概率论与统计(第三版)复旦大学版第四章课后习题答案
习题四
1.设随机变量X 的分布律为
求E (X ),E (X ),E (2X +3). 【解】(1) 11111
()(1)012;82842
E X =-?
+?+?+?= (2) 22
22211115()(1)012;82844
E X =-?+?+?+?=
(3) 1
(23)2()32342
E X E X +=+=?+=
2.已知100个产品中有10个次品,求任意取出的5个产品中的次品数的数学期望、方差.
故 ()0.58300.34010.07020.0073E X =?
+?+?+?+?+?
0.501,= 5
2
()[(
)]i
i
i D X x E X P ==
-∑
222(00.501)0.583(10.501)0.340(50.501)00.432.
=-?+-?++-?=
3.设随机变量且已知E (X )=0.1,E (X )=0.9,求P 1,P 2,P 3. 【解】因1231P P P ++=……①,
又12331()(1)010.1E X P P P P P =-++=-= ……②,
2222
12313()(1)010.9E X P P P P P =-++=+= ……③
由①②③联立解得1230.4,0.1,0.5.P P P ===
4.袋中有N 只球,其中的白球数X 为一随机变量,已知E (X )=n ,问从袋中任取1球为白球的概率是多少?
【解】记A ={从袋中任取1球为白球},则
(){|}{}N
k P A P A X k P X k ===∑ 全概率公式
1{}{}
1().N
N
k k k P X k kP X k N N
n E X N N
=====
===∑∑
5.设随机变量X 的概率密度为
f (x )=??
?
??≤≤-<≤.,0,21,2,
10,其他x x x x
求E (X ),D (X ). 【解】1
2
2
1
()()d d (2)d E X xf x x x x x x x +∞
-∞
=
=+-?
??
2
1
3
32011 1.33x x x ??
??=+-=???????
?
1
2
2
2
3
20
1
7
()()d d (2)d 6
E X x f x x x x x x x +∞
-∞
==+-=
?
?? 故 2
2
1()()[()].6
D X
E X E X =-=
6.设随机变量X ,Y ,Z 相互独立,且E (X )=5,E (Y )=11,E (Z )=8,求下列随机变量的数学期望.
(1) U =2X +3Y +1; (2) V =YZ -4X .
【解】(1) [](231)2()3()1E U E X Y E X E Y =++=++ 25311144.=?+?+=
(2) [][4][]4()E V E YZ X E YZ E X =-=- ,()()4()Y Z E Y E Z E X - 因独立
1184568.=?-?= 7.设随机变量X ,Y 相互独立,且E (X )=E (Y )=3,D (X )=12,D (Y )=16,求E (3X -2Y ),
D (2X -3Y ). 【解】(1) (32)3()2()3323 3.
E X Y E X E Y -=-=?-?=
(2) 2
2
(23)2()(3)412916192.D X Y D X DY -=+-=?+?= 8.设随机变量(X ,Y )的概率密度为
f (x ,y )=??
?<<<<.,
0,
0,10,其他x y x k
试确定常数k ,并求E (XY ). 【解】因
1
1
(,)d d d d 1,2
x
f x y x y x k y k +∞+∞
-∞
-∞
==
=??
??故k =2 1
()(,)d d d 2d 0.25x
E XY xyf x y x y x x y y +∞
+∞
-∞
-∞
===?
?
??.
9.设X ,Y 是相互独立的随机变量,其概率密度分别为
f X (x )=???≤≤;,
0,
10,2其他x x f Y (y )=(5)e ,5,0,.
y y --?>?
?其他
求E (XY ).
【解】方法一:先求X 与Y 的均值
1
2
()2d ,3
E X x
x x ==? 5
(5)5
()e d
5
e d e d 51 6.
z y y z
z
E Y y y z z
z +∞
+∞+∞=-----=
+=+=?
??
令 由X 与Y 的独立性,得
2
()()()6 4.3
E XY E X E Y ==?=
方法二:利用随机变量函数的均值公式.因X 与Y 独立,故联合密度为
(5)2e ,01,5,
(,)()()0,
,y X Y x x y f x y f x f y --?≤≤>==?
? 其他 于是
1
1
(5)
2
(5)5
5
2
()2e
d d 2d
e d 6 4.3
y y E XY xy x x y x x y y +∞
+∞
----===?=?
?
??
10.设随机变量X ,Y 的概率密度分别为
f X (x )=??
?≤>-;0,
0,
0,
22x x x e f Y (y )=???≤>-.
0,
0,
0,44y y y e 求(1) E (X +Y );(2) E (2X -3Y 2). 【解】22-200
()()d 2e d [e ]
e d x
x x X X xf x x x x x x +∞
+∞
+∞
--+∞
-∞==-?
?
?
20
1
e d .2
x x +∞
-==?
40
1()()d 4e d y .
4
y
Y E Y y f y y y +∞
+∞--∞=
=?
? 2
2
242021()()d 4e d .48
y Y E Y y f y y y y +∞
+∞
--∞=
==
=??
从而(1)113
()()().244
E X Y E X E Y +=+=+=
(2)22
115(23)2()3()23288
E X Y E X E Y -=-=?
-?= 11.设随机变量X 的概率密度为
f (x )=????
?<≥-.
0,
0,
0,
2
2x x cx x
k
e
求(1) 系数c ;(2) E (X );(3) D (X ). 【解】(1) 由
22
2
()d e
d 12k x c
f x x cx x k
+∞
+∞
--∞
==
=?
?得22c k =. (2) 22
2
()()d()2e
d k x E X xf x x x k x x +∞
+∞
--∞
=
=?
?
22
2
20
2e d k x k
x x +∞
-==
?
(3) 22
2
22220
1()()d()2e .k
x
E X x f x x x k x k
+∞
+∞
--∞
==?
?
故
2
22
2214π()()[()].24D X E X E X k k k
?-=-=-= ?? 12.袋中有12个零件,其中9个合格品,3个废品.安装机器时,从袋中一个一个地取出(取出后不放回),设在取出合格品之前已取出的废品数为随机变量X ,求E (X )和D (X ). 【解】设随机变量X 表示在取得合格品以前已取出的废品数,则X 的可能取值为0,1,2,
3.为求其分布律,下面求取这些可能值的概率,易知
9{0}
0.750,12P X === 39{1}0.204,1211P X ==?= 329{2}0.041,121110P X ==??= 3219{3}0.005.1211109P X ==???= 于是,得到X 的概率分布表如下:
由此可得()00.75010.20420.04130.0050.301.E X =?+?+?+?=
222222
2
2
()075010.20420.04130.0050.413()()[()]0.413(0.301)0.322.
E X D X E X E X =?+?+?+?==-=-=
13.一工厂生产某种设备的寿命X (以年计)服从指数分布,概率密度为
f (x )=???
??≤>-.0,
0,0,414x x x
e
为确保消费者的利益,工厂规定出售的设备若在一年内损坏可以调换.若售出一台设备,
工厂获利100元,而调换一台则损失200元,试求工厂出售一台设备赢利的数学期望. 【解】厂方出售一台设备净盈利Y 只有两个值:100元和 -200元
/4
1/4
1
1
{100}{1}e d e
4
x P Y P X x +∞
--
==
≥==?
1/4
{200}{1}1e
.
P Y P X -=-=<=- 故1/41/41/4()100e (200)(1e )300e 20033.64E Y ---=?+-?-=-= (元).
14.设X 1,X 2,…,X n 是相互独立的随机变量,且有E (X i )=μ,D (X i )=σ2,i =1,2,…,
n ,记
∑==n i i S X n X 12,1,S 2
=∑=--n i i X X n 1
2)(11. (1) 验证)(X E =μ,)(X D =n
2
σ;
(2) 验证S 2
=)(111
22
∑=--n
i i X n X n ;
(3) 验证E (S 2)=σ2.
【证】(1) 11111
11()()().n n
n i i i i i i E X E X E X E X nu u n n n n ===??===== ???
