2018-2019学年最新浙教版数学八年级上册2.8《直角三角形全等的判定》同步练习-精品试卷

直角三角形全等的判定同步练习

重点:掌握直角三角形全等的判定定理:斜边、直角边公理:斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等(HL ) 难点:

创建全等条件与三角形中各定理联系解综合问题.

讲一讲

例1:已知:如图△ABC 中,BD ⊥AC ,CE ⊥AB ,BD 、CE 交于O 点,且BD=CE

求证:OB=OC.

分析:欲证OB=OC 可证明∠1=∠2,由已知发现,∠1,∠2均在直角三角形中,因此证明△BCE 与△CBD 全等即可

证明:∵CE ⊥AB ,BD ⊥AC ,则∠BEC=∠

CDB=90°

∴在Rt △BCE 与Rt △CBD 中??

?==BC

BC BD CE ∴Rt △BCE ≌Rt △CBD(HL)

∴∠1=∠2,∴OB=OC

例2:已知:Rt △ABC 中,∠ACB 是直角,D 是AB 上一点,BD=BC ,过D 作AB 的垂线交AC 于E ,求证:CD ⊥BE

分析:由已知可以得到△DBE 与△BCE 全等

即可证明DE=EC 又BD=BC ,可知B 、E 在线段CD 的中垂线上,故CD ⊥BE.

证明:∵DE⊥AB∴∠BDE=90°,∵∠ACB=90°

∴在Rt△DEB中与Rt△CEB中

BD=BC

BE=BE

∴Rt△DEB≌Rt△CEB(HL)

∴DE=EC又∵BD=BC

∴E、B在CD的垂直平分线上

即BE⊥CD.

例3:已知△ABC中,CD⊥AB于D,过D作DE⊥AC,F为BC 中点,过F作FG⊥DC求证:DG=EG.

分析:在Rt△DEC中,若能够证明G为DC中点则有DG=EG 因此此题转化为证明DG与GC相等的问题,利用已知的众多条件可以通过直角三角形的全等得到.

证明:作FQ⊥BD于Q,∴∠FQB=90°

∵DE⊥AC∴∠DEC=90°

∵FG⊥CDCD⊥BD∴BD//FG,∠BDC=∠

FGC=90°

∴QF//CD∴QF=DG,

∴∠B=∠GFC

∵F为BC中点

∴BF=FC

在Rt △BQF 与Rt △FGC 中??

???=∠=∠∠=∠FC BF GFC

B FGC

BQF [ ∴△BQF ≌△FGC (AAS )

∴QF=GC ∵QF=DG ∴DG=GC

∴在Rt △DEC 中,∵G 为DC 中点∴DG=EG

练一练

1.选择:

(1)两个三角形的两条边及其中一条边的对角对应相等,则下列四个命题中,真命题的个数是()个

①这两个三角形全等;②相等的角为锐角时全等

③相等的角为钝角对全等;④相等的角为直角时全等

A .0

B .1

C .2

D .3

(2)在下列定理中假命题是()

A .一个等腰三角形必能分成两个全等的直角三角形

B .一个直角三角形必能分成两个等腰三角形

C .两个全等的直角三角形必能拼成一个等腰三角形

D .两个等腰三角形必能拼成一个直角三角形

(3)如图,Rt △ABC 中,∠B=90°,∠ACB=60°,延长BC 到D ,

使CD=AC 则AC :BD=()

A .1:1

B .3:1

C .4:1

D .2:

3

人教版八年级上册数学《全等三角形》知识点

人教版八年级上册数学《全等三角形》知识点定义 能够完全重合的两个三角形称为全等三角形。(注:全等三角形是相似三角形中相似比为1:1的特殊情况) 当两个三角形完全重合时,互相重合的顶点叫做对应顶点,互相重合的边叫做对应边,互相重合的角叫做对应角。 由此,可以得出:全等三角形的对应边相等,对应角相等。 (1)全等三角形对应角所对的边是对应边,两个对应角所夹的边是对应边; (2)全等三角形对应边所对的角是对应角,两条对应边所夹的角是对应角; (3)有公共边的,公共边一定是对应边; (4)有公共角的,角一定是对应角; (5)有对顶角的,对顶角一定是对应角; 表示:全等用“≌”表示,读作“全等于”。 判定公理 1、三组对应边分别相等的两个三角形全等(简称SSS或“边边边”),这一条也说明了三角形具有稳定性的原因。 2、有两边及其夹角对应相等的两个三角形全等(SAS或“边角边”)。 3、有两角及其夹边对应相等的两个三角形全等(ASA或“角边角”)。由3可推到 4、有两角及其一角的对边对应相等的两个三角形全等(AAS或“角角边”) 5、直角三角形全等条件有:斜边及一直角边对应相等的两个直角三角形全等(HL或“斜边,直角边”) 所以,SSS,SAS,ASA,AAS,HL均为判定三角形全等的定理。

