北京中考数学24题分类讲解

等腰、等边+旋转

?中，点O是边AC,BC的垂直平分线的交点，M,N分别在直线AC, BC上，且东城2-24. 已知：等边ABC

∠=．

MON

60

(1)如图1，当CM=CN时，M、N分别在边AC、BC上时，请写出AM、CN 、MN三者之间的数量关系；（2）如图2，当CM≠CN时，M、N分别在边AC、BC上时，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请你加以证明；若不成立，请说明理由；

(3) 如图3，当点M在边AC上，点N在BC的延长线上时，请直接写出线段AM、CN 、MN三者之间的数

量关系．

东城1-24. 已知∠ABC=90°，点P为射线BC上任意一点（点P与点B不重合），分别以AB、AP为边在∠ABC的内部作等边△ABE和△APQ,连结QE并延长交BP于点F.

2，点A、E、P恰好在一条直线上时，求此时EF的长（直接写出结果）；

（1）如图1，若AB=3

（2）如图2，当点P为射线BC上任意一点时，猜想EF与图中的哪条线段相等（不能添加辅助线产生新的线段），并加以证明；

2，设BP=x，以QF为边的等边三角形的面积y，求y关于x的函数关系式．（3）若AB=3

燕山1-24. 已知：如图，点P 是线段AB 上的动点，分别以AP 、BP 为边向线段AB 的同侧作正△APC 和正△BPD ，

AD 和BC 交于点M.

（1）当△APC 和△BPD 面积之和最小时，直接写出AP : PB 的值和∠AMC 的度数；

（2）将点P 在线段AB 上随意固定，再把△BPD 按顺时针方向绕点P 旋转一个角度α，当α<60°时，旋转过程

中，∠AMC 的度数是否发生变化？证明你的结论.

（3）在第（2）小题给出的旋转过程中，若限定60°<α<120°，∠AMC 的大小是否会发生变化？若变化，请写

出∠AMC 的度数变化范围；若不变化，请写出∠AMC 的度数.

顺义1-25．问题：如图1， 在Rt △ABC 中，90C ∠=?，30ABC ∠=?，点D 是射线CB 上任意一点，△ADE 是等

边三角形，且点D 在ACB ∠的内部，连接BE ．探究线段BE 与DE 之间的数量关系． 请你完成下列探究过程：

先将图形特殊化，得出猜想，再对一般情况进行分析并加以证明.

（1） 当点D 与点C 重合时（如图2），请你补全图形．由BAC ∠的度数

为 ，点E 落在 ，容易得出BE 与DE 之间的数量关系为 ；

（2） 当点D 在如图3的位置时，请你画出图形，研究线段BE 与DE 之间的数量关系是否与（1）中的结论相同，

写出你的猜想并加以证明．

D

B C

A

A

B

C (

D )

图3

图2

图1

D E

B C

A

延庆1-24.如图1，已知：已知：等边△A BC ，点D 是边BC 上一点（点D 不与点B 、点C 重合），

求证：BD+DC > AD 下面的证法供你参考：

把ACD ?绕点A 瞬时间针旋转

60得到ABE ?，连接ED ， 则有ABE ACD ???,DC=E B ∵AD=AE,

60=∠DAE

∴ADE ?是等边三角形 ∴AD=DE

在DBE ?中，BD+EB > DE 即：BD+DC>AD 实践探索：

（1）请你仿照上面的思路，探索解决下面的问题：

如图2，点D 是等腰直角三角形△ABC 边上的点（点D 不与B 、C 重合）， 求证：BD+DC>2AD

（2）若点D 运动到等腰直角三角形△ABC 外或内时，BD 、DC 和AD 之间又存在怎样的数量关系？ 直接写出结论

.

创新应用：

（3）已知：如图3，等腰△ABC 中， AB=AC ，且∠BAC=α（α为钝角）， D 是等腰△ABC 外一点，且∠

BDC+

∠BAC =180o， BD 、DC 与AD 之间存在怎样的数量关系？写出你的猜想，并证明. D

图2

C

图1

密云1-24．已知：正方形ABCD 中，45MAN ∠=，绕点A 顺时针旋转，它的两边分别交CB 、DC （或它们的延长线）于点M 、N ．

（1）如图1，当M A N ∠绕点A 旋转到BM DN =时，有BM DN MN +=．当M A N ∠ 绕点A 旋转到BM DN

≠时，如图2，请问图1中的结论还是否成立？如果成立，请给予证明，如果不成立，请说明理由； （2）当MAN ∠绕点A 旋转到如图3的位置时，线段BM DN ，和MN 之间有怎样的等量关系？请写出你的猜

想，并证明．

石景山2-

24．在△ABC 中，AC AB =,D 是底边BC 上一点，E 是线段AD 上一点,且∠BAC CED BED ∠=∠=2． (1) 如图1,若∠?=90BAC ,猜想DB 与DC 的数量关系为 ； (2) 如图2,若∠?=60BAC ，猜想DB 与DC 的数量关系，并证明你的结论； （3）若∠?=αBAC ，请直接写出DB 与DC 的数量关系.

