b ＞0）上，则过0P 的双曲线的切线方程是00221x x y y a b -=. 11．若000(,)P x y 在双曲线22

221x y a b -=（a ＞0,b ＞0）外，则过Po 作双曲线的两条切线切点为P 1、P 2，则

切点弦P 1P 2的直线方程是00221x x y y

a b -=.

12．AB 是双曲线22

221x y a b -=（a ＞0,b ＞0）的不平行于对称轴且过原点的弦，M 为AB 的中点，则

2OM AB b k k a

?=.

13．若000(,)P x y 在双曲线22

21x y a b

-=（a ＞0,b ＞0）内，则被Po 所平分的中点弦的方程是22

00002222x x y y x y a b a b

-=-. 14．若000(,)P x y 在双曲线

1x y a b -=（a ＞0,b ＞0）内，则过Po 的弦中点的轨迹方程是22002

222x x y y x y a b a b

-=-. 15．若PQ 是双曲线22

221x y a b

-=（b ＞ a ＞0）上对中心张直角的弦，则

122222121111(||,||)r OP r OQ r r a b +=-==. 16．若双曲线22

221x y a b

-=（b ＞a ＞0）上中心张直角的弦L 所在直线方程为1Ax By +=(0)AB ≠,则(1)

2211A B a b -=+

;(2) 2222||L a A b B =-. 17．给定双曲线1C ：22

b x a y a b -=（a ＞b ＞0）, 2C ：22

()a b b x a y ab a b

+-=-,则(i)对1C 上任意

给定的点00(,)P x y ,它的任一直角弦必须经过2C 上一定点M 2222

222(,)a b a b x y a b a b

++---. (ii)对2C 上任一点'''00(,)P x y 在1C 上存在唯一的点'M ,使得'M 的任一直角弦都经过'

P 点.

18．设00(,)P x y 为双曲线22

221x y a b

-=（a ＞0,b ＞0）上一点，P 1P 2为曲线C 的动弦,且弦PP 1, PP 2斜率存在，

记为k 1, k 2, 则直线P 1P 2通过定点00(,)M mx my -(1)m ≠的充要条件是2

12211m b k k m a

+?=

?-. 19．过双曲线22

221x y a b

-=（a ＞0,b ＞o ）上任一点00(,)A x y 任意作两条倾斜角互补的直线交双曲线于B,C

两点，则直线BC 有定向且20

20BC b x k a y =-（常数）.

20．双曲线22

221x y a b

-=（a ＞0,b ＞o ）的左右焦点分别为F 1，F 2，点P 为双曲线上任意一点12F PF γ∠=，

则双曲线的焦点角形的面积为122

cot 2F PF S b γ?=，2(cot )2

b P

c γ± .

21．若P 为双曲线22

221x y a b -=（a ＞0,b ＞0）右（或左）支上除顶点外的任一点,F 1, F 2是焦点, 12PF F α∠=,

21PF F β∠=，则

tan t 22c a co c a αβ-=+（或tan t 22c a co c a βα

-=+）. 22．双曲线22

221x y a b

-=（a ＞0,b ＞o ）的焦半径公式：1(,0)F c - , 2(,0)F c

当00(,)M x y 在右支上时，10||MF ex a =+,20||MF ex a =-.

当00(,)M x y 在左支上时，10||MF ex a =--,20||MF ex a =-+.

23．若双曲线22

221x y a b

-=（a ＞0,b ＞0）的左、右焦点分别为F 1、F 2，左准线为L ，则当1＜1时，

可在双曲线上求一点P ，使得PF 1是P 到对应准线距离d 1与PF 2的比例中项.

24．P 为双曲线22

221x y a b

-=（a ＞0,b ＞0）上任一点,F 1,F 2为二焦点，A 为双曲线左支内一定点，则

21||2||||AF a PA PF -≤+,当且仅当2,,A F P 三点共线且P 在左支时，等号成立.

25．双曲线22

221x y a b -=（a ＞0,b ＞0）上存在两点关于直线l ：0()y k x x =-对称的充要条件是

2222

0222()0a b a x k k a b k b +??>≠≠± ?-??

且.

26．过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线，与以长轴为直径的圆相交，则相应交点与相应焦点的连线必与切线垂直.

27．过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线交相应准线于一点，则该点与焦点的连线必与焦半径互相垂直. 28．P 是双曲线sec tan x a y b ?

=??

=?（a ＞0，b ＞0）上一点，则点P 对双曲线两焦点张直角的充要条件是

221

1tan e ?

29．设A,B 为双曲线2222x y k a b -=（a ＞0,b ＞0，0,1k k >≠）上两点，其直线AB 与双曲线22

221x y a b

-=相

交于,P Q ,则AP BQ =.

30．在双曲线22

221x y a b

-=中，定长为2m （0m >）的弦中点轨迹方程为

()()222222

222

2222221cosh sinh ,coth ,001sinh cosh coth ,00x y ay a t b t t x t a b bx m x y bx a t b t t y t a b ay ?????--+=-==??? ??????=??????--+=-==?? ???

????时，弦两端点在两支上

，时，弦两端点在同支上

31．设S 为双曲线22

221x y a b

-=（a ＞0,b ＞0）的通径，定长线段L 的两端点A,B 在双曲线右支上移动，记|AB|=l ，

00(,)M x y 是AB 中点，则当l S ≥Φ时，有20min ()2a l

x c e

+222(c a b =+,c e a =);当l S <Φ时，

有0min ()x =32．双曲线22221x y a b

-=（a ＞0,b ＞0）与直线0Ax By C ++=有公共点的充要条件是22222

A a

B b

C -≤.

33．双曲线22

0022

()()1x x y y a b

---=（a ＞0,b ＞0）与直线0Ax By C ++=有公共点的充要条件是2222200()A a B b Ax By C -≤++.

34．设双曲线22

221x y a b

-=（a ＞0,b ＞0）的两个焦点为F 1、F 2,P （异于长轴端点）为双曲线上任意一点，在

△PF 1F 2中，记12F PF α∠=, 12PF F β∠=,12

F F P γ∠=，则有sin (sin sin )c

e a αγβ==±-. 35．经过双曲线22

221x y a b

-=（a ＞0,b ＞0）的实轴的两端点A 1和A 2的切线，与双曲线上任一点的切线相交

于P 1和P 2，则2

1122||||PA P A b ?=. 36．已知双曲线22

221x y a b

-=（b ＞a ＞0），O 为坐标原点，P 、Q 为双曲线上两动点，且OP OQ ⊥.（1）

221111||||OP OQ a b +=-;（2）|OP|2+|OQ|2

的最小值为22224a b b a -;（3）OPQ S ?的最小值是2222a b b a -. 37．MN 是经过双曲线22

221x y a b

-=（a ＞0,b ＞0）过焦点的任一弦(交于两支)，若AB 是经过双曲线中心O

且平行于MN 的弦，则2

||2||AB a MN =.

38．MN 是经过双曲线22

221x y a b -=（a ＞b ＞0）焦点的任一弦(交于同支)，若过双曲线中心O 的半弦

OP MN ⊥，则22

22111

||||a MN OP b a -=-. 39．设双曲线22

221x y a b

-=（a ＞0,b ＞0）,M(m,o)为实轴所在直线上除中心，顶点外的任一点，过M 引一条

直线与双曲线相交于P 、Q 两点，则直线A 1P 、A 2Q(A 1 ,A 2为两顶点)的交点N 在直线l ：2

a x m

=上.

40．设过双曲线焦点F 作直线与双曲线相交 P 、Q 两点，A 为双曲线长轴上一个顶点，连结AP 和AQ 分

别交相应于焦点F 的双曲线准线于M 、N 两点，则MF ⊥NF.