注意:在全等的判定中,没有AAA角角角和SSA(特例:直角三角形为HL,属于SSA)边边角,这两种情况都不能唯一确定三角形的形状。A是英文角的缩写(angle),S是英文边的缩写(side)。 H是英文斜边的缩写(Hypotenuse),L是英文直角边的缩写(leg)。 6.三条中线(或高、角分线)分别对应相等的两个三角形全等。 性质 三角形全等的条件: 1、全等三角形的对应角相等。 2、全等三角形的对应边相等 3、全等三角形的对应顶点相等。 4、全等三角形的对应边上的高对应相等。 5、全等三角形的对应角平分线相等。 6、全等三角形的对应中线相等。 7、全等三角形面积相等。 8、全等三角形周长相等。 9、全等三角形可以完全重合。 三角形全等的方法: 1、三边对应相等的两个三角形全等。(SSS) 2、两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等。(SAS) 3、两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等。(ASA) 4、有两角及其一角的对边对应相等的两个三角形全等(AAS) 5、斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。(HL)推论 要验证全等三角形,不需验证所有边及所有角也对应地相同。以下判定,是由三个对应的部分组成,即全等三角形可透过以下定义来判定:

八年级数学上册全等三角形知识点总结

第十二章《全等三角形 》 知识点归纳 一、知识网络 ??????????→?????????????? ???对应角相等性质对应边相等边边边 SSS 全等形全等三角形应用边角边 SAS 判定角边角 ASA 角角边 AAS 斜边、直角边 HL 作图 角平分线性质与判定定理 二、基础知识梳理 (一)、基本概念 1、“全等”的理解 全等的图形必须满足:(1)形状相同的图形;(2)大小相等的图形; 即能够完全重合的两个图形叫全等形。同样我们把能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。 2、全等三角形的性质 (1)全等三角形对应边相等;(2)全等三角形对应角相等; 3、全等三角形的判定方法 (1)三边对应相等的两个三角形全等。SSS (2)两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等。ASA (3)两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等。AAS (4)两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等。SAS (5)斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。HL 4、角平分线的性质及判定 性质:角平分线上的点到这个角的两边的距离相等

判定:角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上 (二)灵活运用定理 1、判定两个三角形全等的定理中,必须具备三个条件,且至少要有一组边 对应相等,因此在寻找全等的条件时,总是先寻找边相等的可能性。 2、要善于发现和利用隐含的等量元素,如公共角、公共边、对顶角等。 3、要善于灵活选择适当的方法判定两个三角形全等。 (1)已知条件中有两角对应相等,可找: ①夹边相等(ASA)②任一组等角的对边相等(AAS) (2)已知条件中有两边对应相等,可找 ①夹角相等(SAS)②第三组边也相等(SSS) (3)已知条件中有一边一角对应相等,可找 ①任一组角相等(AAS 或ASA)②夹等角的另一组边相等(SAS) 证明两三角形全等或利用它证明线段或角的相等的基本方法步骤: 1.确定已知条件(包括隐含条件,如公共边、公共角、对顶角、角平分线、中线、高、等腰三角形、等所隐含的边角关系); 2.回顾三角形判定公理,搞清还需要什么; 3.正确地书写证明格式(顺序和对应关系从已知推导出要证明的问题)。 常见考法 (1)利用全等三角形的性质:①证明线段(或角)相等;②证明两条线段的和差等于另一条线段;③证明面积相等; (2)利用判定公理来证明两个三角形全等; (3)题目开放性问题,补全条件,使两个三角形全等。

(完整)八年级上册数学全等三角形练习题

全等三角形[知识要点] 一、全等三角形 一般三角形直角三角形 判 定 边角边(SAS)、角边角(ASA) 角角边(AAS)、边边边(SSS) 具备一般三角形的判定方法 斜边和一条直角边对应相等 (HL) 性 质 对应边相等,对应角相等 对应中线相等,对应高相等,对应角平分线相等 ②全等三角形面积相等. 2.证题的思路: ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ) 找任意一边( ) 找两角的夹边( 已知两角 ) 找夹已知边的另一角( ) 找已知边的对角( ) 找已知角的另一边( 边为角的邻边 ) 任意角( 若边为角的对边,则找 已知一边一角 ) 找第三边( ) 找直角( ) 找夹角( 已知两边 AAS ASA ASA AAS SAS AAS SSS HL SAS 例1在△ABC中,AC=5,中线AD=4,则边AB的取值范围是( ) A.1

3.如图,把大小为4×4的正方形方格图形分割成两个全等图形,例如图1.请 在下图中,沿着虚线画出四种不同的分法,把4×4的正方形方格图形分割成两 个全等图形. 4.如图,△ABE和△ADC是△ABC分别沿着AB、AC边翻折180°形成的,若∠1:∠2:∠3=28:5:3,则∠a的度数为 5.如图,已知0A=OB,OC=0D,下列结论中:①∠A=∠B;②DE=CE;③连OE,则0E平分∠0,正确的是( ) A.①② B。②③ C.①③ D.①②③ 6.如图,A在DE上,F在AB上,且AC=CE,∠l=∠2=∠3,则DE的长等于( ). A:DC B.BC C.AB D.AE+AC 7.如图,AB∥CD,AC∥DB,AD与BC交于0,AE⊥BC.于E,DF⊥BC于F,那 么图中全等的三角形有( )对 A.5 B.6 C.7 D.8 8.如图,把△ABC绕点C顺时针旋转35度,得到△A′B′C, A′B′交AC乎点D,已知∠A′DC=90°,求∠A的度数 9..如图,在△ABE和△ACD中,给出以下四个论断:①AB=AC;②AD=AE③AM=AN④AD⊥DC,AE⊥BE.以其中三个论断为题设,填入下面的“已知”栏中,一个论断为结论,填入下面的“求证”栏中,使之组成一个真命题,并写出证明过程 已知: 求证:

