一次函数的图象和性质知识点和典型例题讲解

一次函数的图象和性质知识点和典型例题讲解
一次函数的图象和性质知识点和典型例题讲解

一次函数的图象和性质

一、知识要点:

1、一次函数:形如y=kx+b (k≠0, k, b为常数)的函数。

注意:(1)k≠0,否则自变量x的最高次项的系数不为1;(2)当b=0时,y=kx,y叫x的正比例函数。

2、图象:一次函数的图象是一条直线,

(1)两个常有的特殊点:与y轴交于(0,b);与x轴交于(-,0)

(2)由图象可以知道,直线y=kx+b与直线y=kx平行,例如直线:y=2x+3与直线y=2x-5都与直线y=2x平行。

3、性质:

(1)图象的位置:

(2)增减性k>0时,y随x增大而增大k<0时,y随x增大而减小

4.求一次函数解析式的方法求函数解析式的方法主要有三种(1)由已知函数推导或推证

(2)由实际问题列出二元方程,再转化为函数解析式,此类题一般在没有写出函数解析式前无法(或不易)判断两个变量之间具有什么样的函数关系。(3)用待定系数法求函数解析式。

“待定系数法”的基本思想就是方程思想,就是把具有某种确定形式的数学问题,通过引入一些待定的系数,转化为方程(组)来解决,题目的已知恒等式中含有几个等待确定的系数,一般就需列出几个含有待定系数的方程,本单元构造方程一般有下列几种情况:

①利用一次函数的定义

构造方程组。②利用一次函数y=kx+b中常数项b恰为函数图象与y轴交点的纵坐标,即由b来定点;直线y=kx+b平行于y=kx,即由k来定方向。③利用函数图象上的点的横、纵坐标满足此函数解析式构造方程。④利用题目已知条件直接构造方程。

二、例题举例:

例1.已知y=,其中=(k≠0的常数),与成正比例,求证y与x也成正比例。

证明:∵与成正比例,

设=a(a≠0的常数),

∵y=, =(k≠0的常数),

∴y=·a=akx,

其中ak≠0的常数,

∴y与x也成正比例。

例2.已知一次函数=(n-2)x+-n-3的图象与y轴交点的纵坐标为-1,判断=(3-)是什么函数,写出两个函数的解析式,并指出两个函数在直角坐标系中的位置及增减性。

解:依题意,得

解得 n=-1,

∴=-3x-1,

=(3-)x, 是正比例函数;

=-3x-1的图象经过第二、三、四象限,随x的增大而减小;

=(3-)x的图象经过第一、三象限,随x的增大而增大。

说明:由于一次函数的解析式含有待定系数n,故求解析式的关键是构造关于n的方程,此题利用“一次函数解析式的常数项就是图象与y轴交点纵坐标”来构造方程。

例3.直线y=kx+b与直线y=5-4x平行,且与直线y=-3(x-6)相交,交点在y轴上,求此直线解析式。

分析:直线y=kx+b的位置由系数k、b来决定:由k来定方向,由b来定与y轴的交点,若两直线平行,则解析式的一次项系数k 相等。例 y=2x,y=2x+3的图象平行。

解:∵y=kx+b与y=5-4x平行,

∴k=-4,

∵y=kx+b与y=-3(x-6)=-3x+18相交于y轴,

∴b=18,

∴y=-4x+18。

说明:一次函数y=kx+b图象的位置由系数k、b来决定:由k来定方向,由b来定点,即函数图象平行于直线y=kx,经过(0, b)点,反之亦成立,即由函数图象方向定k,由与y轴交点定b。

例4.直线与x轴交于点A(-4,0),与y轴交于点B,若点B到x轴的距离为2,求直线的解析式。

解:∵点B到x轴的距离为2,

∴点B的坐标为(0,±2),

设直线的解析式为y=kx±2,

∵直线过点A(-4,0),

∴0=-4k±2,

解得:k=±,

∴直线AB的解析式为y=x+2或y=-x-2.

说明:此例看起来很简单,但实际上隐含了很多推理过程,而这些推理是求一次函数解析式必备的。

(1)图象是直线的函数是一次函数;

(2)直线与y轴交于B点,则点B(0,);

(3)点B到x轴距离为2,则||=2;

(4)点B的纵坐标等于直线解析式的常数项,即b=;

(5)已知直线与y轴交点的纵坐标,可设y=kx+,

下面只需待定k即可。

例5.已知一次函数的图象,交x轴于A(-6,0),交正比例函数的图象于点B,且点B在第三象限,它的横坐标为-2,△AOB的面积为6平方单位,求正比例函数和一次函数的解析式。

分析:自画草图如下:

解:设正比例函数y=kx,

一次函数y=ax+b,

∵点B在第三象限,横坐标为-2,

设B(-2,),其中<0,

∵=6,

∴AO·||=6,

∴=-2,

把点B(-2,-2)代入正比例函数y=kx,得k=1

把点A(-6,0)、B(-2,-2)代入y=ax+b,

解得:

∴y=x, y=-x-3即所求。

说明:(1)此例需要利用正比例函数、一次函数定义写出含待定系数的结构式,注意两个函数中的系数要用不同字母表示;

(2)此例需要把条件(面积)转化为点B的坐标。这个转化实质含有两步:一是利用面积公式AO·BD=6(过点B作BD⊥AO于D)计算出线段长BD=2,再利用||=BD及点B在第三象限计算出=-2。若去掉第三象限的条件,想一想点B的位置有几种可能,

结果会有什么变化?(答:有两种可能,点B可能在第二象限(-2,2),结果增加一组y=-x, y=(x+3).

例6.已知正比例函数y=kx (k<0)图象上的一点与原点的距离等于13,过这点向x轴作垂线,这点到垂足间的线段和x轴及该图象围成的图形的面积等于30,求这个正比例函数的解析式。

分析:画草图如下:

则OA=13,=30,

则列方程求出点A的坐标即可。

解法1:设图象上一点A(x, y)满足

解得:;;;

代入y=kx (k<0)得k=-, k=-.

∴y=-x或y=-x。

解法2:设图象上一点A(a, ka)满足

由(2)得=-,

代入(1),得(1+)·(-)=.

