第7讲 基本不等式及其应用
第7讲 基本不等式及其应用
[知识梳理]
1常用基本不等式
（1）a 2≥0，a ∈R
（2）a 2
+b 2
≥2ab （a,b ∈R ，当且仅当a=b 时等号成立） （3）a+b ≥2 （a,b ∈R +
，当且仅当a=b 时等号成立）
≥2 （a b>0，当且仅当a=b 时等号成立） ≤-2 （a b<0，当且仅当a=b 时等号成立） （4）
a 3+
b 3+
c 3≥3abc （a,b,c ∈R +，当且仅当a=b=c 时等号成立）
a+b+c ≥3（a,b,c ∈R +
，当且仅当a=b=c 时等号成立）
推广：如果，那么
。（当且仅当时取“=”）。
即个数的算术平均数不小于他们的几何平均数。 2．基本不等式的应用
主要关注与
的应用：用比较法证明不等式；求最大（最小）值；解决一些实际问题。 [例题点拨]
[例1] 求下列代数式的最值：
（1）已知，求的最小值； （2）已知，求的最大值
（3）已知，求的最小值
（4）已知，求的最小值
ab b a
a b +b
a
a b +),(222
22R b a ab b a b a ∈≥??? ??+≥+),(1122
222+∈+≥
≥+≥+R b a b
a a
b b a b a )5(*
()6*
3abc ()7*
{}0,,,21 +∈R a a a n n
n n a a a n
a a a 2121≥+++n a a a === 21n a
b b a 22
2≥+),(2
+∈≥+R b a ab b
a 3>x 31
-+
x x 3 -+x x 0x ≥1 21 x x ++3>x 3 22 -x x [思路分析] 利用“积为定值，和有最小值”来求解。 [解]（1）， 当且仅当时，等号成立。因此的最小值为5； （2） 因为 所以 ， 即的最大值为1，当且仅当时，等号成立； （3），， 。 当且仅当 时，等号成立， 所以的最小值为； （4）， =。 当且仅当时，等号成立，所以的最小值24。 [点评] 应用基本不等式求最值时，应该注意：（1）变量必须为正。（2）当它们的积为定值 时，其和取得最小值；当它们的和为定值时，其积取得最大值。（3）当且仅当两个数相等时取得最值。即必须满足“正数”、“定值”、“相等”三个条件才能取得最值。 在求某些最值时，要注意恰当的恒等变形，分析变量，合理配置系数。 [例2] 求下列代数式的最值： （1） 31 -+ x x 533 1)3(23313=+--≥+-+-=x x x x 43 1 3=?-=-x x x 31-+x x 31-+ x x 3313+-+-=x x 331)3(+????? ? -+--=x x 132331)3(=+-≤+????? ? -+--x x 3 1 -+ x x 132331)3(=+-≤+?? ???? -+--=x x 31-+ x x 23 1 3=?-= -x x x 0x ≥121x x + +111 (21)2212 x x =++- +11111 0,211,(21)221222 x x x x ≥+≥∴++-≥= + 2 1 2121 )12(21-=?+=+x x x 121x x + +2 1 22-=x 3>x 322-x x 3 18 )3(12)3(22-+-+-=x x x 24121822123 18 )3(2=+?≥+-+ -x x 6318 )3(2=?-=-x x x 3 22-x x 1 0(12)2 x x x << -，求的最大值 （2）且，求的最大值。 [思路分析] 利用“和为定值，积有最小值”来求解。 [解]（1） 。 当且仅当时，等号成立，所以为。 （2）且， 。 当且仅当时，等号成立， 所以的最大值 。 [点评] 解答此类题目关键是合理、恰当的等价变形，利用基本不等式即可。 [例3] 已知恒成立，求的最大值。 [思路分析] 利用 即可求解。 [解] 令， 于是， 因为所以。 当且仅当即时，取得最大值。 [点评] 解最大值、最小值问题方法很多，基本不等式是重要的方法之一，要灵活应用 及其变形。 R b a ∈,1222=+b a 21b a +2 1112(12)1 0(12)(2)(12)22228 x x x x x x x +-??<<-=-≤?=????，4 1 212= ?-=x x x (12)x x -的最大值81R b a ∈,1222=+b a 21b a +)1(22 2 22b a +≤ 2 2 2)1(22222= ++?≤b a 2 2 ,011122222= =?=++?+=a b b b b a 21b a +2 2y x m y x R y x +=+ ∈+ ,,m ),(112 2 222+∈+≥≥+≥+R b a b a a b b a b a 22,,b a y x b y a x +=+==则2 2 22b a b a m b a m b a y x m y x ++= ?+=+?+=+ 2222b a b a +≥ +222≤++=b a b a m (] 2,0∈∴m b a =y x =m 2),(112 2 222+∈+≥ ≥+≥+R b a b a a b b a b a [例4] 已知，且，求 的最小值。 甲、乙、丙三位同学分别给出了如下三种解法，试判断他们的解法是否正确。为什么？若解法错误，请给出正确解法。 甲: , 的最小值为。 乙： 的最小值为。 丙：，当且仅当时取等号， 于是 的最小值为。 [辨析与解] 甲中，因为等号成立的条件是和同时成立，这是不可能的。所以此解法错误。 乙中，因为等号成立的条件是和同时成立，，此时，显然不符合所以此解法错误。 丙中，不是定值，所以此解法也是错误的。 正确解法： ，当且仅当 又，即时，取等号。 的最小值为。 +∈R y x ,12=+y x y x +,12=+y x 241 1222)11)(2(11=???≥++=+∴ y x y x y x y x y x y x 1 1+∴24,12=+y x )12()1()2(11y y x x y x y x +++=+++∴ 2221 2212+=?+? ≥y y x x y x 11+∴221+xy y x 2 11≥ + y x =,12=+y x 31,31==∴y x y x 1 1+6y x 2=y x =x x 1=y y 12=2 2 ,1==y x ,12=+y x xy 2 ,12=+y x x y y x y x y x y x 23)11)(2(11++=++=+∴ 223+≥,2y x x y =12=+y x 2 22,12-=-=y x y x 1 1+∴223+ 当然，也可以由代人 再解。 [点评] 一定要注意“一正、二定、三等”。若多次运用基本不等式，要看每次取等号的条件是否一致。 [例5] 若，求的最小值。 [思路分析] 显然不好直接用基本不等式，要想办法构造“积”为定值。注意到中 ，以此为突破口。 [解法1] 。 当且仅当且，即时，取等号，所以的最小值为16。 [解法2] 。 当且仅当且，即时，取等号，所以的 最小值为16。 [点评] 解法1、2中，都连续用到两次基本不等式，此时要注意两次等号成立的条件是否一致 [例6] 已知, 且,求证： （1）； （2）. [思路分析] 几个正数的和为1，常常出现在题设中，要注意“1”变换。 [证明]（1） ,2112y x y x -=?=+y x +0>>b a ) (16 2b a b a -+ )(b a b -a b a b =-+)()(162 b a b a -+ =?? ? ???-++≥2 22)(16b a b a 16826422 =?