最新浙教版八年级数学上册全册教案

1.1 同位角 内错角 同旁内角 〖教学目标〗 ◆1、了解同位角、内错角、同旁内角的意义。 ◆2、会在简单的图形中辨认同位角、内错角、同旁内角。 ◆3、会在给定某个条件下进行有关同位角、内错角、同旁内角的判定和计算。 〖教学重点与难点〗 ◆教学重点:同位角、内错角、同旁内角的概念。 ◆教学难点:各对关系角的辨认,复杂图形的辨认是本节教学的难点。 〖教学过程〗 一. 引入:中国最早的风筝据说是由古代哲学家墨翟制作的,风筝的骨架构成了多种关系的 角。 a1 a2 a387 6 5 4 32 1 这就是我们这节课要讨论的问题:两条直线和第三条直线相交的关系。 二.让我们接受新的挑战: ------讨论:两条直线和第三条直线相交的关系 如图:两条直线a1 , a2和第三条直线a3相交。 (或者说:直线a1 , a2 被直线a3 所截。)) a1 a2 a387 6 54 32 1 其中直线a1 与直线a3 相交构成四个角,直线a2 与直线a3 相交构成四个角。所以这个问题我们经常就叫它“三线八角”问题。 三.让我们来了解 “三线八角”: 如图:直线a1 , a2 被直线a3 所截,构成了八个角。 a1 a2 a3 8 76 54 321 a1a2 87 6 5 4 321

1. 观察∠ 1与∠5的位置:它们都在第三条直线a3 的同旁,并且分别位于直线a1 , a2 的相同一侧,这样的一对角叫做“同位角”。 类似位置关系的角在图中还有吗?如果有,请找出来? 答: 有。 ∠2与∠6;∠4与∠8;∠3与∠7 2. 观察∠ 3与∠5的位置:它们都在第三条直线a3 的异侧,并且都位于两条直线a1 , a2 之间,这样的一对角叫做“内错角”。 类似位置关系的角在图中还有吗?如果有,请找出来? 答: 有。 ∠2与∠8 3. 观察∠ 2与∠5的位置:它们都在第三条直线a3 的同旁,并且都位于两条直线a1 , a2 之间,这样的一对角叫做“同旁内角”。 答: 有。 ∠3与∠8 四. 知识整理(反思): 问题1. 确定前提(三线)(八角)2:在下面同位角、内错角、同旁内角中任选一对,请你看看这对角的四条边与“前提”中的“三线”有什么关系? 结论:两个角的在同一直线上的边所在直线就是前提中的第三线。 五.试试你的身手: 例1:如图:请指出图中的同旁内角。(提示:请仔细读题、认真看图。) 答: ∠1与∠5; ∠4与∠6;∠1与∠A ;∠5与∠A 合作学习:请找出以上各对关系角成立时的其余各对关系角。 1. 其中:∠1与∠5 ;∠4与∠6是直线和直线被直线所截得到的同旁内角。此时三线构成了个角。此时,同位角有:,内错角有:。 2.其中:∠1与∠A 是直线和直线被直线所截得到的同旁内角。此时三线构成了个角。此时,同位角有:,内错角有:。 3.其中:∠5与∠A 是直线和直线被直线所截得到的同旁内角。此时三线构成了个角。此时,同位角有:,内错角有:。 六.让我们自己来试一试:(练习)

八年级数学直角三角形知识点

八年级数学直角三角形 知识点 TTA standardization office【TTA 5AB- TTAK 08- TTA 2C】

八年级数学《直角三角形》知识点 一、直角三角形的性质 1、直角三角形的两个锐角互余 可表示如下:∠C=90°?∠A+∠B=90° 2、在直角三角形中,30°角所对的直角边等于斜边的一半。 ∠A=30° 可表示如下: ?BC= 21AB ∠C=90° 3、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 ∠ACB=90° 可表示如下: ?CD= 2 1AB=BD=AD D 为AB 的中点 4、勾股定理 直角三角形两直角边a ,b 的平方和等于斜边c 的平方,即222c b a =+ 5、射影定理(了解) 在直角三角形中,斜边上的高线是两直角边在 斜边上的射影的比例中项,每条直角边是它们在斜 边上的射影和斜边的比例中项 ∠ACB=90° BD AD CD ?=2 CD ⊥AB 6、常用关系式 由三角形面积公式可得: AB ?CD=AC ?BC