41．过双曲线一个焦点F 的直线与双曲线交于两点P 、Q, A 1、A 2为双曲线实轴上的顶点，A 1P 和A 2Q 交于点M ，A 2P 和A 1Q 交于点N ，则MF ⊥NF.

42．设双曲线方程22

221x y a b

-=,则斜率为k(k≠0)的平行弦的中点必在直线l ：y kx =的共轭直线'y k x =上,

而且2'

2b kk a

43．设A 、B 、C 、D 为双曲线22

221x y a b

-=（a ＞0,b ＞o ）上四点,AB 、CD 所在直线的倾斜角分别为,αβ，

直线AB 与CD 相交于P,且P 不在双曲线上,则22222222||||cos sin ||||cos sin PA PB b a PC PD b a ββ

αα

?-=

?-. 44．已知双曲线22

221x y a b

-=（a ＞0,b ＞0）,点P 为其上一点F 1, F 2为双曲线的焦点，12F PF ∠的内（外）角

平分线为l ，作F 1、F 2分别垂直l 于R 、S ，当P 跑遍整个双曲线时，R 、S 形成的轨迹方程是

222x y a +=(()()

22222

222a y b x x c c y a y b x c ??-±??=-±). 45．设△ABC 三顶点分别在双曲线Γ上，且AB 为Γ的直径，l 为AB 的共轭直径所在的直线，l 分别交直线AC 、BC 于E 和F ，又D 为l 上一点，则CD 与双曲线Γ相切的充要条件是D 为EF 的中点.

46．过双曲线22

221x y a b

-=（a ＞0,b ＞0）的右焦点F 作直线交该双曲线的右支于M,N 两点，弦MN 的垂直

平分线交x 轴于P ，则

||||2

PF e

MN =. 47．设A （x 1 ,y 1）是双曲线22221x y a b -=（a ＞0,b ＞0）上任一点，过A 作一条斜率为21

b x a y 的直线L ，又设

d 是原点到直线 L 的距离, 12,r r 分别是A

ab =.

48．已知双曲线22221x y a b -=（a ＞0,b ＞0）和22

22x y a b

λ-=（01λ<< ），一条直线顺次与它们相交于A 、

B 、

C 、

D 四点，则│AB│=|CD│.

49．已知双曲线22

221x y a b

-=（a ＞0,b ＞0）,A 、B 是双曲线上的两点，线段AB 的垂直平分线与x 轴相交于

点0(,0)P x , 则220a b x a

+≥或22

0a b x a +≤-.

50．设P 点是双曲线22

221x y a b

-=（a ＞0,b ＞0）上异于实轴端点的任一点,F 1、F 2为其焦点记12F PF θ∠=，

则(1)2122||||1cos b PF PF θ

=-.(2) 122

cot 2PF F S b θ?=.

51．设过双曲线的实轴上一点B （m,o ）作直线与双曲线相交于P 、Q 两点，A 为双曲线实轴的左顶点，连

结AP 和AQ 分别交相应于过B 点的直线MN ：x n =于M ，N 两点,则

90MBN ∠=()2

222

()

a n m a m

a m

b n a --?=-++. 52．L 是经过双曲线22

221x y a b

-=（a ＞0,b ＞0）焦点F 且与实轴垂直的直线，A 、B 是双曲线的两个顶点，e

是离心率,点P L ∈，若APB α∠=，则α是锐角且1sin e α≤或1

sin arc e

α≤（当且仅当||PF b =时取等号）.

53．L 是经过双曲线22

221x y a b

-=（a ＞0,b ＞0）的实轴顶点A 且与x 轴垂直的直线，E 、F 是双曲线的准线

与x 轴交点,点P L ∈，e 是离心率，EPF α∠=，H 是L 与X 轴的交点c 是半焦距，则α是锐角且1

sin e

α≤

或1sin arc e α≤（当且仅当||ab

PA c =时取等号）.

54．L 是双曲线22

221x y a b

-=（a ＞0,b ＞0）焦点F 1且与x 轴垂直的直线，E 、F 是双曲线准线与x 轴交点，

H 是L 与x 轴的交点，点P L ∈，EPF α∠=,离心率为e ，半焦距为c ，则α为锐角且21

sin e

α≤或

21sin arc e α≤（当且仅当1||PF =时取等号）.

55．已知双曲线22

221x y a b

-=（a ＞0,b ＞0），直线L 通过其右焦点F 2,且与双曲线右支交于A 、B 两点，将A 、

B 与双曲线左焦点F 1连结起来，则222

112

(2)||||a b F A F B a +?≥（当且仅当AB ⊥x 轴时取等号）.

56．设A 、B 是双曲线22

221x y a b

-=（a ＞0,b ＞0）的长轴两端点，P 是双曲线上的一点，PAB α∠=,

PBA β∠=,BPA γ∠=，c 、e 分别是双曲线的半焦距离心率，则有(1)2222

2|cos |

|||s |

ab PA a c co αα=-.(2) 2

tan tan 1e αβ=-.(3) 222

2cot PAB a b S b a γ?=+. 57．设A 、B 是双曲线22

221x y a b

-=（a ＞0,b ＞0）实轴上分别位于双曲线一支内（含焦点的区域）、外部的

两点，且A x 、B x 的横坐标2A B x x a ?=，（1）若过A 点引直线与双曲线这一支相交于P 、Q 两点，则PBA QBA ∠=∠；（2）若过B 引直线与双曲线这一支相交于P 、Q 两点，则180PBA QBA ∠+∠=.

58．设A 、B 是双曲线22

221x y a b

-=（a ＞0,b ＞0）实轴上分别位于双曲线一支内（含焦点的区域），外部的

两点，（1）若过A 点引直线与双曲线这一支相交于P 、Q 两点，（若B P 交双曲线这一支于两点，则P 、Q 不关于x 轴对称），且PBA QBA ∠=∠，则点A 、B 的横坐标A x 、B x 满足2A B x x a ?=；（2）若过B 点引直线与双曲线这一支相交于P 、Q 两点，且180PBA QBA ∠+∠=,则点A 、B 的横坐标满足2A B x x a ?=.

59．设'

,A A 是双曲线22221x y a b -=的实轴的两个端点，'QQ 是与'AA 垂直的弦，则直线AQ 与''

AQ 的交点

P 的轨迹是双曲线22

221x y a b +=.

60．过双曲线22

221x y a b -=（a ＞0,b ＞0）的右焦点F 作互相垂直的两条弦AB 、CD,则

()2

228||||||

ab AB CD a b a b +≥≠-；

()2

2||||4c AB CD a a b a

+≥==

61．到双曲线22

221x y a b

-=（a ＞0,b ＞0）两焦点的距离之比等于c a b -（c 为半焦距）的动点M 的轨迹是姊

妹圆222()()x ec y eb ±+=.

62．到双曲线22

221x y a b

-=（a ＞0,b ＞0）的实轴两端点的距离之比等于c a b -（c 为半焦距）的动点M 的轨

迹是姊妹圆222()x c y b ±+=.

63．到双曲线22

221x y a b

-=（a ＞0,b ＞0）的两准线和x 轴的交点的距离之比为c a b -（c 为半焦距）的动点

的轨迹是姊妹圆22

2()()b x a y e ±+=（e 为离心率）.

64．已知P 是双曲线22

221x y a b

-=（a ＞0,b ＞0）上一个动点，',A A 是它实轴的两个端点,且

AQ AP ⊥,''

AQ A P ⊥，则Q 点的轨迹方程是222241x b y a a

-=.

65．双曲线的一条直径(过中心的弦)的长，为通过一个焦点且与此直径平行的弦长和实轴之长的比例中项.

66．设双曲线22221x y a b -=（a ＞0,b ＞0）实轴的端点为'

,A A ,11(,)P x y 是双曲线上的点过P 作斜率为2121

b x a y 的

直线l ，过'

,A A 分别作垂直于实轴的直线交l 于'

,M M ,则（1）'

||||AM AM b =.（2）四边形'

AMA M 面

积趋近于2ab .

