数列求an与sn常用方法

数列求an与sn常用方法
数列求an与sn常用方法

数列 求n a 与n S 常用方法

一、由n a 与n a 的递推公式求n a

1.等差数列通项公式: 1a n n a d -=+ ; 1a (1)n a n d =+- 等比数列通项公式:1a n n a q -= ;11a n n a q -=

2.已知 1a n n pa q +=+,求a n :在两边加

1

q p -构造等比数列 3.已知 1a n n n pa q +=+,求a n : 1a n n n pa q +=+,11a ()n n n n xq p a xq +++=+, 1x p q

=

-,(p q ≠)直接可构造等比数列 若p q =,两边同时除以1n q +:则构造等差数列 例:求n a :(1)1a 22n n n a +=+,11a =;(2)1a 32n n n a +=+,11a = 二、1n a +与()f n 的递推求n a :

1. 1()n n a a f n +=+:用作差累和的方法(前提是()f n 可以求和)

这里()f n 可以是:An B +,n cq ,2n ,21

41n -,2n

n 等 2.1()n n a a f n +=?:用作比累积的方法

这里()f n 可以是:1n n +,2121n n -+,2121

n n +- 等 例:12121

n n n a a n +-=+,11a = 三、n S 与n a 的递推: 11,1

,2n n n a n a S S n -?==?-≥?

与n a 求法一样,先求出n a ,在利用公式11,1,2

n n n a n a S S n -?==?-≥?

例:123n n S S +=+,法一:132(3)n n S S ++=+,法二:11123223

n n n n n n S S a a S S ++-=+???→=?=+?,

求n S

一、 公式法:

1. 等差数列:11n()(1)=22

n n a a n n S d na d +-=+ 2. 等比数列:11,1(1),11n n na q S a q q q =??=-?≠?-?

3. 2n a n =,2i 1(1)(21)6

n n n n i =++=

∑ 二、列项求和:

n a 形如:21n n +;21n n -;2141n -

21n nR +

1111()(n n k k n n k =-++); 1111()(-n n k k n k n =--) 例:求21

41n a n =-的前n 项和。

三、错位相减法:{}n n a b ?,其中n a An B =+,n n b C q =?

原则:错位来写,空位补0,正位作差。

例:求n S :(1)n n n a =?(2+1)3;

(2)n n a =2 四、分组求和(并项法):

例:(1)2n n a n =+2; (2)21241n n a n =++

-2; (3)求222222212+34+56++99100?n ----=

22(21)(2)41n a n n n =--=-+ (50项) 五、数列{}

a n :分开求和

数列中an与Sn的关系

对于任意一个数列,当定义数列的前 n 项和通常用S n 表示时,记作 S n = a i +玄:+…十a n ,此时通项公 S i , n = 1, 式 a n = * . S n _ 5_1, n 》2 而对于不同的题目中的 a n 与S n 的递推关系,在解题时又应该从哪些方向去灵活应用 a n = S n - S n -i (n > 2) 去解决不同类型的问题呢? 我们将从下面三个角度去探索在各类考试中出现的 a n 与S n 相关的问题: 归纳起来常见的角度有: 角度一:直观运用已知的 S n ,求a n ; 角度二:客观运用 a n = S n -S n -i (n > 2)求与a n , S n 有关的结论; 角度三:a n 与S n 的延伸应用. 方法:已知S n 求a n 的三个步骤(此时S n 为关于n 的代数式): (1)先利用a i = S i 求出a i ; ⑵用n - 1替换S 中的n 得到一个新的关系,利用a n = S n -S n - i (n > 2)便可求出当n 》2时a n 的表达式; ⑶对n = 1时的结果进行检验,看是否符合 n 》2时a n 的表达式,如果符合,则可以把数列的通项公 式合写;如果不符合,则应该分 n = 1与n 》2两段来写. 同时,在部分题目中需要深刻理解“数列的前 n 项和”的实际意义,对“和的式子”有本质的认识, 这样才能更好的运用 S n 求解.如:a 1+ 2a 2 + 3a 3+???+ na n = 2n — 1,其中a 1+ 2a 2+ 3a 3+???+ na n 表示数列 {na n }的前n 项和. 1. 已知数列{a n }的前n 项和S n = n 2- 2n + 2,则数列{a n }的通项公式为( ) A . a n = 2n -3 【解析】 当n 》2时 ,a n = Si — S n -1 = 2n — 3 .当n = 1时,a 1 = S 1 = 1,不满足上式. 【答案】C n+1 2 .(2015 河北石家庄一中月考)数列{ a n }满足:a 1 + 3a 2+ 5a 3+…+ (2n - 1) a n = (n — 1) ? + 3(n € N *), 则数列的通项 公式 a n= _________________________________ . 【解析】当n 》2时,a 1 + 3a 2+ 5a 3+-+ (2n — 3) a n -1= (n - 2) 3-n + 3;则用已知等式减去上式得 (2n — 1) a n = (2n — 1) 3 ,得 a n = 3 ;当 n = 1 时,a 1 = 3,满足上式;故 a n = 3 . B . a n = 2n + 3 C . a n = f n =1 |2n — 3, n 》2 1, n = 1 D . a n =' 2n + 3, n 》2

