备战2016高考系列_解析几何(教师版)配学生版

解析几何

一、解析几何与向量综合时可能出现的向量内容：

(1) 给出直线的方向向量()k u ,1= 或()n m u ,=

；

(2) 给出+与AB 相交，等于已知+过AB 的中点;

(3) 给出0

=+，等于已知P 是MN 的中点;

(4) 在ABC ?中，给出()

12

AD AB AC =+

，等于已知AD 是ABC ?中BC 边的中线; (5) 给出()

BQ BP AQ AP +=+λ，等于已知Q P ,与AB 的中点三点共线;

(6) 给出以下情形之一：① //；② 存在实数,AB AC λλ=

使；③ 若存在实数,αβ，且1αβ+=，使OC OA OB αβ=+

等于已知C B A ,,三点共线.

(7) 给出1OA OB

OP λλ

+=+ ，等于已知P 是

的定比分点，λ为定比，即λ=

(8) 给出0=?MB MA ，等于已知MB MA ⊥，即AMB ∠是直角，给出0<=?m MB MA ，等于已知AMB ∠是钝角， 给出0>=?m MB MA ，等于已知AMB ∠是锐角，

(9) 给出MA MB MP MA MB

λ?

?

?+= ??

?

，等于已知MP 是AMB ∠的平分线 (10) 在平行四边形ABCD 中，给出0)()(=-?+，等于已知ABCD 是菱形;

(11) 在平行四边形ABCD 中，给出||||AB AD AB AD +=-

，等于已知ABCD 是矩形;

(12) 在ABC ?中，给出2

2

2

==，等于已知O 是ABC ?的外心（三角形外接圆的圆心，三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点）；

(13) 在ABC ?中，给出=++，等于已知O 是ABC ?的重心（三角形的重心是三角形三条中线的交点）；

(14) 在ABC ?中，给出OA OC OC OB OB OA ?=?=?，等于已知O 是ABC ?的垂心（三角形的垂心是三角形三条高的交点）；

(15) 在ABC ?中，给出+=()||||

AB AC AB AC λ+

)(+∈R λ等于已知AP 通过ABC ?的内心；

二、熟悉下面的一些结论：

(1) 双曲线12222=-b y a x 的渐近线方程为02222=-b

y a x ； (2) 以x a b y ±=为渐近线（即与双曲线12222=-b

y a x 共渐近线）的双曲线方程为λλ(2222

=-b y a x 为参数，λ≠0）. (3) 中心在原点，坐标轴为对称轴的椭圆、双曲线方程可设为22

1mx ny +=；

(4) 共焦点的圆锥曲线系的方程为：22

222

21(,)x y a b R a b λλλ

+=>∈--，当22a b <<λ时，为共焦点的双曲线系；② 当2

2

a b <<λ时，为共焦点的椭圆系；③ 当2

2

b a >>λ时，无轨迹.

(5) 椭圆、双曲线的通径（过焦点且垂直于对称轴的弦）为2

2b a

，抛物线的通径为2p ，焦准距为p ；

(6) 通径是所有焦点弦（过焦点的弦）中最短的弦；

(7) 若抛物线22(0)y px p =>的焦点弦为AB ，1122(,),(,)A x y B x y ，则①12||AB x x p =++；②

2

21212,4

p x x y y p ==-

(8) 若OA 、OB 是过抛物线22(0)y px p =>顶点O 的两条互相垂直的弦，则直线AB 恒经过定点(2,0)p

三、求轨迹方程

求曲线的方程的常用方法有两类：

一类是曲线形状明确，方程形式已知(如直线、圆、圆锥曲线的标准方程等)，常用待定系数法求方程. 另一类是曲线形状不明确或不便于用标准形式表示，一般采用以下方法：

（1）直译法：将原题中由文字语言明确给出动点所满足的等量关系直接翻译成由动点坐标表示的等量关系式.

（2）代入法：所求动点与已知动点有着相互关系，可用所求动点坐标（x ，y ）表示出已知动点的坐标，然后代入已知的曲线方程.

（3）参数法：通过一个（或多个）中间变量的引入，使所求点的坐标之间的关系更容易确立，消去参数得坐标的直接关系便是普通方程.

（4）交轨法：动点是两条动曲线的交点构成的，由x ，y 满足的两个动曲线方程中消去参数，可得所求方程.故交轨法也属参数法.

例1 平行四边形ABCD 中，A （0，0），)3,4(-B ，点D 在以A 为圆心，3为半径的圆周上运动，点P 分AC

的比为2：1，求动点P 的轨迹方程.

径的圆.

例2（2008江西高考题）设点00(,)P x y 在直线(,01)x m y m m =≠±<<上，过点P 作双曲线2

2

1x y -=的两

条切线PA PB 、，切点为A 、B ，定点1

(

,0)M m

. (1) 求证：三点A M B 、、共线；(2) 过点A 作直线0x y -=的垂线，垂足为N ，试求AMN ?的重心G 所在曲线方程.

