山东省济宁市微山一中2012-2013学年高二上学期期末考试数学理含答案

微山一中2012—2013学年高二上学期期末考试

数学（理）

一．选择题：（本大题共12小题，每小题5分，满分60分，在每小题给出的四个选项中，只有

一项是符合题目要求的.）

1．如果直线x ＋2y －1＝0和y ＝kx 互相平行，则实数k 的值为( )．

A ．2

B ．

2

1

C ．－2

D ．－

2

1 2．半径为R 的半圆卷成一个圆锥，则它的体积为（ ）.

A 3R

B 3R

C 3R

D 3R 3.对于平面直角坐标系内的任意两点

()()

1122,,,A x y B x y ，定义它们之间的一种“距离”：

1212

AB x x y y =-+-．给出下列三个命题：

①若点C 在线段AB 上，则

AC CB AB

+=;

②在ABC ?中，若∠C=90°，则2

2

2

AC CB AB

+=；

③在ABC ?中，

AC CB AB

+>．

其中真命题的个数为( )

A ．0

B ．1

C ．2

D ．3

4．若点(,)P a b 在圆C:22

1x y +=的外部，则直线10ax by ++=与圆C 的位置关系是（ ）

A ．相切

B ．相离

C ．相交

D ．相交或相切

5．已知圆的方程为

0862

2=--+y x y x .设该圆过点（3，5）的两条弦分别为AC 和BD ，且BD AC ⊥.则四边形ABCD 的面积最大值为（ ）

A ．206

B ．306

C ．49

D ．50

6. 等差数列{a n }和{b n }的前n 项和分别为S n 和T n ，且

1

32+=

n n

T S n n ，则55b a （ ） A ．

32 B .149 C. 3120 D. 97

7. 已知双曲线的渐近线为y =，焦点坐标为（-4，0），（4，0），则双曲线方程为（ ）

A ．

22

1824x y -= B ．

221124x y -= C ．22

1248x y -= D ．

22

1412

x y -= 8.已知P 在抛物线x y 42=上，那么点P 到点Q （2，1）的距离与点P 到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点P 的坐标为（ ）

A. )1,4

1(- B. )1,4

1( C. )2,1( D. )2,1(- 9．如图所示，正方体D C B A ABCD ''''-的棱长为1，O 是平面D C B A ''''

的中心，则O 到平面D C AB ''的距离是（ ）

A.

2

1

B. 42

C. 22

D. 23

10. 已知双曲线22

221(0,0)x y a b a b

-=>>与抛物线28y x =有一个公共的焦

点F ，且两曲线的一个交点为P ，若5PF =，则双曲线的渐近线方程为.

A

．0x = B

0y ±= C ．20x y ±= D ．20x y ±= 11．若过定点)0,1(-M 且斜率为k 的直线与圆0542

2

=-++y x x

在第一象限内的部分有交点，则k 的取值范围是（ ）. A ．50<

C ．130<

12.设P 是双曲线x 2

a 2－y

2

b 2 ＝1(a ＞0 ,b ＞0)上的点，F 1、F 2是焦点，双曲线的离心

率是5

4 ，且∠F 1PF 2＝90°，△F 1PF 2面积是9，则a + b ＝（ ）

A. 4

B. 5

C. 6

D. 7 二、填空题：（共4个小题，每小题5分,共20分.） 13．图中的三视图表示的实物为_____________.

14. 过点()2,4A ，且在两坐标轴上截距相等的直线方程是_________________． 15．已知03=-+y x ，则22)1()2(++-y x 的最小值等于.

16．若连续掷两次骰子，第一次掷得的点数为m ，第二次掷得的点数为n ，则点(,)P m n 落在圆x 2

＋y 2

＝16内的概率是. 三、解答题：（共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分10分） 求直线012=--y x 被圆0122

2

=--+y y x 所截得的弦长.

O

B

18．（本小题满分12分）

已知直线l 经过点(0，－2)，其倾斜角是60°．

(1)求直线l 的方程；

(2)求直线l 与两坐标轴围成三角形的面积．

19. （本小题满分12分）

已知在平面直角坐标系xOy 中的一个椭圆，它的中心在原点，左焦点为(F ,右顶点为(2,0)D ,设点11,2A ?? ???

.

