高等数学下册试题及答案解析
高等数学（下册）试卷（一）
一、填空题（每小题3分，共计24分）
1、 z =)0()(log 2
2>+a y x a 的定义域为D= 。
2、二重积分
??
≤++1
||||22)ln(y x dxdy y x 的符号为 。 3、由曲线x y ln =及直线1+=+e y x ，1=y 所围图形的面积用二重积分表示
为 ，其值为 。 4、设曲线L 的参数方程表示为),()
()
(βαψ?≤≤??
?==x t y t x 则弧长元素=ds 。
5、设曲面∑为92
2
=+y x 介于0=z 及3=z 间的部分的外侧，则
=++??
∑
ds y x )122
（ 。
6、微分方程x
y
x y dx dy tan +=的通解为 。 7、方程04)
4(=-y y
的通解为 。
8、级数
∑∞
=+1)
1(1
n n n 的和为 。 二、选择题（每小题2分，共计16分）
1、二元函数),(y x f z =在),(00y x 处可微的充分条件是（ ） （A ）),(y x f 在),(00y x 处连续；
（B ）),(y x f x '，),(y x f y '在),(00y x 的某邻域内存在；
（C ） y y x f x y x f z y x ?'-?'-?),(),(0000当0)()(2
2→?+?y x 时，是无穷小；
（D ）0)
()(),(),(lim
2
2
00000
=?+??'-?'-?→?→?y x y
y x f x y x f z y x y x 。
2、设),()(x y xf y x yf u +=其中f 具有二阶连续导数，则2222y
u
y x u x ??+??等于（ ）
（A ）y x +； （B ）x ； (C)y ； (D)0 。 3、设Ω：,0,12
2
2
≥≤++z z y x 则三重积分???Ω
=
zdV I 等于（ ）
（A ）4
?
??20
20
1
3cos sin π
π
???θdr r d d ；
（B ）
???20
1
2sin π
π??θdr r d d ；
（C ）?
??ππ
???θ20
20
1
3cos sin dr r d d ；
（D ）
?
??ππ???θ200
1
3cos sin dr r d d 。
4、球面2
2
2
2
4a z y x =++与柱面ax y x 22
2
=+所围成的立体体积V=（ ）
（A ）?
?-20
cos 20
2244
π
θθa dr r a d ；
（B ）?
?-20
cos 20
2244
π
θθa dr r a r d ；
（C ）?
?
-20
cos 20
2248
π
θθa dr r a r d ；
（D ）
?
?
-
-2
2
cos 20
224π
πθθa dr r a r d 。
5、设有界闭区域D 由分段光滑曲线L 所围成，L 取正向，函数),(),,(y x Q y x P 在D 上具有一阶连续偏导数，则
?=+L
Qdy Pdx )(
（A ）
????-??D
dxdy x Q y P )(
； （B ）????-??D dxdy x P y Q )(； （C ）
????-??D
dxdy y Q x P )(
； （D ）????-??D
dxdy y P x Q )(。 6、下列说法中错误的是（ ）
（A ） 方程022
=+''+'''y x y y x 是三阶微分方程； （B ） 方程x y dx
dy
x dx dy y
sin =+是一阶微分方程； （C ） 方程0)3()2(2
2
2
3
2
=+++dy y x y dx xy x 是全微分方程； （D ） 方程
x
y x dx dy 221=+是伯努利方程。 7、已知曲线)(x y y =经过原点，且在原点处的切线与直线062=++y x 平行，而)(x y 满足微分方程052=+'-''y y y ，则曲线的方程为=y （ ）
（A ）x e x
2sin -； （B ）)2cos 2(sin x x e x
-； （C ）)2sin 2(cos x x e x
-； （D ）x e x
2sin 。
8、设0lim =∞
→n n nu , 则
∑∞
=1
n n
u
（ ）
（A ）收敛； （B ）发散； （C ）不一定； （D ）绝对收敛。 三、求解下列问题（共计15分）
1、（7分）设g f ,均为连续可微函数。)(),,(xy x g v xy x f u +==，求
y
u x u ????,。 2、（8分）设?
