离散数学-3
第三章 图论
§3.1无向图和有向图
一、无向图
1.图的概念
集合{}{}a b b a ,,=，称{}b a ,为无序对，记为()b a ,。
定义 设B A ,为集合，则称
(){}B b A a b a ∈∈,,
为B A ,的无序积，记为B A &
定义 设{}n v v v V ,,,21 =是非空集合，{}m e e e E ,,,21 =是无序积V V &的一个多重子集，则称有序对E V ,是一个无向图，记为G ，即E V G ,=，其中V 称为G 的顶点集（或结点集），V 中元素),2,1(n i v i =称为顶点或结点；称E 为G 的边集，E 中的元素),2,1( =i e i 称为图G 的边。
说明：（1）由定义知，图G 的边e 是V 的两个元素j i v v ,的无序对()j i v v ,，称j i v v ,是e 的端点。当j i v v =时，称e 为环。
（2）由于E 是多重集合，因此，G 的两个结点之间可能存在若干条不同的边，称这些边为平行边。
（3）设E V G ,=为无向图，若E V ,都是有穷集合，则称G 是有限图（我们只研究有限图）。图G 的结点个数叫图G 的阶，n 个结点m 条边的图叫),(m n 图，)0,(n 图叫零图，)0,1(图叫平凡图。
（4）图G 的图解：设E V G ,=是图，用平面上的小圆圈表示V 中的结点，两个结点间有边就画一条线，即若()E b a ∈,，则就在b a ,之间连线段，这样得到的图叫G 的一个图解。
2.结点与边的关系
设G 是无向图，如果边()
j i v v e ,=E ∈，则称结点j i v v ,是邻接的，称边e 关联结点()j i v v 。
没有边关联的结点称为孤立点，称关联结点v 的边数（当边为环时，以两条边计算）为v 的度数，记为()v deg 。
定理（握手定理） 设n v v v ,,,21 是()m n ,图的结点，则
()∑==n
i i
m v 12deg 简单图：不含环及平行边的图称为简单图。
完全图：任意两个结点都有边相连的简单图称为完全图。
n 阶完全图共有()12
1-n n 条边，每个结点的度数均为1-n . 3.子图
定义 设000,,,E V G E V G ==都是图，如果非空集合V V ?0或E E ?0，则称0G 是G 的子图；如果V V ?0或E E ?0，则称0G 是G 的真子图；如果E E V V ?=00,，则称
0G 是G 的生成子图（支撑子图）
。 定义 给定图E V G ,=，设G 中顶点和边的交替序列
l l v e e v e v 2110=Γ
若Γ满足：1-i v 和i v 是i e 的端点，,,,2,1l i =则称Γ为连接结点0v 、l v 的无向通路， Γ中所含边的数目l 称为通路Γ的长度。当l v v =0时，称Γ为回路。
若通路Γ中的所有边l e e e ,,,21 互不相同，则称Γ为简单通路。若回路中的所有边互不相同，则称此回路为简单回路。
若通路Γ中的所有顶点l v v v ,,10互不相同（从而所有的边互不相同），则称此通路为初级通路，如果初级通路Γ的长度大于2，且l v v =0，则称Γ为初级回路。
设j i v v ,是两个不同结点，若i v 与j v 间存在通路，则称j i v v ,是连接的（规定：结点与自身是连接的），称连接j i v v ,的所有通路中长度最小者为j i v v ,的短程，短程的长度称为j i v v ,之间的距离，记为()j i v v d ,，若不存在连接j i v v ,的通路时，定义()∞=j i v v d ,。
注：初级通路一定是简单通路，初级回路一定是简单回路，但反之不然。
为了简单起见，通路（回路）常用结点序列表示。
例如 将l l v e e v e v 2110简记为l v v v 10，但是若不能简记时，要适当写一些边。
4.连通性
定义 设E V G ,=为无向图，如果G 是平凡图或它的任意两个不同结点之间都存在通路，则称G 是连通的。 设图E V G ,=，定义V 上的关系 {}
之间存在通路且v u V v u v ,,,∈=ρ
则ρ是自反的，对称的和传递的，因而ρ是V 上的等价关系。设ρ将V 分成的等价类为
k V V V ,,,21 则称G 的子图i i i E V G ,=（其中i E 是E 的两个端点都位于i V 中的边的全体）为的G 连通分枝()k i ,,2,1 =.用()G p 表示G 的连通分支个数，则G 是连通的?()1=G p （G 不连通?()2≥G p ）
二、有向图
1.有向图的概念
定义 设},,,{21n v v v V =是非空集合，},,,{21m e e e E =是V V ?的多重子集，则称有序对E V ,是一个有向图，记为D ，即E V D ,=，其中V 称为D 的结点集，V 中元素),2,1( =i v i 为结点；E 是D 的边集，其元素为有向边。
说明：（1）由定义，有向图的边e 是有序对j i v v ,，称i v 为e 的始点，j v 为e 的终点，当j i v v =时，称e 为环。它是i v 到自身的有向边。
（2）因E 是多重子集，所以D 的两个结点间可能有几条不同的方向相同的有向边，它们称为平行边。
（3）图D 的结点个数称为图D 的阶，有m 条边的n 阶有向图称为()m n ,有向图。
2.结点与边的关系 设j i v v e ,=是有向图D 的边，则称结点i v 邻接结点j v ，e 正关联i v ，负关联j v 。
正关联结点j v 的边的条数称为j v 的出度，记作()j v +
deg ，负关联结点j v 的边的条数称为j v 的入度，记作()
j v -deg ，j v 的度数
()()()j j j v v v -++=deg deg deg
称度数为0的结点为孤立点。
定理 设n v v v ,,,21 是()m n ,有向图D 的结点，则
()()∑∑==+==n i n i i
i m v v 11
_deg deg 简单有向图：不含环及平行边的有向图称为简单有向图。
完全有向图：设D 是n 阶简单有向图，如果任两个结点都有方向相反的一对边，则称D 是n 阶完全有向图，n 阶完全有向图共有()1-n n 条有向边，每个结点的出度与入度相等，同为()1-n .