二、直角三角形的判定 1、有一个角是直角的三角形是直角三角形。 2、如果三角形一边上的中线等于这边的一半,那么这个三角形是直角三角形。 3、勾股定理的逆定理 如果三角形的三边长a ,b ,c ,有关系222c b a =+,那么这个三角形是直角三角形。 三、解直角三角形 1、解直角三角形的概念 在直角三角形中,除直角外,一共有五个元素,即三条边和两个锐角,由直角三角形中除直角外的已知元素求出所有未知元素的过程叫做解直角三角形。 2、解直角三角形的理论依据 在Rt △ABC 中,∠C=90°,∠A ,∠B ,∠C 所对的边分别为a ,b ,c (1)三边之间的关系:222c b a =+(勾股定理) (2)锐角之间的关系:∠A+∠B=90° (3)边角之间的关系: 练习: 一、选择题 1. 直角三角形的斜边比一直角边长2 cm ,另一直角边长为6 cm ,则它的斜边长为( ) A 、4 cm B 、8 cm C 、10 cm D 、12 cm 2. 已知一个Rt △的两边长分别为3和4,则第三边长的平方是( ) A 、25 B 、14 C 、7 D 、7或25 3. 等腰三角形的腰长为10,底长为12,则其底边上的高为( ) A 、13 B 、8 C 、25 D 、64 4. 将直角三角形的三条边长同时扩大同一倍数, 得到的三角形是( ) A 、 钝角三角形 B 、 锐角三角形 C 、 直角三角形 D 、等腰三角形. 5、等腰三角形腰长为13,底边长为10,则它底边上的高为 ( )

人教版八年级上册数学三角形全等知识点

人教版八年级上册数学《全等三角形》知识点 摘要:能够完全重合的两个三角形称为全等三角形。(注:全等三角形是相似三角形中相似比为1:1的特殊情况) 定义 能够完全重合的两个三角形称为全等三角形。(注:全等三角形是相似三角形中相似比为1:1的特殊情况) 当两个三角形完全重合时,互相重合的顶点叫做对应顶点,互相重合的边叫做对应边,互相重合的角叫做对应角。 由此,可以得出:全等三角形的对应边相等,对应角相等。 (1)全等三角形对应角所对的边是对应边,两个对应角所夹的边是对应边; (2)全等三角形对应边所对的角是对应角,两条对应边所夹的角是对应角; (3)有公共边的,公共边一定是对应边; (4)有公共角的,角一定是对应角; (5)有对顶角的,对顶角一定是对应角; 表示:全等用“≌”表示,读作“全等于”。 判定公理 1、三组对应边分别相等的两个三角形全等(简称SSS或“边边边”),这一条也说明了三角形具有稳定性的原因。 2、有两边及其夹角对应相等的两个三角形全等(SAS或“边角边”)。 3、有两角及其夹边对应相等的两个三角形全等(ASA或“角边角”)。 由3可推到 4、有两角及其一角的对边对应相等的两个三角形全等(AAS或“角角边”) 5、直角三角形全等条件有:斜边及一直角边对应相等的两个直角三角形全等(HL或“斜边,直角边”) 所以,SSS,SAS,ASA,AAS,HL均为判定三角形全等的定理。 注意:在全等的判定中,没有AAA角角角和SSA(特例:直角三角形为HL,属于SSA)边边角,这两种情况都不能唯一确定三角形的形状。A是英文角的缩写(angle),S是英文边的缩写(side)。 H是英文斜边的缩写(Hypotenuse),L是英文直角边的缩写(leg)。 6.三条中线(或高、角分线)分别对应相等的两个三角形全等。 性质 三角形全等的条件: 1、全等三角形的对应角相等。 2、全等三角形的对应边相等 3、全等三角形的对应顶点相等。 4、全等三角形的对应边上的高对应相等。 5、全等三角形的对应角平分线相等。 6、全等三角形的对应中线相等。

八年级上册数学全等三角形知识点与练习

第二单元全等三角形 本单元的学习目标 ①重点:全等三角形的性质;三角形全等的判定;角平分线的性质及应用 ②难点:三角形全等的判断方法及应用;角平分线的性质及应用 在中考中的重要性: ①中考热点,初中数学中的重点内容 ②考察内容多样化,有的独立考三角形全等,有的考全等三角形结合其他知识 点综合,有的探究三角形全等条件或结论的开放性题目 ③题型以选择题、填空题、解答题为主 【知识归纳】 1.全等三角形的基本概念: (1)全等图形的定义:能够完全重合的两个图形叫做全等图形。 (2)全等三角形的定义:能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。重合的顶点叫做对应顶点。重合的边叫做对应边。重合的角叫做对应角。 (3)全等三角形的表示方法:△ABC≌△A’B’C’(如图1) 2.全等三角形的性质: (1)全等三角形的对应边相等 (2)全等三角形的对应角相等 3.全等三角形的判定方法 (1)三边相等(SSS); (2)两边和它们的夹角相等(SAS); (3)两角和其中一角的对应边相等(AAS); (4)两角和它们的夹边相等(ASA); (5)斜边和直角边相等的两直角三角形(HL).(该判定只适合直角三角形)注意:没有“AAA”和“SSA”的判定方法,这是因为“三角对应相等的两个三角形”和“两边及其中一边的对角对应相等的两个三角形”未必全等。如图2,△ABC和△ADE中,∠A=∠A,∠1=∠3,∠2=∠4,即三个角对应相等,但它们只是形状相同而大小并不相等,故它们不全等;如图3,△ABC和△ABD中,AB=AB,AC=AD,∠B=∠B,即两边及其中一边的对角对应相等,但它们并不全等。 4.角平分线 的性质:角平分线平分这个角,角平分线上的点到角两边的距离相等。 5.角平分线推论:角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上。 判定三角形全等常用思路 三角形形状题目中已给出的已知或 隐藏条件可选择的判 定方法 需在题目中寻找未给出 的条件 两边对应全等(SS) SS S或S A S 可证第三边对应相等或图2 图3