≥+a a a a b a b -=a a 8=222==b a ) (162 b a b a -+)(162 b a b a -+ []) (16)(2b a b b a b -+-+=[]=-+-≥)(16)(2 2 b a b b a b 16) (16 )(4≥-+-b a b b b a b a b -=2)(=-b a b 222==b a ) (16 2 b a b a -+ + ∈R c b a ,,1=++c b a )11( -a )11(-b )11 (-c 8≥3 12 22≥++c b a )11( -a )11(-b )11 (-c a a c b a -++=b b c b a -++c c c b a -++ ； 当且仅当时，取等号。 （2）证法1：因为, 且， 所以 所以。 证法2：要证，即证， 即证 即证，此式显然成立。且上述步骤步步可逆，所以原不 等式成立。 证法3：因为, 且，可设，，， 其中，于是 ，当且仅当，即时等号成立。 [点评] 证明不等式的方法很多，下一节将单独介绍。这里的证法3是“均值代换”。一般的，若，那么，可设，，，于是可得。 [例7]：某单位决定投资32000元建一长方体状仓库（高度恒定），它的后墙利用旧墙不花钱，正面用铁栅，每米长造价为400元，两侧墙砌砖，每米长造价450元，顶部每平方米造价200元，试求：仓库底部面积S 的最大允许值是多少？为使S 达到最大，而实际投资又不超过预算，那么正面铁栅应设计为多长？ ［思路分析］：弄清题意，恰当设置变量，建立数量关系。 设铁栅长a 米，一堵砖墙长b 米，底面积S ，则S=ab 。 由题意 400a+2×450b+200ab=32000 于是：32000=400a+2×450b+200ab ≥200ab+2 a c b += b c a +c a b +88=≥abc ab ac bc c b a ==+ ∈R c b a ,,1=++c b a ()=++=2 1c b a ca bc ab c b a 222222+++++≤)(3)()()(222222222222c b a a c c b b a c b a ++=++++++++3 12 22≥ ++c b a 3 12 22≥ ++c b a 2 222)(1)(3c b a c b a ++=≥++)(2)(22 22ca bc ab c b a ++≥++2 ) (b a -+-+2)(c b 0)(2≥-a c + ∈R c b a ,,1=++c b a r a += 31s b +=31t c +=3 1 0=++t s r =++2 22c b a 2)31(r +2)31(s ++2)3 1(t ++222)(3 2 31t s r t s r ++++++=3 1 31222≥+++=t s r 0===t s r 31===c b a )(定值m c b a =++r m a += 3s m b +=3t m c +=3 3 2 2 2 2 m c b a ≥++ab 900400? =200ab+1200=200S+1200 即：S+6－160≤0≤0 ≤10故S 的最大允许值是100平方米。 此时，400a=900b 4a=9b=9· a=15米。 即铁栅的长应是15米。 点评：1.本题是基本不等式与解不等式综合的一道应用题，不但考查了基本不等式、一元二次不等式的解，还考查了基本不等式等号成立的条件。 2.解不等式应用题时，先要弄清题意、合理设置变量，建立相应的函数关系式，把实际问题抽象为函数的最大或最小值问题，然后在定义域内求函数的最值，最后正确写出答案。 强化训练 (一)填空题 1．若，，，求的最大值 。 2．若，则的最小值为______ __ 3． 4 已知，且都是正实数，则 的最小值是 5．若，则的最大值为_________ _ 6设a ，b ∈R 且a+b=3，则的最小值是_________ _. 7．函数(x>0)的最小值是_________ . 8.函数的最大值______________________________ 9．设为正实数，且，则的最小值为____________ 10．，则 的最小值为 _______________________________. 11 ab S s ?)10(-s )16(+s s 100==ab S ?a 100 0a >0b >231a b +=ab 1x <1 231 x x -- -233 22 x x x x -+>-若，则 的取值范围是__________12010321=??x x x x 2010321,,,,x x x x )1()1()1()1(2010321x x x x ++?+?+ 1 03 x << (13)y x x =-b a 22+1 102 2++= x x y y =c b a ,,1=++c b a c b a 1 1++0,0a b >>9(4)340__________x x x a a ++?+=若关于的方程有解，则实数的取值范围是 12．已知不等式对任意正实数恒成立，则正实数的最小 值为 13 。已知，则使 恒成立的常数的最大值 14．已知，由不等式，，…启发，我们可以得到推广结论：，则__________ （二） 选择题 15．某厂产量第二年增长率为，第三年增长率为，这两年的平均增长率为，则（ ） A. B. C. D. 16．，且，则下列各式恒成立的是（ ） A ． B ． C D ． 17．且，下列各式 ① ③ ④正确的个数有（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 18．若，，则（ ） (三)解答题 19.已知，求的最大值。 20．在满足面积和周长的数值相等的所有直角三角形中，面积的最小值是 21．如图，要在一块底边为30厘米，高为20厘米的锐角三角形铁板上，剪一块最大面积的内接矩形，使它的一边在三角形的底边上，求这矩形的长和宽。 22．设，且，求 的最小值，并求出此时 的值。 23 ．已知a 0，b 0，a+b=1，求函数y= ()91≥???? ??++y a x y x y x ,a z y x >>y x -1≥ -+z y 1z x n -n 0>x 21≥+x x 34 22422≥++=+x x x x x 1+≥+ n x a x n =a a b x 2b a x +≤2b a x +<2b a x +≥2 b a x +>0,0a b >>4a b +=112ab ≥111a b +≥2≥22114 a b ≥+,x y R ∈x y ≠12x x +>22≥2x y y x +>5 5 3 2 2 3 x y x y x y +>+17,151,75=+=+=R Q T R Q T A <<.Q R T B <<.Q T R C <<.T Q R D <<.13 1 22=+b a 21b a +x y R + ∈、2x y +=12 x y +x y 、≥≥ 的最大值。 24.已知a 、b ，求证. 25．对一切实数，若二次函数的值恒为非负数，试求 的最小值。 基本不等式及其应用 1． 2． 3． 4． 5． 6。 7． 8. 。 9． 10． 。 。 11． 12． 4 13 。4 恒成立， 2 1 21+++ b a +∈R 221≥+ +ab b a x )()(2 b a c bx ax x f <++=a b c b a m -++= 241231a b +=24 162≤?≥ab ab 132-1231x x -- -≥--+-=111 )1(3x x 132-),3[∞+2332x x x -+=-2(2)(2)11 (2)1322 x x x x x -+-+=-++≥--)1()1()1()1(2010321x x x x ++?+?+ =≥n x x x 2120102201021212431 91110 2 222≥++ +=++=x x x x y 2 1 y =≤22(1)1 22 x x +-≤==++c b a 11=++++++c c b a b a c b a c b a b a c +++++114≥22≥ 4 +≥8-≤a 24234 3)4(=≥+ =+-x x a 8-≤?a ()91≥??? ? ??