67．已知双曲线22

221x y a b

-=（a ＞0,b ＞0）的右准线l 与x 轴相交于点E ，过双曲线右焦点F 的直线与双曲

线相交于A 、B 两点,点C 在右准线l 上，且BC x ⊥轴，则直线AC 经过线段EF 的中点.

68．OA 、OB 是双曲线

22()1x a y a b

--=（a ＞0,b ＞0,且a b ≠）的两条互相垂直的弦，O 为坐标原点，则（1）直线AB 必经过一个定点2

2(,0)ab b a

-.(2) 以O A 、O B 为直径的两圆的另一个交点Q 的轨迹方程是22222

2222()()ab ab x y b a b a

-+=--（除原点）。 69．(,)P m n 是双曲线22

2()1x a y a b

--=（a ＞0,b ＞0）上一个定点，P A 、P B 是互相垂直的弦，则（1）直线AB 必经过一个定点222222222

2()()

(,)ab m b a n a b b a b a

-++--.（2）以P A 、P B 为直径的两圆的另一个交点Q 的轨迹方程是

22224222222222222

[()]

()()()ab a m b n a b n a b x y b a b a b a -++-+-=

---(除P 点). 70．如果一个双曲线虚半轴长为b ，焦点F 1、F 2到直线L 的距离分别为d 1、d 2，那么（1）212d d b =，且

F 1、F 2在L 异侧?直线L 和双曲线相切,或L 是双曲线的渐近线.（2）212d d b >，且F 1、F 2在L 异侧?直线L 和双曲线相离，（3）212d d b <，或F 1、F 2在L 同侧?直线L 和双曲线相交.

71．AB 是双曲线22

221x y a b

-=（a ＞0,b ＞0）的实轴，N 是双曲线上的动点，过N 的切线与过A 、B 的切线

交于C 、D 两点，则梯形ABDC 的对角线的交点M 的轨迹方程是22

2241(0)x y y a b

-=≠.

72．设点00(,)P x y 为双曲线22

221x y a b

-=（a ＞0,b ＞0）的内部(（含焦点的区域）)一定点，AB 是双曲线过

定点00(,)P x y 的任一弦.

(1)如a b ≥,则当弦AB 垂直于双曲线实轴所在直线时222222

00min 2

()(||||)b x a y a b PA PB a --?=.

(2)如a b <,则当弦AB 平行（或重合）于双曲线实轴所在直线时, 222222

00min 2

()(||||)b x a y a b PA PB b

--?=. 73．双曲线焦三角形中,以焦半径为直径的圆必与以双曲线实轴为直径的圆相外切. 74．双曲线焦三角形的内切圆必切长轴于非焦顶点同侧的实轴端点. 75．双曲线两焦点到双曲线焦三角形内切圆的切线长为定值a+c 与c-a. 76．双曲线焦三角形的非焦顶点到其旁切圆的切线长为定值c-a. 77．双曲线焦三角形中,外点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数e(离心率). 注:在双曲线焦三角形中,非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、外点.

78．双曲线焦三角形中,其焦点所对的旁心将外点与非焦顶点连线段分成定比e. 79．双曲线焦三角形中,半焦距必为内、外点到双曲线中心的比例中项.

80．双曲线焦三角形中,双曲线中心到内点的距离、内点到同侧焦点的距离、半焦距及外点到同侧焦点的距离成比例.

81．双曲线焦三角形中,半焦距、外点与双曲线中心连线段、内点与同侧焦点连线段、外点与同侧焦点连线段成比例.

82．双曲线焦三角形中,过任一焦点向非焦顶点的内角平分线引垂线,则双曲线中心与垂足连线必与另一焦半径所在直线平行.

83．双曲线焦三角形中,过任一焦点向非焦顶点内角平分线引垂线,则双曲线中心与垂足的距离为双曲线实半轴的长.

84．双曲线焦三角形中,过任一焦点向非焦顶点的内角平分线引垂线,垂足就是垂足同侧焦半径为直径的圆和双曲线实轴为直径的圆的切点.

85．双曲线焦三角形中,非焦顶点的内角平分线与焦半径、实轴所在直线的夹角的余弦的比为定值e. 86．双曲线焦三角形中,非焦顶点的法线即为该顶角的外角平分线. 87．双曲线焦三角形中,非焦顶点的切线即为该顶角的内角平分线.

88．双曲线焦三角形中,过非焦顶点的切线与双曲线实轴两端点处的切线相交,则以两交点为直径的圆必过两焦点.

89.已知双曲线22

221(0,0)x y a b a b

-=>>上有一点P ，过P 分别引其渐近线的平行线，分别交x 轴于,M N ，

交y 轴于,R Q ， O 为原点，则：（1）2||||OM ON a ?=；（2）2||||OQ OR b ?=.

90. 过平面上的P 点作直线1:b l y x a =及2:b

l y x a

=-的平行线，分别交x 轴于,M N ，交y 轴于,R Q .（1）

若2||||OM ON a ?=，则P 的轨迹方程是22221(0,0)x y a b a b

-=>>.(2)若2

||||OQ OR b ?=，则P 的轨迹方

程是22

221(0,0)x y a b a b

-=>>.

91. 点P 为双曲线22

221(0,0)x y a b a b

-=>>在第一象限的弧上任意一点，过P 引x 轴、y 轴的平行线，交y

轴、x 轴于,M N ，交直线b y x a =-于,Q R ，记 OMQ ?与ONR ?的面积为12,S S ，则：12||2

S S -=.

92. 点P 为第一象限内一点，过P 引x 轴、y 轴的平行线，交y 轴、x 轴于,M N ，交直线b

y x a

于,Q R ，记 OMQ ?与ONR ?的面积为12,S S ，已知12||2ab S S -=，则P 的轨迹方程是22

221(0,0)x y a b a b

-=>>或

221(0,0)y x a b b a

-=>> 双曲线性质92条证明

1.双曲线第一定义。

2.由定义即可得双曲线标准方程。

3.双曲线第二定义。

4.设00(,)P x y 在第一象限，切线PT （即l ）的斜率为k ，1PF 所在直线1l 斜率为1k ，2PF 所在直线2l 斜率为

2k ，1PF 与PT 的夹角为α，2PF 与PT 的夹角为β。由两直线夹角公式12

tan 1k k k k θ-=

+得：

()()200

222222222222

000000012222222

00100000000000200tan 11y b x b a cx x c a y b x a y b x c a b b cx k k b b x y kk a x y a cy b x y c x y a cy c y cy a cx a y x c

α-++-++-======++++++?

()()200

222222222222

000000022222222

200000000000200tan 11b x y b a cx a y x c b x a y b x c a b b cx k k b b x y kk a x y a cy b x y c x y a cy c y cy a cx a y x c

β-------======+-+--+?-

,0,2

παβαβ??

∈∴= ??