∑∑∑
2211111
1()()n n
n i i i i i i i D X D X D X X DX n n
n ===??== ???∑∑∑ 之间相互独立 22
21.n n n
σσ==
(2) 因
2
2
2
2
21
1
1
1
()(2)2n
n
n
n
i
i
i i
i i i i i X
X X X X X X nX X X ====-=+-=+-∑∑∑∑
2
2
221
1
2n
n
i
i i i X nX X nX X nX ===
+-=-∑∑
故22
21
1
()1n
i i S X nX n ==--∑.
(3) 因2(),()i i E X u D X σ==,故2222
()()().i i i E X D X EX u σ=+=+ 同理因2
(),()E X u D X n
σ==,故2
2
2()E X u n
σ=
+.
从而
222
2
21111()()[()()]11n n
i i i i E s E X nX E X nE X n n ==??=-=-??--??∑∑
221
222
221[()()]11().1n
i i E X nE X n n u n u n n σσσ==--????=+-+=?? ?-????
∑
15.对随机变量X 和Y ,已知D (X )=2,D (Y )=3,Cov(X ,Y )= -1,
计算:Cov (3X -2Y +1,X +4Y -3). 【解】Cov(321,43)3()10Cov(,)8()X Y X Y D X X Y D Y -++-=+- 3210(1)8328=?+?--?=- (因常数与任一随机变量独立,故Cov(X ,3)=Cov(Y ,3)=0,其余类似). 16.设二维随机变量(X ,Y )的概率密度为
f (x ,y )=22
1,1,
π0,
.x y ?+≤????其他
试验证X 和Y 是不相关的,但X 和Y 不是相互独立的. 【解】设22{(,)|1}D x y x y =+≤.
221
1
()(,)d d d d πx y E X xf x y x y x x y +∞
+∞
-∞
-∞
+≤==
?
?
?? 2π1
00
1=cos d d 0.πr r r θθ=??
同理E (Y )=0. 而 C o v (,)
[()][()](,X Y x E x y E Y f x y x y
+∞+∞-∞
-∞
=--??
222π12
001
11d d sin cos d d 0ππx y xy x y r r r θθθ+
≤===????, 由此得0XY ρ=,故X 与Y 不相关. 下面讨论独立性,当|x |≤1
时,1()
X f x y 当|y |≤1
时,1()
Y f y x 显然()()(,).X Y f x f y f x y ≠
故X 和Y 不是相互独立的.
17.
验证X 和Y 是不相关的,但X 和Y 不是相互独立的.
【解】联合分布表中含有零元素,X 与Y 显然不独立,由联合分布律易求得X ,Y 及XY 的
分布律,其分布律如下表
由期望定义易得E (X )=E (Y )=E (XY )=0. 从而E (XY )=E (X )·E (Y ),再由相关系数性质知ρXY =0, 即X 与Y 的相关系数为0,从而X 和Y 是不相关的. 又331
{1}{1}{1,1}888
P X P Y P X Y =-=-=
?≠==-=- 从而X 与Y 不是相互独立的.
18.设二维随机变量(X ,Y )在以(0,0),(0,1),(1,0)为顶点的三角形区域上服从均
匀分布,求Cov (X ,Y ),ρXY . 【解】如图,S D =
1
2
,故(X ,Y )的概率密度为
题18图
2,(,),
(,)0,x y D f x y ∈?=?
?
其他.
()(,)d d D
E X xf x y x y =??11001
d 2d 3x x x y -==??
22
()(,)d d D
E X x f x y x y =??1
120
1d 2d 6
x
x x y -==
??
从而2
2
2
111
()()[()].6318
D X
E X E X ??=-=-= ???
同理11(),().318
E Y D Y =
= 而 110
1
()(,)d d 2d d d 2d .12
x
D
D
E XY xyf x y x y xy x y x xy y -====
??????
所以
1111Cov(,)()()()123336
X Y E XY E X E Y =-=
-?=- . 从而
112XY ρ-
=
=
=-
19.设(X ,Y )的概率密度为
f (x ,y )=1
ππsin(),0,0,
2220.x y x y ,
?+≤≤≤≤????其他
求协方差Cov (X ,Y )和相关系数ρXY . 【解】π/2
π/2
1π()(,)d d d sin()d .24
E X xf x y x y x x x y y +∞
+∞
-∞
-∞
=
=+=??
?
?
π
π
22
2
220
1ππ()d sin()d 2.282
E X x x x y y =
+=+-?
?
从而
22
2
ππ()()[()] 2.162
D X
E X E X =-=+-
同理 2πππ
(),() 2.4162
E Y D Y ==
+- 又 π/2
π/2
π
()d sin()d d 1,2
E XY x xy x y x y =
+=-?
?
故 2
πππ
π4C o v (,)()()()1.
244
4X Y E X Y E X E Y -???
?=-=--?
=- ? ?????
2
22
222
π4
(π4)π8π16
4
.
πππ8π32π8π32
2
162
XY
ρ
-
??
- ?
--+
??
===-=-
+-+-
+-
20.已知二维随机变量(X,Y)的协方差矩阵为?
?
?
?
?
?
4
1
1
1
,试求Z1=X -2Y和Z2=2X -Y的相关
系数.
【解】由已知知:D(X)=1,D(Y)=4,Cov(X,Y)=1.
从而
1
2
()(2)()4()4Cov(,)1444113,
()(2)4()()4Cov(,)414414,
D Z D X Y D X D Y X Y
D Z D X Y D X D Y X Y
=-=+-=+?-?=
=-=+-=?+-?=
12
Cov(,)Cov(2,2)
Z Z X Y X Y
=--
2Cov(,)4Cov(,)Cov(,)2Cov(,)
2()5Cov(,)2()215124 5.
X X Y X X Y Y Y
D X X Y D Y
=--+
=-+=?-?+?=故
12
Z Z
ρ===
21.对于两个随机变量V,W,若E(V2),E(W2)存在,证明:
[E(VW)]2≤E(V2)E(W2).
这一不等式称为柯西许瓦兹(Couchy -Schwarz)不等式.
【证】令2
(){[]},.
g t E V tW t R
=+∈
显然
2222
0()[()][2]
g t E V tW E V tVW t W
≤=+=++
222
[]2[][],.
E V t E VW t E W t R
=++?∈
可见此关于t的二次式非负,故其判别式Δ≤0,
即222
0[2()]4()()
E VW E W E V
≥?=-
222
4{[()]()()}.
E VW E V E W
=-
故222
[()]()()}.
E VW E V E W
≤
22.假设一设备开机后无故障工作的时间X服从参数λ=1/5的指数分布.设备定时开机,出现
故障时自动关机,而在无故障的情况下工作2小时便关机.试求该设备每次开机无故障工作的时间Y的分布函数F(y).
【解】设Y表示每次开机后无故障的工作时间,由题设知设备首次发生故障的等待时间
X ~E (λ),E (X )=
1
λ
=5.
依题意Y =min(X ,2).
对于y <0,f (y )=P {Y ≤y }=0. 对于y ≥2,F (y )=P (X ≤y )=1.
对于0≤y <2,当x ≥0时,在(0,x )内无故障的概率分布为 P {X ≤x }=1 -e -λx ,所以
F (y )=P {Y ≤y }=P {min(X ,2)≤y }=P {X ≤y }=1 -e -y/5.
23.已知甲、乙两箱中装有同种产品,其中甲箱中装有3件合格品和3件次品,乙箱中仅装
有3件合格品.从甲箱中任取3件产品放乙箱后,求:(1)乙箱中次品件数Z 的数学期望;(2)从乙箱中任取一件产品是次品的概率. 【解】(1) Z 的可能取值为0,1,2,3,Z 的概率分布为
333
36
C C {}C k k
P Z k -==
, 0,1,2,3.k =
因此,()0123.202020202
E Z =?+?+?+?= (2) 设A 表示事件“从乙箱中任取出一件产品是次品”,根据全概率公式有
3
(){}{|}k P A P Z k P A Z k ====∑
191921310.202062062064
=
?+?+?+?= 24.假设由自动线加工的某种零件的内径X (毫米)服从正态分布N (μ,1),内径小于10或
大于12为不合格品,其余为合格品.销售每件合格品获利,销售每件不合格品亏损,已知销售利润T (单位:元)与销售零件的内径X 有如下关系
T =??
?
??>-≤≤<-.12,5,1210,20,10,
1X X X 若若若 问:平均直径μ取何值时,销售一个零件的平均利润最大?