++y a x y x 49211≥?≥++≥+++?a a a y ax x y a y x -1≥-+z y 1?-+-=-)()(z y y x n z x n y x z y y x --+-)()(z y z y y x --+-+ ) ()(n ≥ 恒成立 14． 而，。 （二） 选择题 15．A 16.B 17.A 18.D (三)解答题 19. ， 当且仅当，即时等号成立。 的最大值 20．设二直角边分别为，那么， ，当且仅当时面积最小值为。 21．设长为米，宽为米，那么 于是面积 当且仅当长15米，宽10米时，面积最大值为150 22． ，当且仅当，即，时， 的最小值为 。 23．利用得 ，当且仅当时， y x z y --+ )(1z y y x --+ +) (1n ≥4≤?n n n 1) 1(++≥++++=+?=+n n n n n n a n x a n x n x n x x a n x n x a x 1+≥+ n x a x n n n a =∴332 2 =+b a 323 33 1 )33(31 1222 22=++?≤+≤+b a b a b a 3322=+b a 2233b a +=3,0==a b 21b a +∴3b a ,222 1 b a b a ab +++=≥?+≥?+≥+++=2 222222122ab ab ab ab b a b a ab 2812+224+==b a 2812+a b 30 2020a b =-()[] 150100)10(2 320232 ≤+--=-==b b b ab S 2 m 12x y +=1213()12222x y x y x y y x ++=+++≥+,2x y y y x ==)12(2-=x )22(2-=y 12x y +223 +222 2222 )2(y x y x y x y x +?≤+?+≤+2)2 1()21(22121=+++?≤+++ b a b a 21 ==b a y=的最大值为2。 24.，当且仅当，即 时，等号成立。 25．由已知，得 当且仅当时等号成立。 2 1 21+++ b a 22121≥+ ≥+ +ab ab ab b a ab ab b a 12,= =2 2 = =b a ???????? ? ? ??≥>????≤-=?>>22 411040a b a c a b a c b a b ?? ? ??-+??? ??-+??? ? ?-=-??? ??++≥-+ +=-++=1491611411112 2 a b a b a b a b a b a b a b a c a b a b c b a m 32392412319141=+?≥+????? ? ??-+ -=a b a b a c b 4== 基本不等式在实际中的应用 1．要制作一个容积为4 m 3，高为1 m 的无盖长方体容器．已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是 （ ） A ．80元 B ．120元 C ．160元 D ．240元 2．小王从甲地到乙地往返的时速分别为a 和b （a ＜b ），其全程的平均时速为v ，则 （ ） A ．a v << B ．v C 2a b v +< D ．2 a b v += 3．某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为800元．若每批生产x 件，则平均仓储时间为8 x 天，且每件产品每天的仓储费用为1元．为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品 （ ） A ．60件 B ．80件 C ．100件 D ．120件 4．如图，建立平面直角坐标系xOy ，x 轴在地平面上，y 轴垂直于地平面，单位长度为1千米．某炮位于坐标原点．已知炮弹发射后的轨迹在方程221(1)(0)20 y kx k x k =-+>表示的曲线上，其中k 与发射方向有关．炮的射程是指炮弹落地点的横坐标． （1）求炮的最大射程； （2）设在第一象有限一飞行物（忽略其大小），其飞行高度为3.2千米，试问它的横坐标a 不超过多少时，炮弹可以击中它？请说明理由． 5．某工厂生产某种产品，每日的成本C （单位：万元）与日产量x （单位：吨）满足函数关系式C ＝3+x ，每日的销售额S （单位：万元）与日产量x 满足函数关系式 35(06)814(6)k x x S x x ?++< 基本不等式及其应用 1．基本不等式 若a>0,，b>0，则 a ＋ b 2 ≥ab ，当且仅当 时取“＝”． 这一定理叙述为：两个正数的算术平均数 它们的几何平均数． 注：运用均值不等式求最值时，必须注意以下三点： (1)各项或各因式均正；（一正） (2)和或积为定值；（二定） (3)等号成立的条件存在：含变数的各项均相等，取得最值．（三相等） 2．常用不等式 (1)a 2＋b 2≥ab 2(a ，b ∈R )． 2 a b +()0,>b a 注：不等式a 2＋b 2≥2ab 和 2 b a +≥a b 它们成立的条件不同，前者只要求a 、b 都是实数，而后者要求a 、b 都是正数.其等价变形：ab≤（2 b a +）2 . (3)ab≤ 2 2 ? ? ? ? ?+b a (a，b∈R)． (4) b a ＋ a b ≥2(a，b同号且不为0)． (5) 2 2 ? ? ? ? ?+b a ≤ a2＋b2 2 (a，b∈R). （6） b a ab b a b a 1 1 2 2 2 2 2 + ≥ ≥ + ≥ +()0 ,> b a (7)abc≤ a3＋b3＋c3 3 ;() ,,0 a b c> (8) a＋b＋c 3 ≥ 3 abc；() ,,0 a b c> 3．利用基本不等式求最大、最小值问题 (1)求最小值：a>0，b>0，当ab为定值时，a＋b，a2＋b2有，即a ＋b≥，a2＋b2≥. (2)求最大值：a＞0，b＞0，当a＋b为定值时，ab有最大值，即；或a2＋b2为定值时，ab有最大值(a＞0，b＞0)，即. 设a，b∈R，且a＋b＝3，则2a ＋2b的最小值是( ) 解：因为2a＞0，2b＞0，由基本不等式得2a＋2b≥22a·2b＝22a＋b＝42， 当且仅当a＝b＝3 2 时取等号，故选B. 若a＞0，b＞0，且a＋2b－2＝0， 则ab的最大值为( ) 解：∵a＞0，b＞0，a＋2b＝2，∴a＋2b＝2≥22ab，即ab≤1 2 .当且仅当a ＝1，b＝1 2 时等号成立.故选A. 一元一次不等式组的实际 应用 Prepared on 22 November 2020 一元一次不等式组的实际应用 1、某市召开的出租汽车价格听证会上，物价局拟定了两套客运出租汽车运价调整方案．方案一：起步价调至7元/2公里，而后每公里元；方案二：起步价调至8元/3公里，而后每公里元．若某乘客乘坐出租车(路程多于3公里)时用方案一比较合算，则该乘客乘坐出租车的路程________5公里(填大于或小于) 2、李明家距离学校，现在李明需要用不超过18min的时间从家出发到达学校，已知他步行的速度为90m/min，跑步的速度为210m/min，则李明至少需要跑________分钟． 3、某火车站购进一种溶质质量分数为20%的消毒液，准备对候车室进行喷洒消毒，而从科学的角度知用含的消毒液喷洒效果最好，那么工作人员把这种溶质质量分数为20%消毒液稀释时，兑水的比例为1:100行不行________(填“行”或“不行”) 4、用若干辆载重量为8t的汽车运一批货物支援汶川地震灾区，若每辆汽车只装4t，则剩下20t货物；若每辆汽车装8t，则最后一辆汽车不满也不空，请问：有________辆汽车 5、现用甲、乙两种保温车将1800箱抗甲流疫苗运往灾区，每辆甲运输车最多可载200箱，每辆乙运输车最多可载150箱，并且安排车辆不超过10辆，那么甲运输车至少应安排_______辆． 