第七章 差分方程模型
第7章 差分方程模型
7.1 市场经济中的蛛网模型 7.3 差分形式的阻滞增长模型 7.4 按年龄分组的种群增长
§7.1 市场经济中的蛛网模型
例1 蛛网模型问题 [问题的提出] 蛛网模型现象
供大于求 -> 价格下降 -> 减少产量
↑ 数量与价格在振荡 ↓
增加产量 <- 价格上涨 <- 供不应求
提出的问题
1.描述商品数量与价格的变化规律
2.商品数量与价格的振荡在什么条件下趋向稳定
3.当不稳定时政府能采 取什么干预手段使之稳定
[模型分析与假设] 蛛网模型
设k x ~第k 时段商品数量；k y ~第k 时段商品价格
消费者的需求关系 → 需求函数 )(k k x f y = → 减函数 生产者的供应关系 → 供应函数 )(1k k y h x =+ → 增函数
↓
)(1+=k k x g y
f 与
g 的交点P0(x0,y0) ~ 平衡点 一旦xk=x0，则yk=y0
xk+1,xk+2,…=x0, yk+1,yk+2, …=y0
f
x
y
g x0 y0
P0
方程模型
在P0点附近用直线近似曲线
)(k k x f y =→)0()(00>--=-ααx x y y k k )(1k k y h x =+→)0()(001>-=-+ββy y x x k k )(001x x x x k k --=-+αβ )()(0101x x x x k k --=-+αβ
1<αβ )/1(βα< → 0x x k → P0稳定 g f K K <
1>αβ )/1(βα> → ∞→k x P0不稳定 g f K K > 方程模型与蛛网模型的一致
f
K =α
g
K =β/1
[模型的求解]
考察α ,β 的含义
xk~第k 时段商品数量；yk~第k 时段商品价格
)(00x x y y k k --=-α
α~ 商品数量减少1单位, 价格上涨幅度
)(001y y x x k k -=-+β
β~ 价格上涨1单位, (下时段)供应的增量
α~ 消费者对需求的敏感程度 α小, 有利于经济稳定 β~ 生产者对价格的敏感程度 β小, 有利于经济稳定
→ 1<αβ 经济稳定
经济不稳定时政府的干预办法
1. 使α尽量小，如α=0 → 需求曲线变为水平 → 以行政手段控制价格不变
2. 使β尽量小，如β =0 → 供应曲线变为竖直 → 靠经济实力控制数量不变
x y 0 y0 g f
x y 0 x0 g
f
[模型的推广]
生产者管理水平提高
)(1k k y h x =+
↓
生产者根据当前时段和前一时段的价格决定下一时段的产量。
?
?? ??+=-+211k k k y y h x 设供应函数为
]2/)[(0101y y y x x k k k -+=--+β 需求函数不变 )(00x x y y k k --=-α
→
,2,1,)1(22012=+=++++k x x x x k k k αβαβαβ
二阶线性常系数差分方程
若x0为平衡点 研究平衡点稳定，即∞→k , xk →x0的条件
012)1(22x x x x k k k αβαβαβ+=++++
方程通解 k
k k
c c x 2211λλ+= (c1, c2由初始条件确定)
2
,1λ~特征根，即方程 2*λ*λ+αβλ+αβ =0的根
平衡点稳定，即∞→k , xk →x0的条件: 1
2,1<λ 48)(22,1αβ
αβαβλ-±-=
→
22,1αβλ= 平衡点稳定条件2<αβ 比原来的条件1<αβ放宽了
7.3 差分形式的阻滞增长模型
连续形式的阻滞增长模型 (Logistic 模型)
x(t) ~某种群 t 时刻的数量(人口)
)1()(N x
rx t x
-=
∞→t , x →N, x=N 是稳定平衡点(与r 大小无关)
离散形式 yk ~某种群第k 代的数量(人口)
,2,1),1(1=-
=-+k N y ry y y k
k k k
若yk=N, 则yk+1,yk+2,…=N
y*=N 是平衡点
讨论平衡点的稳定性，即∞→k , yk →N ？ 离散形式阻滞增长模型的平衡点及其稳定性
)1()1(1N y ry y y k
k k k -=-+ →
?
?????+-+=+k k k y N r r y r y )1(1)1(1 ↓
变量代换
k
k y N r r
x )1(+=
)2()1(1k k k x bx x -=+
1+=r b 记 一阶(非线性)差分方程
(1)的平衡点y*=N <--> (2)的平衡点
b r r x 111*-=+=
讨论 x* 的稳定性 一阶非线性差分方程
)1()(1k k x f x =+的平衡点及稳定性
(1)的平衡点 x*——代数方程 x=f(x)的根
(1)的近似线性方程 )2())(()(***
1x x x f x f x k k -'+=+
稳定性判断 x*也是(2)的平衡点
1)(*<'x f x*是(2)和(1)的稳定平衡点 1
)(*>'x f x*是(2)和(1)的不稳定平衡点
)1(1k k k x bx x -=+的平衡点及其稳定性 1+=r b
平衡点 )1()(x bx x f x -== →
b x 1
1*-
= 另一平衡点为 x=0
稳定性
)21()(*
*x b x f -='b -=2 1
)(*<'x f <--> 31< x* 稳定 1)0(>='b f 不稳定
)
1)((3*>'>x f b <--> x* 不稳定
21)1(< → 2/1/11* <-=b x * x x k →（单调增） )1(1k k k x bx x -=+的平衡点及其稳定性 32)2(<-=b x 3)3(>b *x x k →（振荡地） * x x k →（不） K b=1.7 b=2.6 b=3.3 b=3.45 b=3.55 0 0.2000 0.2000 0.2000 0.2000 0.2000 1 0.2720 0.4160 0.5280 0.5520 0.5680 数值计算结果 )1(1k k k x bx x -=+ 初值 x0=0.2 b <3, x → b x 11*- = b=3.3, x →两个极限点 b=3.45, x →4个极限点 b=3.55, x →8个极限点 倍周期收敛——x*不稳定情况的进一步讨论 3.3=b *x x k →（不） * 212*12,x x x x k k →→+子序列 单周期不收敛 2倍周期收敛 )(1k k x f x =+ (*) )())(()()2(12k k k k x f x f f x f x ===++ ))((x f f x =)]1(1)[1(x bx x bx b ---?