解： A

B

C

D

E

A E

B

C

D

图1 图2

门头沟2-

24. 有两张完全重合的矩形纸片，小亮将其中一张绕点A 顺时针旋转90°后得到矩形AMEF （如图1），连结BD 、MF ，此时他测得BD ＝8cm ，∠ADB ＝30°．

（1）在图1中，请你判断直线FM 和BD 是否垂直？并证明你的结论；

（2）小红同学用剪刀将△BCD 与△MEF 剪去，与小亮同学继续探究．他们将△ABD 绕点A 顺时针旋转得△AB 1D 1，

AD 1交FM 于点K （如图2），设旋转角为β（0°＜β＜90°），当△AFK 为等腰三角形时，请直接写出旋转角β的度数；

（3）若将△AFM 沿AB 方向平移得到△A 2F 2M 2（如图3），F 2M 2与AD 交于点P ，A 2M 2与BD 交于点N ，当NP ∥AB

时，求平移的距离是多少.

延庆2-24. （1）如图1：在△ABC 中，AB=AC ，当∠ABD =∠ACD=60°时，猜想AB 与BD+CD 数量关系，请直

接写出结果 ；

（2）如图2：在△ABC 中，AB=AC ，当∠ABD =∠ACD=45

°时，猜想AB 与BD+CD 数量关系并证明你的结

论；

（3）如图3：在△ABC 中，AB=AC ，当∠ABD =∠ACD=

β（20°≤β≤70°）时，直接写出AB 与BD+CD

数量关系(用含β的式子表示)。

C D M

A B F

E

图1

D M B

图3

N 2P 2M 2 D M

B

F

D 1

图2 B 1

K

图1

B

图2

图3

B

间接利用旋转变换添加辅助线

朝阳-2-24. 如图，D 是△ABC 中AB 边的中点，△BCE 和△ACF 都是等边三角形，M 、N 分别是CE 、CF 的中点. （1）求证：△DMN 是等边三角形；

（2）连接EF ，Q 是EF 中点，CP ⊥EF 于点P .

求证：DP ＝DQ .

同学们，如果你觉得解决本题有困难，可以阅读下面两位同学的解题思路作为参考：

小聪同学发现此题条件中有较多的中点，因此考虑构造三角形的中位线，添加出了一些辅助线；小慧同学想到要证明线段相等，可通过证明三角形全等，如何构

造出相应的三角形呢？她考虑将△NCM 绕顶点旋转到要证的对应线段的位置，由此猜想到了所需构造的三角形的位置.

密云2 25．已知菱形ABCD 的边长为1，60ADC ∠=，等边△AEF 两边分别交DC 、CB 于点E 、F ． （1）特殊发现：如图1，若点E 、F 分别是边DC 、CB 的中点，求证：菱形ABCD 对角线AC 、BD 的交点O 即

为等边△AEF 的外心；

（2）若点E 、F 始终分别在边DC 、CB 上移动，记等边△AEF 的外心为P ． ①猜想验证：如图2，猜想△AEF 的外心P 落在哪一直线上，并加以证明；

②拓展运用：如图3，当E 、F 分别是边DC 、CB 的中点时，过点P 任作一直线，分别交DA 边于点M ，BC 边于点G ，DC 边的延长线于点N ，请你直接写出11

DM DN

+的值．

图 1

图 2

平谷-1 -24．如图，已知四边形ABCD 是正方形，对角线ACBD 相交于O .

（1） 如图1，设 E 、F 分别是AD 、AB 上的点，且∠EOF =90°，线段AF 、BF 和EF 之间存在一定的数量关系． 请你用等式直接写出这个数量关系；

（2）如图2，设 E 、F 分别是AB 上不同的两个点，且∠EOF =45°，请你用等式表示线段AE 、BF 和EF 之间的数量关系，并证明.