整理,得60+169k+60=0.

解得 k=-或k=-.

∴ y=-x或y=-x.

说明:由于题目已经给定含有待定系数的结构式y=kx,其中k为待定系数,故解此例的关键是构造关于k的方程。此例给出的两个解法代表两种不同的思路:解法1是把已知条件先转化为求函数图象上一点的坐标,构造方程解出,再求k;解法2是引进辅助未知数a,利用勾股定理、三角形面积公式直接构造关于a、k的方程组,解题时消去a,求出k值。

例7.在直角坐标系x0y中,一次函数y=x+的图象与x轴,y轴,分别交于A、B两点,点C坐标为(1,0),点D在x 轴上,且∠BCD=∠ABD,求图象经过B、D两点的一次函数的解析式。

分析:由已知可得A点坐标(-3,0),B点坐标(0,),点C是确定的点(1,0),解题的关键是确定点D的坐标,由点D 在x轴上,以∠BCD=∠ABD的条件,结合画草图可知∠BCD的边BC确定,顶点C确定,但边CD可以有两个方向,即点D可以在C点右侧,也可以在C点左侧,因此解此题要分类讨论。

解:∵点A、B分别是直线y=x+与x轴和y轴交点,

∴A(-3,0),B(0,),

∵点C坐标(1,0)由勾股定理得BC=,AB=,

设点D的坐标为(x, 0),

(1)当点D在C点右侧,即x>1时,

∵∠BCD=∠ABD,

∠BDC=∠ADB,

∴△BCD∽△ABD,

∴=

∴=- - - - ①

∴=

∴8-22x+5=0

∴x1=, x2=,

经检验:x1=, x2=,都是方程①的根。

∵x=,不合题意,∴舍去。∴x=,

∴D点坐标为(, 0)。

设图象过B、D两点的一次函数解析式为y=kx+b,

∴所求一次函数为y=-x+

(2)若点D在点C左侧则x<1,

可证△ABC∽△ADB,

∴- - - - ②

∴8-18x-5=0

∴x1=-, x2=,

经检验x1=-, x2=,都是方程②的根。

∵x2=不合题意舍去,∴x1=-,

∴D点坐标为(-, 0),

∴图象过B、D(-, 0)两点的一次函数解析式为y=4x+

综上所述,满足题意的一次函数为y=-x+或y=4x+.

例8.已知:如图一次函数y=x-3的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点,过点C(4,0)作AB的垂线交AB于点E,交y轴于点D,求点D、E的坐标。

解:直线y=x-3与x轴交于点A(6,0),与y轴交于点B(0,-3),

∴OA=6,OB=3,

∵OA⊥OB,CD⊥AB,

∴∠ODC=∠OAB,

∴cot∠ODC=cot∠OAB,即

∴OD===8.

∴点D的坐标为(0,8),

设过CD的直线解析式为y=kx+8,将C( 4,0)代入

0=4k+8, 解得 k=-2

∴直线CD:y=-2x+8,

由解得

∴点E的坐标为(,-)

说明:由于点E既在直线AB上,又在直线CD上,所以可以把两直线的解析式联立,构成二元一次方程组,通过解方程组求得。

指数函数典型例题详细解析汇报

实用标准 指数函数·例题解析 第一课时 【例1】(基础题)求下列函数的定义域与值域: (1)y 3 (2)y (3)y 1 2x ===-+---213321x x 解 (1)定义域为{x|x ∈R 且x ≠2}.值域{y|y >0且y ≠1}. (2)由2x+2-1≥0,得定义域{x|x ≥-2},值域为{|y|y ≥0}. (3)由3-3x-1≥0,得定义域是{x|x ≤2},∵0≤3-3x -1<3, ∴值域是≤<.0y 3 1.指数函数Y=ax (a>0且a ≠1)的定义域是R ,值域是(0,+∞) 2. 求定义域的几个原则:①含根式(被开方数不为负)②含分式,分母不为0③形如a0,(a ≠ 0) 3. 求函数的值域:①利用函数Y=ax 单调性②函数的有界性(x2≥0;ax>0)③换元法.如:y=4x+6×2x-8(1≤x ≤2) 先换元,再利用二次函数图象与性质(注意新元的范围)

【例2】(基础题)指数函数y=a x,y=b x,y=c x,y=d x的图像如图2.6-2所示,则a、b、c、d、1之间的大小关系是 [ ] A.a<b<1<c<d B.a<b<1<d<c C.b<a<1<d<c D.c<d<1<a<b 解选(c),在x轴上任取一点(x,0),则得b<a<1<d<c.

【例3】(基础题)比较大小: (1)2(2)0.6 、、、、的大小关系是:. 2481632 35894 5 12--() (3)4.54.1________3.73.6 解(1)y 221()x ∵,,,,,函数=,>,该函数在-∞,+∞上是增函数,又<<<<,∴<<<<.22224282162133825491 2 28416212313525838949 3859=====

三角函数的图象和性质典型例题

三角函数的图象和性质·典型例题 于P1,P2两点,过P1,P2分别作P1M1⊥x轴,P2M2⊥x轴,垂足分 k∈Z} 【说明】学会利用单位圆求解三角函数的一些问题,借助单位圆求解不等式的一般方法是:①用边界值定出角的终边位置;②根据不等式定出角的范围;③在[0,2π]中找出角的代表;④求交集,找单位圆中重叠的部分;⑤写出角的范围的表达式,注意加周期.