数列中an及Sn的关系

对于任意一个数列,当定义数列的前n 项和通常用S n 表示时,记作S n =a 1+a 2+…+a n ,此时通项公 式a n =? ?? ?? S 1,n =1, S n -S n -1,n ≥2. 而对于不同的题目中的a n 与S n 的递推关系,在解题时又应该从哪些方向去灵活应用a n =S n -S n -1(n ≥2)去解决不同类型的问题呢? 我们将从下面三个角度去探索在各类考试中出现的a n 与S n 相关的问题: 归纳起来常见的角度有: 角度一:直观运用已知的S n ,求a n ; 角度二:客观运用a n =S n -S n -1(n ≥2),求与a n ,S n 有关的结论; 角度三:a n 与S n 的延伸应用. 方法:已知S n 求a n 的三个步骤(此时S n 为关于n 的代数式): (1)先利用a 1=S 1求出a 1; (2)用n -1替换S n 中的n 得到一个新的关系,利用a n =S n -S n -1(n ≥2)便可求出当n ≥2时a n 的表达式; (3)对n =1时的结果进行检验,看是否符合n ≥2时a n 的表达式,如果符合,则可以把数列的通项公式合写;如果不符合,则应该分n =1与n ≥2两段来写. 同时,在部分题目中需要深刻理解“数列的前n 项和”的实际意义,对“和的式子”有本质的认识,这样才能更好的运用S n 求解.如:a 1+2a 2+3a 3+…+na n =2n -1,其中a 1+2a 2+3a 3+…+na n 表示数列{na n }的前n 项和. 1.已知数列{a n }的前n 项和S n =n 2 -2n +2,则数列{a n }的通项公式为( ) A .a n =2n -3 B .a n =2n +3 C .a n =? ?? ?? 1,n =12n -3,n ≥2 D .a n =? ?? ?? 1,n =1 2n +3,n ≥2 【解析】当n ≥2时,a n =S n -S n -1=2n -3.当n =1时,a 1=S 1=1,不满足上式. 【答案】C 2.(2015·河北石家庄一中月考)数列{a n }满足:a 1+3a 2+5a 3+…+(2n -1)·a n =(n -1) ·3n +1 +3(n ∈N *),则数列的通项公式a n = . 【解析】当n ≥2时,a 1+3a 2+5a 3+…+(2n -3)·a n -1=(n -2) ·3n +3;则用已知等式减去上式得

数列中an与Sn的关系

课 题 浅谈数列中a n 与S n 的递推公式的应用 对于任意一个数列,当定义数列的前n 项和通常用S n 表示时,记作S n =a 1+a 2+…+a n ,此时通项公式a n =??? S 1,n =1, S n -S n -1 ,n ≥2. 而对于不同的题目中的a n 与S n 的递推关系,在解题时又应该从哪些方向去灵活应用a n =S n -S n -1 (n ≥2)去解决不同类型的问题呢? 我们将从下面三个角度去探索在各类考试中出现的a n 与S n 相关的问题: 归纳起来常见的角度有: 角度一:直观运用已知的S n ,求a n ; 角度二:客观运用a n =S n -S n -1(n ≥2),求与a n ,S n 有关的结论; 角度三:a n 与S n 的延伸应用. 角度一:直观运用已知的S n ,求a n 方法:已知S n 求a n 的三个步骤(此时S n 为关于n 的代数式): (1)先利用a 1=S 1求出a 1; (2)用n -1替换S n 中的n 得到一个新的关系,利用a n =S n -S n -1(n ≥2)便可求出当n ≥2时a n 的表达式;

(3)对n =1时的结果进行检验,看是否符合n ≥2时a n 的表达式,如果符合,则可以把数列的通项公式合写;如果不符合,则应该分n =1与n ≥2两段来写. 同时,在部分题目中需要深刻理解“数列的前n 项和”的实际意义,对“和的式子”有本质的认识,这样才能更好的运用S n 求解.如:a 1+2a 2+3a 3+…+na n =2n -1,其中a 1+2a 2+3a 3+…+na n 表示数列{na n }的前n 项和. 1.已知数列{a n }的前n 项和S n =n 2-2n +2,则数列{a n }的通项公式为( ) A .a n =2n -3 B .a n =2n +3 C .a n =??? 1,n =12n -3,n ≥2 D .a n =??? 1,n =1 2n +3,n ≥2 【解析】当n ≥2时,a n =S n -S n -1=2n -3.当n =1时,a 1=S 1=1,不满足上式. 【答案】C 2.(2015·河北石家庄一中月考)数列{a n }满足:a 1+3a 2+5a 3+…+(2n -1)·a n =(n -1) ·3n +1+3(n ∈N *),则数列的通项公式a n = . 【解析】当n ≥2时,a 1+3a 2+5a 3+…+(2n -3)·a n -1=(n -2) ·3n +3;则用已知等式减去上式得(2n -1)·a n =(2n -1)·3n ,得a n =3n ;当n =1时,a 1=3,满足上式;故a n =3n . 【答案】a n =3n 3.(2015·天津一中月考)已知{a n }的前n 项和为S n ,且满足log 2(S n +1)=n +1,则a n = . 【解析】由已知得S n +1=2n +1,则S n =2n +1-1;当n ≥2时,a n =S n -S n -1=2n +1-1-2n +1=2n ;当n =1时,a 1=S 1=3,不满足上式;故a n =? ?? 3,n =1 2n ,n ≥2.