【解】(){10}20{1012}5{12}E T P X P X P X =-<+≤≤->
{10}20{1012}5{12(10)20[(12)(10)]5[1(12
)]25(1
2)21(10) 5.
P X u u P u X u u P X u u
u u u u u u =--<-+-≤-≤--->
-=-Φ-+Φ--Φ---Φ-=Φ--Φ--
故
2/2d ()25(12)(1)21(10)(1)0(()),d x E T u u x u ???-=-?---?-= 令
这里
得 22(12)/2
(10)/2
25e 21e
u u ----=
两边取对数有
2211
ln 25(12)ln 21(10).22u u --=--
解得 1251
11ln
11ln1.1910.91282212
u =-=-≈(毫米) 由此可得,当u =10.9毫米时,平均利润最大.
25.设随机变量X 的概率密度为
f (x )=?????≤≤.,
0,0,2
cos 21其他πx x 对X 独立地重复观察4次,用Y 表示观察值大于π/3的次数,求Y 2的数学期望.
(2002研考)
【解】令 π1,,3
(1,2,3,4)π0,3i X Y i ?
>??==?
?≤??
X .
则4
1
~(4,)i i Y Y B p ==
∑.因为
ππ{}1{}33p P X P X =>=-≤及π/30π11
{}cos d 3222
x P X x ≤==?,
所以111
(),(),()42,242
i i E Y D Y E Y ===?=
2211
()41()()22
D Y
E Y EY =??==-,
从而222
()()[()]12 5.E Y D Y E Y =+=+=
26.两台同样的自动记录仪,每台无故障工作的时间T i (i =1,2)服从参数为5的指数分布,首先
开动其中一台,当其发生故障时停用而另一台自动开启.试求两台记录仪无故障工作的总时间T =T 1+T 2的概率密度f T (t ),数学期望E (T )及方差D (T ). 【解】由题意知:
55e ,0,()0,
0t i t f t t -?≥=?.
因T 1,T 2独立,所以f T (t )=f 1(t )*f 2(t ).
当t <0时,f T (t )=0;
当t ≥0时,利用卷积公式得
55()5120
()()()d 5e 5e d 25e t
x t x t T f t f x f t x x x t +∞
-----∞
=-==?
?
故得
525e ,0,
()0,
0.t T t t f t t -?≥=?
由于T i ~E (5),故知E (T i )=
15,D (T i )=1
25 (i =1,2) 因此,有E (T )=E (T 1+T 2)=2
5
.
又因T 1,T 2独立,所以D (T )=D (T 1+T 2)=2
25
.
27.设两个随机变量X ,Y 相互独立,且都服从均值为0,方差为1/2的正态分布,求随机变
量|X -Y |的方差.
【解】设Z =X -Y
,由于22~0,,~0,,X N Y N ????
? ? ? ?????
且X 和Y 相互独立,故Z ~N (0,1).
因
22()()(||)[(||)]D X Y D Z E Z E Z -==-
22()[()],E Z E Z =-
而
22/2
()()1,(||)||
d z E Z D Z E Z z z +∞
--∞
===?
2/20e d z z z +∞-=
= 所以 2
(||)1π
D X Y -=-
. 28.某流水生产线上每个产品不合格的概率为p (0
一个不合格产品时,即停机检修.设开机后第一次停机时已生产了的产品个数为X ,求E (X )和D (X ).
【解】记q =1 -p ,X 的概率分布为P {X =i }=q i -1p ,i =1,2,…,
故1
2
111
()().1(1)i i
i i q p E X iq p p q p q q p ∞
∞
-=='??'===== ?--??
∑∑ 又2
21
2
1
11
2
1
()()i i i i i i E X i q
p i i q p iq p ∞
∞∞
---====
=-+∑∑∑
223221
1()12112.(1)i
i q pq q pq p q p pq q p q p p p
∞
=''??''=+=+
?-??+-=+==-∑
所以 22
222211()()[()].p p
D X
E X E X p p p
--=-=
-=
题29图
29.设随机变量X 和Y 的联合分布在点(0,1),(1,0)及(1,1)为顶点的三角形区域上
服从均匀分布.(如图),试求随机变量U =X +Y 的方差. 【解】D (U )=D (X +Y )=D (X )+D (Y )+2Cov(X ,Y )
=D (X )+D (Y )+2[E (XY ) -E (X )·E (Y )]. 由条件知X 和Y 的联合密度为
2,(,),
(,)0,0.
x y G f x y t ∈?=?
{(,)|01,01,G x y x y x y =≤≤≤≤+≥
从而1
1()(,)d 2d 2.X x
f x f x y y y x +∞
-∞
-===?
?
因此
11122300031
()()d 2d ,()2d ,22
X E X xf x x x x E X x x =====???
22141
()()[()].2918
D X
E X E X =-=-=
同理可得 31
(),().218
E Y D Y ==
11
15
()2d d 2d d ,12
x
G
E XY xy x y x x y y -===
????
541Cov(,)()()(),12936
X Y E XY E X E Y =-=
-=- 于是 1121()().18183618
D U D X Y =+=
+-= 30.设随机变量U 在区间[ -2,2]上服从均匀分布,随机变量
X =??
?->-≤-,U ,U 1,11,1若若 Y =???>≤-.
1,11,1U ,
U 若若
试求(1)X 和Y 的联合概率分布;(2)D (X +Y ).
【解】(1) 为求X 和Y 的联合概率分布,就要计算(X ,Y )的4个可能取值( -1, -1),( -1,1),(1, -1)及(1,1)的概率.
P {x = -1,Y = -1}=P {U ≤ -1,U ≤1} 1
12d d 1{1}444x x P U ---∞-=≤-=
==??
P {X = -1,Y =1}=P {U ≤ -1,U >1}=P {?}=0, P {X =1,Y = -1}=P {U > -1,U ≤1}
1
1d 1{11}44
x P U -=-<≤==?
21
d 1
{1,1}{1,1}{1}44
x P X Y P U U P U ===>->=>=?
. 故得X 与Y 的联合概率分布为
(1,1)(1,1)(1,1)(1,1)(,)~1110
424X Y ----??
??????
. (2) 因22()[()][()]D X Y E X Y E X Y +=+-+,而X +Y 及(X +Y )2的概率分布相应
为
20
2~11
142
4X Y -????+?
???, 2
4()~1122X Y ??
??+????
. 从而11
()(2)20,44E X Y +=-?