【例3】求下列函数的定义域: 解:(1)为使函数有意义,需满足2sin2x+cosx-1≥0 【说明】求函数的定义域通常是解不等式组,利用“数形结合”,借助于数轴画线求交集的方法进行.在求解三角函数,特别是综合性较强的三角函数的定义域,我们同样可以利用“数形结合”,在单位圆中画三角函数线,求表示各三角不等式解集的扇形区域的交集来完成. 【说明】求三角函数的定义域要注意三角函数本身的特征和性质,如在转化为不等式或不等式组后要注意三角函数的符号及单调性,在进行三角函数的变形时,要注意三角函数的每一步变形都保持恒等,即不能改变原函数的自变量的取值范围. 【例4】求下列函数的值域:

∴此函数的值域为{y|0≤y<1} 【说明】求三角函数的值域,除正确运用必要的变换外,还要注意函数的概念的指导作用,注意利用正、余弦函数的有界性. 【例5】判断下列函数的奇偶性: 【分析】先确定函数的定义域,然后根据奇函数成偶函数的定义判断函数的奇偶性. ∵f(1-x)=-sin(-2x)=sin2x=-f(x) 【例8】求下列各函数的最大值、最小值,并且求使函数取得最大值、最小值的x 的集合. ∴使y取得最大值的x的集合为{x|x=(2kπ+1)π,k∈Z} ∴使y取得最小值的x的集合为{x|x=2kπ,k∈Z}

二次函数典型例题解析与习题训练

又∵y=x 2-x+m=[x 2-x+(12)2]- 14+m=(x -12)2+414 m - ∴对称轴是直线x=12,顶点坐标为(12,41 4 m -). (2)∵顶点在x 轴上方, ∴顶点的纵坐标大于0,即41 4 m ->0 ∴m> 14 ∴m>1 4 时,顶点在x 轴上方. (3)令x=0,则y=m . 即抛物线y=x 2-x+m 与y 轴交点的坐标是A (0,m ). ∵AB ∥x 轴 ∴B 点的纵坐标为m . 当x 2-x+m=m 时,解得x 1=0,x 2=1. ∴A (0,m ),B (1,m ) 在Rt △BAO 中,AB=1,OA=│m │. ∵S △AOB =1 2 OA ·AB=4. ∴ 1 2 │m │·1=4,∴m=±8 故所求二次函数的解析式为y=x 2-x+8或y=x 2-x -8. 【点评】正确理解并掌握二次函数中常数a ,b ,c 的符号与函数性质及位置的关系是解答本题的关键之处. 例2 已知:m ,n 是方程x 2-6x+5=0的两个实数根,且m

为D,试求出点C,D的坐标和△BCD的面积; (3)P是线段OC上的一点,过点P作PH⊥x轴,与抛物线交于H点,若直线BC把△PCH 分成面积之比为2:3的两部分,请求出P点的坐标. 【分析】(1)解方程求出m,n的值.用待定系数法求出b,c的值. (2)过D作x轴的垂线交x轴于点M,可求出△DMC,梯形BDBO,△BOC的面积,用割补法可求出△BCD的面积. (3)PH与BC的交点设为E点,则点E有两种可能:①EH=3 2EP,②EH=2 3 EP. 【解答】(1)解方程x2-6x+5=0, 得x1=5,x2=1. 由m

指数函数经典例题(问题详细讲解)

指数函数 1.指数函数の定义: 函数)1 (≠ > =a a a y x且叫做指数函数,其中x是自变量,函数定义域是R 2.指数函数の图象和性质: 在同一坐标系中分别作出函数y=x2,y= x ? ? ? ? ? 2 1 ,y=x 10,y= x ? ? ? ? ? 10 1 の图象. 我们观察y=x2,y= x ? ? ? ? ? 2 1 ,y=x 10,y= x ? ? ? ? ? 10 1 图象特征,就可以得到)1 (≠ > =a a a y x且の图象和性质。 a>1 0

()x f c の大小关系是_____. 分析:先求b c ,の值再比较大小,要注意x x b c ,の取值是否在同一单调区间. 解:∵(1)(1)f x f x +=-, ∴函数()f x の对称轴是1x =. 故2b =,又(0)3f =,∴3c =. ∴函数()f x 在(]1-, ∞上递减,在[)1+,∞上递增. 若0x ≥,则321x x ≥≥,∴(3)(2)x x f f ≥; 若0x <,则321x x <<,∴(3)(2)x x f f >. 综上可得(3)(2)x x f f ≥,即()()x x f c f b ≥. 评注:①比较大小の常用方法有:作差法、作商法、利用函数の单调性或中间量等.②对于含有参数の大小比较问题,有时需要对参数进行讨论. 2.求解有关指数不等式 例2 已知2321(25)(25)x x a a a a -++>++,则x の取值围是___________. 分析:利用指数函数の单调性求解,注意底数の取值围. 解:∵2225(1)441a a a ++=++>≥, ∴函数2(25)x y a a =++在()-+,∞∞上是增函数, ∴31x x >-,解得1 4x >.∴x の取值围是14 ??+ ??? , ∞. 评注:利用指数函数の单调性解不等式,需将不等式两边都凑成底数相同の指数式,并判断底数与1の大小,对于含有参数の要注意对参数进行讨论. 3.求定义域及值域问题 例3 求函数y = 解:由题意可得2160x --≥,即261x -≤, ∴20x -≤,故2x ≤. ∴函数()f x の定义域是(]2-, ∞. 令26x t -=,则y =, 又∵2x ≤,∴20x -≤. ∴2061x -<≤,即01t <≤. ∴011t -<≤,即01y <≤. ∴函数の值域是[)01, .

函数的基本性质知识点和典型例题

学生姓名: 年级: 班型:1对1 上课时间: (第 次课) 剩余课时: 上课内容:函数的基本性质 一、函数的单调性: 1、定义域为I 的函数f (x )在区间D 上的增减性 (1)共同条件:12 , ,D I x x D ??↓?∈?任意 (2)假设前提:12x x <。 (3)判断依据: ①若__________________,则f (x )在区间D 上是增函数; ②若__________________,则f (x )在区间D 上是增函数。 2、单调区间 如果函数y=f (x )在区间D 上是增函数或减函数,就说f (x )在区间D 上具有(严格的)___________,区间D 叫做f (x )的__________。 思考探究 1、把增(减)函数定义中的“任意两个自变量12,x x ”换成“存在两个自变量12,x x ”还能判断函数是增(减)函数吗? 2、把增(减)函数定义中的“某个区间D ”去掉,其余条件不变,能否判断函数的增减性? 3、所有的函数都具有单调性吗? 自主测评 1、下列说法正确的是( ) A 、定义在(,)a b 上的函数f (x ),若存在12x x <时,有12()()f x f x <,那么f (x )在(,)a b 上为增函数 B 、定义在(,)a b 上的函数f (x ),若有无穷多对12,(,)x x a b ∈使得12x x <时,有12()()f x f x <,那么f (x )在(,)a b 上为增函数 C 、若f (x )在区间I 1上为增函数,在区间I 2上也为增函数,那以f (x )在I 1 I 2上也一定为增函数 D 、若f (x )在区间I 上为增函数,且1212()()(,)f x f x x x I <∈,那么12x x <