数列求an与sn常用方法

数列 求n a 与n S 常用方法 一、由n a 与n a 的递推公式求n a 1.等差数列通项公式: 1a n n a d -=+ ; 1a (1)n a n d =+- 等比数列通项公式:1a n n a q -= ;11a n n a q -= 2.已知 1a n n pa q +=+,求a n :在两边加 1 q p -构造等比数列 3.已知 1a n n n pa q +=+,求a n : 1a n n n pa q +=+,11a ()n n n n xq p a xq +++=+, 1x p q =-,(p q ≠)直接可构造等比数列 若p q =,两边同时除以1n q +:则构造等差数列 例:求n a :(1)1a 22n n n a +=+,11a =;(2)1a 32n n n a +=+,11a = 二、1n a +与()f n 的递推求n a : 1. 1()n n a a f n +=+:用作差累和的方法(前提是()f n 可以求和) 这里()f n 可以是:An B +,n cq ,2n ,21 41n -,2n n 等 2.1()n n a a f n +=?:用作比累积的方法 这里()f n 可以是:1n n +,2121n n -+,2121n n +- 等 例:12121 n n n a a n +-=+,11a = 三、n S 与n a 的递推: 11,1,2n n n a n a S S n -?==? -≥? 与n a 求法一样,先求出n a ,在利用公式11,1,2n n n a n a S S n -?==?-≥? 例:123n n S S +=+,法一:132(3)n n S S ++=+,法二:11123223 n n n n n n S S a a S S ++-=+???→=?=+?,

数列中An与Sn的关系(选用)

n a 与n S 的关系 数列是高中数学的重要内容之一,也是高考的的考查重点。在数列这部分的内容中,一定要处理好数列{}n a 的通项n a 与前n 项和n S 的关系,即 ?? ?≥-==-.,2,111n S S n S a n n n 。下面通过几例,与同行共同探讨。 一.已知n S 求n a 例1 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ,且1)1(l o g 2+=+n S n , 求数列{}n a 的通项公式。 解:由1)1(log 2+=+n S n 得,121-=+n n S ,当1=n 时,311==S a ; 当2≥n 时,1--=n n n S S a n n n 2)12()12(1=---=+, 综上所述,数列{}n a 的通项公式为? ??≥==.2,2,1,3n n a n n 二.已知n a 求n S 例2 已知数列{}n a ,)(2 *∈=N n n a n n ,求{}n a 的前n 项和n S 。 解:∵n n a a a a S ++++= 321 ∴n S = n n n n 2 21242322211432+-+++++- -------------------------(1) 在(1)两边同乘以2 1得 143222123222121++-++++=n n n n n S --------------------------(2) )2()1(-得 14322)21212121(2121+-+++++=n n n n S =12 21++-n n ∴n n n S 222+-=。 三.已知n a 与n S 的关系,求n a 或n S 例 3 设{}n a 是正数组成的数列,其前n 项和为n S ,且对于所有的正数n ,n a 与2的等差中项等于n S 与2的等比中项,求{}n a 的通项公式。 解:由题意知 n n S a 222=+,∴8 )2(2+=n n a S ,又8)2(211+=--n n a S

利用an与sn的关系解题

利用n a 与n S 的关系解题 例1.(1994全国文,25)设数列{a n }的前n 项和为S n ,若对于所有的正整数n ,都有S n = 2 ) (1n a a n +.证明:{a n }是等差数列. 解:证法一:令d =a 2-a 1,下面用数学归纳法证明a n =a 1+(n -1)d (n ∈N *) ①当n =1时,上述等式为恒等式a 1=a 1, 当n =2时,a 1+(2-1)d =a 1+(a 2-a 1)=a 2,等式成立. ②假设当n =k (k ∈N ,k ≥2)时命题成立,即a k =a 1+(k -1)d 由题设,有2 ) )(1(,2)(1111++++=+= k k k k a a k S a a k S , 又S k +1=S k +a k +1,所以2 ) (2))(1(111k k a a k a a k +=++++a k +1 将a k =a 1+(k -1)d 代入上式, 得(k +1)(a 1+a k +1)=2ka 1+k (k -1)d +2a k +1 整理得(k -1)a k +1=(k -1)a 1+k (k -1)d ∵k ≥2,∴a k +1=a 1+[(k +1)-1]d . 即n =k +1时等式成立. 由①和②,等式对所有的自然数n 成立,从而{a n }是等差数列. 证法二:当n ≥2时,由题设,2 ) (,2))(1(1111 n n n n a a n S a a n S +=+-= -- 所以2 ) )(1(2)(11211--+--+=-=n n n n a a n a a n S S a 同理有2) (2))(1(1111n n n a a n a a n a +-++=++ 从而2 ) )(1()(2))(1(111111-+++-++-++=-n n n n n a a n a a n a a n a a 整理得:a n +1-a n =a n -a n -1,对任意n ≥2成立. 从而{a n }是等差数列. 评述:本题考查等差数列的基础知识,数学归纳法及推理论证能力,教材中是由等差数列的通项公式推出数列的求和公式,本题逆向思维,由数列的求和公式去推数列的通项公式,有一定的难度.考生失误的主要原因是知道用数学归纳法证,却不知用数学归纳法证什么,这里需要把数列成等差数列这一文字语言,转化为数列通项公式是a n =a 1+(n -1)d 这一数学符号语言.证法二需要一定的技巧. 例2.(2010年高考安徽卷理科20)设数列12,,,,n a a a 中的每一项都不为0. 证明:{}n a 为等差数列的充分必要条件是:对任何n ∈N ,都有 1223 111 111n n n n a a a a a a a a +++++ = . 证:先证必要性. 设数列{}n a 的公差为d .若0d =,则所述等式显然成立. 若0d ≠,则 12231111 n n a a a a a a ++++ 2132112 231 1()n n n n a a a a a a d a a a a a a ++---=++ + 1223 1 1111111 [()()( )]n n d a a a a a a += -+-++-11111()n d a a +=- 11n n a a +=.