同理可证其它情况。故切线PT 平分点P 处的内角。

5.不妨设P 在第一象限。作F 2关于切线PT 的对称点M ，由4可知M 在PF 1上，则1122F M PF PF a =-=，垂足H 为F 2M 的中点，则OH=12

F M

a =，同理可证其它情况。射影H 的轨迹是以实轴为直径的圆除去两端点。

6. 设P ，Q 两点到与焦点对应的准线的距离分别为12,d d ，以PQ 中点到准线的距离为d ，以PQ 为直径的圆的半径为r ，则1222d d PF FQ r

d r

e e

++=

==<，故以PQ 为直径的圆与对应准线相交。 7. 如图，两圆圆心距为211

2222

PF a PF PF d OM a a r +==

==+=+，故两圆外切。

高中数学二级结论贴吧整理

高中数学二级结论 1．任意的简单n面体内切球半径为3V/S表V是简单n面体的体积，S表是简单n面体的表面积， 2．在任意三角形内都有tanAtanBtanC=tanA+tanB+tanC，至于有什么用，，，:三个tan加起来如果是负的那就是钝角三角形了 3．矩阵和矩阵逆的行列式，特征值都互为倒数， 4．斜二测画法画出的图形面积变小了，为原来的√2/4倍 5．过椭圆准线上一点作椭圆切线，两切点所在直线必过椭圆相应焦点，椭圆准线广义称极线，那个是极线的性质之一 6．在做导数题的时候要熟练以下不等式便于放缩等。。。e^x≥x+1 lnx≤x-1 泰勒基数展开，这个常用，一般前一问有提示 7．球的体积：V(r)=(4/3pi)r^3 求导：V'R=4pir^2=表面积，，，神奇！:这个我们老师的解释是，球的体积可以看成无穷个表面积的积分，所以体积的微分就应该是表面积 8．椭圆的面积S=派ab 应该很难用上，直接换元，转换成圆，再换回去就行了 9．圆锥曲线切线，隐函数求导高考不让用:用于秒杀选择填空，大题找思路以及验证等x 不用处理 10．来个非常有用的，。过椭圆x2/a2+y2/b2上任意一点(x0,y0)的切线方程为xx0/a2+yy0/b2既用xx0替换x2用yy0替换y2。双曲线也一样这个椭圆切线的结论可以用的，同理圆、双曲线、抛物线的切线方程都可以直接用 11．来个比较少用，但是选择填空一考到你可以捞大把时间的⊙▽⊙。。。。过椭圆外一点(x0,y0)作椭圆的两条切线，过两切点的直线方程为xx0/a2+yy0/b2=1 这个叫做切点弦方程 12．分享个最最有用的。。椭圆x2/a2+y2/b2=1与直线Ax+By+C=0相切的条件是A2a2+B2b2=C2至于椭圆焦点在y轴上的情况，，。欢迎讨论把a、b换个位置就行了个最屌，双曲线的话上面的+号变-号，秒出答案 13．设双曲线方程x^2/a^2-y^2/b^2=1,双曲线焦点到渐近线距离为b 14．托密勒定理有道证明题用过这个 15．椭圆焦点三角形设顶角为A.焦点三角形面积为b平方tanA/2，双曲线是cot 16． 1.函数f(x)满足f(a+x)+f(b-x)=c的充要条件是函数关于((a+b)/2,c/2)中心对称 2.函数f(x)满足f(a+x)=f(b-x)的充要条件是函数关于x=(a+b)/2轴对称 3.L*Hospital*s rule 4.三角形中射影定理：a=bcosC+ccosB 5.任意三角形内切圆半径r=2S/(a+b+c) 6.任意三角形外切圆半径R=abc/4S=a/2sinA 7.Euler不等式：R>2r 8.海伦公式的变式：设三角形内切圆分三角形三边为不相邻的线段x,y,z则 S=sqrt(xyz(x+y+z))=1/4*sqrt(∑a∏(a+b-c)) 9.边角边面积公式：S=a^2sinBsinC/2sin(B+C) 10.各种三角恒等式 11.各种三角不等式： 1）在锐角三角形中成立不等式:∑sinA>∑cosA 2)嵌入不等式：x^2+y^2+z^2>=∑2yzcosA,x,y,z为实数 12.权方和不等式

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高中数学二级结论 1.任意的简单n 面体内切球半径为表 S V 3(V 是简单n 面体的体积，表S 是简单n 面体的表面积) 2.在任意ABC △内，都有tan A +tan B +tan C =tan A ·tan B ·tan C 推论：在ABC △内，若tan A +tan B +tan C <0，则ABC △为钝角三角形 3.斜二测画法直观图面积为原图形面积的 4 2倍 4.过椭圆准线上一点作椭圆的两条切线，两切点连线所在直线必经过椭圆相应的焦点 5.导数题常用放缩1+≥x e x 、1ln 11-≤≤-<- x x x x x 、)1(>>x ex e x 6.椭圆)0,0(122 22>>=+b a b y a x 的面积S 为πab S = 7.圆锥曲线的切线方程求法：隐函数求导推论：①过圆2 22)()(r b y a x =-+-上任意一点),(00y x P 的切线方程为200))(())((r b y b y a x a x =--+-- ①过椭圆)0,0(122 22>>=+b a b y a x 上任意一点),(00y x P 的切线方程为12020=+b yy a xx ①过双曲线)0,0(122 22>>=-b a b y a x 上任意一点),(00y x P 的切线方程为12020=-b yy a xx 8.切点弦方程：平面内一点引曲线的两条切线，两切点所在直线的方程叫做曲线的切点弦方程 ①圆02 2 =++++F Ey Dx y x 的切点弦方程为02 20000=+++++ +F E y y D x x y y x x ①椭圆)0,0(12222>>=+b a b y a x 的切点弦方程为12020=+b y y a x x ①双曲线)0,0(12222>>=-b a b y a x 的切点弦方程为12020=-b y y a x x ①抛物线)0(22 >=p px y 的切点弦方程为)(00x x p y y += ①二次曲线的切点弦方程为02 22000000=++++++++F y y E x x D y Cy x y y x B x Ax 9.①椭圆)0,0(122 22>>=+b a b y a x 与直线)0· (0≠=++B A C By Ax 相切的条件是22222C b B a A =+ ②双曲线)0,0(122 22>>=-b a b y a x 与直线)0· (0≠=++B A C By Ax 相切的条件是22222C b B a A =- 10.若A 、B 、C 、D 是圆锥曲线(二次曲线)上顺次四点,则四点共圆(常用相交弦定理)的一个充要条件是:直线AC 、

高中数学二级结论

1高中数学二级结论 1.任意的简单n 面体内切球半径为表 S V 3(V 是简单n 面体的体积，表S 是简单n 面体的表面积) 2.在任意ABC △内，都有tan A +tan B +tan C =tan A ·tan B ·tan C 推论：在ABC △内，若tan A +tan B +tan C <0，则ABC △为钝角三角形 3.斜二测画法直观图面积为原图形面积的 4 2倍 4.过椭圆准线上一点作椭圆的两条切线，两切点连线所在直线必经过椭圆相应的焦点 5.导数题常用放缩1+≥x e x 、1ln 11-≤≤-<- x x x x x 、)1(>>x ex e x 6.椭圆)0,0(122 22>>=+b a b y a x 的面积S 为πab S = 7.圆锥曲线的切线方程求法：隐函数求导推论：①过圆2 22)()(r b y a x =-+-上任意一点),(00y x P 的切线方程为2 00))(())((r b y b y a x a x =--+-- ②过椭圆)0,0(12222>>=+b a b y a x 上任意一点),(00y x P 的切线方程为12020=+b yy a xx ③过双曲线)0,0(12222>>=-b a b y a x 上任意一点),(00y x P 的切线方程为12020=-b yy a xx 8.切点弦方程：平面内一点引曲线的两条切线，两切点所在直线的方程叫做曲线的切点弦方程 ①圆02 2 =++++F Ey Dx y x 的切点弦方程为02 20000=+++++ +F E y y D x x y y x x ②椭圆)0,0(12222>>=+b a b y a x 的切点弦方程为12020=+b y y a x x ③双曲线)0,0(12222>>=-b a b y a x 的切点弦方程为12020=-b y y a x x ④抛物线)0(22 >=p px y 的切点弦方程为)(00x x p y y += ⑤二次曲线的切点弦方程为02 22000000=++++++++F y y E x x D y Cy x y y x B x Ax 9.①椭圆)0,0(122 22>>=+b a b y a x 与直线)0·(0≠=++B A C By Ax 相切的条件是22222C b B a A =+ ②双曲线)0,0(122 22>>=-b a b y a x 与直线)0·(0≠=++B A C By Ax 相切的条件是22222C b B a A =- 10.若A 、B 、C 、D 是圆锥曲线(二次曲线)上顺次四点,则四点共圆(常用相交弦定理)的一个充要条件是:直线AC 、