6、某校学生志愿服务小组在“学雷锋”活动中购买了一批牛奶到江阴儿童福利院看望孤儿．如果分给每位儿童5盒牛奶，那么剩下18盒牛奶；如果分给每位儿童6盒牛奶，那么最后一位儿童分不到6盒，但至少能有3盒．则这个儿童福利院的儿童最少有________人，最多有________人． 基本不等式应用题 最值问题 一．教学目标：1．进一步掌握用均值不等式求函数的最值问题； 2．能综合运用函数关系，不等式知识解决一些实际问题。 二．教学重点、难点：化实际问题为数学问题。 三．教学过程： （一）复习：1．均值不等式： 2．极值定理： （一）练习题 1、已知R y x ∈,，且2=+y x ，求xy 的取值范围。 2、已知R y x ∈,，且2=xy ，求y x +的取值范围。 3、已知R y x ∈,，且2=+y x ，求22y x +的取值范围。 4、已知0,>y x ，且211=+y x ，求y x 2+的最小值。 5、已知0,,>z y x ，且4=++c b a ，求证：abc c b a 8)4)(4)(4(≥---。 6、（选做题）已知R y x ∈,，且222=+y x ，求y x +的取值范围。 7 1.4,2224,24x y x y x y x y +=++=+已知求的最小值。 变式题：已知求的最小值。22222.,4,log log ,24,log log x y R x y x y x y R x y x y ++∈+=+∈+=+已知、求的最大值。变式题：已知、求的最大值。 3+1,a b R x y x y ∈+=+已知a,b,x,y ，且 求的最小值 （二）新课讲解： 例1（1）用篱笆围成一个面积为100m 2的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，所用篱笆最短。最短的篱笆是多少？ （2）段长为36 m 的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少? 例2 某工厂要建造一个长方体无盖贮水池，其容积为4800m 3,深为3m ，如果池底每1m 2的造价为150元，池壁每1m 2的造价为120元，问怎样设计水池能使总造价最低，最低总造价是多少元？ 例3．某工厂要建造一个长方体无盖贮水池，其容积为34800m ，深为3m ，如果池底每21m 的造价为150元，池壁每21m 的造价为120元，问怎样设计水池能使总造价最低，最低总 造价是多少元？ 例4．如图，设矩形()ABCD AB AD >的周长为24，把它关于AC 折起来，AB 折过去后，交DC 于P ，设AB x =，求ADP ?的最大面积及相应的x 值。 例5．甲、乙两地相距S 千米，汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度不得超过c 千米/ 时，已A 专题7.3 基本不等式及其应用 学习目标 1.了解基本不等式的证明过程； 2.会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题. 知识点一 基本不等式ab ≤a ＋b 2 (1)基本不等式成立的条件：a ＞0，b ＞0. (2)等号成立的条件：当且仅当a ＝b . 知识点二 几个重要的不等式 (1)a 2＋b 2≥2ab (a ，b ∈R)；(2)b a ＋a b ≥2(a ，b 同号)； (3)ab ≤????a ＋b 22(a ，b ∈R)；(4)????a ＋b 22≤a 2＋b 2 2(a ，b ∈R)； (5)2ab a ＋b ≤ab ≤a ＋b 2≤ a 2＋b 22(a ＞0，b ＞0)． 知识点三 算术平均数与几何平均数 设a ＞0，b ＞0，则a ，b 的算术平均数为a ＋b 2 ，几何平均数为ab ，基本不等式可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数． 知识点四 利用基本不等式求最值问题 已知x ＞0，y ＞0，则 (1)如果xy 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，x ＋y 有最小值是2p (简记：积定和最小)． (2)如果x ＋y 是定值q ，那么当且仅当x ＝y 时，xy 有最大值是q 2 4(简记：和定积最大)． 【特别提醒】 1.此结论应用的前提是“一正”“二定”“三相等”.“一正”指正数，“二定”指求最值时和或积为定值，“三相等”指等号成立. 2.连续使用基本不等式时，牢记等号要同时成立. 考点一 利用基本不等式求最值 【典例1】（江西临川一中2019届模拟）已知x ＜54，则f (x )＝4x －2＋14x －5 的最大值为_______ 【答案】1 【解析】因为x ＜54 ，所以5－4x ＞0， 则f (x )＝4x －2＋ 14x －5＝－????5－4x ＋15－4x ＋3≤－2＋3＝1.当且仅当5－4x ＝15－4x ，即x ＝1时，取等号． 故f (x )＝4x －2＋ 14x －5 的最大值为1. 【方法技巧】 1.通过拼凑法利用基本不等式求最值的实质及关键点 拼凑法就是将相关代数式进行适当的变形，通过添项、拆项等方法凑成和为定值或积为定值的形式，然后利用基本不等式求解最值的方法．拼凑法的实质是代数式的灵活变形，拼系数、凑常数是关键． 2.通过常数代换法利用基本不等式求解最值的基本步骤 (1)根据已知条件或其变形确定定值(常数)； (2)把确定的定值(常数)变形为1； (3)把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘或相除，进而构造和或积为定值的形式； (4)利用基本不等式求解最值． 【变式1】（山东潍坊一中2019届模拟）已知x ＞0，y ＞0，x ＋3y ＋xy ＝9，则x ＋3y 的最小值为________． 【答案】6 【解析】由已知得x ＋3y ＝9－xy ， 因为x ＞0，y ＞0，所以x ＋3y ≥23xy ， 所以3xy ≤????x ＋3y 22，当且仅当x ＝3y ，即x ＝3，y ＝1时取等号，即(x ＋3y )2＋12(x ＋3y )－108≥0. 令x ＋3y ＝t ，则t ＞0且t 2＋12t －108≥0， 得t ≥6，即x ＋3y 的最小值为6. 【方法技巧】通过消元法利用基本不等式求最值的策略 当所求最值的代数式中的变量比较多时，通常是考虑利用已知条件消去部分变量后，凑出“和为常数”或“积为常数”，最后利用基本不等式求最值． 考点二 利用基本不等式解决实际问题 【典例2】 【2019年高考北京卷理数】李明自主创业，在网上经营一家水果店，销售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃，价格依次为60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒．为增加销量，李明对这四种水果 基本不等式及其应用 一、教学分析设计 【教材分析】 人教版普通高中课程标准试验教科书分不同的章节处理不等式问题。在必修5的第三章中，首先介绍了不等关系与不等式；然后是一元二次不等式及其解法，二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题；最后在第四节介绍基本不等式。在选修教材《不等式选讲》中对不等式与绝对值不等式、证明不等式的基本方法、柯西不等式与排序不等式、数学归纳法证明不等式作了更详细的介绍。