江苏省启东中学2017届高三高考模拟考试 数学(5月)

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江苏省启东中学2017届高三高考模拟考试 数学（5

月）2017.5.24

数学Ⅰ试题 启中数学教研组制卷

一.填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．

1．全集{}{}{}

====B A B A C S S 则,7,5,3,9,5,0,9,7,5,3,1,

0 ▲ . 2.设a 为实数，若复数 (1＋2i)(1＋a i) 是纯虚数，则a 的值是 ▲ .

3.已知数列{}n a 的通项公式为21n a n =-，则数据1a ，2a ，3a ，4a ，5a 的标准差为 ▲ .

4.某学校为了解该校600名男生的百米成绩（单位：s ），随机选择了50名学生进行调查， 下图是这50名学生百米成绩的频率分布直方图。根据样本的频率分布，估计这600名学 生中成绩在[13,15]（单位：s ）内的人数大约是 ▲ .

5.阅读下列程序：输出的结果是 ▲ .

6．若将一个圆锥的侧面沿一条母线剪开，其展开图是半径为2 cm 的

半

圆，则该圆锥的体积为 ▲ .

7．已知ABC ?的三个内角A 、B 、C 成等差数列，且AB=2，AC=3，则C cos = ▲ .

9. 已知等差数列{an }的公差不为零，a 1＋a 2＋a 5＞13，且a 1，a 2，a 5 成等比数列，则a 1 的取值范围为

▲ ．

10. 已知椭圆的中心在坐标原点O, A,C 分别是椭圆的上下顶点，B 是椭圆的左顶点，F 是椭圆的左焦点，直线AF 与BC 相交于点D 。若椭圆的离心率为，则∠BDF 的正切值 。

11.如图，已知：|AC |=|BC |=4，∠ACB =90°，M 为BC 的中点，D 为以AC 为直径的圆上一动点，则AM DC ?的最大值是 ▲ .

12.在平面直角坐标xoy 中，设圆M 的半径为1，圆心在直线x-y-1=0上,若圆M 上不存在点N ，使NO=1

2

NA ,

其中A （0，3），则圆心M 横坐标的取值范围 ▲ . 13. 设函数)(x f 在R 上存在导数)('

x f ,对任意的R x ∈有2

)()(x x f x f =+-,且在),0(+∞上

)('x f x >.若a a f a f 22)()2(-≥--,则实数a 的取值范围 ▲ .

14.设函数2

2,0()log ,0x x f x x x ?≤?=?>??，若对任意给定的(2,)y ∈+∞，都存在唯一的x R ∈，满足

22(())2f f x a y ay =+，则正实数a 的最小值是

▲ .

二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．

内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

15. （本小题满分14分）

如图,在四棱柱1111D C B A ABCD -中,已知平面⊥C C AA 11平面,A B C D

且3===CA BC AB ,1==CD AD .(1)

求证:;1AA BD ⊥

(2) 若E 为棱BC 上的一点,且//AE 平面11D DCC ,求线段BE 的长度

16. （本小题满分14分）

设函数()x x x x x f cos sin 3cos 62sin 2++??

?

??+=π.（1）若4π

（2） 设C B A ,,为ABC ?的三个内角，若2

52=??

? ??A f ,(

)cos A C +=cos C 的值；

17. （本小题满分15分）

噪声污染已经成为影响人们身体健康和生活质量的严重问题.实践证明， 声音强度D （分贝）由公式

lg D a I b =+(a b 、为非零常数)给出，其中)/(2cm W I 为声音能量.

（1）当声音强度321,,D D D 满足32132D D D =+时，求对应的声音能量321,,I I I 满足的等量关系式； （2）当人们低声说话，声音能量为213/10cm W -时，声音强度为30分贝；当人们正常说话，声音能量为

212/10cm W -时，声音强度为40分贝.当声音能量大于60分贝时属于噪音，一般人在100分贝~120分贝

的空间内，一分钟就会暂时性失聪.问声音能量在什么范围时，人会暂时性失聪.

18（本小题满分15分）

给定椭圆()2222:10x y C a b a b

+=>>，称圆心在坐标原点O

C 的“伴随圆”，

已知椭圆C

的两个焦点分别是(

))

12

,F F .

