河北省普通高中学业水平考试
河北省普通高中学业水平考试
数学
注意事项：
1．本试卷共4页，30道小题，总分100分，考试时间120分钟．
2．所有答案在答题卡上作答，在本试卷和草稿纸上作答无效．答题前请仔细阅读答题卡上的“注意事项”，按照“注意事项”的规定答题．
3．做选择题时，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，请用橡皮将原选涂答案擦干净，再选涂其它答案．
4．考试结束后，请将本试卷与答题卡一并收回．
一、选择题（本题共22道小题，1－10题，每题2分，11－22题，每题3分，共56分．在
每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．直线2x－y＋1＝0的斜率为
A．1
2
B．2 C．－
1
2
D．－2
2．半径为3的球的体积等于
A．9π B．12πC．36πD．54π3．已知集合M＝{x|x＞－1}，下列关系式正确的是
A．{0}?M B．0?M C．{0}∈M D．?∈M
4．在等差数列{a n}中，a
2＝2，a
5
＝10，则a
8
＝
A．16 B．18 C．20 D．50
5．不等式1
x
≥2的解集是
A．{x|0＜x≤2} B．{x|x≥12}C．{x|x≤12}D．{x|0＜x≤12}
6．函数y＝2x－1的值域是
A．(0，＋∞) B．(－1，＋∞) C．(1，＋∞) D．(12，＋∞)
7．已知sin x＝3
5
，且
π
2
＜x＜π，则tan x＝
A ．
4
5 B ．－
4
5 C ．
3
4
D ．－
3
4
8．函数f (x )＝2x
＋x －2的零点所在的区间是
A ．(－1，0)
B ．(0，1)
C ．(1，2)
D ．(2，3)
9．一个正三棱柱的三视图如图所示，则这个正三棱柱的高和底面边长分别为 A ．1， 3
B ．2，1
C ．2，1
D ．1，2
10．点P (x ，y )在直线x ＋y －4＝0上，O 是坐标原点，则|OP |的最小值是 A ．7
B ．6
C ．22
D ．5
11．从装有3个红球、2个白球的口袋里随机取出一个球，得到红球的概率是 A ．
1
5
B ．
2
5
C ．
3
5
D ．1
12．等边三角形ABC 的边长为2，则AB →·BC →＝ A ．－2
B ．2
C ．－2 3
D ．2 3
13．若a ＞b ，则下列不等式一定成立的是 A ．ac ＞bc
B ．a 2
＞b 2
C ．a ＋c ＞b ＋c
D ．
1
a ＜
1
b
14．函数y ＝3sin (2x ＋
π
6
)（x ∈R ）图象的一条对称轴方程是
A ．x ＝0
B ．x ＝－π
12
C ．x ＝
π
6
D ．x ＝
π
3
15．按右图表示的算法，若输入一个小于10的整数n ，则输出n
的值是 A ．9 B ．10 C ．11
D ．110
正视图
侧视图
俯视图
16．函数y ＝sin (x －
π
3
)（x ∈R ）的一个单调递增区间为 A ．[－2π3，
π
3
]
B ．[－
π
6，5π
6
]
C ．[
π
3，4π3
]
D ．[
5π6，11π6
] 17．已知数列{a n }，a n ＝2n
＋1，那么数列{a n }的前10项和为 A ．211
＋8
B ．211
－1
C ．210
＋9
D ．210
－2
18．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且(a ＋b ＋c )(b ＋c －a )＝bc ，则
A ＝
A ．30?
B ．60?
C ．120?
D ．150?
19．已知实数x ，y 满足?????x ≥0，y ≥0，x ＋4y ≥4，
则目标函数z ＝x ＋y 的最小值是
A ．0
B ．5
C ．4
D ．1
20．某单位共有职工120人，其中男职工90人，现采用分层抽样（按男、女分层）的方
法抽取一个样本，该样本中有9名女职工，则样本容量为 A ．27 B ．36 C ．40 D ．44
21．如图,在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别为棱AB 和AA 1的中点，则直线EF 与平面ACC 1A 1所成的角等于 A ．30? B ．45? C ．60?
D ．90?