并在书中还安排章节复习了基本不等式，并将其推广到三元的形式。基本不等式从数学上凸显了沟通基础数学知识间的内在联系的可行性。 基本不等式的课程标准内容为：探索并了解基本不等式的证明过程；会用基本不等式解决简单的最值问题。教学要求为：了解基本不等式的代数背景、几何背景以及它的证明过程；理解算数平均数、几何平均数的概念；会用基本不等式解决简单的最值问题；通过基本不等式的实际应用，感受数学的应用价值（说明：突出用基本不等式解决问题的基本方法，不必推广到三个变量以上的情形）。《考试说明》中内容为：会用基本不等式解决简单的最值问题。通过对比分析，他们的共同都有“会用基本不等式解决简单的最值问题”。基本不等式与函数（包括三角函数）、数列、解析几何等内容均有丰富的联系，在《考试说明》中属于C及内容（含义：对该知识有实质性的理解并能与已有知识建立联系，掌握内容与形式的变化；相关技能已经形成，能用它来解决简单的相关问题）。 【学生分析】 从知识储备上看，高三学生已经基本掌握了不等式的简单性质和证明，并能用不等式及不等式组抽象出实际问题中的数学模型，也具备一定的几何知识。 从思维特点看，学生了解了不等关系的数学模型是解决实际问题的重要工具，具备一定的归纳、猜想、演绎证明和抽象思维的水平。 【目标分析】 结果性目标： 1、能在具体的问题情景中，通过抽象概括、数学建模以及逻辑推理获得基本不等式； 2、掌握基本不等式应用的条件“一正二定三相等”，和基本不等式的常见变形； 3、会用基本不等式解决一些简单的实际问题。 体验性目标： 1、在解决实际问题的过程中，体验基本不等式的本质是求二元的最值问题； 2、在解决实际问题中，体验“形”与“数”间的关联。 重点：创设基本不等式使用的条件。 难点：基本不等式的简单应用，以及使用过程中定值的取得。 【核心问题分析】 核心问题：在学校文化厘清过程中，拟对一块空地实行打造，现对其规划如下：将这块空地建成一个广场，在广场中间建一个长方形文化长廊，在其正中间造一个长方形景观池，并利用长廊内部左下角的那颗古树打造一条直线型景观带。请同学们按照以下要求实行数据设计： 问题1：文化长廊的周长为480米，要求文化长廊所围成的长方形面积最大，应怎样设计其长和宽？ 问题2：已知景观池的容积为4800米，深为3米。已知景观池底每平米的造价是150元，池壁每平方米的造价是120元，问怎样设计，使造价最低，最低造价是多少？ 问题3：设文化长廊为ABCD，现在长廊ABCD的左下角点E处有颗古树，且点E距左边AB和下边AD的D距离各为20米、10米，为保护古树，现经过古树E建造一直线型的景观带 【最新整理，下载后即可编辑】 用基本不等式解决应用题 例1.某工厂利用辐射对食品进行灭菌消毒，现准备在该厂附近建一职工宿舍，并对宿舍进行防辐射处理，建房防辐射材料的选用与宿舍到工厂距离有关．若建造宿舍的所有费用p （万元）和宿舍与工厂的距离()x km 的关系为：(08)35 k p x x = ≤≤+， 若距离为1km 时，测算宿舍建造费用为100万元．为了交通方便，工厂与宿舍之间还要修一条道路，已知购置修路设备需5万元，铺设路面每公里成本为6万元，设()f x 为建造宿舍与修路费用之和． （1）求()f x 的表达式； （2）宿舍应建在离工厂多远处，可使总费用()f x 最小，并求最小值． 变式：某学校为了支持生物课程基地研究植物生长，计划利用学校空地建造一间室内面积为900m 2的矩形温室，在温室内划出三块全等的矩形区域，分别种植三种植物，相邻矩形区域之间间隔1m ，三块矩形区域的前、后与内墙各保留 1m 宽的通道，左、右两块矩形区域分别与相邻的左右内墙保留 3m 宽的通道，如图．设矩形温室的室内长为x （m ），三块种植植物的矩 形区域的总面积．．． 为S （m 2）． （1）求S 关于x 的函数关系式； （2）求S 的最大值． 17．解：（1）由题设，得 ()9007200822916 S x x x x ?? =--=--+ ???， ()8,450x ∈． ………………………6分 （ 2） 因 为 8450 x <<，所以 72002240x x + =≥， ……………………8分 当且仅当60 x =时等号成 立． ………………………10分 从 而 676S ≤． ………… ……………12分 答：当矩形温室的室内长为60 m 时，三块种植植物的矩形区 七年级数学导学稿 一、课题一元一次不等式组的应用姓名：所属小组： 二、本课学习目标与任务：1、熟练掌握一元一次不等式组的解法，会用一元一次不等式组解决有关的实际问题； 2、理解一元一次不等式组应用题的一般解题步骤，逐步形成分析问题和解决问题的能力； 3、体验数学学习的乐趣，感受一元一次不等式组在解决实际问题中的价值。 三、复习旧知，铺垫新知1、写出下列不等式组的解集。 ?? ? ? ? > > 2 1 2 x x ?? ? ? ? > - < 3 1 2 x x ? ? ? - < - < 3 1 x x ? ? ? < > 5 2 x x 记忆口诀： 四、自学任务与方法指导：探究1： 3个小组计划在10天内生产500件产品（每天生产量相同），按原先的生产速度，不能完成任务；如果每个小组每天比原先多生产1件产品，就能提前完成任务.每个小组原先每天生产多少件产品？ 回答问题： （1）“不能完成任务”是什么意思？ 按原先的生产速度,10天的产品数量＿ 500 （2）“提前完成任务”是什么意思？ 提高生产速度后,10天的产品数量____500 (3)根据以上不等关系，设未知数列不等式组并解不等式组： （4）根据实际意义确定问题的解，并回答问题： 2、解一元一次不等式组的应用题的步骤： （1）审题；（2）设未知数；（3）列不等式组；（4）解不等式组； （5）检验，确定实际问题的答案；（6）答 解一元一次不等式组的应用题的关键是找不等关系。（关键词有“不大于，至少，不超过”等） 3、你觉得列一元一次不等式组解应用题与列二元一次方程组解应用题的步骤一样吗？ 步法一致（设、列、解、答）；本质有区别．（见下表）一元一次不等式组应用题与二元一次方程组应用题解题步骤异同表 设列解（结果）答 一元一次不等式组 个 未知数 找关系一个范围 根据题意写 出答案 二元一次不等式组 个未 知数 找关系一组数 五、小组合作探究问题与拓展：1、有若干男学生参加夏令营活动，晚上在一宾馆住宿时，如果每间住4人，那么还有20人住不下;相同的房间，如果每间住8人，那么还有一间住不满也不空，请问:这群男学生有多少人？有多少间房供他们住？ 2、奖游戏规则：两小组比赛，各小组的小组长先确定一个糖果数量的数字（100以内）和小组的人数(10以内），然后与本小组成员讨论出一个要用到一元一次不等式组来解决的数学问题题目，并做出标准的解答，然后题目交给pk小组来解答，最快解答出对方小组的题目的小组就为胜方，胜方小组的每位成员就能从对方的糖果包中多得1颗的糖果奖励。 题目模板：把一些糖果分给某小组的成员，如果每人分（）颗，那么余（）颗；如果前面的每个人分（）颗，那么最后1人能分到糖但分不到（）颗糖果，问这些糖果有多少颗？这个小组有多少人？ 当堂检测题 某校七年级（1）班计划把全班同学分成若干组开展数学探究活动。如果每个组3个人，则还剩10，如果每个组5人，则有一个组的学生数最多只有1个人，求该班在数学探究活动中计划分的组数和该班的学生数。 基本不等式及其应用 1．ab ≤a ＋b 2 (1)基本不等式成立的条件：a ≥0，b ≥0； (2)等号成立的条件：当且仅当a ＝b 时取等号． 2．几个重要的不等式 (1)a 2＋b 2≥2ab (a ，b ∈R )； (2)b a ＋a b ≥2(a ，b 同号)． (3)ab ≤? ????a ＋b 22 (a ，b ∈R )； (4)a 2＋b 22≥? ????a ＋b 22(a ，b ∈R )． 