证明：（1）设1122(,),(,)

A x y

B x y ，由已知得到120y y ≠，且2

2111x y -=，2222

1x y -=，

设切线PA 的方程为：11()y y k x x -=-由1122

()1

y y k x x x y -=-??-=?得 222

1111(1)2()()10k x k y kx x y kx ------=

从而2222211114()4(1)()4(1)0k y kx k y kx k ?=-+--+-=，解得1

1

x k y = 因此PA 的方程为：111y y x x =-.同理PB 的方程为：221y y x x =- 又0(,)P m y 在PA PB 、上，所以1011y y mx =-，2021y y mx =- 即点1122(,),(,)A x y B x y 都在直线01y y mx =-上 又1

(

,0)M m

也在直线01y y mx =-上，所以三点A M B 、、共线 （2）垂线AN 的方程为：11y y x x -=-+，由110y y x x x y -=-+??-=?

得垂足1111

(,)22x y x y N ++， 设重心(,)G x y ，所以111111

11()321(0)32x y x x m x y y y +?=++???+?=++?? 解得113934

1934

x y m x y x m y ?

--?=????-+?=

??

由2

2111x y -= 可得11(33)(33)2x y x y m m --+-=即2212()39

x y m --=为重心G 所在曲线方程

例3 过点M (1，2)作双曲线0311*******=----y x y x 的弦AB ，求AB 中点的轨迹方程. 解：参数法（斜率k 为参数）：0311*******=----y x y x ?042)1(5)2(422=-+--y x ， 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，2)1(:+-=x k y l AB ，

代入042)1(5)2(422=-+--y x ，得042]3)1([5)2(422=-+---x k x

?

026)3(5)8155(2)54(2222=---++---k x k k x k .

∴22215481552k k k x x -++-=+，2

22232121548

4525481552)12(2k

k k k k k k k x x k y y -++=+--++-=+-+=+ ∴???????-++-=-++-=-++=-++=-+++-=-++-=22222225412415412445548455441515441545548155k k k k k k k k y k k k k k k k k x ????????-+=+-+=-225412

41544151k k y k k x ?

12441511++=+-k k y x . ∵1

2--=x y k ，∴2012434415121

244

12

15

11-+-+=+--+--=+-x y x y x y x y y x ， ?

0185125422=++--y x y x 即为所求的轨迹方程.

另解：对k AB 算两次：设中点为P (m ，n )，则AB 两点的坐标可设为A (m +u ，n +v )，B (m -u ，n -v )， 则u

v k AB =

. ∵A ，B 在双曲线0311*******=----y x y x 上，

∴?????=--------=-+-+-+-+0

31)(10)(16)(5)(4031)(10)(16)(5)(42

22

2v n u m v n u m v n u m v n u m

相减得：020322016=---v u nv mu ?5

58

4+-=

n m u v . 又1

2

--=

=m n k k MP AB ，∴1

25584--=

+-=m n n m k AB

?018512542

2=++--n m n m ， 所求的中点的轨迹方程为：0185125422=++--y x y x .

例4 已知双曲线222=-y x 的左、右焦点分别为1F 、2F ，过点2F 的动直线与双曲线相交于A 、B 两点． (1) 若动点M 满足O F B F A F M F 1111++=（其中O 为坐标原点），求点M 的轨迹方程；

(2) 在x 轴上是否存在定点C ，使?为常数？若存在，求出点C 的坐标；若不存在，请说明理由． 解：由条件知1(20)F -，，2(20)F ，，设11()A x y ，，22()B x y ，．

解法一：(1) 设()M x y ，，则1(2)FM x y =+ ，，111(2)F A x y =+ ，，1221(2)(20)F B x y FO =+= ，，，， 由1111

FM F A F B FO =++ 得1212

26x x x y y y +=++??=+?，即12124x x x y y y +=-??+=?， 于是AB 的中点坐标为422x y -??

???，．

当AB 不与x 轴垂直时，1212

24822

y

y y y x x x x -==

----，即1212()8y y y x x x -=--． 又因为A B ，两点在双曲线上，所以22112x y -=，22

222x y -=，两式相减得

12121212()()()()x x x x y y y y -+=-+，即1212()(4)()x x x y y y --=-．

将1212()8

y

y y x x x -=

--代入上式，化简得22(6)4x y --=． 当AB 与x 轴垂直时，122x x ==，求得(80)M ，，也满足上述方程． 所以点M 的轨迹方程是22(6)4x y --=．

(2) 假设在x 轴上存在定点(0)C m ，

，使CA CB ?

为常数． 当AB 不与x 轴垂直时，设直线AB 的方程是(2)(1)y k x k =-≠±，代入222x y -=，

有2

2

2

2

(1)4(42)0k x k x k -+-+=．则12x x ，是上述方程的两个实根，所以212241k x x k +=-，212242

1

k x x k +=-，

于是21212()()(2)(2)CA CB x m x m k x x ?=--+--

22221212(1)(2)()4k x x k m x x k m =+-++++

22222222(1)(42)4(2)411k k k k m k m k k +++=-++--22222

2(12)2442(12)11

m k m m m m k k -+-=+=-++--． 因为CA CB ? 是与k 无关的常数，所以440m -=，即1m =，此时CA CB ?