+?= 2
11[()]042,22
E X Y +=?+?=
所以22()[()][()] 2.D X Y E X Y E X Y +=+-+= 31.设随机变量X 的概率密度为f (x )=x
-e
2
1
,( -∞ (1) 求E (X )及D (X ); (2) 求Cov(X ,|X |),并问X 与|X |是否不相关? (3) 问X 与|X |是否相互独立,为什么? 【解】(1)||1()e d 0.2x E X x x +∞ --∞= =? 2||201()(0)e d 0e d 2.2 x x D X x x x x +∞+∞ ---∞=-==?? (2) Cov(,|)(||)()(||)(||)X X E X X E X E X E X X =-= ||1 ||e d 0,2 x x x x +∞ --∞ = =? 所以X 与|X |互不相关. (3) 为判断|X |与X 的独立性,需依定义构造适当事件后再作出判断,为此,对定义域 -∞ 0000{}{||}{}.x X x X x X x -<<=< 所以000{||}{} 1.P X x P X x <<<<< 故由 00000{,||}{||}{||}{}P X x X x P X x P X x P X x <<=<><< 得出X 与|X |不相互独立. 32.已知随机变量X 和Y 分别服从正态分布N (1,32)和N (0,42),且X 与Y 的相关系数 ρXY = -1/2,设Z = 2 3Y X +. (1) 求Z 的数学期望E (Z )和方差D (Z ); (2) 求X 与Z 的相关系数ρXZ ; (3) 问X 与Z 是否相互独立,为什么? 【解】(1) 1 ().323X Y E Z E ??=+= ?? ? ()2Cov ,3232X Y X Y D Z D D ??????=++ ? ? ??????? 1111 9162Cov(,),9432 X Y = ?+?+?? 而 1 Cov(,)3462XY X Y ρ?? ==-??=- ??? 所以 1 ()146 3.3 D Z =+-?= (2) 因()()11 Cov(,)Cov , Cov ,Cov ,3232 X Y X Z X X X X Y ??=+=+ ??? 119 ()(6)3=0,323 D X = +?-=- 所以 0. XZ ρ= = (3) 由0XZ ρ==,得X 与Z 不相关.又因1~,3,~(1,9)3 Z N X N ?? ??? ,所以X 与Z 也相互独立. 33.将一枚硬币重复掷n 次,以X 和Y 表示正面向上和反面向上的次数.试求X 和Y 的相关系 数XY ρ. 【解】由条件知X +Y =n ,则有D (X +Y )=D (n )=0. 再由X ~B (n ,p ),Y ~B (n ,q ),且p =q = 1 2 , 从而有 ()()4 n D X npq D Y == = 所以 0()()()2XY D X Y D X D Y ρ=+=++ 2,24 XY n n ρ= + 故XY ρ= -1. 34. 试求X 和Y 【解】由已知知E (X )=0.6,E (Y )=0.2,而XY 的概率分布为 所以E (XY )= -0.08+0.2=0.12 Cov(X ,Y )=E (XY ) -E (X )·E (Y )=0.12 -0.6×0.2=0 从而 XY ρ=0 35.对于任意两事件A 和B ,0 ρ= ()) ()()()()()(B P A P B P A P B P A P AB P ?-为事件A 和B 的相关系数.试证: (1) 事件A 和B 独立的充分必要条件是ρ=0; (2) |ρ|≤1. 【证】(1)由ρ的定义知,ρ=0当且仅当P (AB ) -P (A )·P (B )=0. 而这恰好是两事件A 、B 独立的定义,即ρ=0是A 和B 独立的充分必要条件. (2) 引入随机变量X 与Y 为 1,,0,A X A ??=???若发生若发生; 1,,0,B Y B ??=???若发生若发生. 由条件知,X 和Y 都服从0 -1分布,即 01~1()()X P A P A ?? -? 0 1~1()()Y P B P B ??-? 从而有E (X )=P (A ),E (Y )=P (B ), D (X )=P (A )·P (A ),D (Y )=P (B )·P (B ), Cov(X ,Y )=P (AB ) -P (A )·P (B ) 所以,事件A 和B 的相关系数就是随机变量X 和Y 的相关系数.于是由二元随机变量相关系数的基本性质可得|ρ|≤1. 36. 设随机变量X 的概率密度为 f X (x )=???? ?????<≤<<-., 0,20,4 1 ,01,21 其他x x 令Y =X 2,F (x ,y )为二维随机变量(X ,Y )的分布函数,求: (1) Y 的概率密度f Y (y ); (2) Cov(X ,Y ); (3)1 (,4)2 F - . 解: (1) Y 的分布函数为 2(){}{}Y F y P Y y P X y =≤=≤. 当y ≤0时, ()0Y F y =,()0Y f y =; 当0<y <1时, (){{0}{0Y F y P X P X P X =≤≤ =<+≤≤= , ()Y f y = ; 当1≤y <4时, 1(){10}{02Y F y P X P X =-≤<+≤≤ = ()Y f y = ; 当y ≥4时,()1Y F y =,()0Y f y =. 故Y 的概率密度为 1,()04,0,. Y y f y y <<=≤?其他 (2) 0210111 ()()d d d 244 +X E X =xf x x x x x x ∞∞=+=???--, 0222 2210115()()()d d d )246 +X E Y =E X =x f x x x x x x ∞∞=+=???--, 02233 310117()()()d d d 248 +X E XY =E Y =x f x x x x x x ∞∞=+=???--, 故 Cov(X,Y ) =2 ()()()3 E XY E X E Y =?-. (3) 2111 (,4){,4}{,4}222 F P X Y P X X - =≤-≤=≤-≤ 11 {,22}{2}22 P X X P X =≤--≤≤=-≤≤- 11 {1}24 P X =-≤≤-=. ;第一章 一、填空题 1.若事件A?B且P(A)=, P(B) = , 则 P(A-B)=()。 2.甲、乙各自同时向一敌机炮击,已知甲击中敌机的概率为,乙击 中敌机的概率为.求敌机被击中的概率为()。 3.设A、B、C为三个事件,则事件A,B,C中不少于二个发生可 表示为(AB AC BC ++)。 4.三台机器相互独立运转,设第一,第二,第三台机器不发生故障 的概率依次为,,,则这三台机器中至少有一台发生故障的概率为()。 5.某人进行射击,每次命中的概率为0.6 独立射击4次,则击中二 次的概率为()。 6.设A、B、C为三个事件,则事件A,B与C都不发生可表示为 (ABC)。 7.设A、B、C为三个事件,则事件A,B,C中不多于一个发生可 表示为(AB AC BC); 8.若事件A与事件B相互独立,且P(A)=, P(B) = , 则 P(A|B)= (); 9. 甲、乙各自同时向一敌机炮击,已知甲击中敌机的概率为,乙击中敌机的概率为.求敌机被击中的概率为( ); 10. 若事件A 与事件B 互不相容,且P (A )=, P(B) = , 则 P(B A -)= ( ) 11. 三台机器相互独立运转,设第一,第二,第三台机器不发生故障的 概率依次为,,,则这三台机器中最多有一台发生故障的概率为( )。 12. 若事件 A ? B 且P (A )=, P(B) = , 则 P(B A )=( ); 13. 若事件 A 与事件 B 互不相容,且P (A )=, P(B) = , 则 P(B A )= ( ) 14. A、B为两互斥事件,则A B =( S ) 15. A、B、C表示三个事件,则A、B、C恰有一个发生可表示为 ( ABC ABC ABC ++ ) 16. 若()0.4P A =,()0.2P B =,()P AB =则(|)P AB A B =( ) 17. A、B为两互斥事件,则AB =( S ) 18. 保险箱的号码锁定若由四位数字组成,则一次就能打开保险箱的概 率为( 1 10000 )。 二、选择填空题 1、已知P(A)=0.7, P(B)=0.8,则下列判断正确的是( D )。 A. A,B 互不相容 B. A,B 相互独立 C.A ?B D. A,B 相容 2、将一颗塞子抛掷两次,用X 表示两次点数之和,则X =3的概率为( C ) A. 1/2 B. 1/12 C. 1/18 D. 1/9 3、某人进行射击,设射击的命中率为0.2,独立射击100次,则至少击中9次的概率为( B ) A.91 9910098 .02.0C B.i i i i C -=∑100100 9 10098 .02.0 C.i i i i C -=∑100100 10 10098 .02.0 D.i i i i C -=∑- 1009 0100 98 .02.01 4、设)3,2,1(39)(=-=i i X E i ,则)( )3 12 53(32 1=+ +X X X E B A. 0 B. 25.5 C. 26.5 D. 9 5、设样本521,,,X X X 来自N (0,1),常数c 为以下何值时,统计量25 24 23 2 1X X X X X c +++? 