指数函数典型例题详细解析

指数函数典型例题详细解析

指数函数·例题解析 第一课时 【例1】(基础题)求下列函数的定义域与值域: (1)y 3 (2)y (3)y 12x ===-+---21 3321 x x 解 (1)定义域为{x|x ∈R 且x ≠2}.值域{y|y >0且y ≠1}. (2)由2x+2-1≥0,得定义域{x|x ≥- 2},值域为{|y|y ≥0}. (3)由3-3x-1≥0,得定义域是{x|x ≤2},∵0≤3-3x -1<3, ∴值域是≤<. 0y 3 1.指数函数Y=ax (a>0且a ≠1)的定义域是R ,值域是(0,+∞) 2. 求定义域的几个原则:①含根式(被开方数不为负)②含分式,分母不为0③形如a0,(a ≠ 0)

3. 求函数的值域:①利用函数Y=ax 单调性②函数的有界性(x2≥0;ax>0)③换元法.如:y=4x+6×2x-8(1≤x≤2) 先换元,再利用二次函数图象与性质(注意新元的范围) 【例2】(基础题)指数函数y=a x,y=b x,y =c x,y=d x的图像如图2.6-2所示,则a、b、c、d、1之间的大小关系是 [ ] A.a<b<1<c<d B.a<b<1<d<c C.b<a<1<d<c D.c<d<1<a<b

解 选(c),在x 轴上任取一点(x ,0),则得b <a <1<d <c . 【例3】(基础题)比较大小: (1)2(2)0.6 、、、、的大小关系是:. 2481632 35894 5 12--() (3)4.54.1________3.73.6

解(1)y 221()x ∵,,,,,函数=,>,该函数在-∞,+∞上是增函数,又<<<<,∴<<< <.22224282162133825491 2 28416212313525838949 3859===== 解 (2)0.6110.6∵>,>, ∴>. ---- 45 12 451 232 32 ()() 解 (3)借助数4.53.6打桥,利用指数函数的单调性,4.54.1>4.53.6,作函数y 1=4.5x ,y 2=3.7x 的图像如图2.6-3,取x =3.6,得4.53.6>3.73.6 ∴ 4.54.1>3.73.6. 说明 如何比较两个幂的大小:若不同底先化为同底的幂,再利用指数函数的单调性进行比较,如例2中的(1).若是两个不同底且指数也不同的幂比较大小时,有

一次函数的图象和性质知识点和典型例题讲解

一次函数的图象和性质 一、知识要点: 1、一次函数:形如y=kx+b (k≠0, k, b为常数)的函数。 注意:(1)k≠0,否则自变量x的最高次项的系数不为1; (2)当b=0时,y=kx,y叫x的正比例函数。 2、图象:一次函数的图象是一条直线, (1)两个常有的特殊点:与y轴交于(0,b);与x轴交于(-,0) (2)由图象可以知道,直线y=kx+b与直线y=kx平行,例如直线:y=2x+3与直线y=2x-5都与直线y=2x平行。 3、性质: (1)图象的位置: (2)增减性 k>0时,y随x增大而增大 k<0时,y随x增大而减小 4.求一次函数解析式的方法 求函数解析式的方法主要有三种 (1)由已知函数推导或推证 (2)由实际问题列出二元方程,再转化为函数解析式,此类题一般在没有写出函数解析式前无法(或不易)判断两个变量之间具有什么样的函数关系。 (3)用待定系数法求函数解析式。

“待定系数法”的基本思想就是方程思想,就是把具有某种确定形式的数学问题,通过引入一些待定的系数,转化为方程(组)来解决,题目的已知恒等式中含有几个等待确定的系数,一般就需列出几个含有待定系数的方程,本单元构造方程一般有下列几种情况: ①利用一次函数的定义 构造方程组。 ②利用一次函数y=kx+b中常数项b恰为函数图象与y轴交点的纵坐标,即由b来定点;直线y=kx+b平行于y=kx,即由k来定方向。 ③利用函数图象上的点的横、纵坐标满足此函数解析式构造方程。 ④利用题目已知条件直接构造方程。 二、例题举例: 例1.已知y=,其中=(k≠0的常数),与成正比例,求证y与x也成正比例。 证明:∵与成正比例, 设=a(a≠0的常数), ∵y=, =(k≠0的常数), ∴y=·a=akx, 其中ak≠0的常数, ∴y与x也成正比例。 例2.已知一次函数=(n-2)x+-n-3的图象与y轴交点的纵坐标为-1,判断 =(3-)是什么函数,写出两个函数的解析式,并指出两个函数在直角坐标系中的位置及增减性。 解:依题意,得 解得 n=-1, ∴=-3x-1,

二次函数典型例题解析

二次函数典型例题解析 关于二次函数的概念 例1 如果函数1)3(232++-=+-mx x m y m m 是二次函数,那么m 的值为 。 例2 抛物线422-+=x x y 的开口方向是 ;对称轴是 ;顶点为 。 关于二次函数的性质及图象 例3 函数)0(2≠++=a c bx ax y 的图象如图所示, 则a 、b 、c ,?,c b a ++,c b a +-的符号 为 , 例4 (镇江2001中考题)老师给出一个函数y=f (x ),甲,乙,丙,丁四位同学各指出这个函数的一个性质:甲:函数的图像不经过第三象限。乙:函数的图像经过第一象限。丙:当x <2时,y 随x 的增大而减小。丁:当x <2时,y >0,已知这四位同学叙述都正确,请构造出满足上述所有性质的一个函数—————————————————。 例5 (荆州2001)已知二次函数y=x 2+bx +c 的图像过点A (c ,0),且关于直线x=2对称,则这个二次函数的解析式可能是 (只要写出一个可能的解析式) 例6 已知a -b +c=0 9a +3b +c=0,则二次函数y=ax 2+bx +c 的图像的顶点可能在( ) (A ) 第一或第二象限 (B )第三或第四象限 (C )第一或第四象限 (D )第二或第三象限 例7 双曲线x k y = )0(≠k 的两分支多在第二、四象限内,则抛物线222k x kx y +-=的大致图 象是( ) 例8 在同一坐标系中,直线b ax y +=和抛物线c bx ax y ++=2 确定二次函数的解析式 例9 已知:函数c bx ax y ++=2的图象如图:那么函数解析式为((A )322++-=x x y (B )322--=x x y (C )322+--=x x y (D )322---=x x y