+-=
t x t
x dz z f t x u )(),(，求
t
u
x u ????,。
四、求解下列问题（共计15分）。
1、计算=I ?
?-20
2
2
x
y dy e dx 。
（7分）
2、计算???
Ω
+=
dV y x I )(2
2，其中Ω是由x 21,222===+z z z y 及所围成的空间闭区域（8分）。
五、（13分）计算?
+
+-=
L y
x ydx
xdy I 2
2，其中L 是xoy 面上的任一条无重点且分段光滑不经过原点)0,0(O 的封闭曲线的逆时针方向。
六、（9分）设对任意)(,,x f y x 满足方程)
()(1)
()()(y f x f y f x f y x f -+=
+，且)0(f '存在，求
)(x f 。
七、（8分）求级数∑∞
=++--1
1
212)2()1(n n n
n x 的收敛区间。
高等数学（下册）试卷（二）
一、填空题（每小题3分，共计24分）
1、设z y x z y x 32)32sin(2-+=-+，则
=??+??y
z x z 。 2、=+-→→xy
xy
y x 93lim
0 。
3、设?
?
=
20
2),(x x
dy y x f dx I ，交换积分次序后，=I 。
4、设)(u f 为可微函数，且,0)0(=f 则??
≤+→=++
2
22)(1
lim 223
t y x t d y x f t σπ 。
5、设L 为取正向的圆周42
2
=+y x ，则曲线积分
?
=-++L
x x dy x ye dx ye y )2()1( 。
6、设→
→
→
+++++=k xy z j xz y i yz x )()()(2
2
2
，则=div 。 7、通解为x
x
e c e c y 221-+=的微分方程是 。
8、设??
?<<<≤--=π
πx x x f 0,
10,1)(，则它的Fourier 展开式中的=n a 。
二、选择题（每小题2分，共计16分）。
1、设函数??
???=+≠++=0
,00,),(22224
22
y x y x y
x xy y x f ,则在点（0，0）处（ ）
（A ）连续且偏导数存在； （B ）连续但偏导数不存在； （C ）不连续但偏导数存在； （D ）不连续且偏导数不存在。 2、设),(y x u 在平面有界区域D 上具有二阶连续偏导数，且满足
02≠???y x u
及 +??22x u 022=??y
u ，
则（ ）
（A ）最大值点和最小值点必定都在D 的内部； （B ）最大值点和最小值点必定都在D 的边界上；
（C ）最大值点在D 的内部，最小值点在D 的边界上； （D ）最小值点在D 的内部，最大值点在D 的边界上。 3、设平面区域D ：1)1()2(2
2
≤-+-y x ，若??+=
D
d y x I σ21)(，??+=D
d y x I σ3
2)(
则有（ ）
（A ）21I I <； （B ） 21I I =； （C ）21I I >； （D ）不能比较。 4、设Ω是由曲面1,,===x x y xy z 及0=z 所围成的空间区域，则
???Ω
dxdydz z xy
32
=（ ） （A ）
3611； （B ）3621； （C ）3631 ； （D ）364
1
。 5、设),(y x f 在曲线弧L 上有定义且连续，L 的参数方程为??
?==)
()
(t y t x ψ? )(βα≤≤t ，
其中)(),(t t ψ?在],[βα上具有一阶连续导数，且0)()(2
2
≠'+'t t ψ?， 则曲线积分
?