初二数学上册全等三角形测试题及答案

全等三角形综合能力测试题 一、填空题(每题3分,共30分) 1.如图1所示,两个三角形全等,其中已知某些边的长度和某些角的度数,?则x=_______. (1) (2) 2.如图2所示,在△ABC和△DEF中,AB=DE,∠B=∠E,要使△ABC≌△DEF,?需要补充的一个条件是____________. 3.把“两个邻角的角平分线互相垂直”写成“如果……,那么……”的形式为_______________.4.在△ABC和△A′B′C中,∠A=∠A′,CD与C′D′分别为AB边和A′B?′边上的中线,再从以下三个条件:①AB=A′B′;②AC=A′C′;③CD=C′D?′中任取两个为题设,另一个作为结论,请写出一个正确的命题:________(用题序号写). 5.如图3所示,△ABC中,∠C=90°,AD平分∠CAB,BC=8cm,BD=?5cm,则D点到直线AB 的距离是______cm. (3) (4) 6.如图4所示,将一副七巧板拼成一只小动物,则∠AOB=?_______. 7.如图5所示,P、Q是△ABC的边BC上的两点,且BP=PQ=QC=?AP=AQ,则∠BAC的大小等于__________. (5) (6) (7) 8.已知等腰△ABC中,AB=AC,D为BC边上一点,连结AD,若△ACD?和△ABD都是等腰三角形,则∠C的度数是________. 9.如图6所示,梯形ABCD中,AD∥BC,∠C=90°,且AB=AD,?连结BD,过A点作BD的垂线,交BC于E,如果EC=3cm,CD=4cm,则梯形ABCD?的面积是_______cm. 10.如图7所示,△ABC、△ADE与△EFG都是等边三角形,D?和G分别为AC和AE的中点,若AB=4时,则图形ABCDEFG外围的周长是________.

浙教版八年级数学上册知识点汇总

八年级(上册) 1.三角形的初步知识 1.1.认识三角形 三角形内角和为180度。 三角形任何两边之和大于第三边。 在三角形中,一个内角的角平分线与它的对边相交,这个角的顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线。 连结三角形的一个顶点与该顶点的对边中点的线段,叫做三角形的中线。 从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线做垂线,顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线。 1.2.定义与命题 定义:能清楚地规定某一名称或术语的意义的句子叫做该名称或术语的定义。 命题:判断某一件事情的句子叫命题。 在数学上,命题一般由条件和结论两部分组成,条件是已知事项,结论由已知事项得到的事项。 可以写成“如果......那么......”的形式,其中以“如果”开始的部分是条件,“那么”后面的部分是结论。 正确的命题成为真命题,不正确的命题称为假命题。 用推理的方法判断为正确的命题叫做定理,定理也可以作为判断其他命题真假的依据。 1.3.证明 要判断一个命题是真命题,往往需要从命题的条件出发,根据已知的定义、基本事实、定理(包括推论),一步步推得结论成立。这样的推理过程叫做证明。 三角形一边的延长线和另一条相邻的边组成的角,叫做该三角形的外角。 三角形的外角和等于它不相邻的两个内角的和。 1.4.全等三角形 能够重合的两个图形称为全等图形。 能够重合的两个三角形叫做全等三角形。 两个全等三角形重合时,能互相重合的顶点叫做全等三角形的对应顶点,互相重合的边叫做全等三角形的对应边,互相重合的角叫做全等三角形的对应角。 全等三角形的对应边相等,对应角相等。 1.5.三角形全等的判定 三边对应相等的两个三角形全等(简写成“边边边”或“SSS”) 当三角形的三条边长确定时,三角形的形状、大小完全确定,这个性质叫做三角形的稳定性,这是三角形特有的性质。 两边及其夹角对应相等的两个三角形全等(简写成“边角边”或“SAS”) 垂直于一条线段,并且平分这条线段的直线叫做这条线段的垂直平分线,简称中垂线。 线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等。 两个角及其夹边对应相等的两个三角形全等(简写成“角边角”或“ASA”) 两角及其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等(简写成“角角边”或“AAS”) 角平分线上的点到角两边的距离相等。

人教版八年级上册数学 全等三角形专题练习(解析版)