=1-．

当AB 与x 轴垂直时，点A B ，

的坐标可分别设为(2

，(2，

此时(11CA CB ?=?=-

． 故在x 轴上存在定点(1

0)C ，，使CA CB ?

为常数． 解法二：（I ）同解法一的（I ）有1212

4x x x y y y +=-??+=?，

当AB 不与x 轴垂直时，设直线AB 的方程是(2)(1)y k x k =-≠±． 代入2

2

2x y -=有2

2

2

2

(1)4(42)0k x k x k -+-+=．

则12x x ，是上述方程的两个实根，所以212241k x x k +=-．212122

44(4)411k k

y y k x x k k k ??+=+-=-= ?--??

． 由①②③得2

2441

k x k -=-．……④ 241k y k =-．…………⑤

当0k ≠时，0y ≠，由④⑤得，4x k y

-=，将其代入⑤有2222

4

44(4)(4)(4)1x y x y

y x x y y -?

-==----．

整理得22(6)4x y --=．

当0k =时，点M 的坐标为(40)，，满足上述方程．当AB 与x 轴垂直时，122x x ==，求得(80)M ，，也满足上述方程．故点M 的轨迹方程是22(6)4x y --=．

(2) 假设在x 轴上存在定点点(0)C m ，

，使CA CB ?

为常数， 当AB 不与x 轴垂直时，由（I ）有212241k x x k +=-，212242

1

k x x k +=-．

以上同解法一的（2）．

例5 设02<<-m ，在直角坐标系中，通过点)0,(m M 的直线l 与双曲线422=-y x 有唯一的交点P ，且与双曲线的渐近线交于A 、B 两点

（1）求直线l 的方程； （2）当m 变化时，求ABC ?的重心的轨迹方程．

)

(42

42

0,0)4(2)1(4).()1(2

2

2222222m x m

y l m

k m k x m k x k y x m x k y x l --±=-±==?=+-+-=--=：所以，有因为有中，

代入不垂直，设其方程为与显然，解：

???

?

???--=+==+=-+-+-----=-=--=

m m

y y y m x x x m m m m B m

m m

m A x y x y m x m

y B A B A 3443383),422,422(),

422,

422(

)(42)2(222

2

2

由重心公式联立，得和时，分别与)0,0(9

16

22><=-y x y x m 得消去

)0,0(916)(422

22

<<=----=y x y x m x m y 时，同理可得当

综上所述，所求轨迹方程为22

16(00)9

x y x y -=<≠且

例6 （2007年全国联赛题）已知过点(0，1)的直线l 与曲线C ：)0(1

>+=x x

x y 交于两个不同点M 和N . 求曲线C 在点M 、N 处切线的交点轨迹.

解：设点M 、N 的坐标分别为(x 1，y 1)和(x 2，y 2)，曲线C 在点M 、N 处的切线分别为l 1、l 2，其交点P 的坐标为(x p ，y p ). 若直线l 的斜率为k ，则l 的方程为y=kx +1.

由方程组??

???

+=+=11kx y x x y ，消去y ，得11+=+kx x x ，即(k ?1)x 2

+x ?1=0. 由题意知，该方程在(0，+∞)上有两个相异

的实根x 1、x 2，故k ≠1，且Δ=1+4(k ?1)>0…(1)，011

21>-=+k

x x …(2)， 011

21>-=k x x …(3)，

由此解得143<

1

1|1x y'x x -==，2211|2x y'x x -==，于是直线l 1的方

程为))(11(1211x x x y y --=-，即))(1

1()1(121

11x x x x x y --=+-，化简后得到直线l 1的方程为

1

212

)11(x x x y +-=…(4).

同理可求得直线l 2的方程为2

222

)11(x x x y +-=…(5).

(4)?(5)得022)11(212122=-+-x x x x x p ，因为x 1≠x 2，故有2

1212x x x

x x p +=…(6).

将(2)(3)两式代入(6)式得x p =2. (4)+(5)得)1

1(2))11(2(22

12221x x x x x y p p +++-=…(7)，

其中1112

12

121=+=+x x x x x x ，

12)1(212)(2)(112

122121222121221222122212221-=--=-+=-+=+=+k k x x x x x x x x x x x x x x x x x x ，代入(7)式得2y p =(3?2k )x p +2，而x p =2，得y p =4?2k . 又由143<

5

2<

线段（不含端点）.

四、焦点三角形

焦点三角形（椭圆或双曲线上的一点与两焦点所构成的三角形）问题常利用第一定义和正弦、余弦定理求解.

设椭圆或双曲线上的一点00(,)P x y 到两焦点12,F F 的距离分别为12,r r ，焦点12F PF ?的面积为

S . 则在椭圆12222=+b y a x 中， ①θ＝)12arccos(2

12

-r r b ，且当12r r =即P 为短轴端点时，θ最大为θ

max ＝

2

22arccos a

c b -；②2

0tan ||2S b c y θ==，当0||y b =即P 为短轴端点时，max S 的最大值为bc ； 对于双曲线22

221x y a b -=的焦点三角形有：①???

