2017届新人教B版 函数y=Asin(ωx+φ)的图象及应用 课时作业

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课时作业23 函数y =A sin(ωx +φ)的图象及应用

一、选择题

1.为了得到函数y =sin(x +1)的图象,只需把函数y =sin x 的图象上所有的点( )

A .向左平行移动1个单位长度

B .向右平行移动1个单位长度

C .向左平行移动π个单位长度

D .向右平行移动π个单位长度

解析:由y =sin x 得y =sin(x +1)只需向左平移1个单位即可. 答案:A

2.函数f (x )=A sin(2x +φ)(A ,φ∈R )的部分图象如图所示,那么f (0)=( )

A .-12

B .-1

C .-3

2

D .- 3

解析:由图象知A =2,图象过点(π

3,2), ∴2sin(π

3×2+φ)=2, ∴2π3+φ=π

2+2k π,k ∈Z ,

∴φ=-π

6+2k π,k ∈Z ,

∴φ=-π6,∴f (0)=2sin(-π

6)=-1. 答案:B

3.函数f (x )=sin x +sin ? ??

??2π3-x 图象的一条对称轴为( ) A .x =π

2 B .x =π C .x =π

6

D .x =π

3

解析:f (x )=32sin x +3

2cos x =3sin ?

????x +π6,由x +π6=π2+k π,

∴x =π

3+k π(k ∈Z ).

答案:D

4.(2015·陕西卷)如图,某港口一天6时到18时的水深变化曲线

近似满足函数y =3sin ? ??

??

π6x +φ+k ,据此函数可知,这段时间水深(单位:m)的最大值为( )

A .5

B .6

C .8

D .10

解析:由题图可知,当sin ? ??

??

π6x +φ=-1时,函数取得最小值2,

即3×(-1)+k =2,∴k =5.因此,函数的最大值是8.故水深的最大值为8 m.

答案:C

5.(2015·湖南卷)将函数f (x )=sin2x 的图象向右平移φ?

???

?

0<φ<π2个单位后得到函数g (x )的图象.若对满足|f (x 1)-g (x 2)|=2的x 1,x 2,有|x 1-x 2|min =π

3,则φ=( )

A.5π12

B.π3

C.π4

D.π6

解析:函数f (x ),g (x )的最大值均为1,最小值均为-1,故当|f (x 1)-g (x 2)|=2时,则f (x 1)和g (x 2)中有一个取最大值1,另一个取最小值-1,因为f (x )的周期为π,相邻最大值和最小值相距为π2,故π

2-φ=π3,φ=π6.

答案:D

6.(2015·安徽卷)已知函数f (x )=A sin(ωx +φ)(A ,ω,φ均为正的常数)的最小正周期为π,当x =2π

3时,函数f (x )取得最小值,则下列结论正确的是( )

A .f (2)

B .f (0)

C .f (-2)

D .f (2)

2π|ω|

=π,可得ω=2(ω>0),又由在x =2π

3时函数f (x )取得最小值,则有2×2π3+φ=2k π+3π

2,解得φ=2k π

+π6(k ∈Z ),则函数的解析式为f (x )=A sin ? ????

2x +2k π+π6=

A sin ? ????2x +π6(A >0,k ∈Z )即有f (0)=1

2A ,f (-2)=A sin(-4+π6),f (2)

=A sin ? ????4+π6,根据正弦函数的性质可知,sin ? ????

-4+π6

f (-2)

??

4+π6

2)

答案:A 二、填空题

7.函数y =A sin(ωx +φ)(A ,ω,φ为常数,A >0,ω>0)在闭区间[-π,0]上的图象如图所示,则ω=________.

解析:由图象可以看出3

2T =π, ∴T =2

3π=2πω,因此ω=3.

答案:3

8.(2015·浙江卷)函数f (x )=sin 2x +sin x cos x +1的最小正周期是________,单调递减区间是________.

解析:由于f (x )=sin 2

x +sin x cos x +1=12(1-cos2x )+1

2sin2x +1=

22sin ? ?

??

?2x -π4+32,则其最小正周期为T =2π2=π;由2k π+π2≤2x -π4≤2k π+3π2,k ∈Z 可得,k π+3π8≤x ≤k π+7π

8,k ∈Z ,即

为其单调递减区间.

答案:π ?

?????

k π+3π8,k π+7π8(k ∈Z )

9.若将函数y =tan ? ????

ωx +π4(ω>0)的图象向右平移π6个单位长度

后,与函数y =tan ? ??

??

ωx +π6的图象重合,则ω的最小值为________.

解析:y =tan ? ????

ωx +π4向右平移π6个单位长度后得到函数解析式

为y =tan[ω(x -π6)+π4]=tan ?

????

ωx -ωπ6+π4,显然当π4-πω6=π6+k π,k ∈Z 时,两图象重合,此时ω=1

2-6k ,k ∈Z .∵ω>0,∴k =0时,ω的最小值为1

2.

答案:12 三、解答题

10.函数f (x )=3sin ?

????

2x +π6的部分图象如图所示.

(1)写出f (x )的最小正周期及图中x 0,y 0的值;

(2)求f (x )在区间??????

-π2

,-π12上的最大值和最小值.

解:(1)f (x )的最小正周期为π,x 0=7π

6,y 0=3.

(2)因为x ∈??????