（1）若椭圆C 上一动点1M 满足11124M F M F +=，求椭圆C 及其“伴随圆”的方程；

1A E

C

D B

A

1D

1B

1C

第15题

（2）在（1）的条件下，过点()()0,0P t t <作直线l 与椭圆C 只有一个交点，且截椭圆C 的“伴随圆”所

得弦长为P 点的坐标； （3）已知()()cos 3

,,0,sin sin m n mn m n θθπθθ

+=-

=-≠∈，是否存在a ，b ，使椭圆C 的“伴随圆”上的点到过两点()()

22,,,m m n n

的直线的最短距离min d b =.若存在，求出a ，b 的值；若不存在，

请说明理由.

19.（本小题满分16分）

数列{}n a 满足:2321===a a a ,1...211-=+n n a a a a (n ≥3),

记22

2

212

12

n n n b a a a a a a -=+++-(n ≥3).(1)求证数列{}n b 为等差数列,并求通项式;(2)设

22

1

11

1n n n c b b +=+

+,数列

的前n 项和为n S ,求证:n

20．（本小题满分16分）

已知函数.

(1当 时， 与)在定义域上单调性相反，求的

的最小值。（2）当

时，求证：存在，使的三个不同的实数解， 且对任意且都

有.

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江苏省启东中学2017届高考模拟考试2017.5.24

数学Ⅱ加试题 启中数学教研组制卷

考试时间30分钟；满分40分

21B 矩阵与变换： 已知a ，b ∈R ，若13a M b -??

= ???

所对应的变换M T 把直线:23L x y -= 变换为自身，

求实数,a b ，并求M 的逆矩阵．

21C 极坐标与参数方程： 已知点P

是曲线2cos ,

:(,

x C y θθπθπθ=??≤≤?=??为参数，2)上一点，O 为原

点．若直线OP 的倾斜角为3

π

，求点P 的直角坐标．

22．如图，已知三棱柱ABC —A 1B 1C 1的侧棱与底面垂直，AA 1＝AB ＝AC ＝1，AB ⊥AC ，M 、N 分别是CC 1、

BC 的中点，点P 在直线A 1B 1上，且满足111B A P A λ=（∈λR ）． （1）证明：PN ⊥AM ；

（2）若平面PMN 与平面ABC 所成的角为45°，试确定点P 的位置．

23．一个非空集合中的各个元素之和是3的倍数，则称该集合为“好集”．记集合 {1，2，3，…，3n }的子

集中所有“好集”的个数为f (n )．（1）求f (1)，f (2)的值； （2）求f (n )的表达式．

江苏省启东中学2017届高考模拟考试 数学Ⅰ试题答案

一.填空题

1. {}

3,7

2.

3. 4.240 5.2,5,10

6.

7.

8. 9.(1,)+∞

10.

11.8+ 12.12

(,0)(,)5-∞?+∞ 13.(,1]-∞ 14.

二.解答题

15 ⑴在四边形ABCD 中,因为BA BC =,DA DC =,所以BD AC ⊥, --------2分 又平面11AAC C ⊥平面ABCD ,且平面11AAC C

平面ABCD AC =, BD ?平面ABCD ,所以BD ⊥平面

11AA C C ,------5分 又因为1AA ?平面11AA C C ,所以1B D A A

⊥

--7分 （2）

.-------------14分

16.解：（1）()x x x x x f 2sin 2

3

22cos 12cos 212sin 23++++=

＝2162sin 2212cos 2sin 3+??? ?

?

+=++πx x x …………4分

4π

<

x 32623ππ

π

<

+

<-

∴x 162sin 23≤??? ?

?

+<-∴πx …………6分 ()25321≤<-∴x f , 即()x f 的值域为??? ??-25,32

1

；…………7分

（2）由252=??? ??A f , 得16sin =??? ?

?

+πA ，又A 为?ABC 的内角，所以3π=A ,……9分

又因为在?ABC 中, ()1435cos -

=+C A , 所以()14

11

sin =+C A ……10分 所以()()1433sin 23cos 213cos cos =

+++=??? ?

?

-+=C A C A C A C π…………14分 17.（1）32132D D D =+

)lg (3)lg (2lg 321b I a b I a b I a +=+++∴ …………………………2分 321lg 3lg 2lg I I I =+∴ ………………………………………………4分 3

32

21I I I =?∴ …………………………………………………6分 （2）由题意得??

?=+-=+-40

1230

13b a b a ………………………………………10分

?