= )1()(x bx x f -= (*)的平衡点 b x 11* - = b b b b x 23212* 2,1--+= )(),(*1*2*2*1x f x x f x == 10* 2**1<<< x*不稳定，研究x1*, x2*的稳定性 倍周期收敛 b b b b x 23212* 2 ,1--+= 的稳定性 2 0.3366 0.6317 0.8224 0.8532 0.8711 3 0.3796 0.6049 0.4820 0.4322 0.3987 … … … … … … 93 0.4118 0.615 4 0.4794 0.4474 0.540 5 94 0.4118 0.6154 0.823 6 0.8530 0.881 7 95 0.411 8 0.6154 0.4794 0.4327 0.3703 96 0.4118 0.6154 0.8236 0.8469 0.8278 97 0.4118 0.6154 0.4794 0.4474 0.5060 98 0.4118 0.6154 0.8236 0.8530 0.8874 99 0.4118 0.6154 0.4794 0.4327 0.3548 100 0.4118 0.6154 0.8236 0.8469 0.8127 2 ) 2()]([])([x f x f '=' ) ()())(())((* 2*1)2()2(*2 *1 x f x f x f x f x x x x ''='='== )21()(x b x f -=' ) 21)(21())((* 2*12,)2(*2 *1 x x b x f x x x --='= 1 ))((* 2,1)2(<'x f → 449.361= +< b * 2 12*12,x x x x k k →→+ 倍周期收敛的进一步讨论 1 ))'((45.3* 2,1)2(>?>x f b → x1*, x2* (及x*)不稳定 出现4个收敛子序列 x4k, x4k+1, x4k+2, x4k+3 平衡点及其稳定性需研究 )() 4(4k k x f x =+ 1 ))'((45.3* 2,1)2(>?>x f b 544.3449.3< 2n 倍周期收敛, n=1,2,… bn~ 2n 倍周期收敛的上界 b0=3, b1=3.449, b2=3.544, … ∞→n , bn →3.57 b>3.57, 不存在任何收敛子序列 → 混沌现象 )1(1k k k x bx x -=+的收敛、分岔及混沌现象 7.4 按年龄分组的种群增长 不同年龄组的繁殖率和死亡率不同 以雌性个体数量为对象 x 1 * x 2* x * b=3. 4 y=f(2)(x) y =x x 0 b 建立差分方程模型，讨论稳定状况下种群的增长规律 [假设与建模] 种群按年龄大小等分为n 个年龄组，记i=1,2,… , n 时间离散为时段，长度与年龄组区间相等，记k=1,2,… 第i 年龄组1雌性个体在1时段内的繁殖率为bi 第i 年龄组在1时段内的死亡率为di, 存活率为si=1- di xi(k)~时段k 第i 年龄组的种群数量 ) ()1(1 1k x b k x i n i i ∑==+(设至少1个bi>0) ?? ??? ???????????????=--000000121121n n n s s s b b b b L ~Leslie 矩阵(L 矩阵) T n k x k x k x k x )](),(),([)(21 =~按年龄组的分布向量 )()1(k Lx k x =+ )0()(x L k x k = 预测任意时段种群按年龄组的分布 [数学知识的分析] L 矩阵存在正单特征根 1， n k k ,3,2,1=≤λλ 特征向量 T n n s s s s s s x ? ?????=--11121212111*,,,,1λλλ 若L 矩阵存在bi, bi+1>0, 则 n k k ,,3,2,1 =<λλ 且 * 1 ) (lim cx k x k k =∞ →λ, c 是由bi, si, x(0)决定的常数 解释 )0()(x L k x k = L 对角化 11)],([-=P diag P L n λλ 1 1)],([-=P diag P L k n k k λλ P 的第1列是x* → ) 0()0,0,1() (lim 11 x P Pdiag k x k k -∞ →= λ*cx = [模型的求解] 稳态分析——k 充分大种群按年龄组的分布 * 1 ) (lim cx k x k k =∞ →λ *)()1x c k x k λ≈ ~ 种群按年龄组的分布趋向稳定，x*称稳定分布, 与初始分布无关。 )()1()2k x k x λ≈+→)()1(k x k x i i λ≈+~ 各年龄组种群数量按同一倍数增减，λ称固有增 长率 3）λ=1时 * )()1(cx k x k x ≈≈+ []T n s s s s s s x 121211*,,,1-= ~ 各年龄组种群数量不 变 λ =1时 **x Lx = []T n s s s s s s x 121211* ,,,1-= ↓ ?? ??? ???????????????=--000000121121n n n s s s b b b b L → 1121121=+++-n n s s s b s b b ~ 1个个体在整个存活期 内的繁殖数量为1 ,)()4*x c k x k λ≈T n s s s s x ],,,,1[1211*-= → 1,,2,1),()(1-=≈+n i k x s k x i i i ~存活率 si 是同一时段的 xi+1与 xi 之比 （与si 的定义)()1(1k x s k x i i i =++ 比较） 差分方程模型 一. 引言 数学模型按照离散的方法和连续的方法，可以分为离散模型和连续模型。 1. 确定性连续模型 1) 微分法建模(静态优化模型)，如森林救火模型、血管分支模型、最优价格模型。 2) 微分方程建模(动态模型)，如传染病模型、人口控制与预测模型、经济增长模型。 3) 稳定性方法建模(平衡与稳定状态模型)，如军备竞赛模型、种群的互相竞争模型、种群的互相依存模型、种群弱肉强食模型。 4) 变分法建模（动态优化模型），如生产计划的制定模型、国民收入的增长模型、渔业资源的开发模型。 2. 确定性离散模型 1) 逻辑方法建模，如效益的合理分配模型、价格的指数模型。 2) 层次分析法建模，如旅游景点的选择模型、科研成果的综合评价模型。 3）图的方法建模，如循环比赛的名次模型、红绿灯的调节模型、化学制品的存放模型。 4）差分方程建模，如市场经济中的蛛网模型、交通网络控制模型、借贷模型、养老基金设置模型、人口的预测与控制模型、生物种群的数量模型。 随着科学技术的发展，人们将愈来愈多的遇到离散动态系统的问题，差分方程就是建立离散动态系统数学模型的有效方法。 在一般情况下，动态连续模型用微分方程方法建立，与此相适应，当时间变量离散化以后，可以用差分方程建立动态离散模型。有些实际问题既可以建立连续模型，又可建立离散模型，究竟采用那种模型应视建模的目的而定。例如，人口模型既可建立连续模型(其中有马尔萨斯模型Malthus、洛杰斯蒂克Logistic模型)，又可建立人口差分方程模型。这里讲讲差分方程在建立离散动态系统数学模型的的具体应用。 二. 差分方程简介 在实际中，许多问题所研究的变量都是离散的形式，所建立的数学模型也是离散的，譬如，像政治、经济和社会等领域中的实际问题。