以上不等式等号成立的条件均为a ＝b . 3．算术平均数与几何平均数 (1)设a ≥0，b ≥0，则a ，b 的算术平均数为a ＋b 2，几何平均数为ab . (2)基本不等式可叙述为两个非负数的算术平均数不小于它们的几何平均数；也可以叙述为两个正数的等差中项不小于它们正的等比中项． 4．利用基本不等式求最值问题 已知x >0，y >0，则 (1)若x ＋y ＝s (和为定值)，则当x ＝y 时，积xy 取得最大值s 2 4； (2)若xy ＝p (积为定值)，则当x ＝y 时，和x ＋y 取得最小值2p . 选择题： 设x >0，y >0，且x ＋y ＝18，则xy 的最大值为( ) A ．80 B ．77 C ．81 D ．82 解析 ∵x >0，y >0，∴x ＋y 2≥xy ，即xy ≤(x ＋y 2)2＝81，当且仅当x ＝y ＝9时，(xy )max ＝81 若正数x ，y 满足4x 2＋9y 2＋3xy ＝30，则xy 的最大值是( ) A.43 B.53 C ．2 D.54 解析 由x ＞0，y ＞0，得4x 2＋9y 2＋3xy ≥2·(2x )·(3y )＋3xy (当且仅当2x ＝3y 时等号成立)，∴12xy ＋ 基本不等式及其应用 [基础训练] 1．下列结论中正确的个数是( ) ①若a >0，则a 2 ＋1 a 的最小值是2a ； ②函数f (x )＝sin 2x 3＋cos 2x 的最大值是2； ③函数f (x )＝x ＋1 x 的值域是[2，＋∞)； ④对任意的实数a ，b 均有a 2＋b 2≥－2ab ，其中等号成立的条件是a ＝－b . A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 : 答案：B 解析：①错误：设f (a )＝a 2 ＋1 a ，其中a 是自变量，2a 也是变化的，不能说2a 是f (a )的最小值； ②错误：f (x )＝sin 2x 3＋cos 2 x ≤sin 2x ＋3＋cos 2x 2 ＝2， 当且仅当sin 2x ＝3＋cos 2x 时等号成立，此方程无解， ∴等号取不到，2不是f (x )的最大值； ③错误：当x >0时，x ＋1 x ≥2 x ·1x ＝2， 当且仅当x ＝1 x ，即x ＝1时等号成立； 当x <0时，－x >0，x ＋1 x ＝－? ?? ??－x ＋1－x ≤－2 －x ·1 －x ＝－2， ￥ 当且仅当－x ＝－1 x ，即x ＝－1时等号成立． ∴f (x )＝x ＋1 x 的值域是(－∞，－2]∪[2，＋∞)； ④正确：利用作差法进行判断． ∵a 2＋b 2＋2ab ＝(a ＋b )2≥0，∴a 2＋b 2≥－2ab ， 其中等号成立的条件是a ＋b ＝0，即a ＝－b . 2．[2019河北张家口模拟]已知a ＋2b ＝2，且a >1，b >0，则 2 a －1＋1 b 的最小值为( ) A ．4 B ．5 C ．6 D ．8 答案：D 解析：因为a >1，b >0，且a ＋2b ＝2， \ 所以a －1>0，(a －1)＋2b ＝1， 所以2a －1＋1b ＝? ????2 a －1＋1 b ·[(a －1)＋2b ] ＝4＋4b a －1 ＋a －1b ≥4＋2 4b a －1·a －1 b ＝8， 当且仅当4b a －1＝a －1 b 时等号成立， 所以2a －1 ＋1b 的最小值是8，故选D. 3．若2x ＋2y ＝1，则x ＋y 的取值范围是( ) A ．[0,2] B ．[－2,0] C ．[－2，＋∞) D ．(－∞，－2] ！ 答案：D 解析：∵2x ＋2y ≥22x ·2y ＝22x ＋y (当且仅当2x ＝2y 时等号成立)， ∴2 x ＋y ≤12，∴2x ＋y ≤14， 得x ＋y ≤－2.故选D. 4．已知x ＞0，y ＞0，且4xy －x －2y ＝4，则xy 的最小值为( ) B ．2 2 D ．2 答案：D 解析：∵x ＞0，y ＞0，x ＋2y ≥22xy ， ∴4xy －(x ＋2y )≤4xy －22xy ， ∴4≤4xy －22xy ， 第7课时基本不等式的实际应用 1.进一步熟悉基本不等式,并会用基本不等式来解题. 3.能利用基本不等式解决实际问题. 今天我们来探究基本不等式在实际生活中的应用,我们先来看个实际例子:如图,有一张单栏的竖向张贴的海报,它的印刷面积为72dm2(图中阴影部分),上下空白各2dm,左右空白各1dm,则四周空白部分面积的最小值是dm2. 问题1:设阴影部分的高为x dm,宽为错误！未找到引用源。dm,四周空白部分面积是y dm2.由题意得y=(x+4)(错误！未找到引用源。+2)-72=8+2(x+错误！未找到引用源。)≥8+2×2错误！未找到引用源。= . 当且仅当时,取得最小值. 问题2:用基本不等式解实际应用问题的步骤 (1)先理解题意,设变量,设变量时一般把定为函数; (2)建立相应的,把实际问题抽象为问题; (3)在定义域内,求出函数的; (4)正确写出答案. 问题3:利用基本不等式求最值时,必须保证等号能成立,否则不能用它来求最值,比如求f(x)=sin x+错误！未找到引用源。,x∈(0,π)的最值时,不能这样做:f(x)=sin x+错误！未找到引用源。≥2错误！未找到引用源。=2错误！未找到引用源。,因为当x∈(0,π)时无法满足sin x=错误！未找到引用源。. 问题4:利用基本不等式求最值时,一定要紧扣“一正,二定,三相等”这三个条件,即每个项都是正值,和或积是定值,所有的项能同时相等.而“二定”这个条件是对不等式巧妙地进行分析、组合、凑加系数等使之变成可用基本不等式的形式,倘若要多次利用不等式求最值,还必须保证每次取“=”号的一致性. 1.在下列不等式的证明过程中,正确的是(). 16．微专题：一元一次不等式(组)的实际应用 ◆类型一利用一元一次不等式(组)解决简单实际问题 1．某种商品的进价为160元，出售时的标价为240元，后来由于该商品积压，商店准备打折出售，但要保持利润率不低于5%，则至多可打() A．6折B．7折 C．8折D．9折 2．某工程队计划在10天修路6千米，施工前2天修完1.2千米，后来计划发生变化，准备提前2天完成修路任务，则以后几天内平均每天至少要修________千米． 3．在一次“人与自然”知识竞赛中，竞赛题共25道，答对得4分，不答或答错扣2分，得分不低于60分得奖，那么要得奖至少应答对________道题． 4．现用甲、乙两种运输车将46吨救灾物资运往灾区，甲种车每辆载重5吨，乙种车每辆载重4吨，安排车辆不超过10辆，在每辆车都满载的情况下，甲种运输车需要安排________辆．5．(2017·邵阳中考)某校计划组织师生共300人参加一次大型公益活动，租用6辆大客车和5辆小客车恰好全部坐满．已知每辆大客车的乘客座位数比小客车多17个． (1)求每辆大客车和每辆小客车的乘客座位数； (2)由于最后参加活动的人数增加了30人，学校决定调整租车方案．在保持租用车辆总数不变的情况下，为将所有参加活动的师生装载完成，求租用小客车数量的最大值． ◆类型二利用一元一次不等式(组)进行方案设计 6．某种记事本零售价每本6元，凡一次性购买两本以上给予优惠，优惠方式有两种，第一种：“两本按原价，其余按七折优惠”；第二种：全部按原价的八折优惠，若想在购买相同数量的情况下，使第一种办法比第二种办法得到的优惠多，最少要购买记事本() A．5本B．6本C．7本D．8本 7．(2017·武汉中考)某公司为奖励在趣味运动会上取得好成绩的员工，计划购买甲、乙两种奖品共20件．其中甲种奖品每件40元，乙种奖品每件30元． (1)如果购买甲、乙两种奖品共花费了650元，求甲、乙两种奖品各购买了多少件； 不等式的综合应用 【考纲要求】 1．在熟练掌握一元一次不等式(组)、一元二次不等式的解法基础上，掌握其它的一些简单不等式的解法．