三角高程测量原理

§5.9 三角高程测量

三角高程测量的基本思想是根据由测站向照准点所观测的垂直角（或天顶距）和它们之间的水平距离，计算测站点与照准点之间的高差。这种方法简便灵活，受地形条件的限制较少，故适用于测定三角点的高程。三角点的高程主要是作为各种比例尺测图的高程控制的一部分。一般都是在一定密度的水准网控制下，用三角高程测量的方法测定三角点的高程。

5.9.1 三角高程测量的基本公式

1.基本公式

关于三角高程测量的基本原理和计算高差的基

本公式，在测量学中已有过讨论，但公式的推导是

以水平面作为依据的。在控制测量中，由于距离较

长，所以必须以椭球面为依据来推导三角高程测量

的基本公式。

如图5-35所示。设0s 为B A 、两点间的实测水

平距离。仪器置于A 点，仪器高度为1i 。B 为照准

点，砚标高度为2v ，R 为参考椭球面上B A ''的曲率

半径。AF PE 、分别为过P 点和A 点的水准面。PC

是PE 在P 点的切线，PN 为光程曲线。当位于P 点

的望远镜指向与PN 相切的PM 方向时，由于大气折

光的影响，由N 点出射的光线正好落在望远镜的横

丝上。这就是说，仪器置于A 点测得M P 、间的垂

直角为2,1a 。

由图5-35可明显地看出，B A 、 两地面点间的高差为

NB MN EF CE MC BF h --++==2,1 （5-54） 式中，EF 为仪器高NB i ;1为照准点的觇标高度2v ；而CE 和MN 分别为地球曲率和折光影响。由

2021s R CE = 2021s R MN '

= 式中R '为光程曲线PN 在N 点的曲率半径。设

,K R R ='则 20202.21S R

K S R R R MN ='= K 称为大气垂直折光系数。

图5-35

由于B A 、两点之间的水平距离0s 与曲率半径R 之比值很小（当km s 100=时,0s 所对的圆心角仅5'多一点），故可认为PC 近似垂直于OM ，即认为 90≈PCM ,这样PCM ?可视为直角三角形。则（5-54）式中的MC 为

2,10tan αs MC =

将各项代入（5-54）式，则B A 、两地面点的高差为

21202,102201202,102,121tan 221tan v i s R

K s v s R K i s R s h -+-+=--++=αα 令式中C C R

K ,21=-一般称为球气差系数，则上式可写成 21202,102.1tan v i Cs s h -++=α （5-55）

（5-55）式就是单向观测计算高差的基本公式。式中垂直

角a ,仪器高i 和砚标高v ,均可由外业观测得到。0s 为实

测的水平距离，一般要化为高斯平面上的长度d 。

2.距离的归算

在图5-36中，B A H H 、分别为B A 、两点的高程（此

处已忽略了参考椭球面与大地水准面之间的差距，，其平均高程为mM H H H B A m ),(2

1+=

为平均高程水准面。由于实测距离0s －般不大（工程测量中一般在l0km 以内），所以可以将0s 视为在平均高程水准面上的距离。

由图5-36有下列关系

)1(100R

H s s R H R H R s s m m

m +=+=+= （5-56） 这就是表达实测距离0s 与参考椭球面上的距离s 之间的关系式。

参考椭球面上的距离s 和投影在高斯投影平面上的距离d 之间

)21(2

2R y d s m -= （5-57） 式中m y 为B A 、两点在高斯投影平面上投影点的横坐标的平均值。关系式（5-57）的推导将在第八章中讨论。

将（5-57）式代入（5-56）式中，并略去微小项后得

)21(220R

y R H d s m m -+= （5-58）

图5-36

3.用椭球面上的边长计算单向观测高差的公式

将（5-56）式代入（5-55）式，得

2122,12,1)1(tan v i Cs R

H s h m -+++=α （5-59） 式中2Cs 项的数值很小，故未顾及0s 与s 之间的差异。

4.用高斯平面上的边长计算单向观测高差的公式

将（5-57）式代入（5-59）式，舍去微小项后得

)2(tan )2(tan tan 222122,1222,1212

2,12.1R y R H h v i Cd d R y R H d v i Cd d h m

m m m -'+-++=-+-++=ααα （5-60） 式中2,1tan αd h ='。

令 h h '=?2

,1)2(2

2R y R H m m - （5-61） 则（5-60）式为

2,12122,12,1tan h v i Cd d h ?+-++=α

（5-62） （5-61）式中的m H 与R 相比较是一个微小的数值，只有在高山地区当m H 甚大而高差也较大时，才有必要顾及R H m 这一项。例如当m h m H m 100,1000='=时,R H m 带这一项对高差的影响还不到0.02m ，一般情况下，这一项可以略去。此外，当