3.子图
定义 设E V D ,=，000,E V D =，都是有向图，如果非空集合 ,0V V ?，或E E ?0，则称0D 是D 的子图；如果,0V V ?或E E ?0，则称0D 是D 的真子图；如果E E V V ?=00,，则称0D 是D 的生成子图。
定义 在有向图E V D ,=中，结点和边的交替序列
l l v e e v e v 2110=Γ
称为D 的0v 到l v 的有向通路，其中>=<-i i i v v e ,1。Γ中包含的有向边的条数称为有向通路Γ的长度。如果l v v =0，则称有向通路Γ为D 的有向回路。
类似的，在有向图中，如果有向通路（回路）Γ中的所有有向边互不相同，则称Γ为D 的简单有向通路（回路）。
若有向通路Γ的所有结点互不相同，则称Γ为D 的初级有向通路。若除了Γ的起点和终点相同外，其它的结点互不相同，则称Γ为D 的初级有向回路。
注：初级有向通路（回路）一定是简单有向通路（回路），但反之不对。
有向短程：设j i v v ,是有向图D 的两个不同结点，如果存在i v 到j v 的有向通路，则称i v 可达j v ；如果i v 可达j v ，则从i v 到j v 存在有向通路，其中长度最小的有向通路称为i v 到j v 的有向短程，有向短程的长度称为i v 到j v 的距离，记为j i v v d ,，当i v 到j v
不可达时，规定∞=j i v v d ,。
为了简单起见，常用结点序列表示有向通路。
4.连通性
定义 设D 是有向图。
（1）如果略去D 中各边的方向所得的无向图G 是连通的，则称D 是弱连通图，简称连通图；
（2）如果D 的任意两个不同结点至少有一个可达另一个，则称D 是单向连通图；
（3）如果D 的任意两个不同结点都是互相可达的，则称D 是强连通图。
根据定义显然有下面结论
（1）强联通图一定是单向连通图，单向连通图一定是弱连通图，但反之不对。
（2）如果有向图D 中存在经过每个结点至少一次的有向通路，则D 是单向连通图。
（3）如果有向图D 中存在经过每个结点至少一次的有向回路，则D 是强连通的。
§3.2图的矩阵表示
一、无向图的矩阵表示
1.邻接矩阵
定义 设n v v v ,,,21 是无向图G 的所有结点，则称矩阵n n ij a A ?=)(为G 的邻接矩阵，其中j i ≠时，ij a 为结点j i v v ,之间的边数；j i =时，如果()E v v i i ∈,，则2=ii a ,否则0=ii a 。 邻接矩阵的性质
性质1 A 是对称矩阵
性质2 A 的第i 行（或第i 列）元素之和为结点i v 的度数(n i ,,2,1 =);
性质3 设简单图的邻接矩阵A 的l 次幂()(){}()0\N l a A l ij l ∈=，则：
⑴ j i ≠时，()l ij a 的值表示连接结点j i v v ,的长度为l 的通路条数(n j i ,,2,1, =);
⑵ ()l ii a 的值表示经过结点i v 的长度为l 的回路条数(n i ,,2,1 =)。（2>l ）.
推论 设简单图的邻接矩阵A 的l 次幂()(){}()0\N l a A l
ij l ∈=，则： （1）j i ≠时，())1,,2,1(0-==n l a l ij 是结点j i v v ,之间不连接的充分必要条件；
（2）使()
l ij a )1,,2,1()(-=≠n l j i 不为零的最小的l 值是j i v v ,间的距离，即),(j i v v d ；
（3）()),,2,1(0n l a l ii ==是结点i v 不在G 的任何回路上的充分必要条件。 2.连接矩阵
定义 设n v v v ,,,21 是简单图G 的n 个结点，则称矩阵()n n ij
c C ?=为G 的连接矩阵，其
中 ???=不连接
若连接若j i j i ij v v v v c ,0,1 连接矩阵的性质
性质1 C 是以0，1为元素的对称矩阵，且主对角线上的元素全为1。
性质2 G 是连通图的充分必要条件为C 的元素全为1。
性质3 设A 是简单图G 的邻接矩阵，记
[][][]A A A A A A E A
k ???===,,,,,10 则 [][][]110-⊕⊕⊕=n A A A C
其中⊕为矩阵的布尔加法，?为矩阵的布尔乘法。
对于简单图G ，性质3给出了连接矩阵与邻接矩阵的关系。
3.关联矩阵
定义 设图E V G ,=是无环的，其中{}n v v v V ,,,21 =，{}m e e e E ,,,21 =，令
??
?=i j i j ij v e v e m 不关联若关联若01 则称矩阵()m n ij m M ?=为G 的关联矩阵。
关联矩阵的性质
性质1 关联矩阵是以0，1为元素的矩阵。
性质2 关联矩阵的每列之和为2，每行之和为该行所对应的结点的度数。
性质3 元素全为零的行对应孤立点，相同的两列对应一对平行边。
二、有向图的矩阵表示
1.邻接矩阵
定义 设n v v v ,,,21 是有向图D 的结点，则称矩阵n n ij a A ?=)(为D 的邻接矩阵，其中ij a 是以i v 为始点，j v 为终点的边的条数),,2,1,(n j i =。
邻接矩阵的性质
性质1 A 不一定是对称矩阵。
性质2 A 的第i 行元素之和为()i v +deg ，A 的第i 列元素只和为()i v -deg （n i ,,2,1 =）. 性质3 设()()()1≥=l a A l
ij l ，则 (1)j i ≠时，()l ij a 的值是i v 到j v 的长度为l 的有向通路的条数()n j i ,,2,1, =.
(2)()l ii a 的值是i v 到自身的长度为l 的有向回路的条数()n i ,,2,1 =。
2.可达矩阵
定义 设n v v v ,,,21 是简单有向图D 的结点，则称()n n ij p P ?=是D 的可达矩阵，其中
???=j
i j i ij v v v v p 不可达若可达若01 可达矩阵的性质
性质1 P 是以0，1为元素的矩阵，其主对角线上的元素全为1，但不一定是对称的。 性质2 设A 是D 的邻接矩阵，则
[][][]110-⊕⊕⊕=n A A A P
性质3
⑴P 的元素全为1是D 为强连通的充分必要条件， ⑵P P P '⊕=的元素全为1是D 为单向连通的充分必要条件，其中P '是P 的转置矩阵。
关于有向图的连通性，对于具体的图可直接从图形进行判定。
3.关联矩阵
定义 设E V D ,=是无环有向图，{}n v v v V ,,,21 =，{}m e e e E ,,,21 =
令
??