=L
ds y x f ),(（ ）
(A) ?β
α
ψ?dt t t f ))(),((； (B)
?'+'α
β
ψ?ψ?dt t t t t f )()())(),((22 ；
(C)
?'+'β
αψ?ψ?dt t t t t f )()())(),((22； (D)?αβ
ψ?dt t t f ))(),((。
6、设∑是取外侧的单位球面12
2
2
=++z y x ， 则曲面积分
??∑
++zdxdy ydzdx xdydz =（ ）
(A) 0 ； (B) π2 ； (C)π ； (D)π4。
7、下列方程中，设21,y y 是它的解，可以推知21y y +也是它的解的方程是（ ） (A) 0)()(=++'x q y x p y ； (B) 0)()(=+'+''y x q y x p y ； (C) )()()(x f y x q y x p y =+'+''； (D) 0)()(=+'+''x q y x p y 。
8、设级数
∑∞
=1
n n
a
为一交错级数，则（ ）
(A)该级数必收敛； (B)该级数必发散；
(C)该级数可能收敛也可能发散； (D)若)0(0→→n a n ，则必收敛。
三、求解下列问题（共计15分） 1、（8分）求函数)ln(22z y x u ++
=在点A （0，1，0）沿A 指向点B （3，-2，2）
的方向的方向导数。
2、（7分）求函数)4(),(2
y x y x y x f --=在由直线0,0,6===+x y y x 所围成的闭
区域D 上的最大值和最小值。
四、求解下列问题（共计15分） 1、（7分）计算???Ω
+++=
3)1(z y x dv
I ，其中Ω是由0,0,0===z y x 及1=++z y x 所围成的立体域。
2、（8分）设)(x f 为连续函数，定义???Ω++=
dv y x f z
t F )]([)(222
，
其中{
}2
2
2,0|),,(t y x h z z y x ≤+≤≤=Ω，求dt
dF 。
五、求解下列问题（15分） 1、（8分）求?
-+-=
L
x x dy m y e dx my y e I )cos ()sin (，其中L 是从A （a ，0）经
2x ax y -=到O （0，0）的弧。
2、（7分）计算??
∑
++=
dxdy z dzdx y dydz x I 2
22，其中∑是)0(222a z z y x ≤≤=+ 的外侧。
六、（15分）设函数)(x ?具有连续的二阶导数，并使曲线积分
?
'++-'L
x dy x ydx xe x x )(])(2)(3[2???与路径无关，求函数)(x ?。
高等数学（下册）试卷（三） 一、填空题（每小题3分，共计24分）
1、设?
=
yz xz
t dt e u 2
， 则
=??z
u
。 2、函数)2sin(),(y x xy y x f ++=在点（0，0）处沿)2,1(=的方向导数
)
0,0(l
f ??= 。
3、设Ω为曲面0,12
2
=--=z y x z 所围成的立体，如果将三重积分
???Ω
=dv z y x f I ),,(化为先对z 再对y 最后对x 三次积分，则I= 。
4、设),(y x f 为连续函数，则=I ??=+
→D
t d y x f t σπ),(1lim 2
，其中
222:t y x D ≤+。
5、
?
=+L
ds y x )(22 ，其中222:a y x L =+。
6、设Ω是一空间有界区域，其边界曲面Ω?是由有限块分片光滑的曲面所组成，如果
函数),,(z y x P ，),,(z y x Q ，),,(z y x R 在Ω上具有一阶连续偏导数，则三重积分与第二型曲面积分之间有关系式： ， 该关系式称为 公式。
7、微分方程96962
+-=+'-''x x y y y 的特解可设为=*
y 。
8、若级数∑∞
=--1
1
)1(n p
n n 发散，则p 。 二、选择题（每小题2分，共计16分）
1、设),(b a f x '存在，则x
b x a f b a x f x )
,(),(lim 0--+→=（ ）
（A ）),(b a f x '；（B ）0；（C ）2),(b a f x '；（D ）2
1
),(b a f x '。 2、设2
y x
z =，结论正确的是（ ）
（A ）022>???-???x y z y x z ； （B ）022=???-???x y z y x z ；
（C ）022
y z y x z 。
3、若),(y x f 为关于x 的奇函数，积分域D 关于y 轴对称，对称部分记为21,D D ，)
,(y x f
在D 上连续，则??=D