怀柔1-24．探究：

（1）如图1，在正方形ABCD 中，E 、F 分别是BC 、CD 上的点，且∠EAF ＝45°，试判断BE 、DF 与EF 三条线段之间的数量关系，直接写出判断结果： ；

（2）如图2，若把(1)问中的条件变为“在四边形ABCD 中，AB ＝AD ，∠B ＋∠D ＝180°，E 、F 分别是边BC 、CD 上的点，且∠

EAF=

2

1

∠BAD”，则（1）问中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明，若不成立，请说明理由； （3）在（2）问中，若将△AE F 绕点A 逆时针旋转，当点分别E 、F 运动到BC 、CD 延长线上时， 如图3所示，其它条件不变，则（1）问中的结论是否发生变化？若变化，请给出结论并予以证明..

平谷2-24．如图1，若四边形ABCD 、GFED 都是正方形，显然图中有AG =CE ，AG ⊥CE ．

（1）当正方形GFED 绕D 旋转到如图2的位置时，AG =CE 是否成立？若成立，请给出证明，若不成立，请说明理

由；

（2）当正方形GFED 绕D 旋转到B ，D ，G 在一条直线 （如图3）上时，连结CE ，设CE 分别交AG 、AD 于P 、H ． ① 求证：AG ⊥CE ；

② 如果AD =4，DG

CE 的长．

与中点有关的问题

海淀2-海淀25. 在矩形ABCD 中, 点F 在AD 延长线上，且DF = DC , M 为AB 边上一点, N 为MD 的中点, 点E 在直线CF 上（点E 、C 不重合）.

（1）如图1, 若AB =BC , 点M 、A 重合, E 为CF 的中点，试探究BN 与NE 的位置关系及BM

CE

的值, 并证明你的结论;

（2）如图2，且若AB =BC , 点M 、A 不重合, BN =NE ，你在（1）中得到的两个结论是否成立, 若成立,加以证明; 若不成立, 请说明理由;

（3）如图3，若点M 、A 不重合，BN =NE ，你在（1）中得到的结论两个是否成立, 请直接写出你的结论.

图1 图2 图3 F

A ( M

) D

N

D

C

E

N

M B F

E

C

B

F

N

M E

C

B

A

A

B

C

D E

F

G

图2

A B C

D E

F

G 图1

A

图3

丰台1-24．已知：△ABC 和△ADE 是两个不全等的等腰直角三角形，其中BA =BC ，DA =DE ，联结EC ，取EC 的中点M ，联结BM 和DM ．

（1）如图1，如果点D 、E 分别在边AC 、AB 上，那么BM 、DM 的数量关系与位置关系是 ； （2）将图1中的△ADE 绕点A 旋转到图2的位置时，判断（1）中的结论是否仍然成立，并说明理由．

丰台2-24．在△ABC 中，D 为BC 边的中点，在三角形内部取一点P ，使得∠ABP =∠ACP ．过点P 作PE ⊥AC 于点E ，

PF ⊥AB 于点F ．

（1）如图1，当AB =AC 时，判断的DE 与DF 的数量关系，直接写出你的结论；

（2）如图2，当AB AC ，其它条件不变时，（1）中的结论是否发生改变？请说明理由．

图1 图2 C

B

A

E

M

M

E

A

B

C

D

A

E

F

P

D C

E B

A

D F P

海淀1-24． 在□ABCD 中，∠A =∠DBC , 过点D 作DE =DF , 且∠EDF=∠ABD , 连接EF 、 EC , N 、P 分别为EC 、

BC 的中点，连接NP ．

（1）如图1，若点E 在DP 上, EF 与DC 交于点M , 试探究线段NP 与线段NM 的数量关系及∠ABD 与∠MNP 满足的等量关系，请直接写出你的结论；

（2）如图2，若点M 在线段EF 上, 当点M 在何位置时，你在（1）中得到的结论仍然成立，写出你确定的点M 的位置，并证明（1）中的结论.

图1 图2

丰台1-24．已知：△ABC 和△ADE 是两个不全等的等腰直角三角形，其中BA =BC ，DA =DE ，联结EC ，取EC 的中点M ，联结BM 和DM ．

（1）如图1，如果点D 、E 分别在边AC 、AB 上，那么BM 、DM 的数量关系与位置关系是 ； （2）将图1中的△ADE 绕点A 旋转到图2的位置时，判断（1）中的结论是否仍然成立，并说明理由．