???-=的终点是不关联，的始点是j i i j j i ij e v v e e v m ,10,1
则称()m n ij m M ?=是D 的关联矩阵。
性质1 关联矩阵是以-1，0，1为元素的矩阵。
性质2 关联矩阵每列元素之和为零，每行中1的个数等于它对应的结点的出度，每行中-1的个数等于他对应的结点的入度。
性质3 相同两列对应一对平行边，元素全为零的行对应孤立点。
性质4 如果有向图1D 的关联矩阵1M 经过若干次行或列对换后成为有向图2D 的关联矩阵2M ，则21D D ?.
§3.3几种典型的图
本节介绍两种典型的图：欧拉图和哈密尔顿图。
一、欧拉图
定义 设G 是连通的无向图，则称经过G 的每条边一次并且仅一次的通路为欧拉通路；如果欧拉通路是回路，则称此回路为欧拉回路。具有欧拉回路的无向图G 称为欧拉图。 对于有向图可类似定义。
定义 设D 是连通的有向图，则称经过G 的每条边一次并且仅一次的有向通路为有向欧拉通路；如果有向欧拉通路是有向回路，则称此有向回路为有向欧拉回路。具有有向欧拉回路的有向图D 称为有向欧拉图。
下面提供一个简捷的判别法．
定理 无向图G 有欧拉通路的充分必要条件是G 为连通图，并且G 仅有两个奇度结点或者无奇度结点。
（1）当G 是仅有两个奇度结点的连通图时，G 的欧拉通路必以此两个结点为端点。
（2）当G 是无奇度结点的连通图时，G 必有欧拉回路。
因此，上述定理有以下推论：
推论 G 为欧拉图的充分必要条件是G 为无奇度结点的连通图。
定理 有向图D 有有向欧拉通路的充分必要条件是D 为连通图，并且所有结点的出度与入度都相等，或者除两个结点外，其余结点的出度与入度都相等，而这两个结点中一个的出度与入度之差为1，另一个出度与入度之差为-1．
由定理可见：
（1）当D 除出、入度之差为1，-1的两个结点之外，其余结点的出度与入度都相等时，D 的有向欧拉通路必以出、入度之差是1的结点为始点，以出、入度之差是-1的结点为终点．
（2）当D 的所有结点的出、入度都相等时，D 有有向欧拉回路。
因此，由上述定理可以得到以下推论：
推论 有向图D 为有向欧拉图的充分必要条件是D 为连通图，并且所有结点的出、入度都相等。
二、哈密尔顿图
定义 设G 是无向图，则称经过G 的每个结点一次且仅一次的通路为哈密尔顿通路。如果哈密尔顿通路是回路，则称其为哈密尔顿回路。具有哈密尔顿回路的图，称为哈密尔顿图。 确定一个图是否为哈密尔顿图的问题称为哈密尔顿回路问题。
由定义可知：
（1）具有哈密尔顿通路的图是连通的；
（2）哈密尔顿通路是初级通路；
（3）哈密尔顿回路是初级回路。
对于有向图可类似定义。
定义 设D 是有向图，则称经过D 的每个结点一次且仅一次的有向通路为有向哈密尔顿通路。如果有向哈密尔顿通路是有向回路，则称其为有向哈密尔顿回路。具有有向哈密尔顿回路的图，称为有向哈密尔顿图。
由有向哈密尔顿图的定义可知：
（1）具有有向哈密尔顿通路的图是单向连通的；有向哈密尔顿图是强连通的；
（2）有向哈密尔顿通路是初级有向通路；
（3）有向哈密尔顿回路是初级有向回路。
§3.4 树
一、无向树
定义 不包含回路的连通图称为树，记为T ．各个连通分支都是树的图，称为森林（即两棵以上的树称为森林）．
设T 是树，则T 的边称为树枝，度数为1的结点称为树叶，度数大于等于2的结点称为分枝点．
由定义可知：
（1）一个孤立点是一棵树，几个孤立点是一片森林．下面不考虑这种树与森林．
（2）树T 中无环及平行边．
树的性质：
性质1 设21,v v 是T 的两个不同结点，则连接21,v v 有且仅有一条通路，而且这条通路是初级通路．
性质2 设21,v v 是T 的两个结点．如果21,v v 不邻接，则在T 中添加边),(21v v 后所得的图有且仅有一条回路，而且这条回路是初级回路．
性质3 从树T 中删除任意一条边后所得的图是不连通的．
性质4 设T 是),(m n 树，则1-=n m ．
性质5 设树T 的结点数为n （n ＞2），则T 至少有两片树叶．
例 设树T 中有7片树叶，3个3度结点，其余都是4度结点，问T 中有几个4度结点？给出T 的图解．
解 设T 有x 个4度结点，则由握手定理和性质4
)137(243371-++=?+?+?x x
解此方程得1=x ，即T 的4度结点只有1个．其图解如下图所示．
例 设树T 中有1个3度结点，2个2度结点，其余结点都是树叶，问T 中有几片树叶？ 解 设T 有y 片树叶，则由握手定理和性质4
)121(222131-++=?+?+?y y
解此方程得3=y ．即T 有3片树叶．
定义 设G 是连通图，如果T 是G 的生成子图且是树，则称T 是G 的生成树，称G 的不在T 中的边为T 的弦．
根据定义可得：
定理 任何连通图G 都有生成树．
二、有向树（根树）
定义 如果有向图D 略去其各边的方向后所得的图是树，则称D 为有向树．通常也用T 表示． 在计算机科学中，最常用的有向树是根树，它的定义如下：
定义 设T 是有向树，如果它只有一个入度为0的结点，其余结点的入度都为1，则称T 为根树．在根树T 中入度为0的结点称为树根，入度为1、出度为0的结点称为树叶，入度为1，出度大于0的结点称为分枝点．
离散数学第三版课后习题答案
离散数学辅助教材 概念分析结构思想与推理证明 第一部分 集合论
离散数学习题解答 习题一（第一章集合） 1. 列出下述集合的全部元素： 1）A={x | x ∈N∧x是偶数∧x＜15} 2）B={x|x∈N∧4+x=3} 3）C={x|x是十进制的数字} [解] 1）A={2，4，6，8，10，12，14} 2）B= 3）C={0，1，2，3，4，5，6，7，8，9} 2. 用谓词法表示下列集合： 1）{奇整数集合} 2）{小于7的非负整数集合} 3）{3，5，7，11，13，17，19，23，29} [解] 1）{n n∈I∧(?m∈I)(n=2m+1)}； 2）{n n∈I∧n≥0∧n<7}； 3）{p p∈N∧p>2∧p<30∧?(?d∈N)(d≠1∧d≠p∧(?k∈N)(p=k?d))}。 3. 确定下列各命题的真假性： 1） 2）∈ 3）{} 4）∈{} 5）{a，b}{a，b，c，{a，b，c}} 6）{a,b}∈(a，b，c，{a，b，c}) 7）{a，b}{a，b，{{a，b，}}} 8）{a，b}∈{a，b，{{a，b，}}} [解]1）真。因为空集是任意集合的子集； 2）假。因为空集不含任何元素； 3）真。因为空集是任意集合的子集； 4）真。因为是集合{}的元素； 5）真。因为{a，b}是集合{a，b，c，{a，b，c}}的子集； 6）假。因为{a,b}不是集合{a，b，c，{a，b，c}}的元素；