人教版八年级上册数学全等三角形专题练习(解析版) 一、八年级数学轴对称三角形填空题(难) 1.△ABC与△DEF是两个全等的等腰直角三角形,∠BAC=∠D=90°,AB=AC=6.现将 △DEF与△ABC按如图所示的方式叠放在一起,使△ABC保持不动,△DEF运动,且满足点E在边BC上运动(不与B,C重合),边DE始终经过点A,EF与AC交于点M.在△DEF 运动过程中,若△AEM能构成等腰三角形,则BE的长为______. 【答案】363 【解析】 【分析】 分若AE=AM 则∠AME=∠AEM=45°;若AE=EM;若MA=ME 则∠MAE=∠AEM=45°三种情况讨论解答即可; 【详解】 解:①若AE=AM 则∠AME=∠AEM=45° ∵∠C=45° ∴∠AME=∠C 又∵∠AME>∠C ∴这种情况不成立; ②若AE=EM ∵∠B=∠AEM=45° ∴∠BAE+∠AEB=135°,∠MEC+∠AEB=135° ∴∠BAE=∠MEC 在△ABE和△ECM中, B BAE CEN AE EII C ∠=∠ ? ? ∠=∠ ? ?= ? , ∴△ABE≌△ECM(AAS), ∴CE=AB6, ∵AC=BC2AB=3

∴BE =23﹣6; ③若MA =ME 则∠MAE =∠AEM =45° ∵∠BAC =90°, ∴∠BAE =45° ∴AE 平分∠BAC ∵AB =AC , ∴BE =12 BC =3. 故答案为23﹣6或3. 【点睛】 本题考查了等腰三角形的判定,掌握分类讨论的数学思想是解答本题的关键. 2.如图,ABC ?中,90BAC ∠=?,AD BC ⊥,ABC ∠的平分线BE 交AD 于点F ,AG 平分DAC ∠.给出下列结论:①BAD C ∠=∠;②EBC C ∠=∠;③AE AF =;④//FG AC ;⑤EF FG =.其中正确的结论是______. 【答案】①③④ 【解析】 【分析】 ①根据等角的余角相等即可得到结果,故①正确;②如果∠EBC=∠C ,则 ∠C=12 ∠ABC ,由于∠BAC=90°,那么∠C=30°,但∠C 不一定等于30°,故②错误;③由BE 、AG 分别是∠ABC 、∠DAC 的平分线,得到∠ABF=∠EBD .由于 ∠AFE=∠BAD+∠FBA ,∠AEB=∠C+∠EBD ,得到∠AFE=∠AEB ,可得③正确;④连接EG ,先证明△ABN ≌△GBN ,得到AN=GN ,证出△ANE ≌△GNF ,得∠NAE=∠NGF ,进而得到GF ∥AE ,故④正确;⑤由AE=AF ,AE=FG ,而△AEF 不一定是等边三角形,得到EF 不一定等于AE ,于是EF 不一定等于FG ,故⑤错误.

八年级上册数学全等三角形练习题及答案人教版

八年级上册数学全等三角形练习题及答案人教版 ////// A. ∠B=∠B B. ∠C=∠C C. BC=BC, D. AC=AC, 二、填空题 1如图1:ΔABE≌ΔACD,AB=8cm,AD=5cm,∠A=60°,∠B=40°,则AE=_______,∠C=_____。已知,如图2:∠ABC=∠DEF,AB=DE,要说明ΔABC≌ΔDEF 若以“SAS”为依据,还要添加的条件为______________;若以“ASA”为依据,还要添加的条件为______________; 若以“AAS”为依据,还要添加的条件为______________; M D B N B C ECF 3.如图3所示:要测量河岸相对的两点A、B之间的距离,先从B处出发与AB成90°角方向,向前走50米到C 处立一根标杆,然后方向为变继续朝前走50米到D处,在D

处转90°沿DE方向再走17米,到达E处,使A、C与E在同一直线上,那么测得A、B的距离为_____米。4.如图4:沿AM折叠,使D点落在BC上,如果AD=7cm,DM=5cm,∠DAM=30°,则AN=_________ cm,∠NAM=_________。 5.如图5,已知AB∥CD,∠ABC=∠CDA,则由“AAS”直接判定Δ_______≌Δ______。.如图6,点C、F在BE上,∠1=∠ 2,BC=EF。请补充条件:__________, E 使ΔABC≌ΔDEF。 D 图2 E C 图4 E D B C B 7如图幼儿园的滑梯中有两个长度相等的梯子,左边滑梯的高度AC等于右边滑梯水平方向的长度DF,则∠ABC+∠DFE=°. 8.在RtΔA BC中,BE平分∠ABC,ED⊥AB于D,若AC=3