服从t 分布。( C ) A. 0 B. 1 C. 2 6 D. -1 6、设X ~)3,14(N ,则其概率密度为( A ) A.6 )14(2 61- -x e π B. 3 2 )14(2 61- - x e π C. 6 )14(2 321- - x e π D. 2 3 )14(2 61-- x e π 7、321,,X X X 为总体),(2 σμN 的样本, 下列哪一项是μ的无偏估计( A ) A. 32 12 110 351X X X + + B. 32 1416131X X X ++ C. 32 112 5 2 13 1X X X + + D. 32 16 13 13 1X X X + + 8 、设离散型随机变量X 的分布列为 则常数C 为( C ) (A )0 (B )3/8 (C )5/8 (D )-3/8 概率论与数理统计练习题 系 专业 班 姓名 学号 第四章 随机变量的数字特征(一) 一、选择题: 1 . 设 随 机 变 量 X ,且()E X 存在,则()E X 是 [ B ] (A )X 的函数 (B )确定常数 (C )随机变量 (D )x 的函数 2.设X 的概率密度为 910()9 00 x e x f x x -?≥?=?? ,则 1 ()9 E X -= [ C ] (A )9 19x x e dx +∞ -∞ ?? (B )919x x e dx +∞-∞-?? (C )1- (D )1 3.设ξ是随机变量,()E ξ存在,若2 3 ξη-=,则()E η= [ D ] (A )()E ξ (B ) ()3E ξ (C )()2E ξ- (D )()233 E ξ- 4.设随机变量X 和Y 独立且在(0,)θ上服从均匀分布,则{min(,)}E X Y =(考研题 2011) [ C ] (A ) 2θ (B )θ (C )3θ (D )4 θ 二、填空题: 1.设随机变量X 的可能取值为0,1,2,相应的概率分布为0.6,0.3,0.1,则()E X = 2.设X 为正态分布的随机变量,概率密度为2 (1) 8()x f x +-=,则2(21)E X -= 9 3.设随机变量X ,则2 (3)E X X += 116/15 4.设随机变量X 的密度函数为|| 1()()2 x f x e x -= -∞<<+∞,则()E X = 0 *5.设随机变量(,1,2,,)ij X i j n =L 独立且同分布,()2ij E X =,则行列式 11121212221 2n n n n nn X X X X X X Y X X X = L L M M M L 的数学期望() E Y = 0 (考研题 1999) 三、计算题: 1.袋中有5个乒乓球,编号为1,2,3,4,5,从中任取3个,以X 表示取出的3个球中最大编号,求().E X 2.设随机变量2 ~(,)X N μσ,求(||).E X μ - 3.设随机变量X 的密度函数为0()0 x e x f x x -?≥=? ,试求下列随机变量的数学期望。 (1)21X Y e -=; (2)2max{,2}Y X =; (3)3min{,2}Y X = 一、填空题(每小题3分,共15分) 1. 设事件B A ,仅发生一个的概率为0.3,且5.0)()(=+B P A P ,则B A ,至少有一个不发 生的概率为__________. 答案:0.3 解: 3.0)(=+B A B A P 即 )(25.0)()()()()()(3.0AB P AB P B P AB P A P B A P B A P -=-+-=+= 所以 1.0)(=AB P 9.0)(1)()(=-==AB P AB P B A P . 2. 设随机变量X 服从泊松分布,且)2(4)1(==≤X P X P ,则==)3(X P ______. 答案: 161-e 解答: λλ λ λλ---= =+==+==≤e X P e e X P X P X P 2 )2(, )1()0()1(2 由 )2(4)1(==≤X P X P 知 λλλ λλ---=+e e e 22 即 0122 =--λλ 解得 1=λ,故 16 1)3(-= =e X P 3. 设随机变量X 在区间)2,0(上服从均匀分布,则随机变量2 X Y =在区间)4,0(内的概率 密度为=)(y f Y _________. 答案: 04,()()0,. Y Y X y f y F y f <<'===? 其它 解答:设Y 的分布函数为(),Y F y X 的分布函数为()X F x ,密度为()X f x 则 2 ()()())))Y X X F y P Y y P X y y y y y =≤=≤ =≤- - 因为~(0,2)X U ,所以(0X F = ,即()Y X F y F = 故 、填空题 1、设 A 、B 、C 表示三个随机事件,试用 A 、B 、C 表示下列事件:①三个事件都发生 ____________ ;__②_ A 、B 发生,C 3、 设 A 、 B 、C 为三个事件,则这三个事件都不发生为 ABC; A B C.) 4、 设 A 、B 、C 表示三个事件,则事件“A 、B 、C 三个事件至少发生一个”可表示为 ,事件“A 、B 、 C 都发生”可表 示为 , 5、 设 A 、 B 、 C 为三事件,则事件“A 发生 B 与 C 都不发生”可表示为 ________ 事__件; “A 、B 、C 不都发生”可表 示为 ____________ ;_事_ 件“A 、B 、C 都不发生”可表示为 ____ 。_(_ABC ,A B C ;A B C ) 6、 A B ___________ ;__ A B ___________ ;__A B ___________ 。_(_ B A , A B , A B ) 7、 设事件 A 、B 、C ,将下列事件用 A 、B 、C 间的运算关系表示:(1)三个事件都发生表示为: _______ ;_(_ 2)三 个 事件不都发生表示为: ________ ;_(_ 3)三个事件中至少有一个事件发生表示为: _____ 。_(_ ABC , A B C , A B C ) 8、 用 A 、B 、C 分别表示三个事件,试用 A 、B 、C 表示下列事件: A 、B 出现、C 不出现 ;至少有一 个 事 件 出 现 ; 至 少 有 两 个 事 件 出 现 。 ( ABC,A B C,ABC ABC ABC ABC ) 9、 当且仅当 A 发生、 B 不发生时,事件 ________ 发_生_ 。( A B ) 10、 以 A 表 示 事 件 “甲 种 产 品 畅 销 , 乙 种 产 品 滞 销 ”, 则 其 对 立 事 件 A 表 示 。(甲种产品滞销或乙种产品畅销) 11、 有R 1, R 2 , R 3 三个电子元件,用A 1,A 2,A 3分别表示事件“元件R i 正常工作”(i 1,2,3) ,试用 A 1,A 2,A 3表示下列事件: 12、 若事件 A 发生必然导致事件 B 发生,则称事件 B _____ 事_件 A 。(包含) 13、 若 A 为不可能事件,则 P (A )= ;其逆命题成立否 。(0,不成立) 14、 设A、B为两个事件, P (A )=0 .5, P (A -B )=0.2,则 P (A B ) 。(0.7) 15、 设P A 0.4,P A B 0.7,若 A, B 互不相容,则P B ______________ ;_若 A, B 相互独立,则P B _______ 。_(_0.3, 概率论与数理统计试题库 不发生 _________ ;__③三个事件中至少有一个发生 2、 设 A 、B 、C 为三个事件,则这三个事件都发生为 _______________ 。_(__A_BC , ABC , A B C ) ;三个事件恰有一个发生 为 ABC; ABC ABC ABC )。 ;三个事件至少有一个发生为 事件“A 、 B 、C 三事件中至少有两个发生”可表示为 。( A B C , ABC , AB BC AC ) 三个元件都正常工作 ;恰有一个元件不正常工作 至少有一个元件 正常工作 。( A 1 A 2 A 3, A 1A 2 A 3 A 1 A 2A 3 A 1A 2A 3,A 1 A 2 A 3) 作业2(修改2008-10) 4. 掷一枚非均匀的硬币,出现正面的概率为(01)p p <<,若以X 表示直至掷到正、反面 都出现为止所需投掷的次数,求X 的概率分布. 解 对于2,3,k =L ,前1k -次出现正面,第k 次出现反面的概率是1(1)k p p --,前1k -次出现反面,第k 次出现正面的概率是1(1)k p p --,因而X 有概率分布 11()(1)(1)k k P X k p p p p --==-+-,2,3,k =L . 