d y x f σ),(（ ）
（A ）0；（B ）2
??1
),(D d y x f σ；
（C ）4??1
),(D d y x f σ； (D)2??2
),(D d y x f σ。 4、设Ω：2
2
2
2
R z y x ≤++，则
???Ω
+dxdydz y x
)(22
=（ ）
（A ）5
3
8
R π； （B ）5
3
4R π； （C ）
5158R π； （D ）515
16
R π。 5、设在xoy 面内有一分布着质量的曲线L ，在点),(y x 处的线密度为),(y x ρ，则曲线
弧Ｌ的重心的x 坐标x 为（ ） （Ａ）x =
?L
ds y x x M
),(1ρ； （B ）x =
?L dx y x x M ),(1
ρ； （C ）x =?L ds y x x ),(ρ； （D ）x =?L
xds M 1
, 其中M 为曲线弧Ｌ的质量。
６、设∑为柱面12
2
=+y x 和1,0,0===z y x 在第一卦限所围成部分的外侧，则
曲面积分
??∑
++ydxdz x xzdydz zdxdy y 22＝（ ） （A ）0； （B ）4π-
； （C ）245π； （D ）4
π
。 ７、方程)(2x f y y ='-''的特解可设为（ ）
（A ）A ，若1)(=x f ； （B ）x
Ae ，若x
e x
f =)(；
（C ）E Dx Cx Bx Ax ++++2
34，若x x x f 2)(2
-=；
（D ）)5cos 5sin (x B x A x +，若x x f 5sin )(=。
８、设???≤<<≤--=π
πx x x f 01
0,1)(，则它的Fourier 展开式中的n a 等于（ ）
（A ）
])1(1[2n n --π； （B ）0； （C ）π
n 1； （D ）
πn 4
。 三、（１２分）设t t x f y ),
,(=为由方程 0),,(=t y x F 确定的y x ,的函数，其中F f ,具有一阶连续偏导数，求dx dy
。
四、（８分）在椭圆442
2=+y x 上求一点，使其到直线0632=-+y x 的距离最短。
五、（８分）求圆柱面y y x 22
2
=+被锥面22y x z +=和平面0=z 割下部分的面积Ａ。
六、（１２分）计算??∑
=
xyzdxdy I ，其中∑为球面 12
22=++z y x 的0,0≥≥y x 部分 的外侧。
七、（10分）设x x d x df 2sin 1)
(cos )
(cos +=，求)(x f 。
八、（10分）将函数)1ln()(3
2
x x x x f +++=展开成x 的幂级数。
高等数学（下册）试卷（四）
一、填空题（每小题3分，共计24分）
1、由方程2222=+++
z y x xyz 所确定的隐函数),(y x z z =在点（1，0，-1）处
的全微分=dz 。
2、椭球面6322
2
2
=++z y x 在点（1，1，1 ）处的切平面方程是 。 3、设D 是由曲线2,2
+==x y x y 所围成，则二重积分??=+=
D
dxdy x I )1(2
。 4、设Ω是由4,0,42
2
===+z z y x 所围成的立体域，则三重积分
???Ω
+=dv y x I )(22= 。
5、设∑是曲面22y x z +=
介于1,0==z z 之间的部分，则曲面积分
??∑
=+=ds y x I )(22 。
6、
??
??=++=++=022
222z y x a z y x ds x 。
7、已知曲线)(x y y =上点M(0,4)处的切线垂直于直线052=+-y x ，且)(x y 满足微分方程02=+'+''y y y ，则此曲线的方程是 。 8、设)(x f 是周期T=π2的函数，则)(x f 的Fourier 系数为 。 二、选择题（每小题2分，共计16分）
1、函数xy x
y
z +=arcsin
的定义域是（ ） （A ）{}0,|),(≠≤x y x y x ； （B ）{}
0,|),(≠≥x y x y x ； （C ）{}
0,0|),(≠≥≥x y x y x {}0,0|),(≠≤≤x y x y x Y ； （D ）{}{}0,0|),(0,0|),(<<>>y x y x y x y x Y 。
2、已知曲面2
2
4y x z --=在点P 处的切平面平行于平面0122=-++z y x ，则点P 的坐标是（ ） （A ）（1，-1，2）； （B ）（-1，1，2）；（C ）（1，1，2）； （D ）（-1，-1，2）。 3、若积分域D 是由曲线2
x y =及2
2x y -=所围成，则??D
d y x f σ),(=（ ）
（A ）
?