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高中数学二级结论 1、任意的简单n 面体内切球半径为表 S V 3(V 是简单n 面体的体积，表S 是简单n 面体的表面积) 2、在任意ABC △内，都有t a n A +t a n B +t a n C =t a n A ·t a n B ·t a n C 3、若a 是非零常数，若对于函数y ＝f(x )定义域内的任一变量x 点有下列条件之一成立，则函数y ＝f(x )是周期函数，且2|a |是它的一个周期。 ①f(x ＋a )＝f(x －a ) ②f(x ＋a )＝－f(x ) ③f(x ＋a )＝1/f(x ) ④f(x ＋a )＝－1/f(x ) 4、若函数y ＝f(x )同时关于直线x ＝a 与x ＝b 轴对称，则函数f(x )必为周期函数，且T ＝2|a －b| 5、若函数y ＝f(x )同时关于点（a ，0）与点（b ，0）中心对称，则函数f(x )必为周期函数，且T ＝2|a －b| 6、若函数y ＝f(x )既关于点（a ，0）中心对称，又关于直线x ＝b 轴对称，则函数f(x )必为周期函数，且T ＝4|a －b| 7、斜二测画法直观图面积为原图形面积的 4 2 倍 8、过椭圆准线上一点作椭圆的两条切线，两切点连线所在直线必经过椭圆相应的焦点 9、导数题常用放缩1+≥x e x 、1ln 1 1-≤≤-< -x x x x x 、)1(>>x ex e x 10、椭圆)0,0(122 22>>=+b a b y a x 的面积S 为πab S =

11、圆锥曲线的切线方程求法：隐函数求导推论：①过圆222)()(r b y a x =-+-上任意一点),(00y x P 的切线方程为 200))(())((r b y b y a x a x =--+-- ①过椭圆)0,0(122 22>>=+b a b y a x 上任意一点),(00y x P 的切线方程为 12 20=+b yy a xx ①过双曲线)0,0(122 22>>=-b a b y a x 上任意一点),(00y x P 的切线方程为 12 20=-b yy a xx 12、切点弦方程：平面内一点引曲线的两条切线，两切点所在直线的方程叫做曲线的切点弦方程 ① 圆 022=++++F Ey Dx y x 的切点弦方程为 02 20000=+++++ +F E y y D x x y y x x ①椭圆)0,0(12222>>=+b a b y a x 的切点弦方程为12020=+b y y a x x ①双曲线)0,0(12222>>=-b a b y a x 的切点弦方程为12020=-b y y a x x ①抛物线)0(22>=p px y 的切点弦方程为)(00x x p y y += ① 二次曲线的切点弦方程为 02 22000000=++++++++F y y E x x D y Cy x y y x B x Ax 13、①椭圆)0,0(122 22>>=+b a b y a x 与直线)0· (0≠=++B A C By Ax 相切的条件是

高中数学16个二级结论

高中数学16个二级结论结论一奇函数的最值性质已知函数f(x)是定义在集合D 上的奇函数,则对任意的x ∈D,都有f(x)+f(-x)=0.特别地,若奇函数f(x)在D 上有最值,则f(x)max +f(x)min =0,且若0∈D,则f(0)=0. 例1 设函数22(1)sin ()1 x x f x x ++=+的最大值为M,最小值为m,则M+m= .? 跟踪集训1.(1)已知函数2()ln(193)1f x x x =+-+,则1(lg 2)(lg )2 f f + =( ) (2)对于函数f(x)=asin x+bx+c(其中,a,b ∈R,c ∈Z),选取a,b,c 的一组值计算f(1)和f(-1),所得出的正确结果一定不可能是．．．．．．( )和6 和1 和4 和2 结论二函数周期性问题已知定义在R 上的函数f(x),若对任意的x ∈R,总存在非零常数T,使得f(x+T)=f(x),则称f(x)是周期函数,T 为其一个周期. 常见的与周期函数有关的结论如下: (1)如果f(x+a)=-f(x)(a≠0),那么f(x)是周期函数,其中的一个周期T=2a. (2)如果f(x+a)= 1 () f x (a≠0),那么f(x)是周期函数,其中的一个周期T=2a. (3)如果f(x+a)+f(x)=c(a≠0),那么f(x)是周期函数,其中的一个周期T=2a. (4)如果f(x)=f(x+a)+f(x-a)(a≠0),那么f(x)是周期函数,其中的一个周期T=6a. 例2 已知定义在R 上的函数f(x)满足f 3()2 x + =-f(x),且f(-2)=f(-1)=-1, f(0)=2,则f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2 014)+f(2 015)=( ) 跟踪集训2.(1)奇函数f(x)的定义域为R.若f(x+2)为偶函数,且f(1)=1,则f(8)+f(9)=( ) (2)定义在R 上的函数f(x)满足f(x)= 2log (1),0, (1)(2),0,x x f x f x x -≤??--->? 则f(2 014)=( )

专题117——震惊,史上最全双曲线二级结论大全

双曲线 1.122PF PF a -= 2.标准方程22 221x y a b -= 3.11 1PF e d => 4．点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的内角. 5．PT 平分△PF 1F 2在点P 处的内角，则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以实轴为直径的圆，除去实轴的两个端点. 6．以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相交. 7．以焦点半径PF 1为直径的圆必与以实轴为直径的圆外切. 8．设P 为双曲线上一点，则△PF 1F 2的内切圆必切于与P 在同侧的顶点. 9．双曲线22 221x y a b -=（a ＞0,b ＞0）的两个顶点为1(,0)A a -,2(,0)A a ，与y 轴平行的直线交双曲线于P 1、P 2时A 1P 1与A 2P 2交点的轨迹方程是22 221x y a b +=. 10．若000(,)P x y 在双曲线22 221x y a b -=（a ＞0,b ＞0）上，则过0P 的双曲线的切线方程是 00221x x y y a b -=. 11．若000(,)P x y 在双曲线22 221x y a b -=（a ＞0,b ＞0）外，则过Po 作双曲线的两条切线切点为P 1、P 2，则切点弦P 1P 2的直线方程是00221x x y y a b -=. 12．AB 是双曲线22 221x y a b -=（a ＞0,b ＞0）的不平行于对称轴且过原点的弦，M 为AB 的中点，则2 2OM AB b k k a ?=. 13．若000(,)P x y 在双曲线22 221x y a b -=（a ＞0,b ＞0）内，则被Po 所平分的中点弦的方程是 22 00002222x x y y x y a b a b -=-. 14．若000(,)P x y 在双曲线22 221x y a b -=（a ＞0,b ＞0）内，则过Po 的弦中点的轨迹方程是 22002222x x y y x y a b a b -=-. 15．若PQ 是双曲线22 221x y a b -=（b ＞a ＞0）上对中心张直角的弦，则 122222 121111(||,||)r OP r OQ r r a b +=-==. 16．若双曲线22 221x y a b -=（b ＞a ＞0）上中心张直角的弦L 所在直线方程为 1Ax By +=(0)AB ≠,则(1) 22 2211A B a b -=+ ;(2) L =.