7）真。因为{a，b}是集合{a，b，{{a，b}}}的子集； 8）假。因为{a,b}不是集合{a，b，{{a，b}}}的元素。 4. 对任意集合A，B，C，确定下列命题的真假性： 1）如果A∈B∧B∈C，则A∈C。 2）如果A∈B∧B∈C，则A∈C。 3）如果A B∧B∈C，则A∈C。 [解] 1）假。例如A={a}，B={a，b}，C={{a}，{b}}，从而A∈B∧B∈C但A∈C。 2）假。例如A={a}，B={a，{a}}，C={{a}，{{a}}}，从而A∈B∧B∈C，但、A ∈C。 3）假。例如A={a}，B={a，b}，C={{a}，a，b}，从而ACB∧B∈．C，但A∈C。5．对任意集合A，B，C，确定下列命题的真假性： 1）如果A∈B∧B C，则A∈C。 2）如果A∈B∧B C，则A C。 3）如果A B∧B∈C，则A∈C。 3）如果A B∧B∈C，则A C。 [解] 1）真。因为B C x（x∈B x∈C），因此A∈B A∈C。 2）假。例如A={a}，B={{a}，{b}}，C={{a}，{b}，{c}}从而A∈B∧B C，但A C。 3）假。例如A={a}，B={{a，b}}，C={{a，{a，b}}，从而A B∧B∈C，但A C。 4）假。例如A={a}，B={{a，b}}，C={{a，b}，b}，从而A B∧B∈C，但A C。 6．求下列集合的幂集： 1）{a，b，c} 2）{a，{b，c}} 3）{} 4）{，{}} 5）{{a，b}，{a，a，b}，{a，b，a，b}} [解] 1）{，{a}，{b}，{c}，{a，b}，{a，c}，{b，c}，{a，b，c}} 2）{，{a}，{{b，c}}，{a，{a，b}}} 3）{，{}} 4）{，{}，{{}}，{，{}}}
离散数学作业答案
离散数学作业7 离散数学数理逻辑部分形成性考核书面作业 本课程形成性考核书面作业共3次，内容主要分别是集合论部分、图论部分、数理逻辑部分的综合练习，基本上是按照考试的题型（除单项选择题外）安排练习题目，目的是通过综合性书面作业，使同学自己检验学习成果，找出掌握的薄弱知识点，重点复习，争取尽快掌握。本次形考书面作业是第三次作业，大家要认真及时地完成数理逻辑部分的综合练习作业。 要求：将此作业用A4纸打印出来，手工书写答题，字迹工整，解答题要有解答过程，要求2010年12月19日前完成并上交任课教师（不收电子稿）。并在07任务界面下方点击“保存”和“交卷”按钮，以便教师评分。 一、填空题 1．命题公式()P Q P →∨的真值是 1 ． 2．设P ：他生病了，Q ：他出差了．R ：我同意他不参加学习. 则命题“如果他生病或出差了，我就同意他不参加学习”符号化的结果为 (PQ)R ． 3．含有三个命题变项P ，Q ，R 的命题公式PQ 的主析取范式是 (PQR) (PQR) ． 4．设P(x)：x 是人，Q(x)：x 去上课，则命题“有人去上课．” 可符号化为 (x)(P(x) →Q(x)) ． 5．设个体域D ＝{a, b},那么谓词公式)()(y yB x xA ?∨?消去量词后的等值式为 (A(a) A(b)) (B(a) B(b)) ． 6．设个体域D ＝{1, 2, 3}，A(x)为“x 大于3”，则谓词公式(x)A(x) 的真值为 ． 7．谓词命题公式(x)((A(x)B(x)) C(y))中的自由变元为 ． 8．谓词命题公式(x)(P(x) Q(x) R(x ，y))中的约束变元为 X ． 三、公式翻译题 1．请将语句“今天是天晴”翻译成命题公式． 1．解：设P ：今天是天晴； 则 P ． 2．请将语句“小王去旅游，小李也去旅游．”翻译成命题公式． 解：设P ：小王去旅游，Q ：小李去旅游， 则 PQ ． 3．请将语句“如果明天天下雪，那么我就去滑雪”翻译成命题公式． 解：设P:明天天下雪 。 Q:我去滑雪 则 P Q ． 4．请将语句“他去旅游，仅当他有时间．”翻译成命题公式． 7．解：设 P ：他去旅游，Q ：他有时间， 则 P Q ． 5．请将语句 “有人不去工作”翻译成谓词公式． 11．解：设P(x)：x 是人，Q(x)：x 去工作，
离散数学(大作业)与答案
一、请给出一个集合A，并给出A上既具有对称性，又具有反对称性的关系。（10分）解：A={1,2} R={（1,1），（2,2）} 二、请给出一个集合A，并给出A上既不具有对称性，又不具有反对称性的关系。（10分）集合A={1,2,3} A上关系{<1,2>,<2,1>,<1,3>}，既不具有对称性，又不具有反对称性 三、设A={1，2}，请给出A上的所有关系。（10分） 答：A上的所有关系: 空关系，{<1,1>,<1,2>,<2,1>,<2,2>} {<1,1>} {<1,2>} {<2,1>} {<2,2>} {<1,1>,<1,2>} {<1,1>,<2,1>} {<1,1>,<2,2>} {<1,2>,<2,1>} {<1,2>,<2,2>} {<2,1>,<2,2>} {<1,1>,<1,2>,<2,1>} {<1,1>,<1,2>,<2,2>}