? ?

?-=21221arccos r r b θ；②2cot sin 212

21θθb r r S ==.

例7 如图，M （-2，0）和N （2，0）是平面上的两点，动点P 满足： 6.PM PN +=

(1) 求点P 的轨迹方程；(2) 若2

·

1cos PM PN MPN

-∠＝，求点P 的坐

标.

解：(1) 由椭圆的定义，点P 的轨迹是以M 、N 为焦点，长轴长2a =6的椭圆. 因此半焦距c =2，长半轴a =3，从而短半轴 b

所以

椭圆的方程为22

1.95

x y += (2) 由2

,1cos PM PN MPN

=

- 得cos 2.PM PN MPN PM PN =- ①

因为cos 1,MPN P ≠不为椭圆长轴顶点，故P 、M 、N 构成三角形. 在△PMN 中，

4,MN =由余弦定理有222

2cos .MN PM PN PM PN MPN =+-

②

将①代入②，得2

2

2

42(2).PM

PN PM PN =+--

故点P 在以M 、N

为焦点，实轴长为2

213

x y -=上. 由(Ⅰ)知，点P 的坐标又满足22195x y +=，所以由方程组2222

5945,3 3.x y x y ?+=??+=??

解得2

x y ?=????=±?? 即P

点坐标为.

例8 （2010江西）设椭圆1C ：22221(0)x y a b a b

+=>>，抛物线2C ：22

x by b +=.

设5(0,),)4A b Q b ，

又M N 、为1C 与2C 不在y 轴上的两个交点，若AMN ?的垂心为3

(0,)4

B b ，且Q M N ?的重心在2

C 上，求椭圆1C 和抛物线2C 的方程．

解：（1）因为抛物线2C 经过椭圆1C 的两个焦点12(,0),(,0)F c F c -，可得：

22c b =，由22222a b c c =+=得椭圆1C

的离心率e =

．

（2）由题设可知,M N 关于y 轴对称，设11111(,),(,),(0)M x y N x y x ->，

则由AMN ?的垂心为B ，有0BM AN ?= ，所以2

1113()()04

x y b y b -+--= ①

由于点11(,)N x y 在2C 上，故有2

211x by b += ② ②式代入①式并化简得：2211430y by b --=，解得14

b

y =-

或1y b =（舍去），

所以12

x b =

，故(,),(,)2424b b M N --，所以QMN ?

的重心为)4b ， 因为重心在2C 上得：2

234

b b +

=，所以2b =

，11(),)22M N --， 又因为,M N 在1C

上，所以2

2

21

()(214

a -+

=，得2163a =． 所以椭圆1C 的方程为：

22

11643

x y +=，抛物线2C 的方程为：224x y +=．

五、直线与圆锥曲线位置关系问题

(1) 判断直线l 与圆锥曲线C 的位置关系，可将直线l 的方程代入曲线C 的方程，消去y (也可以消去x )得到一个关于变量x 的一元方程ax 2＋bx ＋c =0，然后利用―Δ‖法； (2) 有关弦长问题，应用弦长公式及韦达定理，设而不求；

(3) 有关弦的中点问题，除了利用韦达定理外，要注意灵活运用―点差法‖，设而不求，简化运算； (4) 有关垂直关系问题，应注意运用斜率关系(或向量方法)及韦达定理，设而不求，整体处理；

(5) 有关圆锥曲线关于直线l 的对称问题中，若A ，A ′是对称点，则应抓住AA ′的中点在l 上及'1AA l k k ?=-这两个关键条件解决问题；

(6) 有关直线与圆锥曲线的位置关系中的存在性问题，一般采用―假设反证法‖或―假设验证法‖来解决.

例9 若直线ax +y +2=0平分双曲线

19

162

2=-y x 的斜率为1的弦，求a 的取值范围． 解：设双曲线的斜率为1的弦所在的直线为y =x +m ， 弦的两个端点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 其中点坐标为G (p ，q )

由???

??=-+=19162

2y x m x y ?16(x +m )2-9x 2+144=0?7x 2+32mx +16m 2+144=0

则716221m x x p -

=+=

，7

9m

m p q -=+=. 0)7(576)14416(74)32(222>-=+??-=?m m m ?7||>m .

直线ax +y +2=0平分双曲线的弦?该弦的中点在直线ax +y +2=0上， ∴0279716=+--

m a m ?16ma +9m =14?16

9

8716914-=-=m m m a 7||>m ?

87

878701,71171711<

<-?≠<<-?

m m 16

98716987-<<--

?a ，且087≠m ?169-≠a .