M

B

D

C

E

A

N

P

P

N

A E F

C

D

B

C

B

A

E

M

M

E

A

B

C

轴对称+中点+旋转思想添加辅助线

西城24．已知：在如图1所示的锐角三角形ABC 中，CH ⊥AB 于点H ，点B 关于直线CH 的对称点为D ，AC 边上

一点E 满足∠EDA =∠A ，直线DE 交直线CH 于点F ． (1) 求证：BF ∥AC ；

(2) 若AC 边的中点为M ，求证：2DF EM ；

(3) 当AB =BC 时（如图2），在未添加辅助线和其它字母的条件下，找出图2中所有与BE 相等的线段，并证明

你的结论．

图1 图2

轴对称思想添加辅助线

门头沟1-24.已知：在△ABC 中，BC =2AC ，∠DBC =∠ACB ，BD =BC ，CD 交线段AB 于点E ． （1）如图l ，当∠ACB =90°时，直接写出线段DE 、CE 之间的数量关系； （2）如图2，当∠ACB =120°时，求证：DE =3CE ；

（3）如图3，在（2）的条件下，点F 是BC 边的中点，连接DF ，DF 与AB 交于G ，△DKG 和△DBG 关于直线DG 对称（点B 的对称点是点K ），延长DK 交AB 于点H ．若BH =10，求CE 的长.

图 1

E

D

A

C

B

图 2

E

D

A

C

B

F G

K H

图 3

E

D

A

C

B

朝阳1-23. 阅读下面材料：

问题：如图①，在△ABC 中， D 是BC 边上的一点，若∠BAD =∠C =2∠DAC =45°，DC =2．求BD 的长． 小明同学的解题思路是：利用轴对称，把△ADC 进行翻折，再经过推理、计算使问题 得到解决．

（1）请你回答：图中BD 的长为 ；

（2）参考小明的思路，探究并解答问题：如图②，在△ABC 中，D 是BC 边上的一点，若∠BAD =∠C =2∠

DAC =30°，DC =2，求BD 和AB 的长．

图① 图②

昌平1-25． 如图，在四边形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，直线MN 经过点O ，设锐角∠DOC =∠ ，

将△DOC 以直线MN 为对称轴翻折得到△D ’OC ’，直线A D ’、B C ’相交于点P ．

（1）当四边形ABCD 是矩形时，如图1，请猜想A D ’、B C ’的数量关系以及∠APB 与∠α的大小关系； （2）当四边形ABCD 是平行四边形时，如图2，（1）中的结论还成立吗？

（3）当四边形ABCD 是等腰梯形时，如图3，∠APB 与∠α有怎样的等量关系？请证明．

图3

图2

图1

D C

B

A

N

C'

O

M

P

D'C

B

A

N C'O M

P

D'D'

P

M

O

C'

N

A B

C

D

几何探究与函数关系式问题

朝阳2-23．正方形ABCD 的边长为4，点P 是BC 边上的动点，点E 在AB 边上，且∠EPB =60°，沿PE 翻折△EBP

得到△P EB '. F 是CD 边上一点，沿PF 翻折△FCP 得到△P FC '，使点'C 落在射线'PB 上． （1）如图，当BP =1时，四边形''FC EB 的面积为 ；

（2）若BP =m ，则四边形''FC EB 的面积为 （要求：用含m 的代数式表示，并写出m 的取值范围）．

备用图

通州1-

25．已知四边形ABCD ，点E 是射线BC 上的一个动点（点E 不与B 、C 两点重合），线段BE 的垂直平分线交射线AC 于点P ，联结DP ，PE. （1）若四边形ABCD 是正方形，猜想PD 与PE 的关系，

并证明你的结论.

（2）若四边形ABCD 是矩形，（1）中的PD 与PE 的关系还成立吗？

（填：成立或不成立）.

（3）若四边形ABCD 是矩形，AB =6，cos ∠ACD =3

5

，

设AP=x ，△PCE 的面积为y ,当AP>1

2

AC 时，求y 与x 之间的函数关系式.

E

A D

图1

C

图2

C

几何最值问题

房山1-25．如图1，在△ABC 中，∠ACB =90°，AC =BC =5，以点B 为圆心，以2为半径作圆.

⑴设点P 为☉B 上的一个动点，线段CP 绕着点C 顺时针旋转90°，得到线段CD ，联结DA ，DB ，PB ，如图2．求证：AD =BP ；

⑵在⑴的条件下，若∠CPB =135°，则BD =___________；

⑶在⑴的条件下，当∠PBC =_______° 时，BD 有最大值，且最大值为__________； 当∠PBC =_________° 时，BD 有最小值，且最小值为__________．

海淀2-24. 如图, 在平面直角坐标系xOy 中，抛物线x x m

y 222

-=与x 轴负半轴交于点A , 顶点为B , 且对称轴与x 轴交于点C .