5. 一个小班有8位学生,其中有5人能正确回答老师的一个问题.老师随意地逐个请学生回答,直到得到正确的回答为止,求在得到正确的回答以前不能正确回答问题的学生个数的概率分布. 第1个能正确回答的概率是5/8, 第1个不能正确回答,第2个能正确回答的概率是(3/8)(5/7)15/56=, 前2个不能正确回答,第3个能正确回答的概率是(3/8)(2/7)(5/6)5/56=, 前3个不能正确回答,第4个能正确回答的概率是(3/8)(2/7)(1/6)(5/5)1/56=, 前4个都不能正确回答的概率是(3/8)(2/7)(1/6)(0/5)0=. 设在得到正确的回答以前不能正确回答问题的学生个数为X ,则X 有分布 6. 设某人有100位朋友都会向他发送电子邮件,在一天中每位朋友向他发出电子邮件的概率都是0.04,问一天中他至少收到4位朋友的电子邮件的概率是多少?试用二项分布公式和泊松近似律分别计算. 解 设一天中某人收到X 位朋友的电子邮件,则~(100,0.04)X B ,一天中他至少收到4位朋友的电子邮件的概率是(4)P X ≥. 1) 用二项分布公式计算 3 1001000(4)1(4)10.04(10.04)0.5705k k k k P X P X C -=≥=-<=--=∑. 2) 用泊松近似律计算 331004 1000 04(4)1(4)10.04(10.04)10.5665! k k k k k k P X P X C e k --==≥=-<=--≈-=∑ ∑ . <概率论>试题 一、填空题 1.设 A 、B 、C 是三个随机事件。试用 A 、B 、C 分别表示事件 1)A 、B 、C 至少有一个发生 2)A 、B 、C 中恰有一个发生 3)A 、B 、C 不多于一个发生 2.设 A 、B 为随机事件, P (A)=0.5,P(B)=0.6,P(B A)=0.8。则P(B )A U = 3.若事件A 和事件B 相互独立, P()=,A αP(B)=0.3,P(A B)=0.7,U 则α= 4. 将C,C,E,E,I,N,S 等7个字母随机的排成一行,那末恰好排成英文单词SCIENCE 的概率为 5. 甲、乙两人独立的对同一目标射击一次,其命中率分别为0.6和0.5,现已知目标被命中,则它是甲射中的概率为 6.设离散型随机变量X 分布律为{}5(1/2)(1,2,)k P X k A k ===???则 A=______________ 7. 已知随机变量X 的密度为()f x =? ??<<+其它,010,x b ax ,且{1/2}5/8P x >=,则a = ________ b =________ 8. 设X ~2 (2,)N σ,且{24}0.3P x <<=,则{0}P x <= _________ 9. 一射手对同一目标独立地进行四次射击,若至少命中一次的概率为80 81 ,则该射手的命中率为_________ 10.若随机变量ξ在(1,6)上服从均匀分布,则方程x 2+ξx+1=0有实根的概率是 11.设3{0,0}7P X Y ≥≥= ,4 {0}{0}7 P X P Y ≥=≥=,则{max{,}0}P X Y ≥= 12.用(,X Y )的联合分布函数F (x,y )表示P{a b,c}X Y ≤≤<= 13.用(,X Y )的联合分布函数F (x,y )表示P{X a,b}Y <<= 14.设平面区域D 由y = x , y = 0 和 x = 2 所围成,二维随机变量(x,y)在区域D 上服从均匀分 概率论第4章习题参考解答 1. 若每次射击中靶的概率为0.7, 求射击10炮, 命中3炮的概率, 至少命中3炮的概率, 最可能命中几炮. 解: 设ξ为射击10炮命中的炮数, 则ξ~B (10,0.7), 命中3炮的概率为 =??==733 103.07.0}3{C P ξ0.0090 至少命中3炮的概率, 为1减去命中不到3炮的概率, 为 =??-=<-=≥∑=-2 010103.07.01}3{1}3{i i i i C P P ξξ0.9984 因np +p =10×0.7+0.7=7.7不是整数, 因此最可能命中[7.7]=7炮. 2. 在一定条件下生产某种产品的废品率为0.01, 求生产10件产品中废品数不超过2个的概率. 解: 设ξ为10件产品中的废品数, 则ξ~B (10,0.01), 则废品数不超过2个的概率为 =??=≤∑=-2 0101099.001.0}2{i i i i C P ξ0.9999 3. 某车间有20部同型号机床, 每部机床开动的概率为0.8, 若假定各机床是否开动彼此独立, 每部机床开动时所消耗的电能为15个单位, 求这个车间消耗电能不少于270个单位的概率. 解: 设每时刻机床开动的数目为ξ, 则ξ~B (20,0.8), 假设这个车间消耗的电能为η个单位, 则η=15ξ, 因此 2061.02.08.0}18{}15 270 {}27015{}270{20 18 2020=??==≥=≥ =≥=≥∑=-i i i i C P P P P ξξξη 4. 从一批废品率为0.1的产品中, 重复抽取20个进行检查, 求这20个产品中废品率不 大于0.15的概率. 解: 设这20个产品中的废品数为ξ, 则ξ~B (20,0.1), 假设这20个产品中的废品率为η, 则η=ξ/20. 因此 ∑=-??=≤=≤=≤3 20209.01.0}3{}15.020 { }15.0{i i i i C P P P ξξ η=0.867 5. 生产某种产品的废品率为0.1, 抽取20件产品, 初步检查已发现有2件废品, 问这20 件中, 废品不少于3件的概率. 解: 设ξ为这20件产品中的废品数, 则ξ~B (20,0.1), 又通过检查已经知道ξ定不少于2件的条件, 则要求的是条件概率 } 2{} 23{}2|3{≥≥?≥= ≥≥ξξξξξP P P 因事件}3{}2{≥?≥ξξ, 因此2}23{≥=≥?≥ξξξ 因此 创作编号: GB8878185555334563BT9125XW 创作者: 凤呜大王* 模拟试题一 一、 填空题(每空3分,共45分) 1、已知P(A) = 0.92, P(B) = 0.93, P(B|A ) = 0.85, 则P(A|B ) = 。 P( A ∪B) = 。 3、一间宿舍内住有6个同学,求他们之中恰好有4个人的生日在同一个月份的概率: ;没有任何人的生日在同一个月份的概率 ; 4、已知随机变量X 的密度函数为:, ()1/4, 020,2 x Ae x x x x ?? =≤?≥? , 则常数A= , 分布函数F (x )= , 概率 {0.51}P X -<<= ; 5、设随机变量X~ B(2,p)、Y~ B(1,p),若{1}5/9P X ≥=,则p = ,若X 与Y 独立,则Z=max(X,Y)的分布律: ; 6、设~(200,0.01),~(4),X B Y P 且X 与 Y 相互独立,则 D(2X-3Y)= , COV(2X-3Y , X)= ; 7、设125,,,X X X 是总体~(0,1)X N 的简单随机样本,则当k = 时, ~(3)Y t = ; 8、设总体~(0,)0X U θθ>为未知参数,12,,,n X X X 为其样本, 1 1n i i X X n ==∑为样本均值,则θ的矩估计量为: 。 9、设样本129,, ,X X X 来自正态总体(,1.44)N a ,计算得样本观察值10x =, 求参数a 的置信度为95%的置信区间: ; 二、 计算题(35分) 1、 (12分)设连续型随机变量X 的密度函数为: 1, 02()2 0, x x x ??≤≤?=???其它 求:1){|21|2}P X -<;2)2 Y X =的密度函数()Y y ?;3)(21)E X -; 2、(12分)设随机变量(X,Y)的密度函数为 1/4, ||,02,(,)0, y x x x y ?<<=? ?其他 1) 求边缘密度函数(),()X Y x y ??; 2) 问X 与Y 是否独立?是否相关? 3) 计算Z = X + Y 的密度函数()Z z ?; 3、(11分)设总体X 的概率密度函数为: 1, 0(),000 x e x x x θ?θθ -?≥?=>?? X 1,X 2,…,X n 是取自总体X 的简单随机样本。 1)求参数θ的极大似然估计量?θ ; 2)验证估计量?θ 是否是参数θ的无偏估计量。 2.(10分)环境保护条例,在排放的工业废水中,某有害物质不得超过0.5‰,假定有害物质含量X 服从正态分布。现在取5份水样,测定该有害物质含量,得如下数据: 0.530‰,0.542‰,0.510‰,0.495‰,0.515‰ 能否据此抽样结果说明有害物质含量超过了规定(0.05α=)? 概率统计练习题答案 TTA standardization office【TTA 5AB- TTAK 08- TTA 2C】 《概率论与数理统计》练习题 2答案 考试时间:120分钟 题目部分,(卷面共有22题,100分,各大题标有题量和总分) 一、选择题(10小题,共30分) 1、A 、B 任意二事件,则A B -=( )。 