2014年福建省普通高中毕业班质量检查(文科数学)答案补充说明

2014年福建省普通高中毕业班质量检查 文科数学试题参考解答及评分标准补充说明

说明：

一、本解答指出了每题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法

与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制定相应的评分细则．

二、对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，

可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应给分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．

三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 四、只给整数分数．选择题和填空题不给中间分．

一、选择题：本大题考查基础知识和基本运算．每小题5分，满分60分． 1．A 2．C 3．B 4．D 5．A 6．B 7．B 8．A 9．C 10．C 11．D 12．A

二、填空题：本大题考查基础知识和基本运算．每小题4分，满分16分． 13．1i -+； 14．

7

9

； 15．4； 16．②③④． 三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

17．本小题主要考查等差数列、等比数列等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想．满分12分．

解：（Ⅰ）设等比数列{}n a 的公比为q ，

由4322,6,a a S =??=? 得3211112,6,

a q a q a a q ?=?+=? ……………………………………………………2分

解得1

2,2,q a =??=? …………………………………………………………………………………………………4分

所以1

12n n n a a q

-==．……………………………………………………………………………6分

（Ⅱ）2log n n n b a a =+22log 2n n =+2n

n =+，…………………………………………8分

所以()()()12

21222n n T n =++++

++

()()1222212n n =++++++

+………………………………………………9分

()()

212112

2

n n n -+=

+

-

()

11222

n n n ++=+

-．………………………………………………………………………12分 ————补充说明：（1）求出q,a 1各2分

（2）T n ()()1222212n n =++

++++

+ 分组各1分

()

()

212112

2

n

n n -+=+

- 求和各1分

18．本小题主要考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系、几何体的体积等基础知识；考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力；考查数形结合思想、化归与转化思想．满分12分．

解法一：（Ⅰ）如图，连接1AC ，交1AC 于点

O ，连接OM ．……………………1分 ∵三棱柱111C B A ABC -的侧面是矩形，∴O 为1AC 中点，

M 为11B A 的中点，

∴1//OM B C ． ……………………3分 又∵1OM AMC ?平面，1

1BC AMC ?平面， ∴11//B C AMC 平面． ……………………6分 补充：1OM AMC ?平面， 1分 1

1BC AMC ?平面， 1分 （Ⅱ）∵三棱柱侧面展开图是矩形，且对角线长为13，侧棱15BB =，

∴

12=， ……………………7分 又∵三棱柱的底面是正三角形，

∴114AC =,12B M =

,1C M = ……………………9分 补充：114AC = 1分

1C M = 1分 由已知得，111112B C M S B M C M ?=?

?1

22=??=，……………………10分 ∴11B AMC V -=111111

3

A B C M

B C M V S AA -?=?

153=?

=，

即三棱锥11B AMC -的体积为

3

． ……………………12分 ————补充说明：用割补法时，一个几何体的体积得1分

解法二：（Ⅰ）如图，取AB E 中点，连接1EB EC ，．……………………1分 ∵三棱柱

111ABC A B C -的底面是正三角形，侧面是矩形，M 为11B A 的中点， ∴11//,//EB AM EC MC ， ……………………3分 又

∵

111

AM AMC MC AMC ??平面，平面，

111EB AMC EC AMC ??平面，平面

∴111////EB AMC EC AMC 平面，平面， ……………………4分

又E EC EB = 1,∴11//B EC AMC 平面平面． ……………………5分 ∵11B C B EC ?平面，∴C B 1∥平面1AMC ． ……………………6分 ————补充说明：从线线平行直接到面面平行扣1分 若E EC EB = 1没写再扣1分 （Ⅱ）同解法一．