∴a 的取值范围是)16

972,169()169,16972(--?-+-．

例10 （2009年全国高中数学联赛题）设直线:l y kx m =+（其中k ，m 为整数)与椭圆

22

11612

x y +=交于不同的两点A 、B ，与双曲线

22

1412

x y -=交于不同两点C 、D ．问是否存在直线L ，使得向量0AC BD += ；若存在，指出这样的直线有多少条?若不存在，请说明理由．

解：直线l 的方程y kx m =+，代入

22

11612

x y +=，化简得 222(34)84480k x kmx m +++-=.

令A （11,y x ），B 22,(y x ），则1228,34km x x k

+=-+2221(8)4(34)(448)0(1)km k m ?=-+->---

直线l 的方程y kx m =+，代入

22

1412

x y -=，化简得 222(3)2120k x kmx m ----=.

令C （33,x y ），D 44(,)x y ，则3422,3km x x k

+=-2222(2)4(3)(12)0(2)km k m ?=-+-+>---

因为0AC BD +=

，所以4231()()0x x x x -+-=，此时4231()()0y y y y -+-=，由1234()()

x x x x +=+得2282343km km k k -=+-，所以2km=0或2241343k k -=+-，由上式解得k=o 或m=0，当k=0时：由(1)和(2)得

m -<而m 是整数．所以m 的值为―3，―2，―1，0，1，2，3. 当m=0，由(1)和(2)得k <因为k 是整数，所以k=―1．0，1. 于是满足条件的直线共有9条.

例11 （2013上海高考理科22题）如图，已知曲线2

21:12

x C y -=，曲线2:||||1C y x =+，

P 是平面上一点，若存在过点P 的直线与12,C C 都有公共点，则称P 为―C 1—C 2型点‖．

(1)在正确证明1C 的左焦点是―C 1—C 2型点‖时，要使用一条过该焦点的直线，试写出一条这样的直线的方程（不要求验证）；

(2)设直线y kx =与2C 有公共点，求证||1k >，进而证明原点不是―C 1—C 2型点‖； (3)求证：圆2

2

1

2

x y +=

内的点都不是―C 1—C 2型点‖． 【解答】：（1）C 1

的左焦点为(F ，过F

的直线x =与C 1

交于()2

±，与C 2

交于(1))

±+，故C 1的左焦点为―C 1-C 2型点‖

，且直线可以为x = （2）直线y kx =与C 2有交点，则(||1)||1||||1

y kx

k x y x =??-=?

=+?，若方程组有解，则必须||1k >；

直线y kx =与C 2有交点，则22

22

(12)222y kx k x x y =??-=?-=?

，若方程组有解，则必须212k < 故直线y kx =至多与曲线C 1和C 2中的一条有交点，即原点不是―C 1-C 2型点‖. （3）显然过圆2

2

1

2

x y +=

内一点的直线l 若与曲线C 1有交点，则斜率必存在； 根据对称性，不妨设直线l 斜率存在且与曲线C 2交于点(,1)(0)t t t +≥，则

:(1)()(1)0l y t k x t kx y t kt =+=-?-++-=

直线l 与圆2

2

12x y +=

2<221(1)(1)2t tk k +-<+. . . . . . . . . . . . ① 若直线l 与曲线C 1有交点，则222

22

1

1()2(1)(1)10212

y kx kt t k x k t kt x t kt x y =-++???-++-++-+=?-=?

? 2222221

4(1)4()[(1)1]0(1)2(1)2

k t kt k t kt t kt k ?=+---+-+≥?+-≥-

化简得，2

2

(1)2(1)t kt k +-≥-. . . . . ②

由①②得，2

2

2

212(1)(1)(1)12

k t tk k k -≤+-<

+?< 但此时，因为2

210,[1(1)]1,(1)12

t t k k ≥+-≥+<，即①式不成立；当212k =时，①式也不成立

综上，直线l 若与圆22

12

x y +=内有交点，则不可能同时与曲线C 1和C 2有交点，

即圆22

12

x y +=内的点都不是―C 1-C 2型点‖ ．

六、范围与最值问题

圆锥曲线的有关范围问题：设法得到不等式，通过解不等式求出范围，即：―求范围，找不等式‖. 或者表示

为另一个变量的函数，利用求函数的值域求出范围；

圆锥曲线的有关最值问题：圆锥曲线中的有关最值问题，常用代数法和几何法解决. (1) 若命题的条件和结论具有明显的几何意义，一般可用图形性质来解决. 利用圆锥曲线的定义，把到焦点的距离转化为到准线的距离；(2) 若命题的条件和结论体现明确的函数关系式，则可建立目标函数（通常利用二次函数，三角函数，均值不等式）求最值.

例12 P 是双曲线22x y 1916

－＝的右支上一点，M 、N 分别是圆（x ＋5）2＋y 2＝4和（x －5）2＋y 2

＝1上的点，

则|PM|－|PN|的最大值为

（ ）

A. 6

B.7

C.8

D.9

解：设双曲线的两个焦点分别是F 1（－5，0）与F 2（5，0），则这两点正好是两圆的圆心，当且仅当点P 与M 、F 1三点共线以及P 与N 、F 2三点共线时所求的值最大，此时|PM|－|PN|＝（|PF 1|－2）－（|PF 2|－1）＝10－1＝9故选B.