A 、B A - B 、AB C 、B A - D 、A B 答案:D 2、设袋中有6个球,其中有2个红球,4个白球,随机地等可能地作无放回抽样,连 续抽两次,则使P A ()=1 3成立的事件A 是( )。 A 、 两次都取得红球 B 、 第二次取得红球 C 、 两次抽样中至少有一次抽到红球 D 、 第一次抽得白球,第二次抽得红球, 答案:B 3、函数()0 0sin 01 x F x x x x ππ? =≤?≥? ( )。 A 、是某一离散型随机变量的分布函数。 B 、是某一连续型随机变量的分布函数。 C 、既不是连续型也不是离散型随机变量的分布函数。 D 、不可能为某一随机变量的分布函数。 答案:D 4、设ξ,η相互独立,且都服从相同的01-分布,即则下列结论正确的是( )。 A 、ξη= B 、2ξηξ+= C 、2ξηξ= D 、~(2,)B p ξη+ 答案:D 5、设随机变量12,,,n ξξξ???相互独立,且i E ξ及i D ξ都存在(1,2, ,)i n =,又 12,,, ,n c k k k ,为1n +个任意常数,则下面的等式中错误的是( )。 A 、11n n i i i i i i E k c k E c ξξ==??+=+ ???∑∑ B 、11n n i i i i i i E k k E ξξ==??= ???∏∏ C 、11n n i i i i i i D k c k D ξξ==??+= ???∑∑ D 、()111n n i i i i i D D ξξ==??-= ???∑∑ 答案:C 6、具有下面分布密度的随机变量中方差不存在的是( )。 A 、()150050x x x e x ?-≤?=?>? B 、( )2 6 2x x ?-= C 、()312 x x e ?-= D 、()() 42 1 1x x ?π= + 答案:D 7、设随机变量的数学期望和方差均是1m +(m 为自然数),那么 (){}041P m ξ<<+≥( )。 A 、 11m + B 、1m m + C 、0 D 、1m 答案:B 8、设1, , n X X 是来自总体2(, )N μσ的样本, 2 211 11, (),1n n i n i i i X X S X X n n --==--∑∑则以下结论中错误的是( )。 A 、X 与2n S 独立 B 、 ~(0, 1)X N μ σ - 题目答案的红色部分为更正部分,请同志们注意下 统计与概率 1.(2017课标1,理2)如图,正方形ABCD 内的图形来自中国古代的 太极图.正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中 心对称.在正方形内随机取一点,则此点取自黑色部分的概率是( B ) A .14 B . π8 C .12 D . π 4 2.(2017课标3,理3)某城市为了解游客人数的变化规律,提高旅游服务质量,收集并整理了2014年1月至2016年12月期间月接待游客量(单位:万人)的数据,绘制了下面的折线图. 根据该折线图,下列结论错误的是( A ) A .月接待游客量逐月增加 B .年接待游客量逐年增加 C .各年的月接待游客量高峰期大致在7,8月 D .各年1月至6月的月接待游客量相对7月至12月,波动性更小,变化比较平稳 3.(2017课标2,理13)一批产品的二等品率为0.02,从这批产品中每次随机取一件,有放回地抽取100次,X 表示抽到的二等品件数,则D X = 。 4.(2016年全国I 理14)5(2)x x + 的展开式中,x 3的系数是 10 .(用数字填写答案) 5.(2016年全国I 理14)某公司的班车在7:30,8:00,8:30发车,小明在7:50至8:30之间到达发车站乘坐班车,且到达发车站的时刻是随机的,则他等车时间不超过10分钟的概率是( B ) (A )13 (B )12 (C )23 (D )3 4 5.(2016年全国2理10)从区间[]0,1随机抽取2n 个数1x ,2x ,…,n x ,1y ,2y ,…,n y ,构成n 个数对()11,x y , ()22,x y ,…,(),n n x y ,其中两数的平方和小于1的数对共有m 个,则用随机模拟的方法得到的圆周率π的近 似值为( C )(A ) 4n m (B )2n m (C )4m n (D )2m n 6.(2016年全国3理4)某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况,绘制了一年中月平均最高气温和平均最低气 温的雷达图。图中A 点表示十月的平均最高气温约为150 C ,B 点表示四月的平均 最低气温约为50 C 。下面叙述不正确的是( D ) (A) 各月的平均最低气温都在00 C 以上 (B) 七月的平均温差比一月的平均温差大 (C) 三月和十一月的平均最高气温基本相同 (D) 平均气温高于200 C 的月份有5个 7.(15年新课标1理10)投篮测试中,每人投3次,至少投中2次才能通过测试。已知某同学每次投 西南石油大学《概率论与数理统计》考试题及答案 一、填空题(每小题3分,共30分) 1、“事件,,A B C 中至少有一个不发生”这一事件可以表示为 . 2、设()0.7,()0.3P A P AB ==,则()P A B =U ________________. 3、袋中有6个白球,5个红球,从中任取3个,恰好抽到2个红球的概率 . 4、设随机变量X 的分布律为(),(1,2,,8),8 a P X k k ===L 则a =_________. 5、设随机变量X 在(2,8)内服从均匀分布,则(24)P X -≤<= . 6、设随机变量X 的分布律为,则2Y X =的分布律是 . 7、设随机变量X 服从参数为λ的泊松分布,且已知,X X E 1)]2)(1[(=-- 则=λ . 8、设129,,,X X X L 是来自正态总体(2,9)N -的样本,X 是样本均植,则X 服从的分布是 . 二、(本题12分)甲乙两家企业生产同一种产品.甲企业生产的60件产品中有12件 是次品,乙企业生产的50件产品中有10件次品.两家企业生产的产品混合在一起存放,现从中任取1件进行检验.求: (1)求取出的产品为次品的概率; (2)若取出的一件产品为次品,问这件产品是乙企业生产的概率. 三、(本题12分)设随机变量X 的概率密度为 , 03()2,342 0, kx x x f x x ≤?? =-≤≤????其它 (1)确定常数k ; (2)求X 的分布函数()F x ; (3)求 712P X ? ?<≤??? ?. 四、(本题12分)设二维随机向量(,)X Y 的联合分布律为 试求: (1) a 的值; (2)X 与Y 的边缘分布律; (3)X 与Y 是否独立?为什么? 五、(本题12分) 设随机变量X 的概率密度为 (),01,2,12,0,.x x f x x x ≤? =-≤≤??? 其他 求()(),E X D X 一、填空题(每小题3分,共30分) 1、ABC 或A B C U U 2、 3、2 15 6 3 11 C C C 或4 11或 4、1 5、13 6、2 0141315 5 5 k X p 7、1 8、(2,1)N - 1、 已知P (A )=0.7. P (B )=0?8,则下列判断正确的是( D )o A. A.B 互不相容 B. A.B 相互独立 C.Ac B D. A.B 相容 2、 将一颗塞子抛掷两次,用X 表示两次点数之和,则X=3的概率为(C ) A. 1/2 B. 1/12 C. 1/18 D. 1/9 3、 某人进行射击,设射击的命中率为02独立射击100次,则至少击中9次的概率为(B ) 100 9 C ?工 C ;(x )°?2'°?98 叫' D. 1 - 工(7爲020?98叫' (-10 1-0 4、设 E(X,)= 9-3/(/= 1,2,3),则 E(3X 1+-X 2+-X 3) = ( )B 2 3 A. 0 B. 25.5 C. 26.5 D. 9 5、设样本来自N (0, 1),常数c 为以下何值时,统计Me- t 1 —— ■ Jx + x + x 服从t 分布。(C ) A. 0 B. 1 C. 6、设则其概率密度为(A ) 7. X P X 2.X 3为总体的样本,下列哪一项是“的无偏估计(A ) A.-X, + —X. +-X. 5 10「2 C. -X.+-X.+ —X. 3 1 2 ■ 12 3 8、设离散型随机变量X 的分布列为 X 1 2 3 P C 1/4 1/8 则常数(2为( C ) A.C ;;X )0.290.9891 KX) B ?工 Goo 020.98 "I D.-l c. D 詁+朴+朴 (x-vTJ)2 3Q D. 9、设随机变量X?N(4,25),X1、X2、X3-Xn是来自总体X的一个样本,则样本均值乂近 似的服从( B ) (A) N (4, 25) (B) N (4, 25/n) (C) N (0.1) (D) N (0, 25/n) 10、对正态总体的数学期望进行假设检验,如果在显著水平a=0.05下,拒绝假设 H。:“ =,则在显著水平a=0.01下,(B ) A.