数列中an及Sn的关系

对于任意一个数列,当定义数列的前n项和通常用S表示时,记作S= a i+ a2+???+禺,此时通项公 S,n= 1, 式a n= . Si—S T, n》2 而对于不同的题目中的a n与S的递推关系,在解题时又应该从哪些方向去灵活应用◎= S— S-1 (n》2)去解决不同类型的问题呢? 我们将从下面三个角度去探索在各类考试中出现的a n与S相关的问题: 归纳起来常见的角度有: 角度一:直观运用已知的S,求a n; 角度二:客观运用a n= S—S—1 (n》2),求与如S有关的结论; 角度三:a n与S的延伸应用. 方法:已知 $求a n的三个步骤(此时S为关于n的代数式): (1) 先利用a i= S求出a i ; (2) 用n—1替换S中的n得到一个新的关系,利用a n = S—S—1 (n》2)便可求出当n》2时a n的表达式; (3) 对n= 1时的结果进行检验,看是否符合n》2时a n的表达式,如果符合,则可以把数列的通项公 式合写;如果不符合,则应该分n = 1与n》2两段来写. 同时,在部分题目中需要深刻理解“数列的前n项和”的实际意义,对“和的式子”有本质的认识, 这样才能更好的运用S求解.女口:a+ 2a2+ 3a s+ — + na n= 2n—1,其中a+ 2比+ 3a s+^+ na n表示数列{na n}的前n 项和. 1.已知数列{a n}的前n项和S= n2—2n+2,则数列{a () n}的通项公式为 A. a n = 2n —3 B . a n= 2n+ 3 1, n= 11, n= 1 C. a n = D . a n = 2n —3, n》22n+ 3, n》2 【解析】当n》2时,a n = S n —S n—1 = 2n—3 .当n = 1时,a1= S = 1,不满足上式. 【答案】C 2. (2015 ?河北石家庄一中月考)数列{a n}满足:a1+ 3a2+ 5&+…+ (2 n—1) ? a n= ( n—1) ? 3n+1+ 3( n € M),则数列的通项公式a n= _____________ .

数列中an与Sn的关系教学资料

数列中a n与S n的关 系

课题 浅谈数列中a n 与S n 的递推公式的应用 对于任意一个数列,当定义数列的前n 项和通常用S n 表示时,记作S n =a 1+a 2+…+a n ,此时通项公 式a n =? ???? S 1,n =1, S n -S n -1,n ≥2. 而对于不同的题目中的a n 与S n 的递推关系,在解题时又应该从哪些方向去灵活应用a n =S n -S n -1(n ≥2)去解决不同类型的问题呢? 我们将从下面三个角度去探索在各类考试中出现的a n 与S n 相关的问题: 归纳起来常见的角度有: 角度一:直观运用已知的S n ,求a n ; 角度二:客观运用a n =S n -S n -1(n ≥2),求与a n ,S n 有关的结论; 角度三:a n 与S n 的延伸应用. 角度一:直观运用已知的S n ,求a n 方法:已知S n 求a n 的三个步骤(此时S n 为关于n 的代数式): (1)先利用a 1=S 1求出a 1; (2)用n -1替换S n 中的n 得到一个新的关系,利用a n =S n -S n -1(n ≥2)便可求出当n ≥2时a n 的表达式; (3)对n =1时的结果进行检验,看是否符合n ≥2时a n 的表达式,如果符合,则可以把数列的通项公式合写;如果不符合,则应该分n =1与n ≥2两段来写. 同时,在部分题目中需要深刻理解“数列的前n 项和”的实际意义,对“和的式子”有本质的认识,这样才能更好的运用S n 求解.如:a 1+2a 2+3a 3+…+na n =2n -1,其中a 1+2a 2+3a 3+…+na n 表示数列{na n }的前n 项和. 1.已知数列{a n }的前n 项和S n =n 2-2n +2,则数列{a n }的通项公式为( ) A .a n =2n -3 B .a n =2n +3 C .a n =????? 1,n =12n -3,n ≥2 D .a n =? ???? 1,n =1 2n +3,n ≥2 【解析】当n ≥2时,a n =S n -S n -1=2n -3.当n =1时,a 1=S 1=1,不满足上式. 【答案】C