??==16010

b a ………………………………………12分

∴120160lg 10100<+

4

61010--<

答：当声音能量)10

,10(4

6--∈I 时，人会暂时性失聪. ………………………………15分

19.解：解:(1)方法一 当

n ≥3

时,因22

2212

12

n n n b a a a a a a -=+++-①, 故

22

22

112112

1n n n n n b a a a a a a a a -++=++

++-② ----------------------2分

②-①,得 b n -1-b n -2=2

112

1(1)n n n a a a a a ++--=2

111(1)(1)n n n a a a +++-+-=1,为常数,所以,数列{b n }为等差数列

--------------------------------------------5分

因 b 1=222

12

3123a a a a a a ++-=4,故 b n =n +3 -------------------8分 方法二 当n ≥3时,a 1a 2a n =1+a n +1, a 1a 2a n a n +1=1+a n +2, 将上两式相除并变形,得 2

1211n n n a a a +++=-+ ------2

分 于是,当n ∈N*时, 22

2

122122n n n b a a a a a a ++=+++- 222

123543212

2(1)(1)n n n a a a a a a a a a a +++=+++-+++-+-

222

123343(1)(1)n n a a a a a n a ++=+++-+--+410n a =+-. ----------------5分

又a 4=a 1a 2a 3-1=7,故b n =n +3(n ∈N*).

所以数列{b n }为等差数列,且b n =n +3 -----------------------8分

(2) 因 n c 22111(3)(4)n n =++++2

22((3)(4)1)(3)(4)n n n n +++=

++, ----------10分 故

(3)(4)1(3)(4)n n n n +++=

++11(3)(4)n n =+++11

134

n n =+-

++. ----12分 所以 1111

11(1)(1)(1)4556

34n S n n =+

-++-+++

-+

+11

44

n n =+-

+, 即 n

<112

n +

+,于是1(1)12n S n n n <+<++. 于是1(1)12n S n n n <+<++.---16分

20. 解析：(1)因为22'

'2

2212(2)(),();(1)ax bx cx c x c f x g x x x x -+-+--=

=+---------2分。 当12

a =时，2'

21()x bx f x x -+=；当1b ≤时，2210x bx -+≥对(0,)x ∈+∞恒成立，

所以，0)('

≥x f 对(0,)x ∈+∞恒成立，所以，()f x 在(0,)x ∈+∞上为增函数。

根据()f x 和()g x 在定义域上单调性相反得，()g x 在),0(+∞上为减函数，所以'()0g x ≤对

(0,)x ∈+∞

恒成立，

即：24(1)x c x ≤+，所以2

4(1)x c x ≥+因为241(1)x x ≤=+，当且仅当1x =时，24(1)x x +取最大值1.所以1c ≥，此时||b c +的最小值是1，

-------6分

(2)因为2'

221

(),a x b x f x x

-+=当0b >时，0a >，且一元二次方程22210ax bx -+=的

24(2)0b a ?=

->，所以2

2

210a

x b x -+=有两个不相等的实根

12x x ==----------------------------8分

当1(0,)x x ∈时，()f x 为增函数；1()(,())f x f x ∈-∞ 当12(,)x x x ∈时，()f x 为减函数；21()((),())f x f x f x ∈ 当2(,)x x ∈+∞时，()f x 为增函数；2()((),)f x f x ∈+∞

所以当21((),())m f x f x ∈时，()f x m =一定有3个不相等的实根1t ，2t ，3t

分别在1122(,)+x x x x -∞∞、(，)、(，)内，不妨设i j t t <，因为(),()i j f t m f t m ==，所以()()i j f t f t =即22ln 2ln 2i i i j j j t at bt t at bt +-=+-即22ln ln ()2()i j i j i j t t a t t b t t -=--+-

即

1

ln ()2i i j i j j

t a t t b t t t =-++-所以

1

l n ()2

i i j i j j

t a t t b t t t =-++-所以

221

[2()]ln i i j i j i j i j j t b a t t t t t t t t t --+=-++-]ln )(2[1tj

t t t t t t t i j i j i j i -+--= ]ln 1)1(

2[1tj t t t t t t t i j i j i j i -+--=，令t tj t i =，则t t t tj t t t t t

i j

i

j i ln 1)

1(2ln 1)1(2-+-=-+-

由（1）知x x x x g ln 1

2

2)(-+-=在),0(+∞上为减函数，又0)1(=g 所以当，

10<

)

1(2>-+-t t t ，又

,01<-j i t t 所以

,0)](2[2<+--+j i j i t t a b t t 即).(22

j i j

i t t a b t t +-<+----------------16分

数学Ⅱ（附加题）答案

21．B 解：设),(y x P 为直线32=-y x 上任意一点其在M 的作用下变为),(y x ''

则13a b -??