?
--22
211
),(x x dy y x f dx ； （B ）
?
?
--22
211
),(x x dy y x f dx ；
（C ）
?
?
-y y
dx y x f dy 210
),(； （D ）??
--1
12),(22
dx y x f dy x x 。
4、设;0,:2
2
22
1≥≤++Ωz R z y x 0,0,0,:2
2
2
2
2≥≥≥≤++Ωz y x R z y x ， 则有（ ） （A ）??????ΩΩ=1
24xdv xdv ；
（B ）
??????ΩΩ=1
2
4ydv ydv ；
（C ）
??????ΩΩ=1
2
4xyzdv xyzdv ； （D ）??????ΩΩ=1
2
4zdv zdv 。
5、设∑为由曲面22y x z +=
及平面1=z 所围成的立体的表面，则曲面积分
??∑
+ds y x
)(22
=（ ）
（A ）
π221+； （B ）2
π
； （C ）π22； （D ）0 。 ６、设∑是球面2
2
2
2
a z y x =++表面外侧，则曲面积分
??∑
++dxdy z dzdx y dydz x 3
33＝（ ） （A ）
3512a π； （B ）5512a π； （C ）554a π； （D ）55
12
a π-。 ７、一曲线过点(e,1)，且在此曲线上任一点),(y x M 的法线斜率x
y x x
x k ln ln +-
=，则
此曲线方程为（ ）
（A ）)ln(ln x x e x y +=； （B ）x x e
x
y ln +=； （C ）)ln(ln x x ex y +=； （D ）)ln(ln x e
x
y +=。
８、幂级数
∑∞
=+1
)1(n n
x
n 的收敛区间为（ ）
（A ）（-1，1）； （B ）),(+∞-∞； （C ）（-1，1）； （D ）[-1，1]。
三、（１０分）已知函数)()(x
y xg y x
yf u +=，其中g f ,具有二阶连续导数，求
y x u
y x
u x ???+??222的值。
四、（１０分）证明：曲面)0(3
>=c c xyz 上任意点处的切平面与三坐标面所围成立体的
体积为一定值。
五、（１４分）求抛物面2
2
4y x z ++=的切平面π，使得π与该抛物面间并介于柱面
1)1(22=+-y x 内部的部分的体积为最小。
六、（１０分）计算?
-++=
L
x x dy x y e dx y y e I )cos ()sin (，其中Ｌ为2
4x y --=由Ａ（２，０）至Ｂ（－２，０）的那一弧段。
七、（８分）求解微分方程212
y y
y '-+''=0 。
八、（８分）求幂级数∑∞
=1n n
n
x 的和函数)(x S 。
高等数学（下册）试卷（五）
一、填空题（每小题3分，共计24分）
1、设),(y x f z =是由方程0=+----x
y z xe
x y z 所确定的二元函数，则
=dz 。
２、曲线?
??=-+-=-++045320
3222z y x x z y x 在点（１，１，１）处的切线方程是 。
３、设Ω是由12
2
2
≤++z y x ，则三重积分
???Ω
dv e z
＝ 。
４、设)(x f 为连续函数，m a ,是常数且0>a ，将二次积分
?
??-a y
x a m dx x f e dy 0
)()(
化为定积分为 。 ５、曲线积分
?
+)
(AB L Qdy Pdx 与积分路径)(AB L 无关的充要条件为 。
６、设∑为222y x a z --=
，则??∑
=++ds z y x )(222 。
７、方程x
e
y y 23=+'的通解为 。
８、设级数
∑∞
=1
n n
a
收敛，
∑∞
=1
n n
b
发散，则级数
∑∞
=+1
)(n n n
b a
必是 。
二、选择题（每小题2分，共计16分）
１、设??