高一数学下指数函数典型例题解析

指数函数·例题解析 【例1】求下列函数的定义域与值域: (1)y 3 (2)y (3)y 12x ===-+---213321x x 解 (1)定义域为x ∈R 且x ≠2.值域y >0且y ≠1. (2)由2x+2-1≥0,得定义域{x|x ≥-2},值域为y ≥0. (3)由3-3x-1≥0,得定义域是{x|x ≤2},∵0≤3-3x -1<3, ∴值域是≤<.0y 3 【例2】指数函数y =a x ,y =b x ,y =c x ,y =d x 的图像如图2.6-2所示,则a 、b 、c 、d 、1之间的大小关系是 [ ] A .a <b <1<c <d B .a <b <1<d <c C . b <a <1<d <c D .c <d <1<a < b 解 选(c),在x 轴上任取一点(x ,0),则得b <a <1<d <c . 【例3】比较大小: (1)2(2)0.6 、、、、的大小关系是:. 2481632 358945 12--() (3)4.54.1________3.73.6

解(1)y 221()x ∵,,,,,函数=,>,该函数在-∞,+∞上是增函数,又<<<<,∴<<<<.22224282162133825491 2 28416212313525838949 3859===== 解 (2)0.6110.6∵>,>, ∴>. --- -45 12 451 232 32 ()() 解 (3)借助数4.53.6打桥,利用指数函数的单调性,4.54.1>4.53.6,作函数y 1=4.5x ,y 2=3.7x 的图像如图2.6-3,取x =3.6,得4.53.6>3.73.6 ∴ 4.54.1>3.73.6. 说明 如何比较两个幂的大小:若不同底先化为同底的幂,再利用指数函数的单调性进行比较,如例2中的(1).若是两个不同底且指数也不同的幂比较大小时,有两个技巧,其一借助1作桥梁,如例2中的(2).其二构造一个新的幂作桥梁,这个新的幂具有与4.54.1同底与3.73.6同指数的特点,即为4.53.6(或3.74.1),如例2中的(3). 【例4】解 比较大小与>且≠,>. 当<<,∵>,>, a a a a a n n n n n n n n n n n n -+-+-=-111 1 111 1(a 0a 1n 1)0a 1n 10() ()

最全函数概念及基本性质知识点总结及经典例题(汇编)

函数及基本性质 一、函数的概念 (1)设A 、B 是两个非空的数集,如果按照某种对应法则f ,对于集合A 中任何一个数x ,在集合B 中都有唯一确定的数()f x 和它对应,那么这样的对应(包括集合A ,B 以及A 到 B 的对应法则f )叫做集合A 到B 的一个函数,记作:f A B →. (2)函数的三要素:定义域、值域和对应法则. 注意1:只有定义域相同,且对应法则也相同的两个函数才是同一函数 例1.判断下列各组中的两个函数是同一函数的为( ) ⑴3) 5)(3(1+-+=x x x y ,52-=x y ; ⑵111-+= x x y ,)1)(1(2-+=x x y ; ⑶x x f =)(,2)(x x g =; ⑷()f x ()F x = ⑸21)52()(-=x x f ,52)(2-=x x f 。 A .⑴、⑵ B .⑵、⑶ C .⑷ D .⑶、⑸ 2:求函数的定义域时,一般遵循以下原则: ①()f x 是整式时,定义域是全体实数.如:943)(2-+=x x x f ,R x ∈ ②()f x 是分式函数时,定义域是使分母不为零的一切实数.如:()6 35 -= x x f ,2≠x ③()f x 是偶次根式时,定义域是使被开方式为非负值时的实数的集合.如()1432+-=x x x f , 13 1 >=x x x f a ,当对数或指数函数的底数中含变量时,底数须大 于零且不等于1。如:( ) 2 12 ()log 25f x x x =-+ ⑤tan y x =中,()2 x k k Z π π≠+ ∈.

二次函数经典测试题及答案解析

二次函数经典测试题及答案解析 一、选择题 1.如图,ABC ?为等边三角形,点P 从A 出发,沿A B C A →→→作匀速运动,则线段AP 的长度y 与运动时间x 之间的函数关系大致是( ) A . B . C . D . 【答案】B 【解析】 【分析】 根据题意可知点P 从点A 运动到点B 时以及从点C 运动到点A 时是一条线段,故可排除选项C 与D ;点P 从点B 运动到点C 时,y 是x 的二次函数,并且有最小值,故选项B 符合题意,选项A 不合题意. 【详解】 根据题意得,点P 从点A 运动到点B 时以及从点C 运动到点A 时是一条线段,故选项C 与选项D 不合题意; 点P 从点B 运动到点C 时,y 是x 的二次函数,并且有最小值, ∴选项B 符合题意,选项A 不合题意. 故选B . 【点睛】 本题考查了动点问题的函数图象:通过分类讨论,利用三角形面积公式得到y 与x 的函数关系,然后根据二次函数和一次函数图象与性质解决问题. 2.二次函数y =x 2+bx 的对称轴为直线x =2,若关于x 的一元二次方程x 2+bx ﹣t =0(t 为实数)在﹣1<x <4的范围内有解,则t 的取值范围是( ) A .0<t <5 B .﹣4≤t <5 C .﹣4≤t <0 D .t ≥﹣4 【答案】B 【解析】 【分析】 先求出b ,确定二次函数解析式,关于x 的一元二次方程x 2+bx ﹣t =0的解可以看成二次函