数列中an与Sn的关系

课题 浅谈数列中a n 与S n 的递推公式的应用 对于任意一个数列,当定义数列的前n 项和通常用S n 表示时,记作S n =a 1+a 2+…+a n ,此时通项公 式a n =? ?? ?? S 1,n =1, S n -S n -1,n ≥2. 而对于不同的题目中的a n 与S n 的递推关系,在解题时又应该从哪些方向去灵活应用a n =S n -S n -1(n ≥2)去解决不同类型的问题呢? 我们将从下面三个角度去探索在各类考试中出现的a n 与S n 相关的问题: 归纳起来常见的角度有: 角度一:直观运用已知的S n ,求a n ; 角度二:客观运用a n =S n -S n -1(n ≥2),求与a n ,S n 有关的结论; 角度三:a n 与S n 的延伸应用. 角度一:直观运用已知的S n ,求a n 方法:已知S n 求a n 的三个步骤(此时S n 为关于n 的代数式): (1)先利用a 1=S 1求出a 1; (2)用n -1替换S n 中的n 得到一个新的关系,利用a n =S n -S n -1(n ≥2)便可求出当n ≥2时a n 的表达式; (3)对n =1时的结果进行检验,看是否符合n ≥2时a n 的表达式,如果符合,则可以把数列的通项公式合写;如果不符合,则应该分n =1与n ≥2两段来写. 同时,在部分题目中需要深刻理解“数列的前n 项和”的实际意义,对“和的式子”有本质的认识,这样才能更好的运用S n 求解.如:a 1+2a 2+3a 3+…+na n =2n -1,其中a 1+2a 2+3a 3+…+na n 表示数列{na n }的前n 项和. 1.已知数列{a n }的前n 项和S n =n 2 -2n +2,则数列{a n }的通项公式为( ) A .a n =2n -3 B .a n =2n +3 C .a n =? ?? ?? 1,n =12n -3,n ≥2 D .a n =? ?? ?? 1,n =1 2n +3,n ≥2 【解析】当n ≥2时,a n =S n -S n -1=2n -3.当n =1时,a 1=S 1=1,不满足上式. 【答案】C 2.(2015·河北石家庄一中月考)数列{a n }满足:a 1+3a 2+5a 3+…+(2n -1)·a n =(n -1) ·3n +1 +3(n ∈N *),则数列的通项公式a n = . 【解析】当n ≥2时,a 1+3a 2+5a 3+…+(2n -3)·a n -1=(n -2) ·3n +3;则用已知等式减去上式得

由Sn与an关系求通项公式

1. 已知数列的前项和,. (1)求数列的通项公式; (2)设,求数列的前项和. 2. 已知数列{}n a 的前n 项和n S ,且满足()11120,2,2 n n n a S S n a -+=≥= . (1)求证:1n S ?? ???? 是一个等差数列; (2)求{}n a 的通项公式. 3. 数列{}n a 的前n 项和为121n n S +=-,那么该数列前2n 项中所有奇数位置的 项的和为( ) A.2(41)3 n - B.211(21)3n ++ C.1(41)3n - D.4(41)3 n - 4. 设数列{a n }的前n 项和为S n ,a 1=1,且a n +1 = 2S n +1 (n ≥1). (1)求{a n }的通项公式; (2)若等差数列{b n }的各项均为正数,其前n 项和为T n ,且T 3 =15. 又a 1+b 1, a 2+b 2, a 3+b 3成等比数列,求T n . 5. 正项数列{a n }中,设前n 项和为S n ,a 1=2,且a n = 22S n-1 +2 (n ≥2). (1)求数列{a n }的通项公式; (2)记数列{b n }满足b n =a n +8 2n +1 ,T n = b 1+ b 2+…+ b n ,证明:T n <7. {}n a n 22 n n n S +=*n N ∈{}n a 2(1)n a n n n b a =+-{}n b 2n

6. 7. 已知函数2 ()(1),()4(1),f x x g x x =-=-数列{}n a 满足1=21,n a a ≠, 1()()()0.n n n n a a g a f a +-+= (1)求证:+131 =; 44n n a a + (2)求数列{}n a 的通项公式; (3)若13()(),n n n b f a g a +=-求{}n b 中的最大项. 8. 数列{}n a 的前n 项和为121n n S +=-,那么该数列前2n 项中所有奇数位置的 项的和为( ) A.2(41)3 n - B.211(21)3n ++ C.1(41)3n - D.4(41) 3 n - 9. 数列{a n }的前n 项和S n =n 2+n +1;b n =(﹣1)n a n (n ∈N *);则数列{b n }的前 50项和为() A .49 B .50 C .99 D .100 10. 已知数列{a n }中,a 1=1,a 1+2a 2+3a 3+…+na n = (1)求数列{a n }的通项a n ; (2)求数列{n 2a n }的前n 项和T n ; (3)若存在n ∈N *,使得a n ≥(n +1)λ成立,求实数λ的取值范围.

数列中an与Sn的关系

n S n =a 1 +a 2+…+a n ,此时通项公式a n =??? ?? S 1,n =1, S n -S n -1,n ≥2 . 而对于不同的题目中的a n 与S n 的递推关系,在解题时又应该从哪些方向去灵活应用a n =S n -S n -1(n ≥2)去解决不同类型的问题呢? 我们将从下面三个角度去探索在各类考试中出现的a n 与S n 相关的问题: 归纳起来常见的角度有: 角度一:直观运用已知的S n ,求a n ; 角度二:客观运用a n =S n -S n -1(n ≥2),求与a n ,S n 有关的结论; 角度三:a n 与S n 的延伸应用. 方法:已知S n 求a n 的三个步骤(此时S n 为关于n 的代数式): (1)先利用a 1=S 1求出a 1; (2)用n -1替换S n 中的n 得到一个新的关系,利用a n =S n -S n -1(n ≥2)便可求出当n ≥2时a n 的表达式; (3)对n =1时的结果进行检验,看是否符合n ≥2时a n 的表达式,如果符合,则可以把数列的通项公式合写;如果不符合,则应该分n =1与n ≥2两段来写. 同时,在部分题目中需要深刻理解“数列的前n 项和”的实际意义,对“和的式子”有本质的认识,这样才能更好的运用S n 求解.如:a 1+2a 2+3a 3+…+ na n =2n -1,其中a 1+2a 2+3a 3+…+na n 表示数列{na n }的前n 项和. 1.已知数列{a n }的前n 项和S n =n 2-2n +2,则数列{a n }的通项公式为( ) A .a n =2n -3 B .a n =2n +3 C .a n =??? ?? 1,n =1 2n -3,n ≥2 D .a n =??? ?? 1,n =1 2n +3,n ≥2