例13 抛物线2y x =-上的点到直线4380x y +-=距离的最小值是

（ ）

A ．

43 B ．75 C ．8

5

D ．3 解：（1）设抛物线2

y x =-上一点为(m ，－m 2

)，该点到直线4380x y +-=的距离为2|438|5

m m --，当m=2

3时，

取得最小值为4

3

，选A ；

例14 对于抛物线y 2=4x 上任意一点Q ，点P （a ，0）都满足|PQ |≥|a |，则a 的取值范围是

（ ）

A.（－∞，0）

B.（－∞，2]

C.［0，2］

D.（0，2）

解：设点Q 的坐标为（42

0y ，y 0），由 |PQ |≥|a |，得y 02

+（4

2

0y －a ）2≥a 2.整理，得：y 02（y 02+16－8a ）≥0，

∵y 02≥0，∴y 02+16－8a ≥0.即a ≤2+820y 恒成立.而2+8

2

0y

的最小值为2.∴a ≤2.选B.

点评：抛物线问题多考察一些距离、最值及范围问题.

例15 （10全国I /11）已知圆O 的半径为1，P A 、PB 为该圆的两条切线，A 、B 为两切点，那么PA PB ?

的最小

值为 （ ）

(A

) 4- (B

)3- (C

) 4-+ (D

)3-+【答案】D

【解一】（几何法） 如图：设P A =PB =x (x >0)，∠APO =α，则∠APB =2α，PO

sin α=

222cos2(12sin )PA PB x x αα?=?=?-

=22

2

(1)31x x ++

-+，

当且仅当21x ，PA PB ?

的最小值为3.

【解二】（解析法）建立直角坐标系，O 为原点，P 在x 轴上，设 A (x 0，y 0)，B (x 0，-y 0)，P (m ，0).

过点A 的圆O 的切线：x 0?x +y 0?y =1，P 在切线上：x 0?m =1

PA PB ? 22222000022

()2213m x y m m x x m m

=--=-?+-=+-(|m |>1).（下略）

例16 （09上海秋/14

）将函数2y （x ∈[0，6]）的图像绕坐标原点逆时针方向旋转角θ（0≤θ≤α），得到曲线C . 若对于每一个旋转角θ，曲线C 都是一个函数的图像，则α的最大值为_____.

【解一】由2y =得：（x -3）2+（y +2）2=13，[](06)x ∈，，它的图象是以（3，-2

.

设过原点且与曲线C 相切的直线为y =kx ，当θ=0时，k =1OC

k -

=

32，此时直线的倾斜角为β，即tan β=3

2

，当切线与y 轴重合时，曲线上的点满足函数的定义，即是一个函数的图象，再逆时针旋转时，曲线不再是一个函数的图象，旋转角为90°-β，则tan(90°-β)=

32，即θ=2

arctan 3

【解二】因为旋转的终级位置是圆弧与y 轴相切于原点，此时圆心在x 轴上，所以圆心转过的角的最大值为

2

arctan 3

.

例17 （09陕西/21）已知双曲线C 的方程为22

221(0,0),y x a b a b

-=>

>c a =

(1) 求双曲线C 的方程；

(2) 如图，P 是双曲线C 上一点，A ，B 两点在双曲线C 的两条渐近线上，且分

别位于第一，二象限. 若1

,[,2],3AP PB λλ=∈ 求△AOB 面积的取值范围.

【解】（法一）(1) 由题意知，双曲线C 的顶点(0,)a 到渐近

线0a x b y -=

ab c =

=即

由222

ab c c a b c a

?=???=+???=??

得21a b c ?=?=??

=? ∴双曲线C 的方程为22 1.4y x -=

(2) 由(1)知双曲线C 的两条渐近线方程为2.y x =±设(,2),(,2),0,0.A m m B n n m n ->>由AP PB λ=

得P 点的坐标

为2()(,),11m n m n λλλλ-+++将P 点坐标代入2214y x -=，化简得2(1).4mn λλ+=

设∠

AOB 14

2,tan(

)2,tan ,sin 2.225π

θθθθθ=-=∴=== 111||||sin 22() 1.22AOB S OA OB mn θλλ∴=

==++ 1

[,2]3

λ∈ 当且仅当1λ=时，△AOB 的面积取得最小值2；又89

),(2),34

S ==1S(3

当13λ=时，△AOB 的面积取得最大值83，∴△AOB 面积的取值范围是8

[2,].3

注：亦可用解析法求三角形的面积 直线AB 的方程：

222y m m n x m m n --=-+ ?x =0时，2242m n mn

y m m m n m n

-=-?=

++ 111

()2() 1.22AOB S y m n mn λλ∴=??+==++ （下略）

或者用行列式的方法求面积：112212 2 1

1

2 122

0 0 1

x x S x x x x =-=-?