浙教版八年级数学上册卷-

2016年09月06日好学习的初中数学组卷 一.选择题(共12小题) 1.(2015秋?武平县校级月考)如图,△ABC≌△ADE,∠DAC=60°,∠BAE=100°,BC、DE相交于点F,则∠DFB的度数是() A.15° B.20° C.25° D.30° 2.下列命题中,正确的是() A.三条边对应相等的两个三角形全等 @ B.周长相等的两个三角形全等 C.三个角对应相等的两个三角形全等 D.面积相等的两个三角形全等 3.下列判断两个三角形全等的条件中,正确的是() A.一条边对应相等B.两条边对应相等 C.三个角对应相等D.三条边对应相等 4.长为3cm,4cm,6cm,8cm的木条各两根,小明与小刚分别取了3cm和4cm的两根,要使两人所拿的三根木条组成的两个三角形全等,则他俩取的第三根木条应为() A.一个人取6cm的木条,一个人取8cm的木条 、

B.两人都取6cm的木条 C.两人都取8cm的木条 D.C两种取法都可以 5.如图,把图形沿BC对折,点A和点D重合,那么图中共有全等三角形() A.1对B.2对C.3对D.4对 6.到三角形三边的距离相等的点是三角形的() A.三条边上的高的交点B.三个内角平分线的交点 : C.三边上的中线的交点D.以上结论都不正确 7.如图,△ABC中BC边上的高为h1,△DEF中DE边上的高为h2,下列结论正确的是() A.h1>h2B.h1<h2C.h1=h2 D.无法确定 8.(2016春?永登县期末)用直尺和圆规作一个角等于己知角的作图痕迹如图所示,则作图的依据是()

A.SSS B.SAS C.ASA D.AAS 9.(2015秋?苍溪县期末)工人师傅常用角尺平分一个任意角,做法是:如图在∠AOB的边OA、OB 上分别取OM=ON,移动角尺,使角尺的两边相同的刻度分别与M、N重合,得到∠AOB的平分线OP,做法中用到三角形全等的判定方法是() . A.SSS B.SAS C.ASA D.HL 10.(2016春?普陀区期末)下列说法正确的是() A.周长相等的锐角三角形都全等 B.周长相等的直角三角形都全等 C.周长相等的钝角三角形都全等 D.周长相等的等边三角形都全等 11.(2016春?保定期中)已知AB=AC,AD为∠BAC的角平分线,D、E、F…为∠BAC的角平分线上的若干点.如图1,连接BD、CD,图中有1对全等三角形;如图2,连接BD、CD、BE、CE,图中有3对全等三角形;如图3,连接BD、CD、CE、BF、CF,图中有6对全等三角形;依此规律,第8个图形中有全等三角形() # A.24对B.28对C.36对D.72对

八年级上数学_全等三角形典型例题(一)

全等三角形典型例题: 例1:把两个含有45°角的直角三角板如图1放置,点D 在BC 上,连结BE ,AD ,AD 的延长线交BE 于点F .求 证:AF ⊥BE . 练习1:如图,在△ABC 中,∠BAC=90°,AB=AC , AE 是过点A 的直线,BD ⊥AE ,CE ⊥AE , 如果CE=3,BD=7,请你求出DE 的长度。 例2: △DAC, △EBC 均是等边三角形,AE,BD 分别与CD,CE 交于点M,N, 求证:(1)AE=BD ; (2)CM=CN ; (3) △CMN 为等边三角形;(4)MN ∥BC 。 例3:(10分)已知,△ABC 中,∠BAC = 90°,AB = AC ,过A 任作一直线l ,作BD ⊥l 于D ,CE ⊥l 于E ,观察三条线段BD ,CE ,DE 之间的数量关系. ⑴如图1,当l 经过BC 中点时,DE = (1分),此时BD CE (1分). ⑵如图2,当l 不与线段BC 相交时,BD ,CE ,DE 三者的数量关系为 ,并证明你的结论.(3分) ⑶如图3,当l 与线段BC 相交,交点靠近B 点时,BD ,CE ,DE 三者的数量关系为 . 证明你的结论(4分),并画图直接写出交点靠近C 点时,BD ,CE ,DE 三者的数量关系为 .(1分) 图1 图2 图3 C B A l B C A B C D E l A B C l E D

练习1:以直角三角形ABC的两直角边AB、BC为一边,分别向外作等边三角形△ABE和等边△BCF,连结EF、EC。试说明:(1)EF=EC;(2)EB⊥CF B A F E 练习2: 如图(1)A、E、F、C在同一直线上,AE=CF,过E、F分别作DE⊥AC,BF⊥AC若AB=CD,G是EF的中点吗?请证明你的结论。 若将⊿ABC的边EC经AC方向移动变为图(2)时,其余条件不变,上述结论还成立吗?为什么?