12.利用Sn与an的关系求数列的通项

第71课 利用n S 与n a 的关系求数列的通项 基本方法: 已知数列前n 项和n S 和与第n 项n a 关系,求数列通项公式,常用11,1 ,2n n n S n a S S n -ì=?=í-???,将所给条件化为关于 前n 项和的递推关系或是关于第n 项的递推关系. 若满足等比数列或等差数列定义,用等比数列或等差数列通项公式求出数列的通项公式,否则适当变形构造等比或等数列求通项公式. 一、典型例题 1. 设数列{}n a 的前n 项和为n S ,且12n n S a =-+,求数列{}n a 的通项公式. 2. 已知数列{}n a 的前n 项的和为n S ,满足21a =,1631n n S a +=-. (1)求数列{}n a 的通项公式; (2)设2n n b a =,数列{}n b 的前n 项和与积分别为n R 与n T ,求n R 与n T . 二、课堂练习 1. 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ,且满足12a =,1420(2,)n n S S n n *---=澄 N ,求数列{}n a 的通项公式. 2. 若正项数列{}n a 的前n 项和为n S ,首项11a = ,) 1n P S +点在曲线()2 1y x =+上. 求数列{}n a 的通项公 式n a . 三、课后作业 1. 设数列{}n a 的各项均为正数,且对任意的n *?N ,均有2 2n n n a S a =-,其中n S 为数列{}n a 的前n 项和,求数列{}n a 的通项公式. 2. 数列{}n a 的前n 项和n S 满足12n n S a a =-,且123,1,a a a +成等差数列,求数列{}n a 的通项公式. 3. 已知各项都是正数的数列{}n a 的前n 项和为n S ,且22n n n S a a =+,数列{}n b 满足11 2 b =,12n n n n b b b a +=+. 求 数列{}n a ,{}n b 的通项公式.

十二.利用Sn与an的关系求数列的通项

十二、 利用n S 与n a 的关系求数列的通项 基本方法: 已知数列前n 项和n S 和与第n 项n a 关系,求数列通项公式,常用11,1,2 n n n S n a S S n ,将所给条件化为关于 前n 项和的递推关系或是关于第n 项的递推关系. 若满足等比数列或等差数列定义,用等比数列或等差数列通项公式求出数列的通项公式,否则适当变形构造等比或等数列求通项公式. 一、典型例题 1. 设数列{}n a 的前n 项和为n S ,且12n n S a ,求数列{}n a 的通项公式. 2. 已知数列n a 的前n 项的和为n S ,满足21a ,1631n n S a . (1)求数列n a 的通项公式; (2)设2n n b a ,数列n b 的前n 项和与积分别为n R 与n T ,求n R 与n T . 二、课堂练习 1. 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ,且满足1 2a ,1 420(2,)n n S S n n N ,求数列{}n a 的通项公式. 2. 若正项数列n a 的前n 项和为n S ,首项11a ,1n P S 点在曲线2 1y x 上. 求数列n a 的通项公 式n a . 三、课后作业 1. 设数列{}n a 的各项均为正数,且对任意的n N ,均有2 2n n n a S a ,其中n S 为数列{}n a 的前n 项和,求 数列{}n a 的通项公式. 2. 数列{}n a 的前n 项和n S 满足12n n S a a ,且123,1,a a a 成等差数列,求数列{}n a 的通项公式. 3. 已知各项都是正数的数列n a 的前n 项和为n S ,且22n n n S a a ,数列n b 满足1 1 2 b ,12n n n n b b b a . 求数列n a ,n b 的通项公式.

浅谈数列中an与Sn的关系(学生版)

对于任意一个数列,当定义数列的前n 项和通常用S n 表示时,记作S n =a 1+a 2+…+a n ,此时通项公式a n =????? S 1,n =1,S n -S n -1,n ≥2. 而对于不同的题目中的a n 与S n 的递推关系,在解题时又应该从哪些方向去灵活应用a n =S n -S n -1(n ≥2)去解决不同类型的问题呢? 我们将从下面三个角度去探索在各类考试中出现的a n 与S n 相关的问题: 归纳起来常见的角度有: 角度一:直观运用已知的S n ,求a n ; 角度二:客观运用a n =S n -S n -1(n ≥2),求与a n ,S n 有关的结论; 角度三:a n 与S n 的延伸应用. 方法:已知S n 求a n 的三个步骤(此时S n 为关于n 的代数式): (1)先利用a 1=S 1求出a 1; (2)用n -1替换S n 中的n 得到一个新的关系,利用a n =S n -S n -1(n ≥2)便可求出当n ≥2时a n 的表达式; (3)对n =1时的结果进行检验,看是否符合n ≥2时a n 的表达式,如果符合,则可以把数列的通项公式合写;如果不符合,则应该分n =1与n ≥2两段来写. 同时,在部分题目中需要深刻理解“数列的前n 项和”的实际意义,对“和的式子”有本质的认识,这样才能更好的运用S n 求解.如:a 1+2a 2+3a 3+…+na n =2n -1,其中a 1+2a 2+3a 3+…+na n 表示数列{na n }的前n 项和.