例18 已知抛物线x y =2

上有一条长为l 的动弦AB ，求AB 的中点M 到y 轴的最短距离. 解：设中点M 的坐标为（x ，y ），利用对称性可设A(x+u ，y+v)，B(x-u ，y-v)，依题意有 ()()

()()()()()y v x u y v x u

u v +=+-=-+=????

?

??2222212223l ()()1222222++=得y v x 22(4)v x y ?=- (1)(2)42vy u -=得 2

222

44()(5)

u

v y x y y ∴==- 将（4）（5）代入（3）得： 442

2

2

2()()x y y x y -+-=l ∴-+=()()x y y 22

2414

l 此即M 点的方程

∴=++=+++-x y y y y 222

22

24

4114414

1

4l l

()()

令，则，于是t y t =≥∈+∞2141

4[)x f t =()=+-≥-t t ()()l l 41424142

2=-l 214，

当且仅当，即时取等号t t t ==()l

l

44

2

.

故当

，即时取等号成立l l 41

4

1∈+∞≥[)， ∴≥=

-当时l l 1214

x min 当时0414********

<<-=-+-l l l f t f t t

()()()[()()]=--()()t t 14142l

t t t ≥<<∴<

<≤1401041412，，l l ∴-≥->∴-≥t t

f t f 1

4

0140

1

4

02

l ()()

f t f t ()()≥=1414

，当且仅当时取等号 ∴==+-=

x f m i n ()()1414414

1442

2l l 综上可得x min

()()=-≥<

4

14

012

例19 （10浙江/21）已知m ＞1，直线2:02m l x my --=，椭圆2

22:1x C y m

+=，

12,F F 分别为椭圆C 的左、右焦点.

(1) 当直线l 过右焦点2F 时，求直线l 的方程；

(2) 设直线l 与椭圆C 交于A 、B 两点，12AF F V ，12BF F V 的重心分别为,G H .若原点O 在以线段GH 为直径的圆内，求实数m 的取值范围.

【解】（Ⅰ）因为直线:l 202m x my --=

经过2F

2

2

m =

，得22m =， 又因为1m >

，所以m =，故直线l

的方程为10x -=. （Ⅱ）设1122(,),(,)A x y B x y

由2

22221m x my x y m

?=+????+=??，消去x 得：22

2104m y my ++-=

则由22

2

8(1)804m m m ?=--=-+>，知28m <，且有212121,282

m m y y y y +=-?=-

由于12(,0),(,0)F c F c -，由重心坐标公式可知1122(,),(,)3333

x y x y G H .222

1212()()99x x y y GH --=+ 设M 是GH 的中点，则1212

(

,)66

x x y y M ++，由题意可知2MO GH < 即22

2212121212()()4[()()]6699

x x y y x x y y ++--+<+，即12120x x y y +< 而2212121212()()22m m x x y y my my y y +=+++22

1(1()82m m =+-），所以21082

m -<，即24m <

又因为1m >且0?>，所以12m <<，所以m 的取值范围是(1,2).

例20 （2010上海高考理科23题）已知椭圆Γ的方程为22

221(0)x y a b a b

+=>>，点P 的坐标为（b a ,-）.

（1）若直角坐标平面上的点M 、)0,(),,0(a B b A -满足)(2

1

PB PA PM +=

，求点M 的坐标； （2）设直线11:l y k x p =+交椭圆Γ于C 、D 两点，交直线22:l y k x =于点E .若2

122b k k a ?=-，证明：E 为

CD 的中点；

（3）对于椭圆Γ上的点)0()sin ,cos (πθθθ<

PP =+21，写出求作点1P

、2P 的步骤，并求出使1P 、2P 存在的θ的取值范围. 【解答】：（1）设点M 的坐标为(),y ,x 00由题意可知

),b 2,0(),b ,a (-=-=→

→AB AQ

().

2b ,2a ,23,2)(2100??

?

??-∴-=???

??-=+=

∴→

→

→

的坐标为点M b y x b a AB AQ AM (4)

（2） 由0b a p a px k a 2x )k a b (,

1b y a

x ,p x k y 22221222

12222221=-+++?????=++=得，

.k a b p b ,k a b p k a 21222212212???? ??++-∴中点坐标为CD (7)

.k a b k ,a b k k 1

22

22221-=∴-=?

由,k a b p b ,k a b p k a l l ,x k a b y ,p x k y 2

1222

212212211221???

?

??++-??

???-=+=的坐标为的交点与得E .l l 21的中点为的交点与CD E ∴ (10)

分的中点取第一步11;

2sin ,2cos :)3( ??

? ??+-b b a a R PQ θθ

两点。

、于的直线交作斜率为过点第二步21)

sin 1()

1(cos :P P a b R Γ+--

θθ 分

是平行四边形，有

的中点，则是）可知，由（132212121 →

→

→

=+PQ PP PP QP PP P P R ,4)1(cos 12cos 2sin ,2cos 2

222

1??

?

??

?--=Γ-=

??? ??+-θθθθb y a

a x

b b a a R P P 的方程，得带入椭圆将必须在椭圆内两点存在，则点点、要使

在椭圆内时，点当且仅当R b b ??