（1）求点B 的坐标 (用含m 的代数式表示)；

（2）D 为BO 中点，直线AD 交y 轴于E ，若点E 的坐标为(0, 2), 求抛物线的解析式；

（3）在（2）的条件下，点M 在直线BO 上，且使得△AMC 的周长最小，P 在抛物线上，Q 在直线 BC 上，若

以A 、M 、P 、Q 为顶点的四边形是平行四边形，求点P 的坐标. 备用图

旋转变换中不变量+辅助圆的构造

朝阳1-25. 在矩形ABCD 中，点P 在AD 上，AB =2，AP =1，将三角板的直角顶点放在点P 处，三角板的两直角边

分别能与AB 、BC 边相交于点E 、F ，连接EF ．

（1）如图，当点E 与点B 重合时，点F 恰好与点C 重合，求此时PC 的长；

（2）将三角板从（1）中的位置开始，绕点P 顺时针旋转，当点E 与点A 重合时停止，在这个过程中，请你观

察、探究并解答：

① ∠PEF 的大小是否发生变化？请说明理由；

② 直接写出从开始到停止，线段EF 的中点所经过的路线长．

备用图

相似列方程几何计算

大兴1-25.已知：如图，N 、M 是以O 为圆心，1为半径的圆上的两点，B 是MN 上一动点（B 不与点M 、N 重合），∠MON=90°，BA ⊥OM 于点A ，BC ⊥ON 于点C ，点D 、E 、F 、G 分别是线段OA 、AB 、BC 、CO 的中点，GF 与CE 相交于点P ，DE 与AG 相交于点Q ．

（1）四边形EPGQ （填“是”或者“不是”）平行四边形； （2）若四边形EPGQ 是矩形，求OA 的值； （3）连结PQ ，求2

2

3PQ OA 的值．

房山2-24．探究问题：

已知AD 、BE 分别为△ABC 的边BC 、AC 上的中线，且AD 、BE 交于点O . ⑴△ABC 为等边三角形，如图1，则AO ︰OD = ；

⑵当小明做完⑴问后继续探究发现，若△ABC 为一般三角形（如图2），⑴中的结论仍成立，请你给予证明. ⑶运用上述探究的结果，解决下列问题：

如图3，在△ABC 中，点E 是边AC 的中点，AD 平分∠BAC , AD ⊥BE 于点F ，若AD =BE =4. 求：△ABC 的周长.

O

D

E A

B

C

O

E D

B

C

A

C

图1 图2 图3

其他 昌平2-

25．如图，在Rt △ABC 中，∠ABC =90°，过点B 作BD ⊥AC 于D ，BE 平分∠DBC ，交AC 于E ，过点A 作AF ⊥

BE 于G ，交BC 于F ，交BD 于H ．

（1）若∠BAC =45°，求证：①AF 平分∠BAC ；②FC =2HD ． （2）若∠BAC =30°，请直接写出FC 与HD 的等量关系． G

A

B

D E

H

C

H G E D

C B A

石景山1-24．（1）如图1，在矩形ABCD 中，AB=2BC ，M 是AB 的中点．直接写出∠BMD 与∠ADM 的倍数关系； （2）如图2，若四边形ABCD 是平行四边形， AB=2BC ，M 是AB 的中点，过C 作CE ⊥AD 与AD 所在直线交

于点E ．

①若∠A 为锐角，则∠BME 与∠AEM 有怎样的倍数关系，并证明你的结论； ②当?<∠

当

?<∠≤?180A 时，上述结论不成立．

通州2-23．（1）已知：如图1，ABC ?是⊙O 的内接正三角形，点P 为弧BC 上一动点，

求证：PA PB PC =+

（2）如图2，四边形ABCD 是⊙O 的内接正方形，点P 为弧BC 上一动点，

求证：PA PC =

（3）如图3，六边形ABCDEF 是⊙O 的内接正六边形，点P 为弧BC 上一动点，请你写出P A ，PB ，PC 三

者之间的数量关系表达式．（不需要证明）

M

D B

A

C

E

A

D

C

图2

图3

图1

燕山2-

25. 已知：如图，BP是正方形ABCD的一条外角平分线，点E在AB边上，EP⊥ED，EP交BC边于点F. （1）若AE : E B=1: 2 ，求cos∠BEP的值；

（2）请你在图上作直线CM⊥DE，CM与直线AD交于点M，猜想：四边形MEPC Array

的形状有什么特点？证明你的结论。