19．本小题主要考查概率、频率分布直方图等基础知识，考查数据处理能力、运算求解能力以及应用意识，考查必然与或然思想等．满分12分．

解：（Ⅰ）由频率分布直方图知，样本中吸烟者年均烟草消费支出的平均数约为

0.150.10.250.30.350.30.450.10.550.10.650.1?+?+?+?+?+?……………………………4分

0.36=（万元）． ………………5分

————补充说明：不完整但有3个或以上正确的 得2分 （Ⅱ）依题意可知，该地区吸烟人数为1

1008

?万， …………………7分 又由（Ⅰ）知，吸烟者年均烟草消费支出的平均数约0.36万元，

所以该地区年均烟草消费税约为4

1100100.40.36180008

????=（万元）．…………………10分 又由于该地区居民因吸烟导致的疾病治疗等各种费用年均约为18800万元，它超过了当地的烟草消费税， 故当地的烟草消费税不足以支付当地居民因吸烟导致的疾病治疗等各种费用．………12分

————补充说明：吸烟人数：125000101008

1

4

=?? 1分 烟草消费总支出;?1250000.36=45000 1分 消费税总支出：45000?0.4=18000 1分

20．本小题主要考查椭圆的标准方程、直线与圆锥曲线的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、数形结合思想等．满分14分．

解：（Ⅰ）由已知得2a =

，c =，…………………………………………………………2分 因为2

2

2

a b c =+ ，所以2

2

2

1b a c =-=， ……………………………………………… 3分

所以椭圆Γ的方程为 2

214

x y +=；…………………………………………………………4分 ————补充说明：a,b,c 对一个1分

（Ⅱ）依题意得：直线()1y k x =+，设()11,A x y ，()22,B x y ，

假设椭圆Γ上存在点()00,P x y 使得四边形OAPB 为平行四边形， 则1201

20,,x x x y y y +=??+=?．

由()22

1,

1,4

y k x x y ?=+??+=??得()()2222148410k x k x k +++-=， ……………………6分

所以2122814k x x k -+=+，()2121222

82221414k k

y y k x x k k k

??-+=++=+= ?++??．…………8分 于是2

02

028,142,

14k x k k y k ?-=??+??=?+?

即点P 的坐标为22282,1414k k k k ??- ?

++??． ………………………………10分 又点P 在椭圆上，所以2

222281421414k k k k ??

- ?+????+= ?+??

，整理得2410k +=，此方程无解． …………………………………………………11分

故椭圆Γ上不存在点P ，使四边形OAPB 为平行四边形． ……………………………12分 ————补充说明：设直线方程给1分

将平行四边形转化为120120,

,

x x x y y y +=??

+=? 2分

猜对结论不存在给1分

21．本小题主要考查解三角形、两角和与差的三角函数公式、二倍角公式等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想、数形结合思想等．满分12分．

解法一：（Ⅰ）在△ABO 中，6OA =，10OB =，120AOB ∠= ，…………………………………1分 根据余弦定理得，2

2

2

2cos120AB OA OB OA OB =+-???…………………………………3分

22161026101962??

=+-???-= ???

，

所以14AB =．

故A ，B 两集镇间的距离为14km ．………………………………………5分 ————补充说明：没写答及结论都不扣分

（Ⅱ）依题意得，直线MN 必与圆O 相切．设切点为C ，连接OC ，则OC MN ⊥．………………6分 设OM x =，ON y =，MN c =， 在△OMN 中，由11

sin12022

MN OC OM ON ?=??， 得

11

3sin12022

c xy ?=

，即xy =， …………………………… …8分 由余弦定理得，222222cos1203c x y xy x y xy xy =+-=++≥， ……………………………10分

所以2

c ≥

，解得c ≥ ………………………………………11分 当且仅当6x y ==时，c

取得最小值

所以码头,M N 与集镇O 的距离均为6km 时，,M N

之间的直线航线最短，最短距离为．…12分 解法二：（Ⅰ）同解法一． （Ⅱ）依题意得，直线MN 必与圆O 相切．设切点为C ，连接OC ，则MN OC ⊥．

设OMN α∠=，则(0,)3πα∈，3ONM π

α∠=- ，………………………………………6分

在Rt OCM ?中，tan OC CM α=，所以3cos tan sin OC CM α

αα

==， ………………………7分

在Rt OCN ?中，CN OC =-)3tan(απ，所以3cos 3tan sin 33OC CN παππαα??- ?