????--<+4)1(cos 14)1(sin 2222θθ

分

又亦即 分

即整理得18.

42

arcsin 40,

0,4

2

)4sin(16,

1cos 2sin 24)1(cos )sin 1(22 +<<∴<<<

-

<-<-++πθπθπ

θθθθθ

例21 （2014金山区一模23题）已知曲线)0>>(1=+:1b a b

y

a x C 所围成的封闭图形的面积为54，曲线

1C 的内切圆半径为

3

5

2. 记曲线2C 是以曲线1C 与坐标轴的交点为顶点的椭圆. 设AB 是过椭圆2C 中心的任意弦，l 是线段AB 的垂直平分线，M 是l 上异于椭圆中心的点. （1）求椭圆2C 的标准方程；

（2）若OA m MO =（O 为坐标原点），当点A 在椭圆2C 上运动时，求点M 的轨迹方程； （3）若M 是l 与椭圆2C 的交点，求ABM Δ的面积的最小值.

【解答】：(1)C1是以(–a，0)、(0，–b)、(a，0)、(0，b)为顶点的菱形，故，…2分又a>b>0，解得：a2=5，b2=4，因此所求的椭圆的标准方程为；……4分

(2)假设AB所在的直线斜率存在且不为零，设AB所在直线方程为y=kx(k≠0)，A(x A，y A)，

令，得，，|OA|2=，…………6分

设M(x，y)，由题意得：|MO|2=m2|OA|2，(m>0)，即：，

因为l是AB的垂直平分线，所以直线l的方程为，代入上式消去k得：

，又x2+y2≠0，整理得：(m>0)，……9分

当k=0或斜率不存在时，上式仍然成立，

综上所述，点M的轨迹方程为(m>0)…………………10分

(3) 当k存在且不为零时，由(2)得：，，|OA|2=，

由，得：，，|OM|2………13分

|AB |2=4|OA |2=

，故=………14分

≥==

，当且仅当4+5k 2=5+4k 2时，即k =±1时，等号成立，此

时△ABM 的面积的最小值为．…………………16分

当k =0时，==>，当k 不存在时，==>，综上所述，△ABM

的面积的最小值为．……………………………18分

例22 已知B A ,为椭圆)0(12222>>=+b a b

y a x 上两点，O 为原点，2π

=∠AOB .

(1) 试判断

2

2|

|1

||1OB OA +是否为定值？若是，求出此定值，若不是，说明理由. (2) 求OAB ?面积的最值. 解：(1)设θρcos =x ，θρsin =y ，代入椭圆方程得：

1sin cos 2222

22=+

b a

θ

ρθ

ρ 即 θ

θρ2

2222

22

sin cos a b b a += 设A 的极坐标为),(11θρ，则B 的极坐标为)2

,(12π

θρ+

.

∵B A ,在椭圆上，∴1

2

21222221

sin cos θθρa b b a += ， 122122222

2c o s s i n θθρa b b a += ∴=+=+22

21221

1||1||1ρρOB OA =+++2212212222122122cos sin sin cos b a a b b a a b θθθθ2222b a a b +为定值.

(2)1

2

2122

2

21221222221cos sin sin cos 2121θθθθρρa b b a a b b a S OAB

+?+==? 121244144222

2cos sin )()cos (sin 21θ

θθθb a b a b a +++?

= 1

2

2

22

2

2

2

21

212222222

22sin )(4cos sin )(21θθ

θb a b a b a b a b a b a -+=-+?=

∴当12sin 2

=θ，即42π

πθ+=k 时，OAB S ?有最小值2

2

22b a b a +； 当02sin 2=θ，即2πθk =时，OAB S ?有最大值2

ab .

例23 设椭圆中心在坐标原点，(20)(01)A B ，，，是它的两个顶点，直线)0(>=k kx y 与AB 相交于点D ，与椭圆相交于E 、F 两点．

（1）若6ED DF =

，求k 的值；（2）求四边形AEBF 面积的最大值．

（1）解：依题设得椭圆的方程为2

214

x y +=， 直线AB EF ，的方程分别为22x y +=，(0)y kx k =>． 如图，设001122()()()D x kx E x kx F x kx ，，，，，，其中12x x <，且12x x ，满足方程22(14)4k x +=

，故21x x =-=

．① ···············

由6ED DF = 知01206()x x x x -=-

，得021215(6)77x x x x =+==；

由D 在AB 上知0022x kx +=，得0212x k =

+

．所以212k =+， 化简得2

242560k k -+=，解得23k =

或38

k =． （2）解法一：根据点到直线的距离公式和①式知，点E F ，到AB 的距离分别

为

1h =

=

2h =

=

又AB =

=AEBF 的面积为

121()2S AB h h =

+12=

=

=

≤ 当21k =，即当1

2

k =

时，上式取等号．所以S

的最大值为 解法二：由题设，1BO =，2AO =．

设11y kx =，22y kx =，由①得20x >，210y y =->，故四边形AEBF 的面积为

BEF AEF S S S =+△△222x y =+

=

=

=