必接受 B.可能接受,也可能拒绝 C.必拒绝 D.不接受,也不拒绝77。 二、填空题(每空1.5分,共15分) 1、 A.B.C为任意三个事件,则A, B, C至少有一个事件发生表示为:_AUBUC __________ : 2、甲乙两人各自去破译密码,设它们各自能破译的概率为0.8, 06,则密码能被破译的槪 率为 ____ 0.92 ___ : 3、已知分布函数F(x)= A + Barctgx (Y> v x V +s),贝ij A=_1/2 _____ , B=_1/3.14 _______ : 4、随机变量X 的分布律为P(X =x) = C(-)k, k =1,2,3, 则C=_27/13 ____________ ; 5、设X?b (n,p)o 若EX=4, DX=2.4,贝ij _______ 10 ____ , p= ____ 0.4 _____ 0 6、X为连续型随机变量, 1 , 0 概率论与数理统计统计课后习题答案-总主编-邹庭荣-主编-程述汉-舒兴明-第四章 第四章习题解答 1.设随机变量X ~B (30, 6 1),则E (X )=( D ). A.6 1 ; B. 65; C.6 25; D.5. 1 ()3056 E X np ==?= 2.已知随机变量X 和Y 相互独立,且它们分别在区间[-1,3]和[2,4]上服从均匀分布,则E (XY )=( A ). A. 3; B. 6; C. 10; D. 12. ()1()3E X E Y == 因为随机变量X 和Y 相互独立所以()()()3E XY E X E Y == 3.设X 表示10次独立重复射击命中目标的次数,每次射中目标的概率为0.4,则X 2的数学期望E (X 2)=____18.4______. (10,0.4)()4() 2.4X B E X D X ==: 22()(())()18.4E X E X D X =+= 4.某射手有3发子弹,射一次命中的概率为3 2,如果命中了就停止射击,否则一直射到子弹用尽.设表示X 耗用的子弹数.求E (X ). 解: X 1 2 3 P 2/3 2/9 1/9 22113()233999 E X = +?+?= 5.设X 的概率密度函数为 , 01()2,120,x x f x x x ≤≤?? =-<≤??? 其它 求2() ,().E X E X 解:12 20 1 ()()(2)1E X xf x dx x dx x x dx +∞-∞ ==+-=? ??, 12 22320 1 7 ()()(2)6 E X x f x dx x dx x x dx +∞ -∞ ==+-= ? ??. 概率统计习题带答案 概率论与数理统计习题及题解沈志军盛子宁第一章概率论的基本概念1.设事件A,B及A?B的概率分别为p,q及r,试求P(AB),P(AB),P(AB)及P(AB) 2.若A,B,C相互独立,试证明:A,B,C 亦必相互独立。3.试验E为掷2颗骰子观察出现的点数。每种结果以(x1,x2)记之,其中x1,x2分别表示第一颗、第二颗骰子的点数。设事件A?{(x1,x2)|x1?x2?10},事件B?{(x1,x2)|x1?x2}。试求P(B|A)和P(A|B) 4.某人有5把钥匙,但忘了开房门的是哪一把,只得逐把试开。问:恰好第三次打开房门锁的概率?三次内打开的概率?如果5把里有2把房门钥匙,则在三次内打开的概率又是多少?5.设有甲、乙两袋,甲袋中装有n个白 球、m个红球,乙袋中装有N个白球、M个红球。今从甲袋中任意取一个放入乙袋中,再从乙袋中任意取一个,问取到白球的概率是多少?6.在时间间隔5分钟内的任何时刻,两信号等可能地进入同一收音机,如果两信号进入收音机的间隔小于30秒,则收音机受到干扰。试求收音机不受干扰的概率?7.甲、乙两船欲停靠同一码头,它们在一昼夜内独立地到达码头的时间是等可能的,各自在码头上停留的时间依次是1小时和2小时。试求一船要等待空出码头的概率?8.某仓库同时装有甲、乙两种警报系统,每个系统单独使用的有效率分别为,,在甲系统失灵的条件下乙系统也失灵的概率为。试求下列事件的概率:仓库发生意外时能及时发出警报;乙系统失灵的条件下甲系统亦失灵?9.设A,B为两随机变量,试求解下列问题:已知P(A)?P(B)?1/3,P(A|B)?1/6。求:P(A|B); 概率论与数理统计习题 一、选择题(在每个小题四个备选答案中选出一个正确答案,填在题末的括号中) 1.设)4,5.1(~N X ,且8944.0)25.1(=Φ,9599.0)75.1(=Φ,则P{-2 习题4-1 1. 设随机变量X 求()E X ;E (2-3 X ); 2()E X ;2(35)E X +. 解 由定义和数学期望的性质知 2.03.023.004.0)2()(-=?+?+?-=X E ; (23)23()23(0.2) 2.6E X E X -=-=-?-=; 8.23.023.004.0)2()(2222=?+?+?-=X E ; 4.1358.235)(3)53(22=+?=+=+X E X E . 2. 设随机变量X 的概率密度为 ,0,()0, 0.x e x f x x -?>?=???≤ 求X e Z X Y 22-==和的数学期望. 解 ()(2)2()22x E Y E X E X x x ∞ -====?e d , 220 1 ()()3 X x x E Z E e e e dx ∞ ---==?= ?. 3. 游客乘电梯从底层到电视塔顶观光, 电梯于每个整点的第5分钟、第25分钟和第 55分钟从底层起行. 假设一游客在早八点的第X 分钟到达底层侯梯处, 且X 在区间[0, 60] 上服从均匀分布. 求该游客等候电梯时间的数学期望. 解已知X 在[0,60]上服从均匀分布, 其概率密度为 1 ,060,()600, .x f x =?????≤≤其它 记Y 为游客等候电梯的时间,则 5,05,25,525,()55,2555,65, 5560. X X X X Y g X X X X X -<-<==-<-?? ? ???≤≤≤≤ 因此, 600 1 ()[()]()()()60E Y E g X g x f x dx g x dx ∞-∞ === ? ? 概率论与数理统计练习题集及答案 一、选择题: 1.某人射击三次,以i A 表示事件“第i 次击中目标”,则事件“三次中至多击中目标一次”的正确表示为( ) (A )321A A A ++ (B )323121A A A A A A ++ (C )321321321A A A A A A A A A ++ (D )321A A A 2.掷两颗均匀的骰子,它们出现的点数之和等于8的概率为( ) (A ) 365 (B )364 (C )363 (D )36 2 3.设随机事件A 与B 互不相容,且0)(,0)(>>B P A P ,则( ) (A ))(1)(B P A P -= (B ))()()(B P A P AB P = (C )1)(=+B A P (D )1)(=AB P 4.随机变量X 的概率密度为???<≥=-00 )(2x x ce x f x ,则=EX ( ) (A )21 (B )1 (C )2 (D )4 1 5.下列各函数中可以作为某随机变量的分布函数的是( ) (A )+∞<<∞-+=x x x F ,11)(2 1 (B )?????≤>+=0 001)(2 x x x x x F (C )+∞<<∞-=-x e x F x ,)(3 (D ) +∞<<∞-+=x x x F ,arctan 21 43)(4π 6.已知随机变量X 的概率密度为)(x f X ,令X Y 2-=,则Y 的概率密度 )(y f Y 为( ) (A ))2(2y f X - (B ))2(y f X - (C ))2 (21y f X -- (D ))2 (2 1y f X - 7.已知二维随机向量),(Y X 的分布及边缘分布如表 h g p f e d x c b a x p y y y X Y Y j X i 61818121321,且X 与Y 相互独立,则=h ( ) (A )81 (B )8 3 (C )4 1 (D )3 1 8.设随机变量]5,1[~U X ,随机变量)4,2(~N Y ,且X 与Y 相互独立,则=-)2(Y XY E ( ) (A )3 (B )6 (C )10 (D )12 9.设X 与Y 为任意二个随机变量,方差均存在且为正,若 EY EX EXY ?=,则下列结论不正确的是( ) (A )X 与Y 相互独立 (B )X 与Y 不相关 (C )0),cov(=Y X (D )DY DX Y X D +=+)( 答案: 1. B 2. A 3.D 4.A 5.B 6. D 7. D 8. C 9. A 1.某人射击三次,以i A 表示事件“第i 次击中目标”,则事件“三次中恰好击中目标一次”的正确表示为( C ) (A )321A A A ++ (B )323121A A A A A A ++概率论与数理统计复习题带答案
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