时m h km y m 100,300='=,222R

y m 这－项对高差的影响约为0.llm 。如果要求高差计算正确到0.lm ，则只有h R

y m '22项小于0.04m 时才可略去不计，因此，（5-62）式中最后一项2,1h ?只有当h H m ',或m y 较大时才有必要顾及。

5.对向观测计算高差的公式

一般要求三角高程测量进行对向观测，也就是在测站A 上向B 点观测垂直角2,1α，而在测站B 上也向A 点观测垂直角1,2α，按（5-62）式有下列两个计算高差的式子。 由测站A 观测B 点

2,122,1212,12,1tan h d C v i d h ?++-+=α

则测站B 观测A 点

1,22121,21,21,2tan h d C v i d h ?++-+=α

式中，11v i 、和22v i 、分别为A 、B 点的仪器和觇标高度；2,1C 和1,2C 为由A 观测B 和B 观测A 时的球气差系数。如果观测是在同样情况下进行的，特别是在同一时间作对向观测，则可以近似地假定折光系数K 值对于对向观测是相同的，因此1,22,1C C =。在上面两个式子中, 2,1h ?与1,2h ?的大小相等而正负号相反。

从以上两个式子可得对向观测计算高差的基本公式

2,122111,22,1)(2,1)(2

1)(21)(21tan h v i v i d h ?+--++-=αα对向 （5-63） 式中

h R y R H h m m '?-=?)2(2

22,1 )(2

1tan 1,22,1αα-='d h 6.电磁波测距三角高程测量的高差计算公式

由于电磁波测距仪的发展异常迅速，不但其测距精度高，而且使用十分方便，可以同时测定边长和垂直角，提高了作业效率，因此，利用电磁波测距仪作三角高程测量已相当普遍。根据实测试验表明，当垂直角观测精度,0.2''±≤a m 边长在2km 范围内，电磁波测距三角高程测量完全可以替代四等水准测量，如果缩短边长或提高垂直角的测定精度，还可以进一步提高测定高差的精度。如5,1''±≤a m , ,边长在3.5km 范围内可达到四等水准测量的精度；边长在1.2km 范围内可达到三等水准测量的精度。

电磁波测距三角高程测量可按斜距由下列公式计算高差

Z i R

D K D h -+-+=αα22

cos 2)1(sin （5-64） 式中,h 为测站与镜站之间的高差；α为垂直角；D 为经气象改正后的斜距；K 为大气折光系数；i 为经纬仪水平轴到地面点的高度；Z 为反光镜瞄准中心到地面点的高度。

5.9.2 垂直角的观测方法

垂直角的观测方法有中丝法和三丝法两种。

1.中丝法

中丝法也称单丝法，就是以望远镜十字丝的水平中丝照准目标，构成一个测回的观测程序为：

在盘左位置，用水平中丝照准目标一次，如图5-37（a ）所示，使指标水准器气泡精密符合，读取垂直度读数，得盘左读数L 。

在盘右位置，按盘左时的方法进行照准和读数，得盘右读数R 。照准目标如图5-37（b ）所示。

2.三丝法

三丝法就是以上、中、下3条水平横丝依次照准目标。构成一个测回的观测程序为： 在盘左位置，按上、中、下3条水平横丝依次照准同一目标各一次，如图5-38（a ）所示，使指标水准器气泡精密符合，分别进行垂直度盘读数，得盘左读数L 。

图5-37 图5-38

在盘右位置，再按上、中、下3条水平横丝依次照准同一目标各一次，如图5-38（b ）所示，使指标水准器气泡精密符合．分别进行垂直度盘读数，得盘右读数R 。 在一个测站上观测时，一般将观测方向分成若干组，每组包括2～4个方向，分别进行观测，如通视条件不好，也可以分别对每个方向进行连续照准观测。

根据具体情况，在实际作业时可灵活采用上述两种方法，如T3光学经纬仪仅有一条水平横丝，在观测时只能采用中丝法。

按垂直度盘读数计算垂直角和指标差的公式列于表5-10。

表5-10

5.9.3 球气差系数C 值和大气折光系数K 值的确定

大气垂直折光系数K ,是随地区、气候、季节、地面覆盖物和视线超出地面高度等条件不同而变化的，要精确测定它的

数值，目前尚不可能。通过实验发现，

K 值在一天内的变化，大致在中午前

后数值最小，也较稳定；日出、日落

时数值最大，变化也快。因而垂直角

的观测时间最好在地方时10时至16

时之间，此时K 值约在0.08～0.14之

间，如图5-39所示。不少单位对K 值

进行过大量的计算和统计工作，例如某单位根据16个测区的资料统计，得

图5-39

出107.0=K 。

在实际作业中，往往不是直接测定K 值，而是设法确定C 值，因为R K C 21-=。而平均曲率半径R 对一个小测区来说是一个常数，所以确定了C 值, K 值也就知道了。由于K 值是 小于1的数值，故C 值永为正。