有些时候，即使所建立的数学模型是连续形式，例如像常见的微分方程模型、积分方程模型等。但是，往往都需要用计算机求数值解。这就需要将连续变量在一定的条件下进行离散化，从而将连续型模型转化为离散型模型。因此，最后都归结为求解离散形式的差分方程解的问题。关于差分方程理论和求解方法在数学建模和解决实际问题的过程中起着重要作用。 1. 差分方程的定义 给定一个数列{}n x , 把数列中的前1+n 项i x ),,2,1,0(n i Λ=关联起来得到的方程，则称这个方程为差分方程。 2. 常系数线性齐次差分方程 常系数线性齐次差分方程的一般形式为 02211=++++---k n k n n n x a x a x a x Λ， (1) 或者表示为 0),,,,(1=++k n n n x x x n F Λ (1’) 其中k 为差分方程的阶数，其中k a a a ,,,21Λ为差分方程的系数，且0≠k a )(n k ≤。 对应的代数方程 02211=++++--k k k k a a a Λλλλ (2) 称为差分方程(1)的对应的特征方程。(2)式中的k 个根k λλλ,,,21Λ称为(1)式的特征根。 2.1 差分方程的解 常系数线性齐次差分方程的解主要是由相应的特征根的不同情况有不同的形式。下面分别就特征根为单根、重根和复根的情况给出方程解的形式。 2.1.1 特征根为单根(互不相同的根) 设差分方程(1)有k 个单特征根(互不相同的根)k λλλ,,,21Λ，则 第7章 差分方程模型 7.1 市场经济中的蛛网模型 7.3 差分形式的阻滞增长模型 7.4 按年龄分组的种群增长 §7.1 市场经济中的蛛网模型 例1 蛛网模型问题 [问题的提出] 蛛网模型现象 供大于求 -> 价格下降 -> 减少产量 ↑ 数量与价格在振荡 ↓ 增加产量 <- 价格上涨 <- 供不应求 提出的问题 1.描述商品数量与价格的变化规律 2.商品数量与价格的振荡在什么条件下趋向稳定 3.当不稳定时政府能采 取什么干预手段使之稳定 [模型分析与假设] 蛛网模型 设 k x ~第k 时段商品数量； k y ~第k 时段商品价格 消费者的需求关系 → 需求函数 ) (k k x f y = → 减函数 生产者的供应关系 → 供应函数 ) (1k k y h x =+ → 增函数 ↓ ) (1+=k k x g y f 与 g 的交点P0(x0,y0) ~ 平衡点 一旦xk=x0，则yk=y0 xk+1,xk+2,…=x0, yk+1,yk+2, …=y0 y x0 y0 方程模型 在P0点附近用直线近似曲线 ) (k k x f y =→ ) 0()(00>--=-ααx x y y k k ) (1k k y h x =+→ ) 0()(001>-=-+ββy y x x k k )(001x x x x k k --=-+αβ )()(0101x x x x k k --=-+αβ 1<αβ )/1(βα< → 0x x k → P0稳定 g f K K < 1>αβ )/1(βα> → ∞→k x P0不稳定 g f K K > 方程模型与蛛网模型的一致 f K =α g K =β/1 [模型的求解] 考察α ,β 的含义 xk~第k 时段商品数量；yk~第k 时段商品价格 ) (00x x y y k k --=-α α~ 商品数量减少1单位, 价格上涨幅度 ) (001y y x x k k -=-+β β~ 价格上涨1单位, (下时段)供应的增量 α~ 消费者对需求的敏感程度 α小, 有利于经济稳定 β~ 生产者对价格的敏感程度 β小, 有利于经济稳定 → 1<αβ 经济稳定 经济不稳定时政府的干预办法 1. 使α尽量小，如α=0 → 需求曲线变为水平 → 以行政手段控制价格不变 2. 使β尽量小，如β =0 → 供应曲线变为竖直 → 靠经济实力控制数量不变 x y 0 y0 g f x y 0 x0 g f 分类号 学号密题 目 （中、英文） 作者姓名 指导教师 学科门类 提交论文日期专业名称 成绩评定 数学与应用数学 理 学 咸阳师范学院2016届本科毕业设计（论文） 摘要 微分方程是研究数学的一个重要分支，是本科期间我们必须掌握的基本知识，而本文我们研究的是一个递推关系式，也称差分方程。它是一种离散化的微分方程，是利用描述客观事物的数量关系的一种重要的数学思想来建立模型的。而利用差分方程建立模型解决问题的方法在生活中随处可见，比如在自由竞争市场经济中的蛛网模型是利用差分方程分析经济何时趋于稳定，又如金融问题中的养老保险也是利用差分方程来分析保险品种的实际投资价值。而差分方程模型是描述客观世界中随离散时间变量演化规律的有力建模工具。本文首先给出差分方程的定义以及求解过程并给出判断差分方程稳定性的判断方法，随后以同一环境下的羊群和草群的相互作用为模型分析其种群的数量变化过程，进而研究线性差分方程的稳定性，最后用一个实际模型来更好的说明差分方程的稳定性对解决实际问题有非常大的帮助。 关键字：差分方程；差分方程模型；平衡点；稳定性 差分方程模型的稳定性分析 Abstract Difference equation is also called recursive equation, it is to describe the relationship between the number of objective things of a kind of important mathematical model. And the use of the differential equation model of the solution can be found everywhere in life. Such as cobweb model in the free market economy is to use the difference equation analysis when the economic stability, and as the financial problem of pension insurance breed difference equation is used to analysis the actual investment value. This paper gives the judge the stability of difference equation to judge method, then in the same group of sheep and grass under the environment of interaction analysis for the model a process, the number of the population change, in turn, study the stability of the linear difference equation. In the end, one practical model to better explain the stability of difference equation. Key words:Difference equation;Difference equation model ; Balance point; Stability 1. 