{<1,2>,<2,1>,<2,2>} {<1,1>,<2,1>,<2,2>} 四、设A={1，2，3}，问A 上一共有多少个不同的关系。（10分） 设A={1，2，3}，A 上一共有2^(3^2)=2^9=512个不同的关系。 五、证明： 命题公式G 是恒真的当且仅当在等价于它的合取范式中，每个子句均至少包含一个原子及其否定。（10分） 证明：设公式G 的合取范式为：G ’=G1∧G2∧…∧Gn 若公式G 恒真，则G ’恒真，即子句Gi ；i=1,2,…n 恒真 为其充要条件。 Gi 恒真则其必然有一个原子和它的否定同时出现在Gi 中，也就是说无论一个解释I 使这个原子为1或0 ，Gi 都取1值。 若不然，假设Gi 恒真，但每个原子和其否定都不同时出现在Gi 中。则可以给定一个解释I ，使带否定号的原子为1，不带否定号的原子为0，那么Gi 在解释I 下的取值为0。这与Gi 恒真矛盾。 因此，公式G 是恒真的当且仅当在等价于它的合取范式中，每个子句均至少包含一个原子及其否定。 六、若G=(P ，L)是有限图，设P(G)，L(G)的元数分别为m ，n 。证明：n ≤2m C ，其中2m C 表 示m 中取2的组合数。（10分） 证明：如果G=(P,L)为完全图，即对于任意的两点u 、v （u ≠v ）,都有一条边uv ，则此时对于元数为m 的P(G)，L(G)的元数取值最大为C m 2。因此，若G=(P,L)为一有限图，设P(G)的元数为m ，则有L(G)
离散数学(三)
一、判断题 1、偏序集合的哈斯图一定是连通图（错） 2、任意一个谓词公式都与一个前束范式等到价。（对） 3、设R 是非空集合A 上的关系，R 在A 上是传递的，当且仅当R R R R ? 4、若有向图D 是强连通，则D 必为欧拉图。 5、设R 是集合A 上的传递关系，则R 是传递的. 6、设A*、Ｂ*分别是命题公式Ａ和Ｂ的对偶式，若Ａ?Ｂ，则Ａ*? Ｂ* 7、在推理中：“如果你上课用心听讲，那么你考试及格：你上课不用心听讲，所以你考试不及格”，中的结论是有效的 8、Ａ、Ｂ为集合，Ａ-B=A 当且仅当Ｂ＝Φ 9、若Ａ、Ｂ为集合，当Ａ∪Ｂ＝Ａ∪C 且Ａ∩Ｂ＝Ａ∩Ｃ时，则Ｂ＝Ｃ 11、集合Ａ上的恒等关系，I A 是对称的反对称的. 12、可数个可数集的并一定是可数的 13、在推理“如果我参加马拉松赛，那么我很疲劳；但我不疲劳，所以我没有参加比赛中，结论是有效的 14、A 、Ｂ是非空集合，若｛Ａ－Ｂ，Ｂ－Ａ｝是集合，Ａ∪Ｂ的一个划分，则Ａ∩Ｂ＝Φ 15、设Ａ，Ｂ分别是命题公式Ａ、Ｂ的对偶式，若Ａ?Ｂ，则Ａ? Ｂ 16、Ｒ、Ｓ是Ａ上的二元关系，若Ｒ和Ｓ是自反的，则Ｒ S 也是自反的 17、设Ａ是集合，Ｐ（Ａ）是Ａ的幂集，则Ａ ? Ｐ（Ａ） 18、偏序集合的哈斯图一定是连通图 19、若Ｒ１ ?Ｒ２ 是非空集合Ａ上的等价关系， 则Ｒ１ Ｒ2也是Ａ上的等价关系 20、若Ｒ、Ｓ是Ａ上的二元系，若Ｒ和Ｓ是对称的，则R S 也是对称的 21、设Ｒ、Ｓ是集合Ａ上的关系，若Ｒ和Ｓ是传递的，则Ｒ∩Ｓ是传递 22、设Ａ*是命题公式Ａ的对偶式，则（Ａ*）*＝Ａ 23、不是自反的关系一定是反自反的 24、集合（0，1）和集合（∞-，０）是 等势的。 25、设
《离散数学》及答案
《离散数学》+答案 一、选择或填空: 1、下列哪些公式为永真蕴含式？( ) (1)?Q=>Q→P (2)?Q=>P→Q (3)P=>P→Q (4)?P∧(P∨Q)=>?P 答：在第三章里面有公式（1）是附加律，（4）可以由第二章的蕴含等值式求出（注意与吸收律区别） 2、下列公式中哪些是永真式？( ) (1)(┐P∧Q)→(Q→?R) (2)P→(Q→Q) (3)(P∧Q)→P (4)P→(P∨Q) 答：（2），（3），（4）可用蕴含等值式证明 3、设有下列公式，请问哪几个是永真蕴涵式?( ) (1)P=>P∧Q (2) P∧Q=>P (3) P∧Q=>P∨Q (4)P∧(P→Q)=>Q (5) ?(P→Q)=>P (6) ?P∧(P∨Q)=>?P 答：（2）是第三章的化简律，（3）类似附加律，（4）是假言推理，（3），（5），（6）都可以用蕴含等值式来证明出是永真蕴含式 4、公式?x((A(x)→B(y，x))∧?z C(y，z))→D(x)中，自由变元是( )，约束变元是( )。 答：x,y, x,z（考察定义在公式?x A和?x A中，称x为指导变元，A为量词的辖域。在?x A和?x A的辖域中，x的所有出现都称为约束出现，即称x为约束变元，A中不是约束出现的其他变项则称为自由变元。于是A(x)、B(y，x)和?z C(y，z)中y为自由变元，x和z为约束变元，在D(x)中x为自由变元） 5、判断下列语句是不是命题。若是，给出命题的真值。( ) (1)北京是中华人民共和国的首都。 (2) 陕西师大是一座工厂。 (3) 你喜欢唱歌吗？ (4) 若7+8＞18，则三角形有4条边。 (5) 前进！ (6) 给我一杯水吧！ 答：（1）是，T （2）是，F （3）不是（4）是，T （5）不是（6） 44
离散数学3
一、判断题（共5道小题，共50.0分） 1. 代数系统的零元是可逆元. A. 正确 B. 错误 知识点: 代数系统的基本概念 学生答案: [B;] 得分: [10] 试题分值: 10.0 提示: 2. ⊙11〉是群. A. 正确 B. 错误 知识点: 群、环和域 学生答案: [A;] 得分: [10] 试题分值: 10.0 提示: 3. 设是布尔代数，则对任意，都有，使得 ． A. 正确 B. 错误 知识点: 格和布尔代数 学生答案: [A;] 得分: [10] 试题分值: 10.0 提示: 4. 设是格的任意两个元素，则．
A. 正确 B. 错误 知识点: 格和布尔代数 学生答案: [A;] 得分: [10] 试题分值: 10.0 提示: 5. 设集合，则是格． A. 正确 B. 错误 知识点: 格和布尔代数 学生答案: [A;] 得分: [10] 试题分值: 10.0 提示: 6. 二、单项选择题（共5道小题，共50.0分） 1. 设是有理数集，在定义运算为，则的单位元为 A. B. C. 1 D. 0 知识点: 代数系统的基本概念 学生答案: [D;] 得分: [10] 试题分值: 10.0 提示: 2. 设集合，下面定义的哪种运算关于集合不是封闭的 A. B.
