2017届新人教B版 函数y=Asin(ωx+φ)的图象及应用 课时作业
课时作业23 函数y =A sin(ωx +φ)的图象及应用
一、选择题
1.为了得到函数y =sin(x +1)的图象,只需把函数y =sin x 的图象上所有的点( )
A .向左平行移动1个单位长度
B .向右平行移动1个单位长度
C .向左平行移动π个单位长度
D .向右平行移动π个单位长度
解析:由y =sin x 得y =sin(x +1)只需向左平移1个单位即可. 答案:A
2.函数f (x )=A sin(2x +φ)(A ,φ∈R )的部分图象如图所示,那么f (0)=( )
A .-12
B .-1
C .-3
2
D .- 3
解析:由图象知A =2,图象过点(π
3,2), ∴2sin(π
3×2+φ)=2, ∴2π3+φ=π
2+2k π,k ∈Z ,
∴φ=-π
6+2k π,k ∈Z ,
∴φ=-π6,∴f (0)=2sin(-π
6)=-1. 答案:B
3.函数f (x )=sin x +sin ? ??
??2π3-x 图象的一条对称轴为( ) A .x =π
2 B .x =π C .x =π
6
D .x =π
3
解析:f (x )=32sin x +3
2cos x =3sin ?
????x +π6,由x +π6=π2+k π,
∴x =π
3+k π(k ∈Z ).
答案:D
4.(2015·陕西卷)如图,某港口一天6时到18时的水深变化曲线
近似满足函数y =3sin ? ??
??
π6x +φ+k ,据此函数可知,这段时间水深(单位:m)的最大值为( )
A .5
B .6
C .8
D .10
解析:由题图可知,当sin ? ??
??
π6x +φ=-1时,函数取得最小值2,
即3×(-1)+k =2,∴k =5.因此,函数的最大值是8.故水深的最大值为8 m.
答案:C
5.(2015·湖南卷)将函数f (x )=sin2x 的图象向右平移φ?
???
?
0<φ<π2个单位后得到函数g (x )的图象.若对满足|f (x 1)-g (x 2)|=2的x 1,x 2,有|x 1-x 2|min =π
3,则φ=( )
A.5π12
B.π3
C.π4
D.π6
解析:函数f (x ),g (x )的最大值均为1,最小值均为-1,故当|f (x 1)-g (x 2)|=2时,则f (x 1)和g (x 2)中有一个取最大值1,另一个取最小值-1,因为f (x )的周期为π,相邻最大值和最小值相距为π2,故π
2-φ=π3,φ=π6.
答案:D
6.(2015·安徽卷)已知函数f (x )=A sin(ωx +φ)(A ,ω,φ均为正的常数)的最小正周期为π,当x =2π
3时,函数f (x )取得最小值,则下列结论正确的是( )
A .f (2) B .f (0) C .f (-2) D .f (2) 2π|ω| =π,可得ω=2(ω>0),又由在x =2π 3时函数f (x )取得最小值,则有2×2π3+φ=2k π+3π 2,解得φ=2k π +π6(k ∈Z ),则函数的解析式为f (x )=A sin ? ???? 2x +2k π+π6= A sin ? ????2x +π6(A >0,k ∈Z )即有f (0)=1 2A ,f (-2)=A sin(-4+π6),f (2) =A sin ? ????4+π6,根据正弦函数的性质可知,sin ? ???? -4+π6 f (-2) ?? 4+π6 2) 答案:A 二、填空题 7.函数y =A sin(ωx +φ)(A ,ω,φ为常数,A >0,ω>0)在闭区间[-π,0]上的图象如图所示,则ω=________. 解析:由图象可以看出3 2T =π, ∴T =2 3π=2πω,因此ω=3. 答案:3 8.(2015·浙江卷)函数f (x )=sin 2x +sin x cos x +1的最小正周期是________,单调递减区间是________. 解析:由于f (x )=sin 2 x +sin x cos x +1=12(1-cos2x )+1 2sin2x +1= 22sin ? ? ?? ?2x -π4+32,则其最小正周期为T =2π2=π;由2k π+π2≤2x -π4≤2k π+3π2,k ∈Z 可得,k π+3π8≤x ≤k π+7π 8,k ∈Z ,即 为其单调递减区间. 答案:π ? ????? k π+3π8,k π+7π8(k ∈Z ) 9.若将函数y =tan ? ???? ωx +π4(ω>0)的图象向右平移π6个单位长度 后,与函数y =tan ? ?? ?? ωx +π6的图象重合,则ω的最小值为________. 解析:y =tan ? ???? ωx +π4向右平移π6个单位长度后得到函数解析式 为y =tan[ω(x -π6)+π4]=tan ? ???? ωx -ωπ6+π4,显然当π4-πω6=π6+k π,k ∈Z 时,两图象重合,此时ω=1 2-6k ,k ∈Z .∵ω>0,∴k =0时,ω的最小值为1 2. 答案:12 三、解答题 10.函数f (x )=3sin ? ???? 2x +π6的部分图象如图所示. (1)写出f (x )的最小正周期及图中x 0,y 0的值; (2)求f (x )在区间?????? -π2 ,-π12上的最大值和最小值. 解:(1)f (x )的最小正周期为π,x 0=7π 6,y 0=3. (2)因为x ∈?????? -π2 ,-π12, 所以2x +π6∈?????? -5π6,0. 