高二数学下：13.6《实系数一元二次方程》教案(2)(沪教版)

13.6（2）实系数一元二次方程

一、教学内容分析

本节课是“实系数一元二次方程”的第二节课，上一节课主要讨论了实系数一元二次方程在复数集中解的情况.学生会在复数集中解实系数一元二次方程；会在复数范围内对二次三项式进行因式分解；能理解实系数一元二次方程有虚数根时的根与系数的关系，并会进行简单应用.本节课将通过练习巩固以上知识，并检验学生对以上知识的掌握程度.

课本中的例题3是“实系数一元二次方程”这一节的重点和难点，本节课将引导学生进行重点探究.

二、教学目标设计

进一步掌握在复数集中解实系数一元二次方程和对二次三项式进行因式分解；掌握实系数一元二次方程有虚数根时的根与系数的关系及其应用.

三、教学重点及难点

对实系数一元二次方程有虚数根时的根与系数关系的灵活应用.

四、教学用具准备

电脑、实物投影仪

五、教学流程设计

六、教学过程设计

（一）复习旧知

上一节课我们主要学习了哪些内容？我们一起来回顾一下.

1.实系数一元二次方程20ax

bx c ++=在复数集C 中解的情况： （1）当240b ac ?=->时，原方程有两个不相等的实数根

2b x a -±=；

（2）当240b ac ?=-=时，原方程有两个相等的实数根

2b x a

=-； （3）当240b ac ?=-<时，原方程有一对共轭虚根

122b x a a =-+，222b x a a

=--. 2、二次三项式2ax bx c ++在复数范围内分解因式：

212()()ax bx c a x x x x ++=--.

3、实系数一元二次方程20ax bx c ++=的韦达定理：

12b x x a +=-，12c x x a

?=. 特别地，当240b ac ?=-<时，12x x 和为一对共轭虚根，即21x x =—

，∴2121||x x x ?=，

1212Re x x x +=.

[说明]以上三点可以让学生回答，而第3点中的“212

1||x x x ?=，1212Re x x x +=”可以让学生在老师的引导下发现.

（二）巩固练习

1.已知1-i 是实系数一元二次方程20x px q ++=的一个根，则p q ?= .

2.若两个数之和为2，两个数之积为3，则这两个数分别为 .

3.在复数集中分解因式：2321x x -+= .

4.若方程220()x ax a R -+=∈有虚数根z ，则|z|= .

参考答案：

1. -4

2. 1和1

3. 113()()3333x x -

--+

（三）例题精析

例1、已知方程210()x px p R -+=∈的两根为1x 、2x ，若121x x -=，求实数p 的值. 分析：要求实数p 的值，即要利用已知条件

121x x -=，从而应考虑1x 、2x 为实根还是虚根，因此，应对0?≥和0?<讨论.

解：（见课本P92例3）

[说明]对于△<0的情形，也可考虑设1

(,)x a bi a b R =+∈， 则2x a bi =-，由1221x x bi -==得12b =±

，

又由2221211||x x x a b =?==+，得2

a =±，所以122p x x a =+==设问①：若将题设中的“两根”改为“两虚根”，则如何作答？

设问②：我们知道：当1x 、2x 为实数时，

12x x -==1x 、2x 为虚数时，上式是否仍然成立？请说明理由.

[说明]可以给点时间让学生思考和讨论.

因为当z 为虚数时，2

2z z ≠,所以当1x 、2x 为虚数时，上式不成立.可以适当修改为

12x x -===该结论显然成立.

设问③：大家尝试一下，能否利用上述结论(*)来解答本例？

因为2222121212121()()44x x x x x x x x p =

-=-=+-=-，

所以p =

p =[说明]在已知

12x x -的值时，利用结论(*)可以避免对0?≥与0?<的讨论. 设问④：本例删除已知条件“121x x -=”后，请用m 来表示12x x -.

将例1的“两根之差的绝对值”改为“两根的绝对值之和”，可以有以下例题.

例2、已知关于x 的方程222440x ax a a -+-+=()a R ∈的两根为α、β，且3αβ+=，求实数a 的值.

解：2244(44)16(1)a a a a ?=--+=-.

当0?≥，即1a

≥时，α、β为实数，且 2244(2)0a a a αβ=-+=-≥， 所以23a αβαβ+=+==，又1a ≥，所以32

a =. 当0?<，即1a

<时，α、β为一对共轭虚数，所以23αβα+== 得294α=，所以94αβ=，所以29444a a -+=得72a =或12

a =， 因为1a <，所以12a =. 故32a =或12

a =. [说明]（1）前面有例1的分析与探讨，例题2可考虑让学生自己完成.

（2）提醒学生注意：对0?≥与0?<的讨论.

（3）例2删除已知条件“3α

β+=”后，也可用a 来表示αβ+. 例3、已知关于x 的方程2(12)2(1)0ax i x a i ++--=()a R ∈有实数根，求实数a 的值.

解：设x 0是原方程的两个根，则20

0(12)2(1)0ax i x a i ++--=，即 2000(2)(22)0ax x a x a i +-++=，所以200020220

ax x a x a ?+-=?+=?， 解该方程组得0a =

或a =

[说明]补充例3主要是考虑到练习册第58页习题13．6 B 组第5题与例3属同一类问题，可以视情况选用.若时间允许，例3还可以考虑在求出a 的值后，解该方程.

（四）课堂练习

1.若α、β是方程270x x -+=的两个根，则2αβ-= .

2.见课本P93练习1

3.6（2）T

4.

[说明] 练习第1题可以直接用求根公式，也可以使用结论(*).其答案是27.

（五）课堂小结

本节课是在复习与巩固上节课主要内容“实系数一元二次方程解的情况和韦达定理”的基础上，通过例题1和例题2，进一步探讨实系数一元二次方程有虚数根时的韦达定理的应用，应灵活利用2121||c x x x a

=?=，1212Re b x x x a -=+=. 注意分类讨论这一数学思想的应用，例题1和例题2都对0?≥与0?<（即实根与虚根）进行了讨论，但合理利用以下等式

：12x x -===.

（六）课后作业

1．书面作业：练习册P55 习题13．6 A 组 T6.8.

P57 习题13．6 B 组 T4.5.

2．思考题：（补充题及备选题）

（1）若方程22810()x x a a R -++=∈有一个虚根的模

为，则实数a 的值为 .

（2）已知关于x 的方程220()x x m m R ++=∈的两根为α、β，求αβ+.

（3）已知关于x 的方程2(2)20()x

k i x ki k R ++++=∈有实根，求实数k 的值，并解

方程.

参考答案：（1）9 （2

）2,0101

m m m αβ≤≤??+=?

-；

（3）当k=2i

当k=-2i.

[说明]补充的思考题，可作为学有余力的同学的能力训练题，也可作为教师的备选题．