高中数学双曲线二级结论大全

双曲线二级结论大全 1.122PF PF a -= 2.标准方程22 221x y a b -= 3.11 1PF e d => 4．点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的内角. 5．PT 平分△PF 1F 2在点P 处的内角，则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以实轴为直径的圆，除去实轴的两个端点. 6．以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相交. 7．以焦点半径PF 1为直径的圆必与以实轴为直径的圆外切. 8．设P 为双曲线上一点，则△PF 1F 2的内切圆必切于与P 在同侧的顶点. 9．双曲线22 221x y a b -=（a ＞0,b ＞0）的两个顶点为1(,0)A a -,2(,0)A a ，与y 轴平行的直线交双曲线于P 1、 P 2时A 1P 1与A 2P 2交点的轨迹方程是22 221x y a b +=. 10．若000(,)P x y 在双曲线22 22 1x y a b -=（a ＞0,b ＞0）上，则过0P 的双曲线的切线方程是00221x x y y a b -=. 11．若000(,)P x y 在双曲线22 221x y a b -=（a ＞0,b ＞0）外，则过Po 作双曲线的两条切线切点为P 1、P 2，则切点弦P 1P 2的直线方程是00221x x y y a b -=. 12．AB 是双曲线22 221x y a b -=（a ＞0,b ＞0）的不平行于对称轴且过原点的弦，M 为AB 的中点，则 2 2OM AB b k k a ?=. 13．若000(,)P x y 在双曲线22 2 21x y a b -=（a ＞0,b ＞0）内，则被Po 所平分的中点弦的方程是22 00002222x x y y x y a b a b -=-. 14．若000(,)P x y 在双曲线 22 22 1x y a b -=（a ＞0,b ＞0）内，则过Po 的弦中点的轨迹方程是22002 222x x y y x y a b a b -=-. 15．若PQ 是双曲线22 221x y a b -=（b ＞ a ＞0）上对中心张直角的弦，则 122222121111(||,||)r OP r OQ r r a b +=-==. 16．若双曲线22 221x y a b -=（b ＞a ＞0）上中心张直角的弦L 所在直线方程为1Ax By +=(0)AB ≠,则(1) 22 2211A B a b -=+ ;(2) 2222||L a A b B =-. 17．给定双曲线1C ：22 2 2 22 b x a y a b -=（a ＞b ＞0）, 2C ：22 2 2 2 2 22 2 ()a b b x a y ab a b +-=-,则(i)对1C 上任意

高中数学二级结论(精)

高中数学二级结论 1.任意的简单n 面体切球半径为表 S V 3(V 是简单n 面体的体积，表S 是简单n 面体的表面积) 2.在任意ABC △，都有tan A +tan B +tan C =tan A ·tan B ·tan C 推论：在ABC △，若tan A +tan B +tan C <0，则ABC △为钝角三角形 3.斜二测画法直观图面积为原图形面积的 4 2倍 4.过椭圆准线上一点作椭圆的两条切线，两切点连线所在直线必经过椭圆相应的焦点 5.导数题常用放缩1+≥x e x 、1ln 11-≤≤-<- x x x x x 、)1(>>x ex e x 6.椭圆)0,0(122 22>>=+b a b y a x 的面积S 为πab S = 7.圆锥曲线的切线方程求法：隐函数求导推论：①过圆2 2 2 )()(r b y a x =-+-上任意一点),(00y x P 的切线方程为200))(())((r b y b y a x a x =--+-- ②过椭圆)0,0(12222>>=+b a b y a x 上任意一点),(00y x P 的切线方程为12020=+b yy a xx ③过双曲线)0,0(12222>>=-b a b y a x 上任意一点),(00y x P 的切线方程为12020=-b yy a xx 8.切点弦方程：平面一点引曲线的两条切线，两切点所在直线的方程叫做曲线的切点弦方程 ①圆02 2 =++++F Ey Dx y x 的切点弦方程为02 20000=+++++ +F E y y D x x y y x x ②椭圆)0,0(12222>>=+b a b y a x 的切点弦方程为12020=+b y y a x x ③双曲线)0,0(12222>>=-b a b y a x 的切点弦方程为12020=-b y y a x x ④抛物线)0(22 >=p px y 的切点弦方程为)(00x x p y y += ⑤二次曲线的切点弦方程为02 22000000=++++++++F y y E x x D y Cy x y y x B x Ax 9.①椭圆)0,0(122 22>>=+b a b y a x 与直线)0·(0≠=++B A C By Ax 相切的条件是22222C b B a A =+ ②双曲线)0,0(122 22>>=-b a b y a x 与直线)0·(0≠=++B A C By Ax 相切的条件是22222C b B a A =- 10.若A 、B 、C 、D 是圆锥曲线(二次曲线)上顺次四点,则四点共圆(常用相交弦定理)的一个充要条件是:直线AC 、BD 的斜率存在且不等于零,并有0=+BD AC k k ,(AC k ,BD k 分别表示AC 和BD 的斜率)

高中数学二级结论

高中数学二级结论高中数学二级结论1.任意的简单n面体内切球半径为(V是简单n面体的体积，是简单n面体的表面积)2.在任意内，都有tanA+tanB+tanC=tanA·tanB·tanC推论：在内，若tanA+tanB+tanC，，14.任意满足的二次方程，过函数上一点的切线方程为15.已知f(x)的渐近线方程为y=ax+b，则，16.椭圆绕Ox坐标轴旋转所得的旋转体的体积为17.平行四边形对角线平方之和等于四条边平方之和18.在锐角三角形中19.函数f(x)具有对称轴，，则f(x)为周期函数且一个正周期为20.y=kx+m与椭圆相交于两点，则纵坐标之和为21.已知三角形三边x，y，z，求面积可用下述方法(一些情况下比海伦公式更实用，如，，)22.圆锥曲线的第二定义：椭圆的第二定义：平面上到定点F距离与到定直线间距离之比为常数e(即椭圆的偏心率，)的点的集合(定点F不在定直线上，该常数为小于1的正数)双曲线第二定义：平面内，到给定一点及一直线的距离之比大于1且为常数的点的轨迹称为双曲线23.到角公式：若把直线依逆时针方向旋转到与第一次重合时所转的角是，则24.A、B、C三点共线(同时除以m+n)25.过双曲线上任意一点作两条渐近线的平行线，与渐近线围成的四边形面积为26.反比例函数为双曲线，其焦点为和，k定义：方程的根称为函数的不动点利用递推数列的不动点，可将某些递推关系所确定的数列化为等比数列或较易求通项的数列，这种方法称为不动点法定理1：若是的不动点，满足递推关系，则，即是公比为的等比数列.定理2：设，满足递推关系，初值条件(1)若有两个相异的不动点，则（这里） (2)若只有唯一不动点，则（这里）定理3：设函数有两个不同的不动点,且由确定着数列,那么当且

高中数学二级结论(精)

高中数学二级结论 1.任意的简单n 面体内切球半径为表 S V 3(V 是简单n 面体的体积，表S 是简单n 面体的表面积) 2.在任意ABC △内，都有tan A +tan B +tan C =tan A ·tan B ·tan C 推论：在ABC △内，若tan A +tan B +tan C <0，则ABC △为钝角三角形 3.斜二测画法直观图面积为原图形面积的 4 2倍 4.过椭圆准线上一点作椭圆的两条切线，两切点连线所在直线必经过椭圆相应的焦点 5.导数题常用放缩1+≥x e x 、1ln 11-≤≤-<- x x x x x 、)1(>>x ex e x 6.椭圆)0,0(122 22>>=+b a b y a x 的面积S 为πab S = 7., 8.圆锥曲线的切线方程求法：隐函数求导推论：①过圆222)()(r b y a x =-+-上任意一点),(00y x P 的切线方程为2 00))(())((r b y b y a x a x =--+-- ②过椭圆)0,0(12222>>=+b a b y a x 上任意一点),(00y x P 的切线方程为12020=+b yy a xx ③过双曲线)0,0(12222>>=-b a b y a x 上任意一点),(00y x P 的切线方程为12020=-b yy a xx 9.切点弦方程：平面内一点引曲线的两条切线，两切点所在直线的方程叫做曲线的切点弦方程 ①圆02 2 =++++F Ey Dx y x 的切点弦方程为02 20000=+++++ +F E y y D x x y y x x ②椭圆)0,0(12222>>=+b a b y a x 的切点弦方程为12020=+b y y a x x ③双曲线)0,0(12222>>=-b a b y a x 的切点弦方程为12020=-b y y a x x ~ ④抛物线)0(22 >=p px y 的切点弦方程为)(00x x p y y += ⑤二次曲线的切点弦方程为02 22000000=++++++++F y y E x x D y Cy x y y x B x Ax 10.①椭圆)0,0(122 22>>=+b a b y a x 与直线)0·(0≠=++B A C By Ax 相切的条件是22222C b B a A =+ ②双曲线)0,0(122 22>>=-b a b y a x 与直线)0·(0≠=++B A C By Ax 相切的条件是22222C b B a A =-