一老人60岁时将养老金10万元存入基金会，月利率0.4%， 他每月取1000元作为生活费，建立差分方程计算他每岁末尚有多少钱？多少岁时将基金用完？如果想用到80岁，问60岁时应存入多少钱？ 分析：(1) 假设k 个月后尚有 k A 元，每月取款b 元，月利率为 r ，根据题意，可每月取款， 根据题意，建立如下的差分方程： 1k k A aA b +=-，其中a = 1 + r (1) 每岁末尚有多少钱,即用差分方程给出 k A 的值。 (2) 多少岁时将基金用完，何时 0k A =由（1）可得： 01 k k k a A A a b r -=- 若0n A =，01 n n A ra b a =- (3) 若想用到 80 岁，即 n ＝(80-60)*12=240 时， 240 0A =，240 02401 A ra b a =- 利用 MATLAB 编程序分析计算该差分方程模型，源程序如下： clear all close all clc x0=100000;n=150;b=1000;r=0.004; k=(0:n)'; y1=dai(x0,n,r,b); round([k,y1']) function x=dai(x0,n,r,b) a=1+r; x=x0; for k=1:n x(k+1)=a*x(k)-b; end (2)用MA TLAB 计算： A0=250000*(1.004^240-1)/1.004^240 思考与深入： (2) 结论：128个月即70岁8个月时将基金用完 (3) A0 = 1.5409e+005 结论：若想用到80岁，60岁时应存入15.409万元。 2. 某人从银行贷款购房，若他今年初贷款10万元，月利率0.5%，他每月还1000元。建立差分方程计算他每年末欠银行多少钱，多少时间才能还清？如果要10年还清，每月需还多少？ 分析：记第k个月末他欠银行的钱为x（k），月利率为r，且a=1+r，b为每月还的钱。则第k+1个月末欠银行的钱为 x(k+1)=a*x(k)+b，a=1+r，b=-1000，k=0，1，2… 在r=0.005 及x0=100000 代入，用MA TLAB 计算得结果。 编写M 文件如下: function x=exf11(x0,n,r,b) a=1+r; x=x0; for k=1:n x(k+1)=a*x(k)+b; end MATLAB计算并作图: k=(1:140)'; y=exf11(100000,140,0.0005,-1000); 所以如果每月还1000元，则需要11年7个月还清。 如果要10年即n=120 还清，则模型为： r*x0*(1+r)^n/[1-(1+r)^n b=-r*x0*(1+r)^n/[1-(1+r)^n] 用MA TLAB 计算如下： >> x0=100000; >> r=0.005; >> n=120; >> b=-r*x0*(1+r)^n/[1-(1+r)^n] b= 1.1102e+003 所以如果要10年还清，则每年返还1110.2元。 3. 在某种环境下猫头鹰的主要食物是田鼠，设田鼠的年平均增长率为1r，猫头鹰的存在引起的田鼠增长率的减少与猫头鹰的数量成正比，比例系数为1a；猫头鹰的年平均减少率为 第七章 差分方程模型 教学目的：通过经济学中蛛网模型的实例讨论，介绍一类动态离散模型------差分方程模型的 建模方法. 教学要求：1 让学生学会运用差分思想建立数学模型的基本方法，进一步熟悉数学建模的基 本过程. 2使学生掌握运用解析方法或数学软件求解差分方程模型. 3帮助学生运用差分方程的平衡点及其稳定性有关理论来分析实际问题. 教学重点：1蛛网模型的图形描述，并通过建立差分方程模型对其进行理论解释. 2运用差分思想建立数学模型和求出模型解析表达式或数值解. 教学难点：1差分方程在稳定点附近有关稳定条件的实际意义. 2差分方程在稳定点附近有关稳定条件的推广. 离散状态转移模型涉及的范围很广，可以用到各种不同的数学工具.下面我们对差分方程作一简单的介绍. §7.1 差分方程 1.1 差分方程简介 规定t 只取非负整数.记t y 为变量y 在t 点的取值，则称t t t y y y -=?+1为t y 的一阶向前差分，简称差分，称t t t t t t t y y y y y y y +-=?-?=??=?+++1212 2)(为t y 的二阶差分.类似地， 可以定义t y 的n 阶差分t n y ?. 由t y t 、及t y 的差分给出的方程称为t y 的差分方程，其中含t y 的最高阶差分的阶数称为该差分方程的阶.差分方程也可以写成不显含差分的形式.例如，二阶差分方程 02=+?+?t t t y y y 也可改写成012=+-++t t t y y y . 满足一差分方程的序列t y 称为差分方程的解.类似于微分方程情况，若解中含有的独立常数的个数等于差分方程的阶数时，称此解为该差分方程的通解.若解中不含任意常数，则称此 解为满足某些初值条件的特解. 称如下形式的差分方程 )(110t b y a y a y a t n t n t n =+++-++ （1） 为n 阶常系数线性差分方程，其中n a a a ,,,10 是常数，00≠a .其对应的齐次方程为 0110=+++-++t n t n t n y a y a y a （2） 容易证明，若序列) 1(t y 与) 2(t y 均为（2）的解，则) 2(2) 1(1t t t y c y c y +=也是方程（2）的解，其 中21,c c 为任意常数.若)1(t y 是方程（2）的解，) 2(t y 是方程（1）的解，则)2()1(t t t y y y +=也是 差分方程模型的理论和方法 第一节 差分 一、 基本概念 1、差分算子 设数列{}n x ，定义差分算子n n n x x x -=??+1:为n x 在n 处的向 前差分。 而1--=?n n n x x x 为n x 在n 处的向后差分。 以后我们都是指向前差分。 可见n x ?是n 的函数。从而可以进一步定义n x ?的差分： n n x x 2)(?=?? 称之为在n 处的二阶差分，它反映的是的增量的增量。 类似可定义在n 处的k 阶差分为： ))((1n k n k x x -??=? 2、差分算子 、不变算子、平移算子 记n n n n x Ix x Ex ==+,1，称E 为平移算子，I 为不变算子 。 则有：n n n n x I E Ix Ex x )(-=-=? I E -=?∴ 由上述关系可得： i n k i i k i k n i k i i k i k n k n k x C x E C x I E x +=-=-∑∑-=-=-=?00)1()1()( （1） 这表明n x 在n 处的k 阶差分由n x 在k n n n ++....1,，处的取值所线性决定。 