???=≠+=)
0,0(),(,0)0,0(),(,),(2
22y x y x y
x y
x y x f ，在点（０，０）处，
下列结论（ ）成立。
（Ａ）有极限，且极限不为0； （Ｂ）不连续； （Ｃ）0)0,0()0,0(='='y x f f ； （Ｄ）可微。
２、设函数),(y x f z =有22
2=??y
f
，且1)0,(=x f ，x x f y =')0,(，则),(y x f =（ ） （Ａ）2
1y xy +-； （Ｂ）2
1y xy ++； （Ｃ）2
2
1y y x +-； （Ｄ）2
2
1y y x ++。
３、设Ｄ：4122
≤+≤y x ，f 在D 上连续，则
??
+D
d y x f σ)(22在极坐标系中等
于（ ） （Ａ）dr r rf ?
2
1
)(2π
； （Ｂ）dr r rf ?2
1
2)(2π；
（Ｃ）??
-10
220
2])()([
2dr r f r dr r f r π； （Ｄ）??-1
220
2])()([2dr r rf dr r rf π。
４、设Ω是由0,0,0===z y x 及12=++z y x 所围成，则三重积分
???Ω
=)(
),,(dv z y x xf
（Ａ） ?
?
?
---y x y dy z y x xf dz dx 210
210
10
),,(；
（Ｂ）
?
??
--y
x dz z y x xf dy dx 210
10
10),,(；
（Ｃ）
?
?
?
---y x x dz z y x xf dy dx 210
210
10
),,(；
（Ｄ）
???
10
1
10
),,(dz z y x xf dy dx 。
５、设∑是由1,11,0,0,0======z y x z y x 所围立体表面的外侧，则曲面积分
??∑
=++)(
zdxdy ydzdx xdydz
（Ａ）0； （Ｂ）1； （Ｃ）3； （Ｄ）2。 ６、以下四结论正确的是（ ）
（Ａ）
???≤++=++2
2225
22234)(a z y x a dv z y x π； （Ｂ）
()
;44222
2
222a ds z y x
a z y x π=++??=++
（Ｃ）
??
=++=++外侧
222
2
42224)(a z y x a dxdy z y x π；
（Ｄ） 以上三结论均错误。
７、设)(x g 具有一阶连续导数，1)0(=g 。并设曲线积分
?
-L
dy x g xdx x yg )(tan )(
与积分路径无关，则
?
=-)
4,4()
0,0()()(tan )(π
πdy x g xdx x yg
（Ａ）
π22； （Ｂ）π22-； （Ｃ）π82； （Ｄ）π8
2-。 ８、级数∑∞
=---1
1
1
2)1(n n n 的和等于（ ） （Ａ）2/3；（Ｂ）1/3； （Ｃ）1； （Ｄ）3/2。
三、求解下列问题（共计１５分）
１、（８分）设,z
y x u =求y u x u ????,z
u ??。
２、（７分）设),(z
y y x f u =，f 具有连续偏导数，求du 。
四、求解下列问题（共计１５分）
１、（８分）计算??++=D
d y f x f y bf x af I σ)()()
()(，其中222:R y x D ≤+。
２、（７分）计算???Ω
+++=
dv z y x I )1(，其中2222
:R z y x
≤++Ω。
五、（１５分）确定常数λ，使得在右半平面0>x 上，
?