数y =x 2﹣4x 与直线y =t 的交点,﹣1<x <4时﹣4≤y <5,进而求解; 【详解】 解:∵对称轴为直线x =2, ∴b =﹣4, ∴y =x 2﹣4x , 关于x 的一元二次方程x 2+bx ﹣t =0的解可以看成二次函数y =x 2﹣4x 与直线y =t 的交点, ∵﹣1<x <4, ∴二次函数y 的取值为﹣4≤y <5, ∴﹣4≤t <5; 故选:B . 【点睛】 本题考查二次函数图象的性质,一元二次方程的解;将一元二次方程的解转换为二次函数与直线交点问题,数形结合的解决问题是解题的关键. 3.一列自然数0,1,2,3,…,100.依次将该列数中的每一个数平方后除以100,得到一列新数.则下列结论正确的是( ) A .原数与对应新数的差不可能等于零 B .原数与对应新数的差,随着原数的增大而增大 C .当原数与对应新数的差等于21时,原数等于30 D .当原数取50时,原数与对应新数的差最大 【答案】D 【解析】 【分析】 设出原数,表示出新数,利用解方程和函数性质即可求解. 【详解】 解:设原数为m ,则新数为2 1100 m , 设新数与原数的差为y 则22 11100100 y m m m m =-=-+, 易得,当m =0时,y =0,则A 错误 ∵1 0100 - < 当1m 50 122100b a ﹣﹣﹣===??? ??? 时,y 有最大值.则B 错误,D 正确. 当y =21时,2 1100 m m - +=21 解得1m =30,2m =70,则C 错误.

最新指数函数典型例题详细解析

精品文档 指数函数·例题解析 第一课时 【例1】(基础题)求下列函数的定义域与值域: (1)y 3 (2)y (3)y 1 2x ===-+---213321x x 解 (1)定义域为{x|x ∈R 且x ≠2}.值域{y|y >0且y ≠1}. (2)由2x+2-1≥0,得定义域{x|x ≥-2},值域为{|y|y ≥0}. (3)由3-3x-1≥0,得定义域是{x|x ≤2},∵0≤3-3x -1<3, ∴值域是≤<.0y 3 1.指数函数Y=ax (a>0且a ≠1)的定义域是R ,值域是(0,+∞) 2. 求定义域的几个原则:①含根式(被开方数不为负)②含分式,分母不为0③形如a0,(a ≠ 0) 3. 求函数的值域:①利用函数Y=ax 单调性②函数的有界性(x2≥0;ax>0)③换元法.如:y=4x+6×2x-8(1≤x ≤2) 先换元,再利用二次函数图象与性质(注意新元的范围) 【例2】(基础题)指数函数y =a x ,y =b x ,y =c x ,y =d x 的图像如 图2.6-2所示,则a 、b 、c 、d 、1之间的大小关系是 [ ] A .a <b <1<c <d B .a <b <1<d <c C . b <a <1<d <c D .c <d <1<a <b

解 选(c),在x 轴上任取一点(x ,0),则得b <a <1<d <c . 【例3】(基础题)比较大小: (1)2(2)0.6 、、、、的大小关系是:. 2481632 35894 5 12--() (3)4.54.1________3.73.6

解(1)y 221()x ∵,,,,,函数=,>,该函数在-∞,+∞上是增函数,又<<<<,∴<<< <.22224282162133825491 2 28416212313525838949 3859===== 解 (2)0.6110.6∵>,>, ∴>. --- -45 12 451 232 32 ()() 解 (3)借助数4.53.6打桥,利用指数函数的单调性,4.54.1>4.53.6,作函数y 1=4.5x ,y 2=3.7x 的图像如图2.6-3,取x =3.6,得4.53.6>3.73.6 ∴ 4.54.1>3.73.6. 说明 如何比较两个幂的大小:若不同底先化为同底的幂,再利用指数函数的单调性进行比较,如例2中的(1).若是两个不同底且指数也不同的幂比较大小时,有两个技巧,其一借助1作桥梁,如例2中的(2).其二构造一个新的幂作桥梁,这个新的幂具有与4.54.1同底与3.73.6同指数的特点,即为4.53.6(或3.74.1),如例2中的(3). 例题4(中档题)

高一复习考试指数函数经典例题

指数函数 指数函数是高中数学中的一个基本初等函数,有关指数函数的图象与性质的题目类型较多,同时也是学习后续数学内容的基础和高考考查的重点,本文对此部分题目类型作了初步总结,与大家共同探讨. 1.比较大小 例1 已知函数2()f x x bx c =-+满足(1)(1)f x f x +=-,且(0)3f =,则()x f b 与()x f c 的大小关系是_____. 分析:先求b c ,的值再比较大小,要注意x x b c ,的取值是否在同一单调区间内. 解:∵(1)(1)f x f x +=-, ∴函数()f x 的对称轴是1x =. 故2b =,又(0)3f =,∴3c =. ∴函数()f x 在(]1-, ∞上递减,在[)1+,∞上递增. 若0x ≥,则3 21x x ≥≥,∴(3)(2)x x f f ≥; 若0x <,则321x x <<,∴(3)(2)x x f f >. 综上可得(3)(2)x x f f ≥,即()()x x f c f b ≥. 评注:①比较大小的常用方法有:作差法、作商法、利用函数的单调性或中间量等.②对于含有参数的大小比较问题,有时需要对参数进行讨论. 2.求解有关指数不等式 例2 已知2 321(25) (25)x x a a a a -++>++,则x 的取值范围是___________. 分析:利用指数函数的单调性求解,注意底数的取值范围. 解:∵2 2 25(1)441a a a ++=++>≥, ∴函数2(25)x y a a =++在()-+,∞∞上是增函数, ∴31x x >-,解得14x > .∴x 的取值范围是14?? + ??? ,∞. 评注:利用指数函数的单调性解不等式,需将不等式两边都凑成底数相同的指数式,并判断底数与1的大小,对于含有参数的要注意对参数进行讨论. 3.求定义域及值域问题 例3 求函数2 16x y -=-的定义域和值域. 解:由题意可得2 16 0x --≥,即261x -≤, ∴20x -≤,故2x ≤. ∴函数()f x 的定义域是(]2-, ∞. 令2 6 x t -=,则1y t =-, 又∵2x ≤,∴20x -≤. ∴2 061x -<≤,即01t <≤. ∴011t -<≤,即01y <≤. ∴函数的值域是[)01, . 评注:利用指数函数的单调性求值域时,要注意定义域对它的影响.