反之， 由 n n n x x x -=?+1 得 n n n x x x ?+=+1： n n n n x x x x +-=?++1222，得：n n n n x x x x 2122?++-=++, 这个关系表明：第n+2项可以用前两项以及相邻三项增量的增量来表现和计算。即一个数列的任意一项都可以用其前面的k 项和包括这项在内的k+1 项增量的增量的增量……..第k 层增量所构成。 …….. ,)1(1 0k n i n k i i k i k n k x x C x ++-=-+-=?∑得： n k i n k i i k i k k n x x C x ?+--=+-=-+∑1 0)1( （2） 差分方程模型 数学建模讲座 一、关于差分方程模型简单的例子 1. 血流中地高辛的衰减 地高辛用于心脏病。考虑地高辛在血流中的衰减问题以开出能使地高辛保持在可接受(安全而有效)的水平上的剂量处方。假定开了每日0.1毫克的剂量处方，且知道在每个剂量周期(每日)末还剩留一半地高辛，则可建立模型如下： 设某病人第n 天后血流中地高辛剩余量为n a ， 则 1.05.01+=+n n a a (一阶非齐次线性差分方程) n n n n a a a a 5.01?=?=?+ 2. 养老金问题 对现有存款付给利息且允许每月有固定数额的提款， 直到提尽为止。月利息为1℅，月提款额为1000元，则可建模型如下： 设第n 月的存款额为n a ，则 100001.11?=+n n a a (一阶非齐次线性差分方程) 3. 兔子问题（Fibonacci 数） 设第一月初有雌雄各一的一对小兔，假定两月后长成成兔，同时(即第三个月)开始,每月初产雌雄各一的一对小兔， 新增小兔也按此规律繁殖，设第n 月末共有n F 对兔子，则建模如下： ==+=??12 12 1F F F F F n n n (二阶线性差分方程初值问题) 342 3214 3 21221 1 F F F F F F F F F F ≠+=+ 注意上月新生的小兔不产兔 (因第n 月末的兔子包括两部分, 一部分上月留下的为1?n F ， 另一部分为当月新生的，而新生的小兔数=前月末的兔数) 4．车出租问题 A ， B 两地均为旅游城市，游客可在一个城市租车而在另一个城市还车。 A ， B 两汽车公司需考虑置放足够的车辆满足用车需要，以便估算成本。分析历史记录数据得出： n x ： 第n 天营业结束时A 公司的车辆数 n y ：第n 天营业结束时B 公司的车辆数 则 +=+=++n n n n n n y x y y x x 7.04.03.06.01 1 (一阶线性差分方程组) (问题模型可进一步推广) 差分方程模型的理论和方法 引言 1、差分方程：差分方程反映的是关于离散变量的取值与变化规律。通过建立一个或几个离散变量取值所满足的平衡关系，从而建立差分方程。 差分方程就是针对要解决的目标，引入系统或过程中的离散变量，根据实际背景的规律、性质、平衡关系，建立离散变量所满足的平衡关系等式，从而建立差分方程。通过求出和分析方程的解，或者分析得到方程解的特别性质（平衡性、稳定性、渐近性、振动性、周期性等），从而把握这个离散变量的变化过程的规律，进一步再结合其他分析，得到原问题的解。 2、应用：差分方程模型有着广泛的应用。实际上，连续变量可以用离散变量来近似和逼近，从而微分方程模型就可以近似于某个差分方程模型。差分方程模型有着非常广泛的实际背景。在经济金融保险领域、生物种群的数量结构规律分析、疾病和病虫害的控制与防治、遗传规律的研究等许许多多的方面都有着非常重要的作用。可以这样讲，只要牵涉到关于变量的规律、性质，就可以适当地用差分方程模型来表现与分析求解。 3、差分方程建模：在实际建立差分方程模型时，往往要将变化过程进行划分，划分成若干时段，根据要解决问题的目标，对每个时段引入相应的变量或向量，然后通过适当假设，根据事物系统的实际变化规律和数量相互关系，建立每两个相邻时段或几个相邻时段或者相隔某几个时段的量之间的变化规律和运算关系（即用相应设定的变量进行四则运算或基本初等函数运算或取最运算等）等式（可以多个并且应当充分全面反映所有可能的关系），从而建立起差分方程。或者对事物系统进行划分，划分成若干子系统，在每个子系统中引入恰当的变量或向量，然后分析建立起子过程间的这种量的关系等式，从而建立起差分方程。在这里，过程时段或子系统的划分方式是非常非常重要的，应当结合已有的信息和分析条件，从多种可选方式中挑选易 第七章线性差分方程模型的辨识 根据对过程的初步分析，可以是先提出一个结构已定的参数模型来描述过程的动态特性，而模型中有一些参数需要通过辨识来加以确定，像这样的辨识问题称为参数估计问题，最小二乘法是很常用的估计方法。 线性差分方程模型的最小二乘估计 首先讨论一种较简单的情况，即无噪声或噪声较小的情况，这样可以应用一般最小二乘估计模型参数，但是对于噪声较大的情况，采用一般最小二乘法估计通常是有偏差的，需要应用更加复杂的算法，如广义最小二乘法。 辨识问题的提法 设被辨识的动态系统，可用如下n阶常系数线性差分方程描述： y(k) + a^y(Jc—1) + ?? - a n y(k— n) = bju(k) + biu(k— 1) ---------- 卜b n u(k— n) 系统方程也写成如下算子形式： A(q_1)y(k) = B(q_1)u(k), 其中， = 14- fliQ-1 + a2q~2+ …+ 如厂"，B(q_1) = 14- bq_1 + ①厂？H ------------- F bq~n, 辨识问题的提法，已知： (1)由方程描述的系统都是稳定的。 (2)系统的阶是n阶。 (3)输入输出观测数据{u (k) },{y(k)}(k“,2,...,N+n), 要求根据上述己知条件来估计差分方程的参数： a】, b](i = 1,2, ???N + n), 参数最小二乘估计的慕本思根是，选择 b x(i = 1,2, ...N + n), 使得系统方程尽可能好的与观测数据拟合，考虑到模型误差测最误差，模型方程改为： A(q")y(k) = B(q_1)u(k) + e(k), 其中，e(約称为模型残差，乂称方程误差。 现在的问题就是决定A(q"), B(g")的系数，是e2最小 最小二乘估计 将下式 A(q_1)y(k) = B(q_1)u(k) + e(k\ 改成以下形式 第九章 差分方程模型的理论和方法 引言 1、差分方程： 差分方程反映的是关于离散变量的取值与变化规律。通过建立一个或几个离散变量取值所满足的平衡关系，从而建立差分方程。 差分方程就是针对要解决的目标，引入系统或过程中的离散变量，根据实际背景的规律、性质、平衡关系，建立离散变量所满足的平衡关系等式，从而建立差分方程。通过求出和分析方程的解，或者分析得到方程解的 特别性质（平衡性、稳定性、渐近性、振动性、周期性等），从而把握这个离散变量的变化过程的规律，进一步再结合其他分析，得到原问题的解。 2、应用：差分方程模型有着广泛的应用。实际上，连续变量可以用离散变量来近似和逼近，从而微分方程模型就可以近似于某个差分方程模型。