??=

=????

-- ? ?????

，……………8分

所以3cos()

3cos 3sin sin()3MN CM CN π

ααπαα-=+=+

- 3cos sin()sin cos()33sin sin()

3

ππααααπ

αα??

-+-??

?

?=-

3sin

(

2π

=

sin(2)62α=+-

． ………………………10分

因为(0,)3πα∈，所以26πα+)65,6(ππ∈，因此当262ππα

+=，即6πα=时，1

sin(2)62

πα+-有最大值2

1

，故MN

有最小值6OM ON ==． 所以码头,M N 与集镇O 的距离均为6km 时，,M N 之间的直线航线最短，最短距离为． …12分

————补充说明：写出3cos()

3cos 3sin sin()3

MN CM CN π

ααπαα-=+=+

- 就给1分，化简到最后结果再1分 猜对答案给1分， 其他解法类比给分

22．本小题主要考查函数的单调性、函数的最值、导数及其应用等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、创新意识等，考查函数与方程思想、化归与转化思想、分类与整合思想、数形结合思想等．满分14分．

解：（Ⅰ）函数()x f 的定义域为(0,)+∞，且221()a x a

f x x x x

-'=

-=．…………2分 当0a ≤时，()0f x '>，所以()x f 在区间(0,)+∞单调递增；…………3分 当0a >时，由()0f x '>，解得x a >；由()0f x '<，解得0x a <<． 所以()x f 的单调递增区间为(,)a +∞，单调递减区间为(0,)a ．…………4分 综上述：0a ≤时，()x f 的单调递增区间是(0,)+∞；

0a >时，()x f 的单调递减区间是(0,)a ，单调递增区间是(,)a +∞．…………5分 ————补充说明：不写定义域不扣分

0a ≤或0a >的单调性其中一个判断正确给2分两个均对给4分

未写综上述，但全对给5分 a=0情况判断不对扣1分

（Ⅱ）（ⅰ）由（Ⅰ）知，当0a ≤时，()x f 无最小值，不合题意；…………6分 当0a >时，min [()]()1ln 0.f x f a a a ==-+= …………7分 令()1ln (0)h x x x x =-+>，则11()1x

h x x x

-'=-+

=， 由()0h x '>，解得01x <<；由()0h x '<，解得1x >．

所以()h x 的单调递增区间为(0,1)，单调递减区间为(1,)+∞．…………8分 故max [()](1)0h x h ==，即当且仅当1x =时，()h x =0．

因此，1a =． …………9分 ————补充说明：写到单调就给9分

直接写a=1没有过程只给1分 （ⅱ）其余解法酌情等值给分

（ⅱ）因为()()ln 1(0)g x xf x x x x x ==-+>，所以()ln g x x '= 直线AB 的斜率212211

2121

()()ln ln 1,AB g x g x x x x x k x x x x --=

=---()ln g t t '=．……10分

依题意，可得()AB k g t '=，即

221121

ln ln 1ln x x x x t x x --=-．令211x

x λ=>，

于是22112221

112121

ln ln ln ln ln ln 1ln 1x x x x x x x x t x x x x x x ---=--=---=

2

11

2

ln

11x x x x -- =

1

ln (1)

1

1λλλ

---

． …………11分

由（ⅰ）知，当1λ>时，1

ln 1λλ

>-

，于是1ln ln 0t x ->，即1t x >成立． ………12分

22111112

222121

ln ln ln ln ln ln ln (

1)1x x x x x x x x x t x x x x x ---=--=+--12

21

ln

11x x x x =+- =

1

ln

11

λλλ+--=ln 11λλλ-+--．

由（ⅰ）知，当1λ>时，ln 1λλ<-，即ln 10λλ-+->，于是2ln ln 0x t ->， 即2x t >成立．

综上，12x t x <<成立． …………14分