（1）求该椭圆的标准方程；

（2）若P 是椭圆上的动点，求线段PA 中点M 的轨迹方程； （3）过原点O 的直线交椭圆于点,B C ，求ABC ?面积的最大值。

20.（本小题满分12分）

在平面直角坐标系x O y 中，直线l 与抛物线2

y ＝2x 相交于A 、B 两点。

（1）求证：命题“如果直线l 过点T （3，0），那么OB OA ?＝3”是真命题； （2）写出（1）中命题的逆命题，判断它是真命题还是假命题，并说明理由。

21. （本小题满分12分） 在直角梯形PBCD 中，4,2,2

====

∠=∠PD CD BC C D π，A 为PD 的中点，如下左图。将PAB

?沿AB 折到SAB ?的位置，使BC SB ⊥，点E 在SD 上，且3

1=，如下图。 （1）求证：⊥SA 平面ABCD ；

（2）求二面角E —AC —D 的正切值．

22．（本题满分12分）

已知椭圆中心在原点，焦点在y 轴上，焦距为4，

离心率为32

．

（1）求椭圆方程；

（2）设椭圆在y 轴的正半轴上的焦点为M ，

又点A 和点B 在椭圆上，且M 分有向线段所成的比为2， 求线段AB 所在直线的方程．

参考答案：

1-5 DABCC 6-10 BDBBB 11-12 AD

13. 圆锥 14. y=

21

x 或

16.9

2 17．解：圆心为(0,1)，则圆心到直线012=--y x

18．解：(1)因为直线l 的倾斜角的大小为60°,故其斜率为tan 60°＝3，又直线l 经过

点

(0，－2)，所以其方程为3x －y －2＝0．

(2)由直线l 的方程知它在x 轴、y 轴上的截距分别是

3

2，－2，所以直线l 与两坐标轴围成

三角形的面积S ＝

21·3

2·2＝332．

19．解：(1)由已知得椭圆的半长轴a=2,半焦距c=

3,则半短轴b=1.

又椭圆的焦点在x 轴上, ∴椭圆的标准方程为14

22

=+y x (2)设线段PA 的中点为M(x,y) ,点P 的坐标是(x 0,y 0),

由

x=2

1

0+x

得

x 0=2x －1 y=

2

21

0+

y

y 0=2y －

2

1 又点P 在椭圆上,得

1)2

1

2(4)12(22=-+-y x , ∴线段PA 中点M 的轨迹方程是1)4

1(4)21(2

2=-+-y x

(3)当直线BC 垂直于x 轴时,BC=2,因此△ABC 的面积S △ABC =1.

当直线BC 不垂直于x 轴时,设该直线方程为y=kx,代入14

22

=+y x , 解得B(

1

422

+k ,

1

422

+k k ),C(－

1

422

+k ,－

1422

+k k ),

则2

24114

k

k BC ++=,又点A 到直线BC 的距离d=2

12

1k

k +-

,

∴△ABC 的面积S △ABC =

2411221

k

k d AB +-=

? 于是S △ABC =1

441141442

22+-=++-k k

k k k 由

1

442

+k k ≥－1,得S △ABC ≤2,其中,当k=－21

时,等号成立

.

∴S △ABC 的最大值是2

20.（1）设过点T(3,0)的直线l 交抛物线2y =2x 于点A(x 1,y 1)、B(x 2,y 2).

当直线l 的斜率不存在时,直线l 的方程为x =3,此时,直线l 与抛物线相交于A(3,6)、B(3,－6)，∴3=?

当直线l 的斜率存在时,设直线l 的方程为y =k (x －3),其中k≠0.

??

?-==)

3(22x k y x y 得ky 2

－2y －6k =0,则y 1y 2=－6. 又∵x 1=21y 12, x 2=21y 22, ∴OB OA ?=x 1x 2+y 1y 2=

21221)(4

1

y y y y +=3. 综上所述, 命题“......”是真命题.

（2）逆命题是：“设直线l 交抛物线y 2

=2x 于A 、B 两点,如果3=?,那么该直线过点T(3,0).”…10分，该命题是假命题. 例如：取抛物线上的点A(2,2),B(

2

1

,1),此时3=?=3,直线AB 的方程为y =3

2

(x +1),而T(3,0)不在直线AB 上.

21.解：（1）证明：在图中，由题意可知， ABCD PD BA ,⊥为正方形，所以在图中，2,=⊥SA AB SA ，

四边形ABCD 是边长为2的正方形， 因为BC SB ⊥，AB ⊥BC ， 所以BC ⊥平面SAB ，

又?SA 平面SAB ，所以BC ⊥SA ，又SA ⊥AB ，

所以SA ⊥平面ABCD ，

（2）解法一： 在AD 上取一点O ，使3

1

=，连接EO 。 因为SD SE 3

1

=

，所以EO//SA 所以EO ⊥平面ABCD ，过O 作OH ⊥AC 交AC 于H ，连接EH ， 则AC ⊥平面EOH ，所以AC ⊥EH 。

所以EHO ∠为二面角E —AC —D 的平面角，

.34

32==

SA EO 在AHO Rt ?中，.3

2223245sin ,45=?=??=?=∠AO HO HAO …11分

22tan ==

∠OH EO

EHO ，即二面角E —AC —D 的正切值为.22

22.解：（1）2=c ，

32

=

=

a c e ，3=a ，5=

b ．

所以，所求椭圆方程为1952

2=+y x

（2）设),(11y x A ，),(22y x B ，

由题意可知直线AB 的斜率存在，设过A ，B 的直线方程为 2+=kx y

则由 ???=++=45592

22y x kx y 得

025205922=-++kx x k )( 故 12222122

2209525

295k x x x k x x x k -?+=-=??+?

-??=-=?+?

， 由M 分有向线段所成的比为2，得212x x -=，……8分

消 x2得

2225925

59202k k k +=

+)(

解得

312=

k ，33±=k

所以，233

+±

=x y