差分方程模型有着非常广泛的实际背景。在经济金融保险领域、生物种群的数量结构规律分析、疾病和病虫害的控制与防治、遗传规律的研究等许许多多的方面都有着非常重要的作用。可以这样讲，只要牵涉到关于变量的规律、性质，就可以适当地用差分方程模型来表现与分析求解。 3、差分方程建模： 在实际建立差分方程模型时，往往要将变化过程进行划分，划分成若干时段，根据要解决问题的目标，对每个时段引入相应的变量或向量，然后通过适当假设，根据事物系统的实际变化规律和数量相互关系，建立每两个相邻时段或几个相邻时段或者相隔某几个时段的量之间的变化规律和运算关系（即用相应设定的变量进行四则运算或基本初等函数运算或取最运算等）等式（可以多个并且应当充分全面反映所有可能的关系），从而 建立起差分方程。或者对事物系统进行划分，划分成若干子系统，在每个子系统中引入恰当的变量或向量，然后分析建立起子过程间的这种量的关系等式，从而建立起差分方程。在这里，过程时段或子系统的划分方式是非常非常重要的，应当结合已有的信息和分析条件，从多种可选方式中挑选易于分析、针对性强的划分，同时，对划分后的时段或子过程，引入哪些变量或向量都是至关重要的，要仔细分析、选择，尽量扩大对过程或系统的数量感知范围，包括对已有的、已知的若干量进行结合运算、取最运算等处理方式，目的是建立起简洁、深刻、易于求解分析的差分方程。在后面我们所举的实际例子中，这方面的内容应当重点体会。 差分方程模型作为一种重要的数学模型，对它的应用也应当遵从一般的数学建模的理论与方法原则。同时注意与其它数学模型方法结合起来使用，因为一方面建立差分方程模型所用的数量、等式关系的建立都需要其他的数学分析方式来进行；另一方面，由差分方程获得的结果有可以进一步进行优化分析、满意度分析、分类分析、相关分析等等。 第一节 差分方程的基本知识 一、 基本概念 1、 差分算子 设数列{}n x ，定义差分算子n n n x x x -=??+1:为n x 在n 处的向前差分。 而1--=?n n n x x x 为n x 在n 处的向后差分。 以后我们都是指向前差分。 可见n x ?是n 的函数。从而可以进一步定义n x ?的差分： n n x x 2)(?=?? 称之为在n 处的二阶差分，它反映的是的增量的增量。 类似可定义在n 处的k 阶差分为： 第七章 差分方程模型 差分方程是解决离散时间问题的常用的数学方法，本章介绍几个用差分方程建立的实际问题的数学模型。 7.1个人住房抵押贷款 随着经济的发展,金融问题正越来越多地进入普通市民的生活，贷款、保险、养老金和信用卡等都涉及金融问题，个人住房抵押贷款是其中最重要的一项。1998年12月,中国人民银行公布了新的存、贷款利率水平,其中贷款利率如表7.1所列: 表7.1 中国人民银行贷款利率表 贷款期限 半年 一年 三年 五年 五年以上 利率﹪ 6.12 6.39 6.66 7.20 7.56 当贷款期处于表中所列相邻年限之间时利率为对应相邻两数中较大者。其后,上海商业银行对个人住房商业性贷款利率做出相应调整。表7.2和表7.3分别列出了上海市个人住房商业抵押贷款年利率和商业抵押贷款(万元)还款额的部分数据(仅列出了五年)。 表7.2 上海市商业银行住房抵押贷款利率表 贷款期限 一年 二年 三年 四年 五年 利率﹪ 6.12 6.255 6.390 6.525 6.660 表7.3 上海市商业银行住房抵押贷款分期付款表（元） 贷款期限 一年 二年 三年 四年 五年 月还款 一次还清 本息总和 10612.0 444.36 10664.54 305.99 11015.63 237.26 11388.71 196.41 11784.71 一个自然的问题是,表7.2和表7.3是如何依据中央人民银行公布的存、贷款利率水平制定的？ 我们以商业贷款10000元为例,一年期贷款的年利率为6.12﹪,到期一次还本付息总计10612.00元,这很容易理解。然而二年期贷款的年利率为6.255﹪,月还款数444.36元为本息和的二十四分之一,这后两个数字究竟是怎样产生的？是根据本息总额算出月还款额，还是恰好相反？让我们稍微仔细一些来进行分析。由于贷款是逐月归还的,就有必要考察每个月欠款余额的情况。 设贷款后第k 个月时欠款余额为k A 元，月还款m 元,则由k A 变化到1k A +,除了还款额外,还有什么因素呢？无疑就是利息。但时间仅过了一个月,当然应该是月利率,设为r ,从而得到 1k k k A A rA m +-=- 1. 一老人 60 岁时将养老金 10 万元存入基金会，月利率 0.4%， 他每月取 1000 元作为生活 费，建立差分方程计算他每岁末尚有多少钱？多少岁时将基金用完？如果想用到 80 岁，问 60 岁时应存入多少钱？ 分析： (1) 假设 k 个月后尚有 A k 元，每月取款 b 元，月利率为 r ，根据题意，可每月取款， 根据题意，建立如下的差分方程： A k 1 aA k b ，其中 a = 1 + r 每岁末尚有多少钱 ,即用差分方程给出 A k 的值。 (2) 多少岁时将基金用完，何时 A k 0 由（ 1）可得： A A a k b a k 1 k 0 r n 若 A n 0 ， b A 0 ra n a1 (3) 若想用到 80 岁，即 n ＝ (80-60)*12=240 时， A 240 0 ， b A 0 ra 240 (1) 240 利用 MATLAB 编程序分析计算该差分方程模型，源程序如下： clear all close all clc x0=100000;n=150;b=1000;r=0.004; k=(0:n)'; y1=dai(x0,n,r,b); round([k,y1']) function x=dai(x0,n,r,b) a=1+r; x=x0; for k=1:n x(k+1)=a*x(k)-b; end (2) 用 MATLAB 计算： A0=250000*(1.004^240-1)/1.004^240 a 1 思考与深入： (2)结论： 128 个月即 70 岁 8 个月时将基金用完 (3)A0 = 1.5409e+005 结论：若想用到80 岁， 60 岁时应存入15.409 万元。 2.某人从银行贷款购房，若他今年初贷款10 万元，月利率 0.5%，他每月还 1000 元。建立 10 年还清，每月需还多差分方程计算他每年末欠银行多少钱，多少时间才能还清？如果要 少？ 分析：记第k 个月末他欠银行的钱为 x（ k），月利率为r，且a=1+r，b 为每月还的钱。则第k+1 个月末欠银行的钱为 x(k+1)=a*x(k)+b，a=1+r，b=-1000，k=0，1，2? 在r=0.005 及 x0=100000 代入，用 MATLAB 计算得结果。 编写M文件如下: function x=exf11(x0,n,r,b) a=1+r; x=x0; for k=1:n x(k+1)=a*x(k)+b; end MATLAB 计算并作图 : k=(1:140)'; y=exf11(100000,140,0.0005,-1000); 所以如果每月还1000 元，则需要11 年 7 个月还清。 