-π2

,-π12,

所以2x +π6∈??????

-5π6,0.

于是,当2x +π

6=0.

即x =-π

12时,f (x )取得最大值0; 当2x +π6=-π

2,

即x =-π

3时,f (x )取得最小值-3.

11.已知函数f (x )=23sin x cos x +2sin 2x -1,x ∈R . (1)求函数f (x )的最小正周期和单调递增区间;

(2)将函数y =f (x )的图象上各点的纵坐标保持不变,横坐标缩短到原来的1

2,再把所得到的图象向左平移π6个单位长度,得到函数y

=g (x )的图象,求函数y =g (x )在区间????

??

-π6,π12上的值域.

解:(1)因为f (x )=23sin x cos x +2sin 2x -1=3sin2x -cos2x =

2sin ?

????2x -π6,

∴函数f (x )的最小正周期为T =π, 由-π2+2k π≤2x -π6≤π

2+2k π,k ∈Z , ∴-π6+k π≤x ≤π

3+k π,k ∈Z ,

∴f (x )的单调递增区间为????

??-π6+k π,π3+k π,k ∈Z .

(2)函数y =f (x )的图象上各点的纵坐标保持不变,横坐标缩短到

原来的1

2,得到y =2sin ?

????4x -π6;

再把所得到的图象向左平移π

6个单位长度,得到g (x )=

2sin ??????

4?

????x +π6-π6=2sin ? ????4x +π2=2cos4x ,

当x ∈??????-π6,π12时,4x ∈?

?????

-2π3,π3,

所以当x =0时,g (x )max =2, 当x =-π

6时,g (x )min =-1.

∴y =g (x )在区间????

??

-π6,π12上的值域为[-1,2].

1.(2016·贵州贵阳监测)为得到函数y =sin ?

????

x +π3的图象,可将

函数y =sin x 的图象向左平移m 个单位长度,或向右平移n 个单位长度(m ,n 均为正数),则|m -n |的最小值是( )

A.π

3 B.2π3 C.4π3

D.5π3

解析:由题意可知,m =π3+2k 1π,k 1为非负整数,n =-π

3+

2k 2π,k 2为正整数,∴|m -n |=????

??

2π3+2(k 1-k 2)π,∴当k 1=k 2

时,|m -n |min =2π

3.

答案:B

2.(2016·河南郑州一模)如图,函数f (x )=A sin(ωx +

φ)? ??

??

其中A >0,ω>0,|φ|≤π2与坐标轴的三个交点P ,Q ,R 满足P (1,

0),∠PQR =π

4,M (2,-2)为线段QR 的中点,则A 的值是( )

A .2 3 B.733 C.833

D .4 3

解析:依题意得,点Q 的横坐标是4,R 的纵坐标是-4,T =

ω

=2|PQ |=6,ω=π

3,A sin φ=-4.f ? ????1+42=A sin ? ????π3×52+φ=A >0,即sin ? ????5π6+φ=1.又|φ|≤π2,π3≤5π6+φ≤4π3,因此5π6+φ=π

2,φ=-π3,A sin ? ??

??-π3=-4,A =83

3,选C.

答案:C

3.(2016·江西南昌一模)如图,M (x M ,y M ),N (x N ,y N )分别是函数f (x )=A sin(ωx +φ)(A >0,ω>0)的图象与两条直线l 1:y =m (A ≥m ≥0),l 2:y =-m 的两个交点,记S (m )=|x N -x M |,则S (m )的图象大致是( )

解析:如图所示,作曲线y =f (x )的对称轴x =x 1,x =x 2,点M 与

点D 关于直线x =x 1对称,点N 与点C 关于直线x =x 2对称,

所以x M +x D =2x 1,x C +x N =2x 2, 所以x D =2x 1-x M ,x C =2x 2-x N .

又点M 与点C 、点D 与点N 都关于点B 对称, 所以x M +x C =2x B ,x D +x N =2x B ,

所以x M +2x 2-x N =2x B ,2x 1-x M +x N =2x B , 得x M -x N =2(x B -x 2)=-T 2,x N -x M =2(x B -x 1)=T

2, 所以|x M -x N |=T 2=π

ω

(常数),选C.

答案:C

4.(2015·湖北卷)某同学用“五点法”画函数f (x )=A sin(ωx +

φ)?

????

ω>0,|φ|<π2在某一个周期内的图象时,列表并填入了部分数据,

如下表:

(1) (2)将y =f (x )图象上所有点向左平行移动θ(θ>0)个单位长度,得

到y =g (x )的图象.若y =g (x )图象的一个对称中心为? ??

??5π12,0,求θ的最小值.

解:(1)根据表中已知数据,解得A =5,ω=2,φ=-π

6.数据补全如下表:

且函数表达式为f (x )=5sin ?

??2x -6.

(2)由(1)知f (x )=5sin ? ????2x -π6,得g (x )=5sin ?

????

2x +2θ-π6.

因为y =sin x 的对称中心为(k π,0),k ∈Z . 令2x +2θ-π6=k π,解得x =k π2+π

12-θ,k ∈Z .

由于函数y =g (x )的图象关于点? ??

??5π12,0成中心对称, 令k π2+π12-θ=5π12,解得θ=k π2-π

3,k ∈Z . 由θ>0可知,当k =1时,θ取得最小值π

6.

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