下面介绍确定C 值的两种方法。

1.根据水准测量的观测成果确定C 值

在已经由水准测量测得高差的两点之间观测垂直角，设由水准测量测得的高差为h ,那么，根据垂直角的观测值按（5-55）式计算两点之间的高差，如果所取的C 值正确的话，也应该得到相同的高差值，也就是

21202,10tan v i Cs s h -++=α

在实际计算时，一般先假定一个近似值0C ，代人上式可求得高差的近似值0h ，即

212002,100tan v i s C s h -++=α

即

2000)(s C C h h -=-

或

200

0s h h C C -=- （5-65）

令式中C C C ?=-0，则按（5-65）式求得的C ?值加在近似值0C 上，就可以得到正确的C 值。

2.根据同时对向观测的垂直角计算C 值

设两点间的正确高差为h ,由同时对向观测的成果算出的高差分别为2,1h 和1,2h 由于是同时对向观测，所以可以认为01,22,1C C C ==,则

20

2,1Cs h h ?+= 20

1,2Cs h h ?+=- 由以上两式可得

01

,22,12s h h C +=? （5-66）

从而可以按下式求出C 值

C C C ?+=0

无论用哪一种方法，都不能根据一两次测定的结果确定一个地区的平均折光系数，而必须从大量的三角高程测量数据中推算出来，然后再取平均值才较为可靠。

5.9.4 三角高程测量的精度

1.观测高差中误差

三角高程测量的精度受垂直角观测误差、仪器高和觇标高的量测误差、大气折光误差和垂线偏差变化等诸多因素的影响，而大气折光和垂线偏差的影响可能随地区不同而有较大的变化，尤其大气折光的影响与观测条件密切相关，如视线超出地面的高度等。因此不可能从理论上推导出一个普遍适用的计算公式，而只能根据大量实测资料，进行统计分析，才有可能求出一个大体上足以代表三角高程测量平均精度的经验公式。 根据各种不同地理条件的约20个测区的实测资料，对不同边长的三角高程测量的精度统计，得出下列经验公式

s P M h ?= （5-67）

式中, h M 为对向观测高差中数的中误差；s 为边长，以km 为单位；P 为每公里的高差中误差，以m/km 为单位。

根据资料的统计结果表明，P 的数值在0.013～0.022之间变化，平均值为0.018,一般取P =0.02，因此（5-67）式为

s M h 02.0±= （5-68）

（5-68）式可以作为三角高程测量平均精度与边长的关系式。

考虑到三角高程测量的精度，在不同类型的地区和不同的观测条件下，可能有较大的差异，现在从最不利的观测条件来考虑，取P =0.025作为最不利条件下的系数，即

s M h 025.0= （5-69）

公式（5-69）说明高差中误差与边长成正比例的关系，对短边三角高程测量精度较高，边长愈长精度愈低，对于平均边长为8km 时，高差中误差为士0.20m ；平均边长为

4.5km 时，高差中误差约为0.llm 。可见三角高程测量用短边传递高程较为有利。为了控制地形测图，要求高程控制点高程中误差不超过测图等高的1/10,对等高距为lm 的测图，则要求m M h 1.0±≤。

（5-69）式是作为规定限差的基本公式。

2.对向观测高差闭合差的限差

同一条观测边上对向观测高差的绝对值应相等，或者说对向观测高差之和应等于零，但实际上由于各种误差的影响不等于零，而产生所谓对向观测高差闭合差。对向观测也称往返测，所以对向观测高差闭合差也称为往返测高差闭合差，以W 表示

1,22,1h h W += （5-70）

以W m 表示闭合差W 的中误差，以0h m 表示单向观测高差h 的中误差，则由（5-70）式

得

222h W m m = 取两倍中误差作为限差，则往返测观测高差闭合差限W 为

0222h W m m W ±==限 （5-71）

若以h W 表示对向观测高差中误差，则单向观测高差中误差可以写为

h h M m 20=

顾及（5-69）式，则上式为

s m h 2025.00=

再将上式代入（5-71）式得

s s W 1.02025.022±=?±=限

（5-72） （5-72）式就是计算对向观测高差闭合差限差的公式。

3.环线闭合差的限差

如果若干条对向观测边构成一个闭合环线，其观测高差的总和应该等于零，当这一条件不能满足时，就产生环线闭合差。最简单的闭合环是三角形，这时的环线闭合差就是三角形高差闭合差。

321h h h W ++=

以W m 表示环线闭合差中误差；i h m 表示各边对向观测高差中数的中误差，则

22223

21h h h W m m m m ++= 对向观测高差中误差i h m 可用（5-69）式代入，再取两倍中误差作为限差，则环线闭合

差限W 限为

205.02i W s m W ∑±==限

（5-73）