???33x x ay x x x ay

y bx y y y bx y

''-+=-+???????==?? ?

? ?''+=+??????? 代入32=-y x 得：3)32()2(=-++-y a x b ---------------------3分

其与32=-y x 完全一样得??

?=-=???

?-=-=--1

4

13222a b a b 则矩阵1143M -??

=

?-??

----------------------------------------------6分

则1

3141M

--??= ?-??

--------------------------------------------------10分 21C 解：由题意得，曲线C 的直角坐标方程为22

1,(0)43

x y y +=≤，---------------（2分）

直线OP

方程为y =，---------------（4分）

方程联立得，,

5x y ?=????=??

（舍去）

，或5x y ?=????=-??

故点P

的直角坐标为(---------------（10分） 22．解：（1）证明：如图，以AB ，AC ，AA 1分别为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系A －xyz ．则P （λ，

0,1），N （12，12，0），M （0,1，1

2），------------------------2分

从而PN ＝（12－λ，12，－1），AM ＝（0,1，1

2），P N A M ?＝（12－λ)×0＋12×1－1×12

＝0，所以PN ⊥AM ;

----------------------------------------------------------4分 （2）平面ABC 的一个法向量为n ＝1AA ＝（0,0,1）． 设平面PMN 的一个法向量为m ＝（x ，y ，z ）， 由（1）得MP ＝（λ，－1，1

2

）．

由???

???

?

=+-=+--?????=?=?.

021,021)21(,0,0z y x z y x m NP m λλ得 解得))1(2,12,3(,3.3)1(2,312λλλλ-+==???

????

-=+=m x x z x y 得令．------------6分 ∵平面PMN 与平面ABC 所成的二面角为45°，

∴|cos 〈m ，n 〉|＝|m ·n |m |·|n ||＝|2(1－λ)|9＋(2λ＋1)2＋4(1－λ)2＝2

2， 解得λ＝－1

2． --------------------------------------------8分

故点P 在B 1A 1的延长线上，且|A 1P |＝1

2

． ----------------------10分

23．解：(1)易得f (1)=3； -----------------------------------------1分

当n =2时，集合{1，2，3，4，5，6}的子集中是“好集”的有：

单元集：{3}，{6}共2个，双元集{1,2}，{1,5}，{2,4}，{4,5}，{3,6}共5个，三元集有：{1,2,3}，{1,2,6}，{1,3,5}，{1,5,6}，{4,2,3}，{4,2,6}，{4,3,5}，{4,5,6}共8个，四元集有{3,4,5,6}，{2,3,4,6}，{1,3,5,6}，{1,2,3,6}，{1,2,4 ,5}共五个，五元集{1,2,4,5,6}，{1,2,3,4,5}共2个，还有一个全集． 故f (2)＝1+(2+5)×2+8＝23． ----------------------------- 4分 (2)首先考虑f (n +1)与f (n )的关系．

集合{1，2，3，…，3n ，3n +1，3n +2，3n +3}在集合{1，2，3，…，3n }中加入3个元素3n +1，3n +2，3

n +3．故f (n +1)的组成有以下几部分：①原还的f (n )个集合；②含有元素3n +1的“好集”是{1，2，

3，…，3n }中各元素之和被3除余2的集合，含有元素是3n +2的“好集”是{1，2，3，…，3n }中各元素之和被3除余1的集合，含有元素是3n +,3的“好集”是{1，2，3，…，3n }中各元素之和被3除余0的集合，合计是23n ；③含有元素是3n +1与3n +2的“好集”是{1，2，3，…，3n }中各元素之和被3除余0的集合，含有元素是3n +2与3n +3的“好集”是{1，2，3，…，3n }中各元素之和被3除余1的集合，含有元素是3n +1与3n +3的“好集”是{1，2，3，…，3n }中各元素之和被3除余2的集合，合计是23n ；④含有元素是3n +1，3n +2，3n +3的“好集”是{1，2，3，…，3n }中“好集”与它的并，再加上{3n +1，3n +2，3n +3}。

所以，f (n +1)＝2 f (n )+2×23n +1． -----------------------------------------7分 两边同除以2n +1，得f (n +1)2n +1－f (n )2n ＝4n +1

2

n +1，

所以 f (n )2n ＝4n -1+4n -2+…+4+12n +12n -1+…+122+32＝4n

－13+1－1

2

n ，

即f (n )＝2n (4n －1)3+2n

－1． ----------------------------------10分．