如果要 10 年即 n=120 还清，则模型为： r*x0*(1+r)^n/[1-(1+r)^n b=-r*x0*(1+r)^n/[1-(1+r)^n] 用MATLAB 计算如下： >>x0=100000; >>r=0.005; >>n=120; >>b=-r*x0*(1+r)^n/[1-(1+r)^n] b= 1.1102e+003 所以如果要10 年还清，则每年返还1110.2 元。 3. 在某种环境下猫头鹰的主要食物是田鼠，设田鼠的年平均增长率为r1，猫头鹰的存在引起的田鼠增长率的减少与猫头鹰的数量成正比，比例系数为a1；猫头鹰的年平均减少率为 第7章 差分方程模型 在第三章中我们看到，动态连续模型用微分方程方法建立，与此相应，当时间变化离散后，可以用差分方程方法建立。有些实际问题既可建立连续模型，又可建立离散模型。本章将主要讨论差分方程模型。 7.1市场经济中的蛛网模型 在自由贸易市场上你注意过这样的现象吗：一个时期以来某种消费品如肉的上市量远大于需求，由于销售不畅导致价格下跌，生产者发现养猪赔钱，于是转而经营其他农副业。这一段时间猪肉上市量就会大减，供不应求将导致价格上涨。生产者看到有利可图，有重操旧业。这样在下一个时期会重现供大于求、价格下降的局面、在这种没有外界干预的情况下，这种现象将如此循环下去。 在完全自由竞争的市场经济中上述现象通常是不可避免的，因为商品的价格是由消费者的需求关系决定的，商品数量越多价格越底，而下一时期商品的数量有生产者的需求关系决定的，商品的价格越低生产的数量越少，这样的需求和供应关系决定了市场经济中商品的价格和数量必然是振荡的。在现实世界里这样的振荡会出现不同的形式，有的振荡渐小趋向平稳，有的则振幅越来越大，没有外界如政府的干预，将导致经济崩溃。 本节先用图形方法建立所谓“蛛网模型”，对上述现象进行分析，给出市场经济区域稳定的条件，再利用差分方程建模，对结果进行解释，并讨论当市场经济不稳定时政府可以采取什么样的干预措施，最后对上述模型做适当推广。 蛛网模型 记第k 时段商品的数量为k x ，价格为k y ，1,2,3,k = 这里我们把时间离散化为时段，1个时段相当于商品的1个生产周期，如蔬菜、水果是一个种植周期，肉类是牲畜的饲养周期。 同一时段商品的价格k y 取决于数量k x ，设 ()k k y f x = (1) 它反映消费者对这种商品的需求关系，称需求函数，因为商品的数量越多价格越低，所以在图1中用一条下降曲线f 表示它，f 称需求曲线。 下一时段商品的数量1k x +由上一时段价格k y 决定，设 1()k k x h y +=,或1()k k y g x += (2) 这里g 是h 的反函数，反映生产者的供应关系，称供应函数，因为价格越高生产量越大，所以在图中供应曲线g 是一条上升的曲线。 图中两条曲线相较于00,0()p x y 点。0p 点是平衡点，其意义是，一旦在某一时段k 有k x =0x ，则有（1），（2）可知k y =0y ，1k x +=0x ，1k y +=0y ，……，即k 以后各时段商品的数量和价格将永远保持在00,0()p x y 点，但是实际生活中的种种干扰使得数量和价格不可能停止在0p 点，不妨设1x 偏离0x （如图7-1），我们分析随着k 的增加k x ，k y 的变化。 数学建模相关资料一、常用书籍与网站 ?（一）、常用书籍： ?1,姜启源，数学模型（第三版），北京：高等教育出版社， ?2,谢金星，薛毅编着，优化建模与LINDO/LINGO软件，北京：清华大学出版社 ?3,《运筹学》教材编写组，运筹学（修订版），北京：清华大学出版社 ?4,韩中庚，数学建模方法及其应用，北京：高等教育出版社 ?（二）、常用网站 ?1,高教杯数学建模竞赛官网 ?2,国防科大 ?3,数学中国论坛 ?4,chxue.cui《长虹雪苑》之数学建模天地 ?5,百度：西南交大数学建模精品课程（我校四川省数学建模精品课程网站） 二、常用模型 ?（一）、评价模型： ?AHP(层次分析法)、模糊评价、聚类分析、因子分析、主成份分析、回归分析、神经网络、多指标综合评价、熵值法等 ?（二）、预测模型： ?指数平滑法、灰色预测法、回归模型、神经网络预测、时间序列模型、马尔科夫预测、差分微分方程?（三）、统计模型： ?方差分析、均值比较的假设检验 ?（四）、方程模型： ?常微分方程、差分方程、偏微分方程、以及各种方程的求解（数值解和解析解） ?（五）运筹优化类： ?线性规划、非线性规划、目标规划、整数规划、图论模型（最短路、最大流、遍历问题等）、排队论、对策论、以及各种模型的算法 ?(六)其他模型： ?随机模拟模型、等 三、十大算法 1、蒙特卡罗算法（该算法又称随机性模拟算法，是通过计算机仿真来解决问题的算法，同时可以通过模拟可以来检验自己模型的正确性，是比赛时必用的方法） 2、数据拟合、参数估计、插值等数据处理算法（比赛中通常会遇到大量的数据需要处理，而处理数据的关键就在于这些算法，通常使用Matlab作为工具） 3、线性规划、整数规划、多元规划、二次规划等规划类问题（建模竞赛大多数问题属于最优化问题，很多时候这些问题可以用数学规划算法来描述，通常使用Lindo、Lingo软件实现） 4、图论算法（这类算法可以分为很多种，包括最短路、网络流、二分图等算法，涉及到图论的问题可以用这些方法解决，需要认真准备） 5、动态规划、回溯搜索、分治算法、分支定界等计算机算法（这些算法是算法设计中比较常用的方法，很多场合可以用到竞赛中） 6、最优化理论的三大非经典算法：模拟退火法、神经网络、遗传算法（这些问题是用来解决一些较困难的最优化问题的算法，对于有些问题非常有帮助，但是算法的实现比较困难，需慎重使用） 7、网格算法和穷举法（网格算法和穷举法都是暴力搜索最优点的算法，在很多竞赛题中有应用， 当重点讨论模型本身而轻视算法的时候，可以使用这种暴力方案，最好使用一些高级语言作为编程工具） 8、一些连续离散化方法（很多问题都是实际来的，数据可以是连续的，而计算机只认的是离散的数据，因此将其离散化后进行差分代替微分、求和代替积分等思想是非常重要的） 9、数值分析算法（如果在比赛中采用高级语言进行编程的话，那一些数值分析中常用的算法比如方程组求解、矩阵运算、函数积分等算法就需要额外编写库函数进行调用） 10、图象处理算法（赛题中有一类问题与图形有关，即使与图形无关，论文中也应该要不乏图片的，这些图形如何展示以及如何处理就是需要解决的问题，通常使用Matlab进行处理） 第三章 差分方程模型 §1、 差分方程 设有未知序列{}k y ，称 0),,,;(1=++n k k k y y y k F （1） 为n 阶差分方程。 若有)(k y y k =，满足 0))(,),1(),(;(=++n k y k y k y k F 则称)(k y y k =是差分方程（1）的解，包含n 个任意常数的解称为（1）的通解， 当110,,,-n y y y 为已知时，称其为（1）的初始条件，通解中的任意常数都由初始条件确定后的解称为（1）的特解。 [例1] 设第一月初有雌雄各一的一对小兔，假定两月后长成成兔，同时即第三月开始每月初产雌雄各一的一对小兔，新增小兔也按此规律繁殖。设第k 月末共有k y 对兔子，试建立关于k y 的差分方程。 [解] 因为第2+k 月末的兔子包括两部分，一部分为上月留下的，另一部分为当月新生的，而由题设当月生的小兔数等于前月末的兔数，所以有 ?? ?==+=++1,010 1 2y y y y y k k k 这是著名的裴波那契数列。 [例2] 汉诺塔问题 将k 个大小不同的圆盘依其半径大小依次套在桩A 上，大的在下，小的在上。现将此 k 个盘移到空桩B 或C 上，但要求一次只能移动一个盘且移动过程中，始终保持大盘在下，小盘在上，移动过程中桩A 也可利用。设移动k 个盘的次数为k y ，试建立k y 的差分方程。 [解] 先将桩A 上的k 个大小不同的圆盘按题设要求移到C 上，这需要移动k y 次，再将A 上的最大盘移到B 上，这需要移动一次，最后将C 上的k 个盘按要求移到B 上，这又需要移动k y 次。 所以，差分方程为? ??=+=+01 201y y y k k 差分方程模型的理论和方法 1、差分方程：差分方程反映的是关于离散变量的取值与变化规律。通过建立一个或几个离散变量取值所满足的平衡关系，从而建立差分方程。 差分方程就是针对要解决的目标，引入系统或过程中的离散变量，根据实际背景的规律、性质、平衡关系，建立离散变量所满足的平衡关系等式，从而建立差分方程。通过求出和分析方程的解，或者分析得到方程解的特别性质（平衡性、稳定性、渐近性、振动性、周期性等），从而把握这个离散变量的变化过程的规律，进一步再结合其他分析，得到原问题的解。 2、应用：差分方程模型有着广泛的应用。实际上，连续变量可以用离散变量来近似和逼近，从而微分方程模型就可以近似于某个差分方程模型。差分方程模型有着非常广泛的实际背景。在经济金融保险领域、生物种群的数量结构规律分析、疾病和病虫害的控制与防治、遗传规律的研究等许许多多的方面都有着非常重要的作用。可以这样讲，只要牵涉到关于变量的规律、性质，就可以适当地用差分方程模型来表现与分析求解。 3、差分方程建模：在实际建立差分方程模型时，往往要将变化过程进行划分，划分成若干时段，根据要解决问题的目标，对每个时 段引入相应的变量或向量，然后通过适当假设，根据事物系统的实际变化规律和数量相互关系，建立每两个相邻时段或几个相邻时段或者相隔某几个时段的量之间的变化规律和运算关系（即用相应设定的变量进行四则运算或基本初等函数运算或取最运算等）等式（可以多个并且应当充分全面反映所有可能的关系），从而建立起差分方程。或者对事物系统进行划分，划分成若干子系统，在每个子系统中引入恰当的变量或向量，然后分析建立起子过程间的这种量的关系等式，从而建立起差分方程。在这里，过程时段或子系统的划分方式是非常非常重要的，应当结合已有的信息和分析条件，从多种可选方式中挑选易于分析、针对性强的划分，同时，对划分后的时段或子过程，引入哪些变量或向量都是至关重要的，要仔细分析、选择，尽量扩大对过程或系统的数量感知范围，包括对已有的、已知的若干量进行结合运算、取最运算等处理方式，目的是建立起简洁、深刻、易于求解分析的差分方程。在后面我们所举的实际例子中，这方面的内容应当重点体会。 差分方程模型作为一种重要的数学模型，对它的应用也应当遵从一般的数学建模的理论与方法原则。同时注意与其它数学模型方法结合起来使用，因为一方面建立差分方程模型所用的数量、等式关系的建立都需要其他的数学分析方式来进行；另一方面，由差分方程获得的结果有可以进一步进行优化分析、满意度分析、分类分析、相关分析等等。 -192- 第十六章 差分方程模型 离散状态转移模型涉及的范围很广，可以用到各种不同的数学工具。下面我们对差分方程作一简单的介绍，下一章我们将介绍马氏链模型。 §1 差分方程 1.1 差分方程简介 规定t 只取非负整数。记t y 为变量y 在t 点的取值，则称t t t y y y ?=Δ+1为t y 的一阶向前差分，简称差分，称t t t t t t t y y y y y y y +?=Δ?Δ=ΔΔ=Δ+++1212 2)(为t y 的二阶差分。类似地，可以定义t y 的n 阶差分t n y Δ。 由t y t 、及t y 的差分给出的方程称为t y 的差分方程，其中含t y 的最高阶差分的阶数称为该差分方程的阶。差分方程也可以写成不显含差分的形式。例如，二阶差分方程 02=+Δ+Δt t t y y y 也可改写成012=+?++t t t y y y 。 满足一差分方程的序列t y 称为差分方程的解。类似于微分方程情况，若解中含有 的独立常数的个数等于差分方程的阶数时，称此解为该差分方程的通解。若解中不含任意常数，则称此解为满足某些初值条件的特解。 称如下形式的差分方程 )(110t b y a y a y a t n t n t n =+++?++L （1） 为n 阶常系数线性差分方程，其中n a a a ,,,10L 是常数，00≠a 。其对应的齐次方程为 0110=+++?++t n t n t n y a y a y a L （2） 容易证明，若序列) 1(t y 与) 2(t y 均为（2）的解，则)2(2) 1(1t t t y c y c y +=也是方程（2）的 解，其中21,c c 为任意常数。若) 1(t y 是方程（2）的解，) 2(t y 是方程（1）的解，则 )2()1(t t t y y y +=也是方程（1）的解。 方程（1）可用如下的代数方法求其通解： （I ）先求解对应的特征方程 001 10=+++?a a a n n L λ λ （3） （II ）根据特征根的不同情况，求齐次方程（2）的通解。 （i ）若特征方程（3）有n 个互不相同的实根n λλ,,1L ，则齐次方程（2）的通解为 t n n t c c λλ++L 11 （n c c ,,1L 为任意常数） （ii ）若λ是特征方程（3）的k 重根，通解中对应于λ的项为t k k t c c λ)(1 1?++L ， ),,1(k i c i L =为任意常数。 （iii ）若特征方程（3）有单重复根 i βαλ±=，通解中对应它们的项为 t c t c t t ?ρ?ρsin cos 21+，其中22βαρ+=为λ的模，α β ?arctg =为λ的幅角。 （iv ）若i βαλ±=是特征方程（3）的k 重复根，则通解对应于它们的项为 t t c c t t c c t k k k t k k ?ρ?ρsin )(cos )(12111?+?+++++L L(完整版)差分方程模型(讲义)
第七章差分方程模型概论
差分方程模型的稳定性分析分析解析
差分方程模型习题+答案
第七章 差分方程模型
差分方程模型的理论和方法
差分方程模型
差分方程模型理论与方法
第七章线性差分方程模型的辨识
差分方程模型的理论和方法
差分方程模型应用
差分方程模型习题+答案
差分方程模型
数学建模常用算法和模型全集
第三章_差分方程模型
差分方程附其建模举例
算法大全第16章_差分方程模型