【KS5U推荐】方法3.2 换元法(讲)-2018年高考数学(文)二轮复习讲练测 Word版含解析

换元法又称辅助元素法、变量代换法．通过引进新的变量，可以把分散的条件联系起来，隐含的条件显露出来；或者把条件与结论联系起来；或者变为熟悉的形式，把复杂的计算和推证简化.

纵观近几年高考对于转化与化归思想的的考查，换元法是转化与化归思想中考查的重点和热点之一.换元法是解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，使问题得到简化，变得容易处理.换元法的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是通过换元变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化，可以把分散的条件联系起来，隐含的条件显露出来；或者把条件与结论联系起来；或者变为熟悉的形式，把复杂的计算和推证简化.主要考查运用换元法处理以函数、三角、不等式、数列、解析几何为背景的最值、值域或范围问题，通过换元法把不熟悉、不规范、复杂的典型问题转化为熟悉、规范、简单的典型问题，起到化隐形为显性、化繁为简、化难为易的作用，以优化解题过程.要用好换元法要求学生有较强转化与化归意识、严谨治学态度和准确的计算能力.从实际教学来看，换元法是学生掌握最为模糊，知道方法但不会灵活运用的方法.分析原因，除了换元法比较灵活外，主要是学生没有真正掌握换元法的类型和运用其解题的题型与解题规律，以至于遇到需要换元的题目便产生畏惧心理.本文就高中阶段出现换元法的类型与相关题型作以总结和方法的探讨.

换元的常见方法有：局部换元、三角换元等，在高考中换元法常适用以下几种类型：

1、局部换元

局部换元是在已知或者未知中，某个代数式几次出现，而用一个字母来代替它从而简化问题，当然有时候要通过变形才能发现.

1.1对于形如c x bf x f a y ++=)()]([2的值域（最值）问题，令t x f =)(，化为一元二

次函数在某个区间上的值域（最值）问题处理.

例1．【浙江省绍兴市柯桥区2016届高三教学质量调测（二模）】对任意x R ∈不等式

222x x a a +-≥恒成立, 则实数a 的取值范围是 ．

【答案】[]1,1-

【解析】

设t a x =-||,则t a x ±=,2222t at a x +±=,故原不等式转化为)0(0222≥≥±+t at t t ,即022≥±+a t ,所以022≤-≥±t a ,即11≤≤-a .故应填答案[]1,1-.

1.2、分式型函数利用均值不等式求最值问题(局部换元)；

例2．【2016湖南六校联考】已知,A B 分别为椭圆22

22:1(0)x y C a b a b

+=>>的左、右顶点，不同两点,P Q 在椭圆C 上，且关于x 轴对称，设直线,AP BQ 的斜率分别为,m n ，则当21ln ln 2b a m n a b mn

++++取最小值时，椭圆C 的离心率为（ ）

A ．3

B ．3

C ．12

D ．2

【答案】D

1.3、常数换元

例3.【2016届高三·金华十校联考】sin50°(1＋3tan10°)＝__________.

【答案】1 【解析】sin50°(1＋3tan10°)＝sin50°(1＋tan60°tan10°)＝

sin50°·cos60°cos10°＋sin60°sin10°cos60°cos10°

＝sin50°·cos 60°－10° cos60°cos10°＝2sin50°cos50°cos10°＝sin100°cos10°＝cos10°cos10°

＝1. 1.4.复合函数中的换元

例4.【湖南省郴州市2017届高三上学期第一次教学质量监测】已知函数()log a f x x =，()2log (22)a g x x t =+-，其中0a >且1a ≠，t R ∈．

（I ）若4t =，且1[,2]4x ∈时，()()()F x g x f x =-的最小值是－2,求实数a 的值； （II ）若01a <<，且1[,2]4x ∈时，有()()f x g x ≥恒成立，求实数t 的取值范围.

【答案】（I ）15

；（II ）[2,)+∞.

1.5.局部换元法与不等式

局部换元法在解关于某个函数的不等式和复杂的不等式证明中，经常用到，通过换元将复杂的不等式问题转化为简单不等式、超越不等式化为一般不等式，将不熟悉的不等式问题转化为熟悉的不等式问题,如在解可化为形式为2

[()]()0A f x Bf x C ++<不等式时，常令()f x t =，将复杂不等式化为一元二次不等式20At Bt C ++<，解出t 的范围，再解不等式关于()f x 的简单不等式.

例5.已知函数2()ln(1)f x ax x =-+

(1)当45

a =时,求函数()f x 在(0,)+∞上的极值; (2)证明:当0x >时,2ln(1)x x +<; (3)证明:444111(1)(1)(1)23e n +

++< (,2,n N n e *∈≥为自然对数的底数）. 【答案】（I ）1258()=()ln ,()=(2)ln5,2545

f x f f x f =-=-极大值极小值（II ）见解析.

1.6 局部换元法与数列

在已知数列递推公式求出通项公式中，常用到构造等比或等差数列法，其实质就是换

元法，证明与数列有关的不等式，其实质就是求数列的最值，也常用到换元法.

例6.【广东省韶关市十校2016届高三联考】已知在数列{}n a 中，11a =，当2n ≥时，其前n 项和n S 满足)21(2-=n n n S a S 。

(Ⅰ) 求n S 的表达式；(Ⅱ) 设21n n S b n =

+，数列{}n b 的前n 项和n T ．证明21

21-=n S n ；(Ⅱ) 见解析. 【解析】 (1)当2n ≥时，1n n n a S S -=-代入)21(2-=n n n S a S ，得0211=-+--n n n n S S S S ，

由于0≠n S ，所以2111=--n n S S ，令n c =1n

S ，则1n n c c --=2， 所以{n c }是首项为1，公差为2的等差数列，所以n c =1(1)221n n +-?=-，所以121-=

n S n (2) 111121(21)(21)22121n n S b n n n n n ??=

==- ?+-+-+?? ∴)]121121()5131()311[(21+--++-+-=n n T n 21)1211(21<+-=n 所以21

1.7局部换元法与圆锥曲线联系

对圆锥曲线的最值问题或取值范围问题，常转化为函数的最值问题，当函数解析式较为复杂时，常用换元法进行转化.

例7.【河南省天一大联考2017届高中毕业班阶段性测试（二）】等腰直角△AOB 内接于抛物线22(0)y px p =>，O 为抛物线的顶点，OA OB ⊥，△AOB 的面积是16，抛物线的焦点为F ，若M 是抛物线上的动点，则||||

OM MF 的最大值为（ ）

A

D 【答案】C

例8.【2016届高三·杭州二模】平面内动点P(x ，y)与两定点A(-2, 0), B(2,0)连线的斜率之积等于14-，若点P 的轨迹为曲线E ，过点 6(,0)5

Q -直线 l 交曲线E 于M ，N 两点． （Ⅰ）求曲线E 的方程，并证明：∠MAN 是一定值；（Ⅱ）若四边形AMBN 的面积为S ，求S 的最大值

【答案】（Ⅰ）2

21(2)4

x y x =≠±＋,证明见解析 (Ⅱ)16.