高中数学椭圆性质92条二级结论大全

椭圆性质92条二级结论大全 1.12 2PF PF a += 2.标准方程22 221x y a b += 3.11 1PF e d =< 4．点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角. 5．PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角，则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点. 6．以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相离. 7．以焦点半径PF 1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切. 8．设A 1、A 2为椭圆的左、右顶点，则△PF 1F 2在边PF 2（或PF 1）上的旁切圆，必与A 1A 2所在的直线切于A 2（或A 1）. 9．椭圆22 221x y a b +=（a ＞b ＞0）的两个顶点为1(,0)A a -,2(,0)A a ，与y 轴平行的直线交椭圆于P 1、P 2时 A 1P 1与A 2P 2交点的轨迹方程是22 221x y a b -=. 10．若000(,)P x y 在椭圆22 221x y a b +=上，则过0P 的椭圆的切线方程是00221x x y y a b +=. 11．若000(,)P x y 在椭圆22 221x y a b +=外，则过Po 作椭圆的两条切线切点为P 1、P 2，则切点弦P 1P 2的直线方程是00221x x y y a b +=. 12．AB 是椭圆22 221x y a b +=的不平行于对称轴的弦，M 为AB 的中点，则22OM AB b k k a ?=-. 13．若000(,)P x y 在椭圆22 221x y a b +=内，则被Po 所平分的中点弦的方程是2200002222x x y y x y a b a b +=+. 14．若000(,)P x y 在椭圆22 221x y a b +=内，则过Po 的弦中点的轨迹方程是22002222x x y y x y a b a b +=+. 15．若PQ 是椭圆22 221x y a b +=（a ＞b ＞0）上对中心张直角的弦，则122222121111(||,||)r OP r OQ r r a b +=+==. 16．若椭圆22 221x y a b +=（a ＞b ＞0）上中心张直角的弦L 所在直线方程为1Ax By +=(0)AB ≠,则(1) 22 22 11A B a b +=+ ;(2) L = 17．给定椭圆1C ：2 2 2 2 22 b x a y a b +=（a ＞b ＞0）, 2C ：222222 2 22 ()a b b x a y ab a b -+=+,则(i)对1C 上任意给定的点00(,)P x y ,它的任一直角弦必须经过2C 上一定点M 2222 002 222(,)a b a b x y a b a b ---++. (ii)对2C 上任一点'''00(,)P x y 在1C 上存在唯一的点'M ,使得'M 的任一直角弦都经过' P 点. 18．设00(,)P x y 为椭圆（或圆）C:22 221x y a b += (a ＞0,. b ＞0)上一点，P 1P 2为曲线C 的动弦,且弦PP 1, PP 2 斜率存在，记为k 1, k 2, 则直线P 1P 2通过定点00(,)M mx my -(1)m ≠的充要条件是2 12211m b k k m a +?=- ?-.

双曲线二级结论大全

高中数学椭圆二级结论大全

椭圆二级结论大全 1.122PF PF a += 2.标准方程22 221x y a b += 3. 11 1PF e d =< 4．点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角. 5．PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角，则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点. 6．以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相离. 7．以焦点半径PF 1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切. 8．设A 1、A 2为椭圆的左、右顶点，则△PF 1F 2在边PF 2（或PF 1）上的旁切圆，必与A 1A 2所在的直线切于A 2（或A 1）. 9．椭圆22 221x y a b +=（a ＞b ＞0）的两个顶点为1(,0)A a -,2(,0)A a ，与y 轴平行的直线交椭圆于P 1、P 2时 A 1P 1与A 2P 2交点的轨迹方程是22 221x y a b -=. 10．若000(,)P x y 在椭圆22 22 1x y a b +=上，则过0 P 的椭圆的切线方程是00221x x y y a b +=. 11．若000(,)P x y 在椭圆22 221x y a b +=外，则过Po 作椭圆的两条切线切点为P 1、P 2，则切点弦P 1P 2的直线方程是00221x x y y a b +=. 12．AB 是椭圆22221x y a b +=的不平行于对称轴的弦，M 为AB 的中点，则2 2OM AB b k k a ?=-. 13．若000(,)P x y 在椭圆22 221x y a b +=内，则被Po 所平分的中点弦的方程是2200002222x x y y x y a b a b +=+. 14．若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b +=内，则过Po 的弦中点的轨迹方程是22002222x x y y x y a b a b += +. 15．若PQ 是椭圆22221x y a b +=（a ＞b ＞0）上对中心张直角的弦，则122222121111 (||,||)r OP r OQ r r a b +=+==. 16．若椭圆22 221x y a b +=（a ＞b ＞0）上中心张直角的弦L 所在直线方程为1Ax By +=(0)AB ≠,则(1) 22 2211A B a b +=+ ;(2) L =. 17．给定椭圆1C ：22 2 2 22 b x a y a b +=（a ＞b ＞0）, 2C ：222 2 2 2 2 22 ()a b b x a y ab a b -+=+,则(i)对1C 上任意给定的点00(,)P x y ,它的任一直角弦必须经过2C 上一定点M 2222 02 222(,)a b a b x y a b a b ---++. (ii)对2C 上任一点'''00(,)P x y 在1C 上存在唯一的点'M ,使得'M 的任一直角弦都经过' P 点. 18．设00(,)P x y 为椭圆（或圆）C:22 221x y a b += (a ＞0,. b ＞0)上一点，P 1P 2为曲线C 的动弦,且弦PP 1, PP 2 斜率存在，记为k 1, k 2, 则直线P 1P 2通过定点00(,)M mx my -(1)m ≠的充要条件是2 12211m b k k m a +?=- ?-.

(完整版)高中数学常用二级结论大全

高中数学常用二级结论大全、基础常用结论

、圆锥曲线相关结论

17.若A、B、C、D是圆锥曲线（二次曲线）上顺次的四点,则四点共恻（常用相交弦定理）的一个充要条件是：直线AC. BD的斜率存在且不等于零，并有k AC+^D= O（ΛJC,血ω分别表示XC和BD的斜率）? 2 2 1?.己知椭圆方程为? + ? = l（^>Λ>0）,两焦点分/ Zr 别为林，耳，设焦点三角形P斤坊中ZPF y F2=O,则cos 0 > 1 - 2e2（COS θmm =l-2e2）. 19?椭圆的焦半径（椭圆的一个焦点到椭圆上一点横坐标为Xo的点P的距离）公式η2=a±ex0. 20.已知Λ1, k2.他为过原点的直线A，厶，厶的斜率, 其中厶是厶和厶的角平分线，则k2,柑满足下述转化关系：、k；, k二2人一人+k 1 1 一疋 + 2k^k. 斤禹- 1 ± J（l-*∣爲）'十仗］十*3）' 1 一疋÷2Zr∣Λ2 χ2 y2 21?椭圆—÷? = l（α>?>0）绕OX坐标轴旋转所得的旋转体的体枳为V = ^πah. X? V2 22.过双曲线一y-^-r= l（α>O,Λ>O）I:任意一点作a~ b~ 两条渐近线的平行线?与渐近线围成的四边形而积为 ah ~2