通过不等式解法的复习，提高学生分析问题、解决问题的能力以及计算能力； 2．掌握解不等式的基本思路，即将分式不等式、绝对值不等式等不等式，化归为整式不等式(组)，会用分类、换元、数形结合的方法解不等式； 3．通过复习不等式的性质及常用的证明方法(比较法、分析法、综合法、数学归纳法等)，使学生较灵活的运用常规方法(即通性通法)证明不等式的有关问题； 4．通过证明不等式的过程，培养自觉运用数形结合、函数等基本数学思想方法证明不等式的能力； 5．能较灵活的应用不等式的基本知识、基本方法，解决有关不等式的问题． 6．通过不等式的基本知识、基本方法在代数、三角函数、数列、复数、立体几何、解析几何等各部分知识中的应用，深化数学知识间的融汇贯通，从而提高分析问题解决问题的能力．在应用不等式的基本知识、方法、思想解决问题的过程中，提高学生数学素质及创新意识．． 【知识络】 【考点梳理】 考点一：不等式问题中相关方法 1．解不等式的核心问题是不等式的同解变形，不等式的性质则是不等式变形的理论依据，方程的根、函数的性质和图象都与不等式的解法密切相关，要善于把它们有机地联系起来，互相转化．在解不等式中，换元法和图解法是常用的技巧之一．通过换元，可将较复杂的不等式化归为较简单的或基本不等式，通过构造函数、数形结合，则可将不等式的解化归为直观、形象的图形关系，对含有参数的不等式，运用图解法可以使得分类标准明晰． 2．整式不等式(主要是一次、二次不等式)的解法是解不等式的基础，利用不等式的性质及函 数的单调性，将分式不等式、绝对值不等式等化归为整式不等式(组)是解不等式的基本思想，分类、换元、数形结合是解不等式的常用方法．方程的根、函数的性质和图象都与不等式的解密切相关，要善于把它们有机地联系起来，相互转化和相互变用． 3．在不等式的求解中，换元法和图解法是常用的技巧之一，通过换元，可将较复杂的不等式 化归为较简单的或基本不等式，通过构造函数，将不等式的解化归为直观、形象的图象关系，对含有参数的不等式，运用图解法，可以使分类标准更加明晰．通过复习，感悟到不等式的核心问题是不等式的同解变形，能否正确的得到不等式的解集，不等式同解变形的理论起了重要的作用． 4．比较法是不等式证明中最基本、也是最常用的方法，比较法的一般步骤是：作差(商)→变形 →判断符(值)． 5．证明不等式的方法灵活多样，内容丰富、技巧性较强，这对发展分析综合能力、正逆思维 等，将会起到很好的促进作用．在证明不等式前，要依据题设和待证不等式的结构特点、内在联系，选择 不 等式的综合应用 解不等式问题 实际应用问题 不等式中的含参问题 不等式证明 基本不等式是每年的高考热点，主要考察命题的判定，不等式的证明以及求 最值问题。特别是求最值问题往往在基本不等式的使用条件上设置一些问题。 考 察学生恒等变形的能力，运用基本不等式的和与积转化作用的能力。 教学目标 1. 知识与技能 理解基本不等式，了解变式结构；理解基本不等式的“和”、“积”放缩作用。 会运用基本不等式解决相关的问题。 2. 过程与方法 通过师生互动、学生主动的探究过程，让学生体会研究数学问题的基本思想 方法，学会学习，学会探究。 3. 情感态度与价值观 鼓励学生大胆探索，增强学生的信心，获得探索问题的成功情感体验。逐步 养成学生严谨的科学态度及良好的思维习惯。 重点：运用基本不等式求最值 难点：恰当变形转化，构建出满足运用基本不等式的条件 教学过程： 一、 要点梳理 1、基本不等式 若a 、b € R,则a 2+b 2> 2ab,当且仅当a=b 时取“=” b 2（a 、b 同号） a 3、求最大值、最小值问题 (1) __________________________________________________________ 如果x 、y € (0,+ g ),且xy=p(定值)，那么当x=y 时，x+y 有 _______________ (2) __________________________________________________________ 如果x 、y € (0,+ g ),且x+y=s(定值)，那么当x=y 时，xy 有 _______________ 例题精讲 例1、若正数a 、b 满足ab=a+b+3，求ab 的取值范围, 1 9 例2、已知x>0、y>0,且一 一 1，求x+y 的最小值 x y 2、 若 a 、b € R',则 常用变形形式： 宁,ab ，当且仅当a=b 时取 ■- ab 2 b 2 ——b a 0,b 0 ④ 2 b 2 2ab ab 2 a 2 b 2 2 概括为: 基本不等式应用 一．基本不等式 1.（1）若R b a ∈,，则ab b a 222≥+ (2)若R b a ∈,，则2 2 2b a ab +≤ （当且仅当b a =时取“=”） 2. (1)若*,R b a ∈，则 ab b a ≥ +2 (2)若* ,R b a ∈，则ab b a 2 ≥+（当且仅当b a =时取“=”） (3)若* ,R b a ∈，则2 2?? ? ??+≤b a ab (当且仅当b a =时取“=” ） 3.若0x >，则12x x + ≥ (当且仅当1x =时取 “=”）;若0x <，则12x x +≤- (当且仅当1x =-时取 “=”） 若0x ≠，则11122-2x x x x x x +≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”） 3.若0>ab ，则2≥+a b b a (当且仅当 b a =时取“=”） 若0ab ≠，则 22-2a b a b a b b a b a b a + ≥+ ≥+ ≤即 或 (当且仅当b a =时取“=” ） 4.若R b a ∈,，则2 )2 ( 2 2 2 b a b a +≤ +（当且仅当b a =时取“=”） 注：（1）当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定植时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”． （2）求最值的条件“一正，二定，三取等” (3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用． 应用一：求最值 例1：求下列函数的值域 （1）y ＝3x 2＋12x 2 （2）y ＝x ＋1 x 解：（1）y ＝3x 2＋ 1 2x 2 ≥23x 2·1 2x 2 ＝ 6 ∴值域为[ 6 ，+∞） （2）当x ＞0时，y ＝x ＋1 x ≥2 x ·1 x ＝2； 当x ＜0时， y ＝x ＋1x = －（－ x －1 x ）≤－2 x ·1 x =－2 ∴值域为（－∞，－2]∪[2，+∞） 解题技巧： 技巧一：凑项 例1：已知54 x < ，求函数14245 y x x =-+ -的最大值。 解：因450x -<，所以首先要“调整”符号，又1 (42)45 x x -- 不是常数，所以对42x -要进行拆、凑项， 5,5404 x x < ∴-> ，1 1425434554y x x x x ? ?∴=-+ =--+ + ?--? ? 231≤-+= 当且仅当15454x x -= -，即1x =时，上式等号成立，故当1x =时，m ax 1y =。 评注：本题需要调整项的符号，又要配凑项的系数，使其积为定值。 技巧二：凑系数 不等式与不等式组的实际应用 一、实际问题与一元一次不等式 学习要求 会从实际问题中抽象出不等的数量关系，会用一元一次不等式解决实际问题． 利用不等式(组)解决较为复杂的实际问题；感受不等式(组)在实际生活中的作用． 经典例题 【例1】6月1日起，某超市开始有偿 ．．提供可重复使用的三种环保购物袋，每只售价分别为1元、2元和3元，这三种环保购物袋每只最多分别能装大米3千克、5千克和8千克．