于是,当2x +π 6=0. 即x =-π 12时,f (x )取得最大值0; 当2x +π6=-π 2, 即x =-π 3时,f (x )取得最小值-3. 11.已知函数f (x )=23sin x cos x +2sin 2x -1,x ∈R . (1)求函数f (x )的最小正周期和单调递增区间; (2)将函数y =f (x )的图象上各点的纵坐标保持不变,横坐标缩短到原来的1 2,再把所得到的图象向左平移π6个单位长度,得到函数y =g (x )的图象,求函数y =g (x )在区间???? ?? -π6,π12上的值域. 解:(1)因为f (x )=23sin x cos x +2sin 2x -1=3sin2x -cos2x = 2sin ? ????2x -π6, ∴函数f (x )的最小正周期为T =π, 由-π2+2k π≤2x -π6≤π 2+2k π,k ∈Z , ∴-π6+k π≤x ≤π 3+k π,k ∈Z , ∴f (x )的单调递增区间为???? ??-π6+k π,π3+k π,k ∈Z . (2)函数y =f (x )的图象上各点的纵坐标保持不变,横坐标缩短到 原来的1 2,得到y =2sin ? ????4x -π6; 再把所得到的图象向左平移π 6个单位长度,得到g (x )= 2sin ?????? 4? ????x +π6-π6=2sin ? ????4x +π2=2cos4x , 当x ∈??????-π6,π12时,4x ∈? ????? -2π3,π3, 所以当x =0时,g (x )max =2, 当x =-π 6时,g (x )min =-1. ∴y =g (x )在区间???? ?? -π6,π12上的值域为[-1,2]. 1.(2016·贵州贵阳监测)为得到函数y =sin ? ???? x +π3的图象,可将 函数y =sin x 的图象向左平移m 个单位长度,或向右平移n 个单位长度(m ,n 均为正数),则|m -n |的最小值是( ) A.π 3 B.2π3 C.4π3 D.5π3 解析:由题意可知,m =π3+2k 1π,k 1为非负整数,n =-π 3+ 2k 2π,k 2为正整数,∴|m -n |=???? ?? 2π3+2(k 1-k 2)π,∴当k 1=k 2 时,|m -n |min =2π 3. 答案:B 2.(2016·河南郑州一模)如图,函数f (x )=A sin(ωx + φ)? ?? ?? 其中A >0,ω>0,|φ|≤π2与坐标轴的三个交点P ,Q ,R 满足P (1, 0),∠PQR =π 4,M (2,-2)为线段QR 的中点,则A 的值是( ) A .2 3 B.733 C.833 D .4 3 解析:依题意得,点Q 的横坐标是4,R 的纵坐标是-4,T = 2π ω =2|PQ |=6,ω=π 3,A sin φ=-4.f ? ????1+42=A sin ? ????π3×52+φ=A >0,即sin ? ????5π6+φ=1.又|φ|≤π2,π3≤5π6+φ≤4π3,因此5π6+φ=π 2,φ=-π3,A sin ? ?? ??-π3=-4,A =83 3,选C. 答案:C 3.(2016·江西南昌一模)如图,M (x M ,y M ),N (x N ,y N )分别是函数f (x )=A sin(ωx +φ)(A >0,ω>0)的图象与两条直线l 1:y =m (A ≥m ≥0),l 2:y =-m 的两个交点,记S (m )=|x N -x M |,则S (m )的图象大致是( ) 解析:如图所示,作曲线y =f (x )的对称轴x =x 1,x =x 2,点M 与 点D 关于直线x =x 1对称,点N 与点C 关于直线x =x 2对称, 所以x M +x D =2x 1,x C +x N =2x 2, 所以x D =2x 1-x M ,x C =2x 2-x N . 又点M 与点C 、点D 与点N 都关于点B 对称, 所以x M +x C =2x B ,x D +x N =2x B , 所以x M +2x 2-x N =2x B ,2x 1-x M +x N =2x B , 得x M -x N =2(x B -x 2)=-T 2,x N -x M =2(x B -x 1)=T 2, 所以|x M -x N |=T 2=π ω (常数),选C. 答案:C 4.(2015·湖北卷)某同学用“五点法”画函数f (x )=A sin(ωx + φ)? ???? ω>0,|φ|<π2在某一个周期内的图象时,列表并填入了部分数据, 如下表: (1) (2)将y =f (x )图象上所有点向左平行移动θ(θ>0)个单位长度,得 到y =g (x )的图象.若y =g (x )图象的一个对称中心为? ?? ??5π12,0,求θ的最小值. 解:(1)根据表中已知数据,解得A =5,ω=2,φ=-π 6.数据补全如下表: 且函数表达式为f (x )=5sin ? ??2x -6. (2)由(1)知f (x )=5sin ? ????2x -π6,得g (x )=5sin ? ???? 2x +2θ-π6. 因为y =sin x 的对称中心为(k π,0),k ∈Z . 令2x +2θ-π6=k π,解得x =k π2+π 12-θ,k ∈Z . 由于函数y =g (x )的图象关于点? ?? ??5π12,0成中心对称, 令k π2+π12-θ=5π12,解得θ=k π2-π 3,k ∈Z . 由θ>0可知,当k =1时,θ取得最小值π 6.