+-+L
dy y x x dx y x xy λλ)()(224224与积分路径无关，并求其一个原函数),(y x u 。
六、（８分）将函数3
)1(1)(x x
x f -+=展开为x 的幂级数。
七、（７分）求解方程096=+'-''y y y 。
高等数学（下册）试卷（六）
一、单选题（共15分，每小题3分）
1．设函数(,)f x y 在00(,)P x y 的两个偏导00(,)x f x y ，00(,)y f x y 都存在，则 ( )
A ．(,)f x y 在P 连续
B ．(,)f x y 在P 可微
C ． 0
0lim (,)x x f x y →及 0
0lim (,)y y f x y →都存在 D ．
00(,)(,)
lim (,)x y x y f x y →存在
2．若x
y
z ln =，则dz 等于（ ）．
ln ln ln ln .x x y y y y
A x y +
ln ln .x y y B x ln ln ln .ln x x
y y C y
ydx dy x + ln ln ln ln .x x y y y x
D dx dy x y
+
3．设Ω是圆柱面2
2
2x y x +=及平面01,z z ==所围成的区域，则(),,(=???Ω
dxdydz z y x f ）
． 21
2
cos .(cos ,sin ,)A d dr f r r z dz
π
θ
θθθ?
?
?
21
2
cos .(cos ,sin ,)B d rdr f r r z dz π
θ
θθθ?
?
?
21
2
02
cos .(cos ,sin ,)C d rdr f r r z dz
π
θ
πθθθ-??
?
21
cos .(cos ,sin ,)x
D d rdr f r r z dz πθθθ??
?
4． 4．若
1
(1)
n
n n a x ∞
=-∑在1x =-处收敛，则此级数在2x =处（ ）．
A ． 条件收敛
B ． 绝对收敛
C ． 发散
D ． 敛散性不能确定
5．曲线22
2
x y z z x y
-+=??
=+?在点（1，1，2）处的一个切线方向向量为（ ）.
A. （-1，3，4）
B.（3，-1，4）
C. （-1，0，3）
D. （3，0，-1）
二、填空题（共15分，每小题3分）
1
．
设
220x y xyz +-=，则
'(1,1)x z = .
2．交 换ln 1
(,)e x
I dx f x y dy =
??
的积分次序后，I =_____________________．
3．设2
2z xy u -=，则u 在点)1,1,2(-M 处的梯度为 .
4. 已知
0!
n
x
n x e n ∞
==∑，则
x xe -= .
5. 函数3
3
2
2
33z x y x y =+--的极小值点是 .
三、解答题（共54分，每小题6--7分）
1.（本小题满分6分）设arctan y z y x
=, 求z x ??,z y ??.
2.（本小题满分6分）求椭球面222
239x y z ++=的平行于平面23210x y z -++=的切平面方程，并求切点处的法线方程
3. （本小题满分7分）求函数2
2
z x y =+在点(1,2)
处沿向量122
l i j =+r
r r
方向的方向导数。
4. （本小题满分7分）将x
x f 1
)(=展开成3-x 的幂级数，并求收敛域。
5．（本小题满分7分）求由方程088222
2
2
=+-+++z yz z y x 所确定的隐函数
),(y x z z =的极值。
6．（本小题满分7分）计算二重积分1
,1,1,)(222
=-=--=+??y y y x D d y x
D
由曲线σ及2-=x 围成.
7.（本小题满分7分）利用格林公式计算?
-L
x y x y xy d d 22，
其中L 是圆周2
22a y x =+（按逆时针方向）.
8.（本小题满分7分）计算
???
Ω
z y x xy d d d ，其中Ω是由柱面122=+y x 及平面0,0,1===y x z 所围成且在第一卦限内的区域.
.
四、综合题（共16分，每小题8分）
1．（本小题满分8分）设级数1
1
,n n
n n u v
∞
∞
==∑∑都收敛，证明级数
21
()n
n n u
v ∞
=+∑收敛。
2．（本小题满分8分）设函数),(y x f 在2R 内具有一阶连续偏导数，且2f
x x
?=?， 证明曲线积分
2(,)L
xydx f x y dy +?
与路径无关．若对任意的t 恒有
(,1)
(1,) (0,0)
(0,0)
2(,)2(,)t t xydx f x y dy xydx f x y dy +=+?
?
，求),(y x f 的表达式．
高等数学（下册）试卷（一）参考答案