对数函数及其性质经典练习题

对数函数及其性质(一) 班级_____________姓名_______________座号___________ 1.函数f (x )=lg(x -1)+4-x 的定义域为( ) A .(1,4] B .(1,4) C .[1,4] D .[1,4) 2.函数y =x |x | log 2|x |的大致图象是( ) 3.若log a 2<1,则实数a 的取值范围是( ) A .(1,2) B .(0,1)∪(2,+∞) C .(0,1)∪(1,2) D .(0,12 ) 4.设a =2log 3,b =2 1log 6,c =6log 5,则( ) A .a <c <b B .b <c <a C .a <b <c D .b <a <c 5.已知a >0且a ≠1,则函数y =a x 与y =log a (-x )的图象可能是( ) 6.函数y =log 2x 在[1,2]上的值域是( ) A .R B .[0,+∞) C .(-∞,1] D .[0,1] 7.函数y =log 12(x -1)的定义域是________. 8.若函数f (x )=log a x (0≤???x x x x 则g [g (1 3)]=________. 10.f (x )=log 21+x a -x 的图象关于原点对称,则实数a 的值为________. 11.函数f (x )=log 12 (3x 2-ax +5)在[-1,+∞)上是减函数,求实数a 的取值范围.

商品利润问题与二次函数典型例题解析

商品利润问题与二次函数典型例题解析 知识链接复习: 1、某水果批发商场经销一种高档水果,如果每千克盈利10元,每天可售出500千克.经市场调查发现,在进货价不变的情况下,若每千克涨价1元,日销售量将减少20千克.现该商场要保证每天盈利6 000元,同时又要顾客得到实惠,那么每千克应涨价多少元 解:设每千克应涨价x 元,读题完成下列填空 问题一:涨价后每千克盈利 元; 问题二:涨价后日销售量减少 千克; 问题三:涨价后每天的销售量是 千克; 问题四:涨价后每天盈利 元 根据题意列方程得: 解方程得: 因为商家涨价的目的是 ;所以 符合题意。 答: 。 2、二次函数y=ax 2 +bx+c 的顶点坐标是x= y= 3、函数y=x 2+2x-3(-2≤x ≤2)的最大值和最小值分别是 新知解析: 例1、某商品现在的售价为每件35元,每天可卖出50件。市场调查发现:如果调整价格,每降价1元,那么每天可多卖出两件。请你帮助分析,当每件商品降价多少元时,可使每天的销售额最大,最大销售额是多少 解:设当降价X 元时销售额为y 元,根据题意得: y=(35-x )(50+2x )=-2x 2+20x+1750 x=-a b 2=-) 2(×220=5 因为0<5<35且a=-2<0 所以y=(35-5)(50+10)=1800 答:当降价5元时 销售额最大为1800元。 此类习题注意要点: 1、根据题意设未知量,一般设增加或者减少量为x 元时相应的收益为y 元,列出函数关系式。 2、判断顶点横坐标是否在取值范围内。因为函数的最值不一定是实际问题的最值 3、根据题意求最值。写出正确答案。 例2、某民俗旅游村为接待游客住宿需要,开设了有100张床位的旅馆,当每张床位每天收费10元时,床位可全部租出,若每张床位每天收费提高2元,则相应的减少了10张床位租出,如果每张床位每天以2元为单位提高收费,为使租出的床位少且租金高,那么每张床位每天最合适的收费是多少元租金最高是多少钱 解:设当张价X 元时租金为y 元,根据题意得:y=(100-10 ×2 x )(10+x )=-5x 2+50x+1000 x=-a b 2=-)5_( ×250=5

指数函数经典例题(标准答案)

指数函数 1.指数函数的定义: 函数)10(≠>=a a a y x 且叫做指数函数,其中x 是自变量,函数定义域是R 2.指数函数的图象和性质: 在同一坐标系中分别作出函数y=x 2,y=x ??? ??21,y=x 10,y=x ?? ? ??101的图象 . 我们观察y=x 2,y=x ?? ? ??21,y=x 10,y= x ?? ? ??101图象特征,就可以得到)10(≠>=a a a y x 且的图象和性质。 a>1 0

()x f c 的大小关系是_____. 分析:先求b c ,的值再比较大小,要注意x x b c ,的取值是否在同一单调区间内. 解:∵(1)(1)f x f x +=-, ∴函数()f x 的对称轴是1x =. 故2b =,又(0)3f =,∴3c =. ∴函数()f x 在(]1-, ∞上递减,在[)1+,∞上递增. 若0x ≥,则321x x ≥≥,∴(3)(2)x x f f ≥; 若0x <,则321x x <<,∴(3)(2)x x f f >. 综上可得(3)(2)x x f f ≥,即()()x x f c f b ≥. 评注:①比较大小的常用方法有:作差法、作商法、利用函数的单调性或中 间量等.②对于含有参数的大小比较问题,有时需要对参数进行讨论. 2.求解有关指数不等式 例2 已知2321(25)(25)x x a a a a -++>++,则x 的取值范围是___________. 分析:利用指数函数的单调性求解,注意底数的取值范围. 解:∵2225(1)441a a a ++=++>≥, ∴函数2(25)x y a a =++在()-+, ∞∞上是增函数, ∴31x x >-,解得1 4x >.∴x 的取值范围是14 ?? + ??? , ∞. 评注:利用指数函数的单调性解不等式,需将不等式两边都凑成底数相同的指数式,并判断底数与1的大小,对于含有参数的要注意对参数进行讨论. 3.求定义域及值域问题 例3 求函数216x y -=-的定义域和值域. 解:由题意可得2160x --≥,即261x -≤, ∴20x -≤,故2x ≤. ∴函数()f x 的定义域是(]2-, ∞. 令26x t -=,则1y t =-, 又∵2x ≤,∴20x -≤. ∴2061x -<≤,即01t <≤. ∴011t -<≤,即01y <≤.