23.过椭圆上?点做斜率互为相反数的两条直线交椭圆于/L 3两点，则直线的斜率为定值. 24.过原点的直线与椭闘交于力，〃两点，椭圆上不与左右顶点璽合的任?点与点〃，〃构成的直线的斜率乘积为定值- 推论：椭圆上不与左右顶点巫合的任一点与左右顶点构 2 成的直线斜率乘积为定值一一（α >A>0）. Ir 25.抛物线焦点弦的中点，在准线上的射影与焦点F的连线垂直于该焦点弦? 26.双曲线焦点三角形的内切IHll员I心的横堆标为定值α（长半轴长）? 27.对任意圆锥曲线，过其上任意一点作两逍线，若两直线斜率之积为定值，两直线交曲线于〃两点，则直线MB恒过定点. X V- 28?M+"与椭圆h*W">°）相交于两 29.圆锥曲线的第二定义：椭圆的第二定义：平面上到定点F距离与到定直线间距离之比为常数e（即椭関的偏心率，e = -）的点的集a 合（定点F不在定直线上，该常数为小于1的正数）?双曲线第二定义：平面内，到给定一点及一也线的距离之比大于1 R为常数e的点的轨迹称为双曲线. 3U.反比例函数y = -（k>Q）为双曲线.其焦点为X （J2k, J2k）和（—（2k、-（2k） , A<0. 点, 则纵坐标之和为2ιnh~ a2k2^b2

高考数学二级结论整理总结

高中数学二级结论总结 1.任意的简单n 面体内切球半径为表 S V 3(V 是简单n 面体的体积，表S 是简单n 面体的表面积) 2.在任意ABC △内，都有tan A +tan B +tan C =tan A ·tan B ·tan C 推论：在ABC △内，若tan A +tan B +tan C <0，则ABC △为钝角三角形 3.斜二测画法直观图面积为原图形面积的 4 2倍 4.过椭圆准线上一点作椭圆的两条切线，两切点连线所在直线必经过椭圆相应的焦点 5.导数题常用放缩1+≥x e x 、1ln 11-≤≤-<- x x x x x 、)1(>>x ex e x 6.椭圆)0,0(122 22>>=+b a b y a x 的面积S 为πab S = 7.圆锥曲线的切线方程求法：隐函数求导推论：①过圆2 22)()(r b y a x =-+-上任意一点),(00y x P 的切线方程为200))(())((r b y b y a x a x =--+-- ②过椭圆)0,0(122 22>>=+b a b y a x 上任意一点),(00y x P 的切线方程为12020=+b yy a xx ③过双曲线)0,0(122 22>>=-b a b y a x 上任意一点),(00y x P 的切线方程为12020=-b yy a xx 8.切点弦方程：平面内一点引曲线的两条切线，两切点所在直线的方程叫做曲线的切点弦方程 ①圆02 2 =++++F Ey Dx y x 的切点弦方程为02 20000=+++++ +F E y y D x x y y x x ②椭圆)0,0(12222>>=+b a b y a x 的切点弦方程为12020=+b y y a x x ③双曲线)0,0(12222>>=-b a b y a x 的切点弦方程为12020=-b y y a x x ④抛物线)0(22 >=p px y 的切点弦方程为)(00x x p y y += ⑤二次曲线的切点弦方程为02 22000000=++++++++F y y E x x D y Cy x y y x B x Ax 9.①椭圆)0,0(122 22>>=+b a b y a x 与直线)0· (0≠=++B A C By Ax 相切的条件是22222C b B a A =+ ②双曲线)0,0(122 22>>=-b a b y a x 与直线)0· (0≠=++B A C By Ax 相切的条件是22222C b B a A =- 10.若A 、B 、C 、D 是圆锥曲线(二次曲线)上顺次四点,则四点共圆(常用相交弦定理)的一个充要条件是:直线AC 、BD 的斜率存在且不等于零,并有0=+BD AC k k ,(AC k ,BD k 分别表示AC 和BD 的斜率)

高中数学考点总结10个二级结论高效解题

结论1奇函数的最值性质已知函数f(x)是定义在区间D上的奇函数，则对任意的x∈D，都有f(x)＋f(－x)＝0.特别地，若奇函数f(x)在D上有最值，则f(x)max＋f(x)min＝0，且若0∈D，则f(0)＝0. 【例1】设函数f(x)＝（x＋1）2＋sin x x2＋1 的最大值为M，最小值为m，则M＋m＝________. 解析显然函数f(x)的定义域为R， f(x)＝（x＋1）2＋sin x x2＋1 ＝1＋ 2x＋sin x x2＋1 ，设g(x)＝2x＋sin x x2＋1 ，则g(－x)＝－g(x)， ∴g(x)为奇函数，由奇函数图象的对称性知g(x)max＋g(x)min＝0， ∴M＋m＝[g(x)＋1]max＋[g(x)＋1]min＝2＋g(x)max＋g(x)min＝2. 答案 2 【训练1】对于函数f(x)＝a sin x＋bx＋c(其中a，b∈R，c∈Z)，选取a，b，c的一组值计算f(1)和f(－1)，所得出的正确结果一定不可能是() A.4和6 B.3和1 C.2和4 D.1和2 解析令g(x)＝f(x)－c＝a sin x＋bx，则g(x)是奇函数. 又g(－1)＋g(1)＝f(－1)－c＋f(1)－c＝f(－1)＋f(1)－2c，而g(－1)＋g(1)＝0，c为整数， ∴f(－1)＋f(1)＝2c为偶数. 选项D中，1＋2＝3是奇数，不可能成立. 答案 D

结论2抽象函数的周期性与对称性 1.函数的周期性 (1)如果f(x＋a)＝－f(x)(a≠0)，那么f(x)是周期函数，其中一个周期T＝2a. (3)如果f(x＋a)＋f(x)＝c(a≠0)，那么f(x)是周期函数，其中的一个周期T＝2a. 2.函数的对称性已知函数f(x)是定义在R上的函数. －x)恒成立，则y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称. (2)若函数y＝f(x)满足f(a＋x)＋f(a－x)＝0，即f(x)＝－f(2a－x)，则f(x)的图象关于点(a，0)对称. 【例2】(1)已知函数f(x)为定义在R上的奇函数，当x≥0时，有f(x＋3)＝－f(x)，且当x∈(0， 3)时，f(x)＝x＋1，则f(－2 017)＋f(2 018)＝() A.3 B.2 C.1 D.0 (2)(2018·日照调研)函数y＝f(x)对任意x∈R都有f(x＋2)＝f(－x)成立，且函数y＝f(x－1)的图象关于点(1，0)对称，f(1)＝4，则f(2 016)＋f(2 017)＋f(2 018)的值为________. 解析(1)因为函数f(x)为定义在R上的奇函数，所以f(－2 017)＝－f(2 017)，因为当x≥0时，有f(x＋3)＝－f(x)，所以f(x＋6)＝－f(x＋3)＝f(x)，即当x≥0时，自变量的值每增加6，对应函数值重复出现一次. 又当x∈(0，3)时，f(x)＝x＋1， ∴f(2 017)＝f(336×6＋1)＝f(1)＝2， f(2 018)＝f(336×6＋2)＝f(2)＝3. 故f(－2 017)＋f(2 018)＝－f(2 017)＋3＝1. (2)因为函数y＝f(x－1)的图象关于点(1，0)对称，所以f(x)是R上的奇函数， f(x＋2)＝－f(x)，所以f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，故f(x)的周期为4. 所以f(2 017)＝f(504×4＋1)＝f(1)＝4，所以f(2 016)＋f(2 018)＝－f(2 014)＋f(2 014＋4)