C. ，即的最大公约数 D. ，即的最小公倍数 知识点: 代数系统的基本概念 学生答案: [D;] 得分: [10] 试题分值: 10.0 提示: 3. 在整数集上，下列哪种运算是可结合的 A. B. C. D. 知识点: 代数系统的基本概念 学生答案: [B;] 得分: [10] 试题分值: 10.0 提示: 4. 设代数系统A，?，则下面结论成立的是. A. 如果A，?是群，则A，?是阿贝尔群 B. 如果A，?是阿贝尔群，则A，?是循环群 C. 如果A，?是循环群，则A，?是阿贝尔群 D. 如果A，?是阿贝尔群，则A，?必不是循环群 知识点: 群、环和域 学生答案: [C;] 得分: [10] 试题分值: 10.0 提示:
离散数学作业答案
第一章 1.假定A是ECNU二年级的学生集合，B是ECNU必须学离散数学的学生的集合。请用A 和B表示ECNU不必学习离散数学的二年级的学生的集合。 2.试求： (1)P(φ) (2)P(P(φ)) (3)P(P(P(φ))) 3.在1~200的正整数中，能被3或5整除，但不能被15整除的正整数共有多少个？ 能被5整除的有40个， 能被15整除的有13个， ∴能被3或5整除，但不能被15整除的正整数共有 66-13+40-13=80个。 第三章 1.下列语句是命题吗？ (1)2是正数吗？ (2)x2+x+1=0。 (3)我要上学。 (4)明年2月1日下雨。 (5)如果股票涨了，那么我就赚钱。 2.请用自然语言表达命题(p?→r)∨(q?→r)，其中p、q、r为如下命题： p：你得流感了 q：你错过了最后的考试
3.通过真值表求p→(p∧(q→p))的主析取范式和主合取范式。 4.给出p→(q→s),q,p∨?r?r→s的形式证明。 第四章 1.将?x(C(x)∨?y(C(y)∧F(x,y)))翻译成汉语，其中C(x)表示x有电脑，F(x,y) 表示x和y是同 班同学，个体域是学校全体学生的集合。 解： 学校的全体学生要么自己有电脑，要么其同班同学有电脑。 2.构造?x(P(x)∨Q(x)),?x(Q(x)→?R(x)),?xR(x)??xP(x)的形式证明。 解： ①?xR(x) 前提引入 ②R(e) ①US规则 ③?x(Q(x)→?R(x)) 前提引入 ④Q(e) →?R(e) ③US规则 ⑤?Q (e) ②④析取三段论 ⑥?x(P(x)∨Q(x)) 前提引入 ⑦P(e) ∨Q(e) ⑥US规则 ⑧P(e) ⑤⑦析取三段论 ⑨?x (P(x)) ⑧EG规则 第五章
《离散数学(第三版)》期末复习知识点总结含例题(呕心沥血整理).doc
T 是 系、空关系、全关系、恒等关 P （A ）-p （B ） = {{3},{1,3}, {2,券,;{陶鮮餐的集合衣示、关 系矩阵和矣系图、关系的运 算。 2、 学握求复合关系与逆关系 的方法。 3. 理解关系的性质（自反性. 对称性、反对称性、传递性） ? 掌握其判别方法（定义、矩阵、 图）。 4、 掌握求关系的闭包（自反 闭包、对称闭包、传递闭包） 的 方法。 5、 理解等价关系和偏序关系 的概念，学握等价类的求法和 偏序关系做哈斯图的方法，极 人/小元、最人/小元、上/卜?界、 最小上界、最人下界的求法。 6、 理解函数概念：函数、函 数相等、复介畅数和反畅数。 7、 理解单射、满射、双射等 概念，学握其判别方法。 ［木章重点习题］ P25, 1； P32?33, 4, 8, 10； P43, 2, 3, 5； （Au~ B ）c （~ 注J 8）P59, 1, 2； P64, 3 ； P74?75, 2, 4, 6, 7； P81, 5, 7： = （（An ?A 曲鑑咖血c 肛（~ 3 c B ）） =（①遊:縱璇憾"） =（An 圧皿細扇渤洋輕）：元关系 世概念及关系矩阵、 图表 示。 2、关系的性质及其判定 关系的性质既是对关系 概念的加深理解与学握，乂是 关系的闭包、 等价关系、半序 关系的基础。对丁?四种性质的 判定，可以依据教材中P49上 总结的规律。这其中对传递性 的判定，难度稍大一点，这里 要提及两点：一是不破 坏传递 性定义，可认为具有传递性。 如空关系具冇传递性，同时空 关系具有对称性与反对称性，但是不具有自反性。另一点是 介绍-?种判定传递性的“跟踪 法” ， 即 若 （a l9a 2）e R. \a 2,a 3）e R, ,则（R 。如若 （a,b ）w R, R , 则有,且 （b,b ）w R 。例题 一、各章复习要求与重点 第一章集合 ［复习知识点］ 1、 集合、元索、集合的表示 方法、子集、空集、全集、集 合的包含、相等、幕集 2、 集合的交、并、差、补等 运算及其运算律（交换律、结 合律、分配律、吸收律、De Morgan 律等）,文氏（Venn ） 图 3、 序偶与辿卡尔积 本章重点内容：集合的概 念.集合的运算性质、集合恒 等式的证明 ［复习要求］ 1、 理解集合、元素、子集、 空集、全集、集合的包含、相 等、幕集等基本概念。 2、 学握集合的表示法和集合 的交、并、差、补等基本运算。 3、 掌握集合运算基本规律， 证明集合等式的方法。 4、 了解序偶与迪卡尔积的概 念，掌握辿卡尔积的运算。 ［疑难解析］ 1、 集合的概念 因为集合的概念学生在 中学阶段已经学过，这里只多 了一个幕集概念，重点对幕集 加以掌握，一是掌握幕集的构 成.一是掌握幕集元数为2"。 2、 集合恒等式的证明 通过对集合恒等式证明 的练习?既町以加深对集介性 质的理解与学握；又可以为第 三章命题逻辑中公式的基本 等价式的应用打下良好的基 础。实际上,本章做题是一种 基本功训练，尤其要求学生重 视吸收律利重耍等价式在 A — B = A c ~ B 证明中 的特殊作用。 ［例题分析］ 例1设A, B 是两个集合， A={1, 2, 3}, B={1, 2）,则 p （A ） — p （B ） = 例 2 A = {a,b,{a 9b},}, 求： (1) A-{a,b} ⑵ A -① ⑶ A - {O}； ⑷{{tz,/?}} — A ⑸ ①一 A ⑹{①} - A 。 解 (1) A-{a,b} = {{a,b}^} ⑵ A -①=A ⑶ >4-{o} = (4) {{a,b}}-A =① ⑸ ①一 4二① (6) A 二① 例 3 试证明 第二章二元关系 ［复习知识点］ 1、 关系、关系矩阵与关系图 2、 复合关系与逆关系 3、 关系的性质（自反性.对 称性、 反对称性、传递性） 4、 关系的闭包（自反闭包、 对称闭包、传递闭包） 5、 等价关系与等价类 6、 偏序关系与哈斯图 （Hasse ） ＞极大/小元.最大/ 小元、上/下界、最小上界、最 大 下界 7、 函数及其性质（单射、满 《离散数学（第三版）》 期末复习知识点总结含 解 P （A ） = {0,{1},{2},{3},{1,2},{1|删{辆,曲3 料序关系、 映射 的概念 p （B ）二{0,{1},{2},{1,2}}［复习要求］ 1、理解关系的概念：二元关 证明 P86, 1, 2o 射、双射） 8、复合函数与反函数 木章重点内容：二元关系 的 概念、关系的性质、关系的 (Au ?B)c(?AuS)= ((Au^ff