1.已知数列{a n }的前n 项和S n =n 2-2n +2,则数列{a n }的通项公式为( ) A .a n =2n -3 B .a n =2n +3 C .a n =????? 1,n =12n -3,n ≥2 D .a n =????? 1,n =12n +3,n ≥2 2.(2015·河北石家庄一中月考)数列{a n }满足:a 1+3a 2+5a 3+…+(2n -1)·a n =(n -1) ·3n +1+3(n ∈N *),则数列的通项公式a n = . 3.(2015·天津一中月考)已知{a n }的前n 项和为S n ,且满足log 2(S n +1)=n +1,则a n = . 4.(2015·四川成都树德期中)已知{a n }是一个公差大于0的等差数列,且满足a 3a 5=45,a 2+a 6=14. (1)求{a n }的通项公式; (2)若数列{b n }满足:b 12+b 222+…+b n 2n =a n +1(n ∈N *),求{b n }的前n 项和. 此类题目中,已知条件往往是一个关于a n 与S n 的等式,问题则是求解与a n ,S n 有关联的结论.那么我们需要通过对所求问题进行客观分析后,判定最后的结果中是保留a n ,还是S n .那么,主要从两个方向利用a n =S n -S n -1(n ≥2): 方向一:若所求问题是与a n 相关的结论,那么用S n -S n -1=a n (n ≥2)消去等式中所有S n 与S n -1,保留项数a n ,在进行整理求解; 1.(2015·广州潮州月考)数列{a n }的前n 项和记为S n ,a 1=1,a n +1 =2S n +1(n ≥1,n ∈N *),则数列的通项公式是 . 2.数列{a n }的前n 项和为S n ,若a n +1=-4S n +1,a 1=1. (1)求数列{a n }的通项公式;

数列中an和Sn的关系

课题 浅谈数列中a n 与S n 的递推公式的应用 对于任意一个数列,当定义数列的前n 项和通常用S n 表示时,记作S n =a 1+a 2+…+a n ,此时通项公 式a n =? ???? S 1,n =1, S n -S n -1,n ≥2. 而对于不同的题目中的a n 与S n 的递推关系,在解题时又应该从哪些方向去灵活应用a n =S n -S n -1(n ≥2)去解决不同类型的问题呢 我们将从下面三个角度去探索在各类考试中出现的a n 与S n 相关的问题: 归纳起来常见的角度有: 角度一:直观运用已知的S n ,求a n ; 角度二:客观运用a n =S n -S n -1(n ≥2),求与a n ,S n 有关的结论; 角度三:a n 与S n 的延伸应用. 角度一:直观运用已知的S n ,求a n 方法:已知S n 求a n 的三个步骤(此时S n 为关于n 的代数式): (1)先利用a 1=S 1求出a 1; (2)用n -1替换S n 中的n 得到一个新的关系,利用a n =S n -S n -1(n ≥2)便可求出当n ≥2时a n 的表达式; (3)对n =1时的结果进行检验,看是否符合n ≥2时a n 的表达式,如果符合,则可以把数列的通项公式合写;如果不符合,则应该分n =1与n ≥2两段来写. 同时,在部分题目中需要深刻理解“数列的前n 项和”的实际意义,对“和的式子”有本质的认识,这样才能更好的运用S n 求解.如:a 1+2a 2+3a 3+…+na n =2n -1,其中a 1+2a 2+3a 3+…+na n 表示数列{na n }的前n 项和. 1.已知数列{a n }的前n 项和S n =n 2-2n +2,则数列{a n }的通项公式为( ) A .a n =2n -3 B .a n =2n +3 C .a n =????? 1,n =12n -3,n ≥2 D .a n =? ???? 1,n =12n +3,n ≥2 【解析】当n ≥2时,a n =S n -S n -1=2n -3.当n =1时,a 1=S 1=1,不满足上式. 【答案】C

由Sn与an关系求通项公式

1. 已知数列{}n a 的前n 项和22 n n n S +=,*n N ∈. (1)求数列{}n a 的通项公式; (2)设2(1)n a n n n b a =+-,求数列{}n b 的前2n 项和. 2. 已知数列{}n a 的前n 项和n S ,且满足 ()11120,2,2 n n n a S S n a -+=≥= . (1)求证:1n S ?? ? ??? 是一个等差数列; (2)求{}n a 的通项公式. 3. 数列{}n a 的前n 项和为121n n S +=-,那么该数列前2n 项 中所有奇数位置的项的和为( ) A.2(41)3 n - B.211(21)3 n ++ C.1(41)3 n - D.4(41)3 n - 4. 设数列{a n }的前n 项和为S n ,a 1=1,且a n +1 = 2S n +1 (n ≥1). (1)求{a n }的通项公式; (2)若等差数列{b n }的各项均为正数,其前n 项和为T n ,且T 3 =15. 又a 1+b 1, a 2+b 2, a 3+b 3成等比数列,求T n . 5. 正项数列{a n }中,设前n 项和为S n ,a 1=2,且a n = 22S n-1 +2 (n ≥2). (1)求数列{a n }的通项公式; (2)记数列{b n }满足b n =a n +8 2n +1 ,T n = b 1+ b 2+…+ b n ,证明:T n <7.