22．定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x ＋2)＝f (x )＋1，则f (5)＝ A ．0
B ．1
C ．
1
2
D ．
5
2
二、填空题（本大题共4道小题，每小题3分，满分12分）（注意：在试题卷上作答无．．．．．．．．．．．效．
） 23．sin 165?·cos 15?＝_________．
24．已知向量a ＝(－2，3)，b ＝(x ，－6)，若a ⊥b ，则x ＝___________． 25．函数f (x )＝lg (x 2
－1)的定义域是___________．
26．设有穷数列{a n }的前n 项和为S n ，定义数列{a n }的期望和为T n ＝
S 1＋S 2＋…＋S n
n
，若数
列a 1，a 2，…，a 9的期望和T 9＝100，则数列2，a 1，a 2，…，a 9的期望和T 10＝________．
D
1
A 1 A
D
C 1
B 1
B
C
F
三、解答题（本大题共4道小题，满分32分．解答应写出文字说明、演算步骤或证明过
程）
27．（本小题满分8分）
已知函数f(x)＝(sin x－cos x)2＋m，x∈R．
（Ⅰ）求f(x)的最小正周期；
（Ⅱ）若f(x)的最大值为3，求m的值．
28．（本小题满分8分）
数列{a n}的前n项和S n满足3S n＝a n＋4（n∈N*）．
（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；
（Ⅱ）若等差数列{b n}的公差为3，且b
2a
5
＝－1，求数列{b n}的前n项和T n的最小值．
29．（本小题满分8分）
PM2.5是指大气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物，也称为可入肺颗粒物．我国PM2.5标准采用世卫组织设定的最宽限值，PM2.5日均值在35微克/立方米及其以下空气质量为一级，在35微克/立方米～75微克/立方米之间空气质量为二级，在75微克/立方米及其以上空气质量为超标．
某试点城市环保局从该市市区2011年全年每天的PM2.5监测数据中随机抽取6天的数据作为样本，监测值如茎叶图所示（十位为茎，个位为叶），若从这6天的数据中随机抽出2天．
（Ⅰ）求恰有一天空气质量超标的概率；
（Ⅱ）求至多有一天空气质量超标的概率．30．（本小题满分8分）
8
3
4
7
9
3
1
93
7
PM2.5日均值(微克/m3)
已知动点P 与两个定点E (1，0)，F (4，0)的距离之比是 1
2
．
（Ⅰ）求动点P 的轨迹C 的方程；
（Ⅱ）直线l ：y ＝kx ＋3与曲线C 交于A ，B 两点，在曲线C 上是否存在点M ，使得四边形OAMB （O 为坐标原点）为菱形，若存在，求出此时直线l 的斜率；若不存在，说明理由．
答 案
一、选择题
BCABD
ADBDC
CACCB
BACDB
AD
二、填空题
23．
1
4
24．－9 25．(－∞，－1)∪(1，＋∞) 26．92
三、解答题
27．解：（Ⅰ）f (x )＝(sin x －cos x )2
＋m ＝m ＋1－sin2x ， 所以f (x )的最小正周期为T ＝2π
2＝π． ………………4分
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，当sin2x ＝－1时，f (x )取最大值， 故有m ＋2＝3，得m ＝1．
………………8分
28．解：（Ⅰ）由3S n ＝a n ＋4，得3S n －1＝a n －1＋4，两式相减，得 3(S n －S n －1)＝(a n ＋4)－(a n －1＋4)＝a n －a n －1，整理，得
a n a n －1＝－
1
2
（n ≥2）．
又3a 1＝a 1＋4，得a 1＝2，所以数列{a n }是以2为首项，以－
1
2为公比的等比数列，
故有a n ＝2×(
－
1
2
)
n －1
．
………………4分
（Ⅱ）由已知，得b 2＝－
1
a 5
＝－8，又等差数列{b n }的公差d ＝3，
故b n ＝b 2＋(n －2)d ＝3n －14，因此当n ≤4时，b n ＜0，当n ≥5时，b n ＞0， 所以n ＝4时，{b n }的前n 项和T n 最小， 最小值为T 4＝4(b 1＋b 4)
2
＝－26．
………………8分
29．解：由茎叶图知：6天有4天空气质量未超标，有2天空气质量超标．
记未超标的4天为a ，b ，c ，d ，超标的两天为e ，f ．则从6天中抽取2天的所有情况为：
ab ，ac ，ad ，ae ，af ，bc ，bd ，be ，bf ，cd ，ce ，cf ，de ，df ，ef ，基本事件数为15。…
2分
（Ⅰ）记“6天中抽取2天，恰有1天空气质量超标”为事件A ，
可能结果为：ae ，af ，be ，bf ，ce ，cf ，de ，df ，基本事件数为8．∴P (A )＝815
． (5)
分
（Ⅱ）记“至多有一天空气质量超标”为事件B ，“2天都超标”为事件C ，其可能结果为
ef ，
故P (C )＝115，∴P (B )＝1－P (C )＝14
15．
…………………8分
30．解：（Ⅰ）设点P (x ，y )，由
(x －1)2
＋y
2
(x －4)2＋y 2
＝
1
2
， 化简，得轨迹C 的方程是：x 2
＋y 2
＝4．
…………………4分
（Ⅱ）因为直线l ：y ＝kx ＋3与圆x 2
＋y 2
＝4相交于A ，B 两点， 所以
|3|
1＋k
2
＜2，解得k ＞52或k ＜－5
2
． 假设存在点M ，使得四边形OAMB 为菱形，则OM 与AB 互相垂直且平分，所以原点O 到直
线l ：y ＝kx ＋3的距离为d ＝
1
2|OM |＝1．所以|3|1＋k
2
＝1，解得k 2
＝8，即k ＝±22
，经验证满足条件．
所以存在两点M ，使得四边形OAMB 为菱形． …………………8分