离散数学作业答案完整版
离散数学作业答案 HEN system office room 【HEN16H-HENS2AHENS8Q8-HENH1688】
离散数学集合论部分形成性考核书面作 业 本课程形成性考核书面作业共3次，内容主要分别是集合论部分、图论部分、数 理逻辑部分的综合练习，基本上是按照考试的题型（除单项选择题外）安排练习题 目，目的是通过综合性书面作业，使同学自己检验学习成果，找出掌握的薄弱知识 点，重点复习，争取尽快掌握。本次形考书面作业是第一次作业，大家要认真及时地 完成集合论部分的综合练习作业。 要求：将此作业用A4纸打印出来，手工书写答题，字迹工整，解答题要有解答 过程，要求本学期第11周末前完成并上交任课教师（不收电子稿）。并在03任务界 面下方点击“保存”和“交卷”按钮，完成并上交任课教师。 一、填空题 1．设集合{1,2,3},{1,2} ==，则P(A)- A B P(B )={{3},{1,3},{2,3},{1,2,3}}，A? B={<1,1>,<1,2>,<2,1>,<2,2>,<3,1>,<3,2>} ． 2．设集合A有10个元素，那么A的幂集合P(A)的元素个数为 1024 ． 3．设集合A={0, 1, 2, 3}，B={2, 3, 4, 5}，R是A到B的二元关系， 则R的有序对集合为{<2,2>,<2,3>,<3,2>,<3,3>} ． 4．设集合A={1, 2, 3, 4 }，B={6, 8, 12}，A到B的二元关系 R＝} ∈ y x∈ y < > = {B , , x , 2 y A x 那么R－1＝{<6,3>,<8,4>} 5．设集合A=｛a, b, c, d｝，A上的二元关系R={
离散数学课后答案
离散数学课后答案 习题一 6.将下列命题符号化。 （1）小丽只能从框里那一个苹果或一个梨. （2）这学期，刘晓月只能选学英语或日语中的一门外语课. 答： （1）（p Λ?q ）ν（?pΛq）其中p:小丽拿一个苹果，q:小丽拿一个梨（2）（p Λ?q ）ν（?pΛq）其中p:刘晓月选学英语，q:刘晓月选学日语 14.将下列命题符号化. (1) 刘晓月跑得快, 跳得高. (2)老王是山东人或河北人. (3)因为天气冷, 所以我穿了羽绒服. (4)王欢与李乐组成一个小组. (5)李辛与李末是兄弟. (6)王强与刘威都学过法语. (7)他一面吃饭, 一面听音乐. (8)如果天下大雨, 他就乘班车上班. (9)只有天下大雨, 他才乘班车上班. (10)除非天下大雨, 他才乘班车上班. (11)下雪路滑, 他迟到了. (12)2与4都是素数, 这是不对的. (13)“2或4是素数, 这是不对的”是不对的. 答： (1)p∧q, 其中, p: 刘晓月跑得快, q: 刘晓月跳得高. (2)p∨q, 其中, p: 老王是山东人, q: 老王是河北人. (3)p→q, 其中, p: 天气冷, q: 我穿了羽绒服. (4)p, 其中, p: 王欢与李乐组成一个小组, 是简单命题. (5)p, 其中, p: 李辛与李末是兄弟. (6)p∧q, 其中, p: 王强学过法语, q: 刘威学过法语. (7)p∧q, 其中, p: 他吃饭, q: 他听音乐. (8)p→q, 其中, p: 天下大雨, q: 他乘班车上班. (9)p→q, 其中, p: 他乘班车上班, q: 天下大雨. (10)p→q, 其中, p: 他乘班车上班, q: 天下大雨. (11)p→q, 其中, p: 下雪路滑, q: 他迟到了. (12) ? (p∧q)或?p∨?q, 其中, p: 2是素数, q: 4是素数. (13) ? ? (p∨q)或p∨q, 其中, p: 2是素数, q: 4是素数. 16. 19.用真值表判断下列公式的类型: (1)p→ (p∨q∨r) (2)(p→?q) →?q
离散数学答案
02任务_000 1 试卷总分：100 测试时间：0 单项选择题 一、单项选择题（共10 道试题，共100 分。） 1. 设集合A = {1, a }，则P(A) = ( )． A. {{1}, {a}} B. {,{1}, {a}} C. {{1}, {a}, {1, a }} D. {,{1}, {a}, {1, a }} 2. 集合A={1, 2, 3, 4}上的关系R={
5. 设集合A={1 , 2 , 3 , 4}上的二元关系R={<1, 1>，<2, 2>，<2, 3>，<4, 4>}，S={<1, 1>，<2, 2>，<2, 3>，<3, 2>，<4, 4>}，则S是R的（）闭包． A. 自反 B. 传递 C. 对称 D. 自反和传递 6. 若集合A={1，2}，B={1，2，{1，2}}，则下列表述正确的是( )． A. A B，且A B B. B A，且A B C. A B，且A B D. A B，且A B 7. 设集合A={1，2，3，4，5}，偏序关系≤是A上的整除关系，则偏序集
离散数学作业标准答案