函数的基本性质知识点和典型例题

学生: 年级: 班型:1对1 上课时间: (第 次课) 剩余课时: 上课容:函数的基本性质 一、函数的单调性: 1、定义域为I 的函数f (x )在区间D 上的增减性 (1)共同条件:12 , ,D I x x D ??↓?∈?任意 (2)假设前提:12x x <。 (3)判断依据: ①若__________________,则f (x )在区间D 上是增函数; ②若__________________,则f (x )在区间D 上是增函数。 2、单调区间 如果函数y=f (x )在区间D 上是增函数或减函数,就说f (x )在区间D 上具有(严格的)___________,区间D 叫做f (x )的__________。 思考探究 1、把增(减)函数定义中的“任意两个自变量12,x x ”换成“存在两个自变量12,x x ”还能判断函数是增(减)函数吗? 2、把增(减)函数定义中的“某个区间D ”去掉,其余条件不变,能否判断函数的增减性? 3、所有的函数都具有单调性吗? 自主测评 1、下列说确的是( ) A 、定义在(,)a b 上的函数f (x ),若存在12x x <时,有12()()f x f x <,那么f (x )在(,)a b 上为增函数 B 、定义在(,)a b 上的函数f (x ),若有无穷多对12,(,)x x a b ∈使得12x x <时,有12()()f x f x <,那么f (x )在(,)a b 上为增函数 C 、若f (x )在区间I 1上为增函数,在区间I 2上也为增函数,那以f (x )在I 1U I 2上也一定为增函数 D 、若f (x )在区间I 上为增函数,且1212()()(,)f x f x x x I <∈,那么12x x <

二次函数知识点总结与典型例题讲解

二次函数知识点总结及典型例题讲解 一、二次函数的概念和图像 1、二次函数的概念 一般地,如果)0,,(2≠++=a c b a c bx ax y 是常数,,那么y 叫做x 的二次函数。 )0,,(2≠++=a c b a c bx ax y 是常数,叫做二次函数的一般式。 2、二次函数的图像 二次函数的图像是一条关于a b x 2-=对称的曲线,这条曲线叫抛物线。 抛物线的主要特征: ①有开口方向;②有对称轴;③有顶点。 3、二次函数图像的画法 五点法: (1)先根据函数解析式,求出顶点坐标,在平面直角坐标系中描出顶点M ,并用虚线画出对称轴 (2)求抛物线c bx ax y ++=2与坐标轴的交点: 当抛物线与x 轴有两个交点时,描出这两个交点A,B 及抛物线与y 轴的交点C ,再找到点C 的对称点D 。将这五个点按从左到右的顺序连接起来,并向上或向下延伸,就得到二次函数的图像。 当抛物线与x 轴只有一个交点或无交点时,描出抛物线与y 轴的交点C 及对称点D 。由C 、M 、D 三点可粗略地画出二次函数的草图。如果需要画出比较精确的图像,可再描出一对对称点A 、B ,然后顺次连接五点,画出二次函数的图像。 二、二次函数的解析式 二次函数的解析式有三种形式: (1)一般式:)0,,(2≠++=a c b a c bx ax y 是常数, (2)顶点式:)0,,()(2≠+-=a k h a k h x a y 是常数, (3)当抛物线c bx ax y ++=2与x 轴有交点时,即对应二次好方程02=++c bx ax 有实根1 x 和2x 存在时,根据二次三项式的分解因式))((212x x x x a c bx ax --=++,二次函数c bx ax y ++=2可转化为两根式))((21x x x x a y --=。如果没有交点,则不能这样表示。 三、二次函数的性质

[高一数学]指数函数综合练习

指数函数典型例题 1根式的性质 例1 已知112 2 a a - +=3,求下列各式的值: (1)1a a -+; (2)22a a -+; (3)332 2112 2 a a a a - - --. 补充:立方和差公式3 3 2 2()()a b a b a ab b ±=±+. 小结:① 平方法;② 乘法公式; ③ 根式的基本性质(a ≥0)等. 注意, a ≥0十分重要,无此条件则公式不成立. . 变式:已知1 12 2 3a a - -=,求: (1)112 2a a - +; (2)332 2 a a - -. 练1. 化简:11112244 ()()x y x y -÷-. 练2. 已知x +x -1=3,求下列各式的值. (1)112 2x x - +; (2)332 2 x x - +. 2指数函数的图象和性质 比较指数函数的大小 已知函数2()f x x bx c =-+满足(1)(1)f x f x +=-,且(0)3f =,则()x f b 与()x f c 的大小关系是_____. ①比较大小的常用方法有:作差法、作商法、利用函数的单调性或中间量等.②对于含有参数的大小比较问题,有时需要对参数进行讨论. 求解有关指数不等式 已知2321(25)(25)x x a a a a -++>++,则x 的取值范围是___________. 利用指数函数的单调性解不等式,需将不等式两边都凑成底数相同的指数式,并

判断底数与1的大小,对于含有参数的要注意对参数进行讨论. 求定义域及值域问题 求下列函数的定义域与值域. (1)y =23 1-x ; (2)y =4x +2x+1+1. 求函数216x y -=-的定义域和值域. 利用指数函数的单调性求值域时,要注意定义域对它的影响. 指数函数的最值问题 函数221(01)x x y a a a a =+->≠且在区间[11]-,上有最大值14,则a 的值是_______. 利用指数函数的单调性求最值时注意一些方法的运用,比如:换元法,整体代入等. 已知-1≤x ≤2,求函数f(x)=3+2·3x+1-9x 的最大值和最小值 已知函数)1(122>-+=a a a y x x 在区间[-1,1]上的最大值是14,求a 的值. 已知函数 ( 且 ) (1)求 的最小值; (2)若 ,求 的取值范围. 解指数方程 解方程223380x x +--=. 解指数方程通常是通过换元转化成二次方程求解,要注意验根. 单调性问题

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