6. 7. 已知函数2 ()(1),()4(1),f x x g x x =-=-数列{}n a 满足1=21,n a a ≠, 1()()()0.n n n n a a g a f a +-+= (1)求证:+131 =; 44n n a a + (2)求数列{}n a 的通项公式; (3)若13()(),n n n b f a g a +=-求{}n b 中的最大项. 8. 数列{}n a 的前n 项和为121n n S +=-,那么该数列前2n 项 中所有奇数位置的项的和为( ) A.2(41)3 n - B.211(21)3 n ++ C.1(41)3 n - D.4(41)3 n - 9. 数列{a n }的前n 项和S n =n 2+n +1;b n =(﹣1)n a n (n ∈N *);则数列{b n }的前50项和为() A .49 B .50 C .99 D .100 10. 已知数列{a n }中,a 1=1, a 1+2a 2+3a 3+…+na n = (1)求数列{a n }的通项a n ; (2)求数列{n 2a n }的前n 项和T n ; (3)若存在n ∈N *,使得a n ≥(n +1)λ成立,求实数λ的取值范围.

教案an与sn的关系教学提纲

数列的应用教案 教学目标: 知识与技能: 理解n n a S 与的关系,能利用n n a S 与的关系解决由n n a S 求的基本题型。 掌握由n n a S 求的解题技巧,规范基本程序和答题格式。 过程与方法: 通过合作探究基本题型和学生展示学习结果培养学生的逻辑思维能力。 通过合作探究,培养学生团结协作,归纳总结的能力。 情感态度与价值观: 培养学生科学严谨的学习态度,激发学习数学的热情和信心。 教学重点、难点: 教学重点:理解n n a S 与的关系,并运用关系求数列的通项公式。掌握解题方法和技巧。 教学难点:规范由n n a S 求的基本程序和答题格式。 教学方法:合作探究,讨论法、练习法。 教学过程: 一、课前复习 1.什么是等差数列,写出它的通项公式。 2.什么是等比数列,写出它的通项公式。 的关系:与n n a S .3

关系式 ,通过观察得到,写出由???≥-==++???+++=---2 11111321n S S n S a S a a a a a S n n n n n n n 检索学生已有知识水平,复习巩固知识,引入问题,导入新课。 二、新知探究 1. 典例分析,合作共议 n n n a N n n n S n a 求项和的前:已知数列例,,1}{12+∈++= ===111S a n 时,解:当 122++=≥n n S n n 时,当 =-1n S =-=-n n n n a S S a 得:由1 =n a 所以 合作探究,引导学生规范解答,培养学生科学严谨的态度。 学生体会归纳总结解觉问题的方法和步骤,培养学生归纳总结知识的能力。 n n n a N n n S n a 求项和为的前:已知数列练习,,1}{12+∈+= 学生讨论完成练习一,落实本节课重点。 n n n a N n n n S n a 求项和的前:已知数列例,,4}{22+∈+= ===111S a n 时,解:当 n n S n n 422+=≥时,当 =-1n S

教案an与sn的关系

数列的应用教案 教学目标: 知识与技能: 理解n n a S 与的关系,能利用n n a S 与的关系解决由n n a S 求的基本题型。 掌握由n n a S 求的解题技巧,规范基本程序和答题格式。 过程与方法: 通过合作探究基本题型和学生展示学习结果培养学生的逻辑思维能力。 通过合作探究,培养学生团结协作,归纳总结的能力。 情感态度与价值观: 培养学生科学严谨的学习态度,激发学习数学的热情和信心。 、 教学重点、难点: 教学重点:理解n n a S 与的关系,并运用关系求数列的通项公式。掌握解题方法和技巧。 教学难点:规范由n n a S 求的基本程序和答题格式。 教学方法:合作探究,讨论法、练习法。 教学过程: 一、课前复习 1.什么是等差数列,写出它的通项公式。 2.什么是等比数列,写出它的通项公式。 的关系:与n n a S .3

关系式 ,通过观察得到,写出由???≥-==++???+++=---2 11111321n S S n S a S a a a a a S n n n n n n n 》 检索学生已有知识水平,复习巩固知识,引入问题,导入新课。 二、新知探究 1. 典例分析,合作共议 n n n a N n n n S n a 求项和的前:已知数列例,,1}{12+∈++= ===111S a n 时,解:当 122++=≥n n S n n 时,当 =-1n S =-=-n n n n a S S a 得:由1 =n a 所以 合作探究,引导学生规范解答,培养学生科学严谨的态度。 : 学生体会归纳总结解觉问题的方法和步骤,培养学生归纳总结知识的能力。 n n n a N n n S n a 求项和为的前:已知数列练习,,1}{12+∈+= 学生讨论完成练习一,落实本节课重点。 n n n a N n n n S n a 求项和的前:已知数列例,,4}{22+∈+= ===111S a n 时,解:当

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