离散数学作业 一、选择题 1、下列语句中哪个就是真命题(C )。 A.我正在说谎。 B.如果1+2=3,那么雪就是黑色的。 C.如果1+2=5,那么雪就是白色的。 D.严禁吸烟！ 2、设命题公式))((r q p p G →∧→=,则G 就是( C )。 A 、 恒假的 B 、 恒真的 C 、 可满足的 D 、 析取范式 3、谓词公式),,(),,(z y x yG x z y x F ??→中的变元x ( C )。 A.就是自由变元但不就是约束变元 B.既不就是自由变元又不就是约束变元 C.既就是自由变元又就是约束变元 D.就是约束变元但不就是自由变元 4、设A={1,2,3},则下列关系R 不就是等价关系的就是(C ) A.R={<1,1>,<2,2>,<3,3>} B.R={<1,1>,<2,2>,<3,3>,<2,3>,<3,2>} C.R={<1,1>,<2,2>,<3,3>,<1,4>} D.R={<1,1>,<2,2>,<3,3>,<1,2>,<1,3>,<2,3>,<2,1>, <3,1>,<3,2>} 5、设R 为实数集,映射σ=R →R,σ(x)= -x 2+2x-1,则σ就是( D )。 A.单射而非满射 B.满射而非单射 C.双射 D.既不就是单射,也不就是满射 6、下列二元运算在所给的集合上不封闭的就是( D ) A 、 S={2x-1|x ∈Z +},S 关于普通的乘法运算 B 、 S={0,1},S 关于普通的乘法运算 C 、 整数集合Z 与普通的减法运算 D 、 S={x | x=2n ,n ∈Z +},S 关于普通的加法运算 7、*运算如下表所示,哪个能使({a,b},*)成为含幺元半群( D ) b b b a a a b a * a b b b a a b a * 8( A )
离散数学第三次在线作业
第三次在线作业 1.（ 2.5分）不能再分解的命题称为原子命题，至少包含一个联结词的命题称为复合命题 ?正确 ?错误 我的答案：正确此题得分：2.5分 2.（2.5分）命题是能够表达判断（分辩其真假）的陈述语句 ?正确 ?错误 我的答案：正确此题得分：2.5分 3.（2.5分）一个命题可赋予一个值，称为真值 ?正确 ?错误 我的答案：正确此题得分：2.5分 4.（2.5分）复合命题是由连结词、标点符号和原子命题复合构成的命题 ?正确 ?错误 我的答案：正确此题得分：2.5分 5.（2.5分）在条件命题P→Q中，命题P称为P→Q的前件或前提，命题Q称为P→Q的后件或结论 ?正确 ?错误 我的答案：正确此题得分：2.5分
6.（2.5分）给定一个命题，若无论对分量作怎样的指派，其对应的真值永远为T，则称该 命题公式为重言式或永真公式 ?正确 ?错误 我的答案：正确此题得分：2.5分 7.（2.5分）给定一个命题，若无论对分量作怎样的指派，其对应的真值永远为F，则称该命题公式为矛盾式或永假公式 ?正确 ?错误 我的答案：正确此题得分：2.5分 8.（2.5分）任何两个重言式的合取或析取仍然是一个重言式 ?正确 ?错误 我的答案：正确此题得分：2.5分 9.（2.5分）一个命题称为合取范式，当且仅当它具有如下的形式： A1∧A2∧…∧An，(n≥1)其中A1A2…An都是由命题变元或其否定所组成的析取式 ?正确 ?错误 我的答案：正确此题得分：2.5分 10.（2.5分）一个命题称为析取范式，当且仅当它具有如下的形式： A1∨A2∨ … ∨An，(n≥1)其中A1A2…An都是由命题变元或其否定所组成的合取式 ?正确
离散数学试题及答案(1)
离散数学试题及答案 一、填空题 1设集合A,B，其中A＝{1,2,3}, B= {1,2}, 则A - B＝____________________; ρ(A) - ρ(B)＝__________________________ . 2. 设有限集合A, |A| = n, 则|ρ(A×A)| = __________________________. 3.设集合A = {a, b}, B = {1, 2}, 则从A到B的所有映射是__________________________ _____________, 其中双射的是__________________________. 4. 已知命题公式G＝?(P→Q)∧R，则G的主析取范式是_______________________________ __________________________________________________________. 5.设G是完全二叉树，G有7个点，其中4个叶点，则G的总度数为__________，分枝点数为________________. 6设A、B为两个集合, A= {1,2,4}, B = {3,4}, 则从A?B＝_________________________; A?B ＝_________________________;A－B＝_____________________ . 7. 设R是集合A上的等价关系，则R所具有的关系的三个特性是______________________, ________________________, _______________________________. 8. 设命题公式G＝?(P→(Q∧R))，则使公式G为真的解释有__________________________， _____________________________, __________________________. 9. 设集合A＝{1,2,3,4}, A上的关系R1 = {(1,4),(2,3),(3,2)}, R1 = {(2,1),(3,2),(4,3)}, 则 R1?R2 = ________________________,R2?R1 =____________________________, R12 =________________________. 10. 设有限集A, B，|A| = m, |B| = n, 则| |ρ(A?B)| = _____________________________. 11设A,B,R是三个集合，其中R是实数集，A = {x | -1≤x≤1, x∈R}, B = {x | 0≤x < 2, x∈R},则A-B = __________________________ , B-A = __________________________ , A∩B = __________________________ , . 13.设集合A＝{2, 3, 4, 5, 6}，R是A上的整除，则R以集合形式(列举法)记为___________ _______________________________________________________. 14. 设一阶逻辑公式G = ?xP(x)→?xQ(x)，则G的前束范式是__________________________ _____. 15.设G是具有8个顶点的树，则G中增加_________条边才能把G变成完全图。