6月7日，小星和爸爸在该超市选购了3只环保购物袋用来装刚买的20千克散装大米，他 们选购的3只环保购物袋至少 ．．应付给超市______元． 【例2】九年级(1)班的几个同学，毕业前合影留念，每人交0.70元．一张彩色底片0.68元，扩印一张相片0.50元，每人分一张．在收来的钱尽量用掉的前提下，这张相片上的同学最少有多少人？ 【例3】某市出租车的收费标准是：起步价7元，超过3km时，每增加1km加收2.4元(不足1km按1km计)．某人乘这种出租车从甲地到乙地共支付车费19元，设此人从甲地到乙地经过的路程是x km，那么x的最大值是多少？ 【例4】某零件制造车间有20名工人，已知每名工人每天可制造甲种零件6个或乙种零件5个，且每制造一个甲种零件可获利150元，每制造一个乙种零件可获利260元．在这20名工人中，车间每天安排x名工人制造甲种零件，其余工人制造乙种零件． (1)若此车间每天所获利润为y(元)，用x的代数式表示y． (2)若要使每天所获利润不低于24000元，至少要派多少名工人去制造乙种零件? 【例5】某公司因业务需要用车，但因资金问题暂时无法购买，想租用一辆卡车。个体出租司机小王提出的条件是：每月付给1000元的工资，另外每千米付给0.1元的里程费； 司机小赵提出的条件是：不需工资，只要每千米付给1.35千米的里程费。请问：该公司用谁的车更合算？ 【例6】一个工程队原定在10天内至少要挖掘600m3的土方．在前两天共完成了120m3后，接到要求要提前2天完成掘土任务．问以后几天内，平均每天至少要挖掘多少土方? 【例7】某城市平均每天产生垃圾700吨，由甲、乙两个垃圾厂处理．如果甲厂每小时可处理垃圾55吨，需花费550元；乙厂每小时处理45吨，需花费495元．如果规定该城市每天用于处理垃圾的费用的和不能超过7150元，问甲厂每天至少要处理多少吨垃圾? 【例8】某学校计划组织385名师生租车旅游，现知道出租公司有42座和60座客车，42座客车的租金为每辆320元，60座客车的租金为每辆460元． (1)若学校单独租用这两种客车各需多少钱? (2)若学校同时租用这两种客车8辆(可以坐不满)，而且比单独租用一种车辆节省租金， 请选择最节省的租车方案． 基本不等式及其应用 【考试要求】 1.掌握基本不等式ab ≤ a ＋b 2 (a ，b ≥0)； 2.结合具体实例，能用基本不等式解决简单的最大值或最小值问题. 【知识梳理】 1.基本不等式：ab ≤ a ＋b 2 (1)基本不等式成立的条件：a ≥0，b ≥0. (2)等号成立的条件：当且仅当a ＝b 时取等号. (3)其中 a ＋b 2 称为正数a ，b 的算术平均数，ab 称为正数a ，b 的几何平均数. 2.两个重要的不等式 (1)a 2 ＋b 2 ≥2ab (a ，b ∈R)，当且仅当a ＝b 时取等号. (2)ab ≤? ?? ??a ＋b 22 (a ，b ∈R)，当且仅当a ＝b 时取等号. 3.利用基本不等式求最值 已知x ≥0，y ≥0，则 (1)如果积xy 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，x ＋y 有最小值是2p (简记：积定和最小). (2)如果和x ＋y 是定值s ，那么当且仅当x ＝y 时，xy 有最大值是s 2 4(简记：和定积最大). 【微点提醒】 1.b a ＋a b ≥2(a ，b 同号)，当且仅当a ＝b 时取等号. 2. 21a ＋ 1b ≤ab ≤a ＋b 2 ≤a 2＋b 2 2 (a >0，b >0). 3.连续使用基本不等式求最值要求每次等号成立的条件一致. 【疑误辨析】 1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”) (1)两个不等式a 2 ＋b 2 ≥2ab 与 a ＋b 2 ≥ab 成立的条件是相同的.( ) (2)函数y ＝x ＋1 x 的最小值是2.( ) (3)函数f (x )＝sin x ＋4 sin x 的最小值为4.( ) (4)x ＞0且y ＞0是x y ＋y x ≥2的充要条件.( ) 【教材衍化】 2.(必修5P99例1(2)改编)若x >0，y >0，且x ＋y ＝18，则xy 的最大值为( ) A.9 B.18 C.36 D.81 3.(必修5P100练习T1改编)若x <0，则x ＋1 x ( ) A.有最小值，且最小值为2 B.有最大值，且最大值为2 C.有最小值，且最小值为－2 D.有最大值，且最大值为－2 【真题体验】 4.(2019·浙江镇海中学月考)已知f (x )＝x 2－2x ＋1x ，则f (x )在???? ??12，3上的最小值为( ) A.1 2 B.43 C.－1 D.0 5.(2018·济宁一中月考)一段长为30 m 的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长18 m ，则这个矩形的长为________m ，宽为________m 时菜园面积最大. 基本不等式及其应用教案 教学目的 (1)使学生掌握基本不等式a2＋b2≥2ab(a、b∈R，当且仅当a=b时取“=”号)和a3＋b3＋c3≥3abc(a、b、c∈R+，当且仅当a=b=c时取“=”号)及其推论，并能应用它们证明一些不等式． (2)通过对定理及其推论的证明与应用，培养学生运用综合法进行推理的能力． 教学过程 一、引入新课 师：上节课我们学过证明不等式的哪一种方法？它的理论依据是什么？ 生：求差比较法，即 师：由于不等式复杂多样，仅有比较法是不够的．我们还需要学习一些有关不等式的定理及证明不等式的方法． 如果a、b∈R，那么(a－b)2属于什么数集？为什么？ 生：当a≠b时，(a－b)2＞0，当a=b时，(a－b)2=0，所以(a－b)2≥0．即(a－b)2∈ R+∪{0}． 师：下面我们根据(a－b)2∈R+∪{0}这一性质，来推导一些重要的不等式，同时学习一些证明不等式的方法． 二、推导公式 1．奠基 师：如果a、b∈R，那么有 (a－b)2≥0． ① 把①左边展开，得 a2－2ab＋b2≥0， ∴a2＋b2≥2ab． ② ②式表明两个实数的平方和不小于它们的积的2倍．这就是课本中介绍的定理1，它是一个很重要的绝对不等式，对任何两实数a、b都成立．由于取“=”号这种特殊情况，在以后有广泛的应用，因此通常要指出“=”号成立的充要条件．②式中取等号的充要条件是什么呢？ 师：充要条件通常用“当且仅当”来表达．“当”表示条件是充分的，“仅当”表示条件是必要的．所以②式可表述为：如果a、b∈R，那么a2＋b2≥2ab(当且仅当a=b时取“=”号)． 以公式①为基础，运用不等式的性质推导公式②，这种由已知推出未知(或要求证的不等式)的证明方法通常叫做综合法．以公式②为基础，用综合法可以推出更多的不等式．现在让我们共同来探索． 2．探索 师：公式②反映了两个实数平方和的性质，下面我们研究两个以上的实数的平方和，探索可能得到的结果．先考查三个实数．设a、b、c∈R，依次对其中的两个运用公式②，有 a2＋b2≥2ab； b2＋c2≥2bc；基本不等式在实际中的应用
基本不等式及其应用知识梳理及典型练习题(含答案)
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2020年高考数学复习题：基本不等式及其应用
北师大版数学必修五：《基本不等式的实际应用》导学案(含答案)
2020七年级数学下册试题 16.微专题：一元一次不等式(组)的实际应用
第049讲 总复习：不等式的综合应用(基础)知识梳理
基本不等式及其应用-沪教版必修1教案
(全)基本不等式应用,利用基本不等式求最值的技巧,题型分析
不等式及不等式组的经典应用题
基本不等式及其应用
(word完整版)高中数学基本不等式及其应用教案