八年级上册数学《全等三角形》全等三角形的判定-知识点整理

十二章三角形知识点导学案 1. 三角形的概念 由不在同一条直线上的三条线段首尾依次相接所组成的图形叫做三角形。 2.三角形按边分类 3. 三角形的任意两边之和大于第三边。 三角形的任意两边之差小于第三边。(这两个条件满足其中一个即可) 用数学表达式表达就是:记三角形三边长分别是a,b,c,则a+b>c或c-b<a。 已知三角形两边的长度分别为a,b,求第三边长度的范围:|a-b|<c<a+b 要求会的题型: ①数三角形的个数 方法:分类,不要重复或者多余。 ②给出三条线段的长度或者三条线段的比值,要求判断这三条线段能否组成三角形 方法:最小边+较小边>最大边不用比较三遍,只需比较一遍即可③给出多条线段的长度,要求从中选择三条线段能够组成三角形 方法:从所给线段的最大边入手,依次寻找较小边和最小边;直到找完为止,注意不要找重,也不要漏掉。 ④已知三角形两边的长度分别为a,b,求第三边长度的范围 方法:第三边长度的范围:|a-b|<c<a+b ⑤给出等腰三角形的两边长度,要求等腰三角形的底边和腰的长 方法:因为不知道这两边哪条边是底边,哪条边是腰,所以要分类讨论,讨论完后要写“综上”,将上面讨论的结果做个总结。 三角形的高、中线与角平分线 1. 三角形的高 从△ABC的顶点向它的对边BC所在的直线画垂线,垂足为D,那么线段AD叫做△ABC 的边BC上的高。 三角形的三条高的交于一点,这一点叫做“三角形的垂心”。 2. 三角形的中线 连接△ABC的顶点A和它所对的对边BC的中点D,所得的线段AD叫做△ABC的边BC 上的中线。 三角形三条中线的交于一点,这一点叫做“三角形的重心”。 三角形的中线可以将三角形分为面积相等的两个小三角形。 3. 三角形的角平分线 ∠A的平分线与对边BC交于点D,那么线段AD叫做三角形的角平分线。 要区分三角形的“角平分线”与“角的平分线”,其区别是:三角形的角平分线是条线段;角的平分线是条射线。 三角形三条角平分线的交于一点,这一点叫做“三角形的内心”。 要求会的题型: ①已知三角形中两条高和其所对的底边中的三个长度,求其中未知的高或者底边的长度

浙教版八年级数学上册知识点汇总

八年级(上册) 1. 三角形的初步知识 1.1. 认识三角形三角形内角和为180 度。三角形任何两边之和大于第三边。在三角形中,一个内角的角平分线与它的对边相交,这个角的顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线。 连结三角形的一个顶点与该顶点的对边中点的线段,叫做三角形的中线。从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线做垂线,顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线。 1.2. 定义与命题定义:能清楚地规定某一名称或术语的意义的句子叫做该名称或术语的定义。命题:判断 某一件事情的句子叫命题。 在数学上,命题一般由条件和结论两部分组成,条件是已知事项,结论由已知事项得到的事项。可以写成“如果............... 那么.. ”的形式,其中以“如果”开始的部分是条件,“那么”后面的部分是结 论。 正确的命题成为真命题,不正确的命题称为假命题。用推理的方法判断为正确的命题叫做定理,定理也可以作为判断其他命题真假的依据。 1.3. 证明 要判断一个命题是真命题,往往需要从命题的条件出发,根据已知的定义、基本事实、定理(包括推 论),一步步推得结论成立。这样的推理过程叫做证明。 三角形一边的延长线和另一条相邻的边组成的角,叫做该三角形的外角。三角形的外角和等于它不相邻的两个内角的和。 1.4. 全等三角形能够重合的两个图形称为全等图形。能够重合的两个三角形叫做全等三角形。 两个全等三角形重合时,能互相重合的顶点叫做全等三角形的对应顶点,互相重合的边叫做全等三角形的对应边,互相重合的角叫做全等三角形的对应角。 全等三角形的对应边相等,对应角相等。 1.5. 三角形全等的判定 三边对应相等的两个三角形全等(简写成“边边边”或“SSS”) 当三角形的三条边长确定时,三角形的形状、大小完全确定,这个性质叫做三角形的稳定性,这是三角形特有的性质。 两边及其夹角对应相等的两个三角形全等(简写成“边角边”或“SAS”) 垂直于一条线段,并且平分这条线段的直线叫做这条线段的垂直平分线,简称中垂线。线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等。 两个角及其夹边对应相等的两个三角形全等(简写成“角边角”或“ASA”) 两角及其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等(简写成“角角边”或“AAS”) 角平分线上的点到角两边的距离相等。 1.6. 尺规作图 把没有刻度的直尺和圆规作图,简称尺规作图 2. 特殊三角形 2.1. 图形的轴对称 如果把一个图形沿着一条直线折叠后,直线两侧部分能够互相重合,那么这个图形叫做轴对称图形,这条直线叫做对称轴。

人教版八年级上册数学全等三角形练习题

人教版八年级上册数学全等三角形练习题 一、填空题 1.已知,如图1,AD=AC,BD=BC,O为AB上一点,那么,图中共有对全等三角形. 图1 图2 图3 2.如图2,△ABC≌△ADE,则,AB= ,∠E=∠.若∠BAE=120°,∠BAD=40°,则∠BAC= °. 3.如图3,∠A=∠D,AB=CD,则△≌△,根据是. 图4 图5 图6 4.如图4,△ACB和△ABD中,∠C=∠D=90°,若利用“AAS”证明△ABC≌△ABD,则需要加条件或;若利用“HL”证明△ABC≌△ABD,则需要加条件,或. 5.如图5,在ΔAOC与ΔBOC中,若AO=OB,∠1=∠2,加上条件,则有ΔAOC≌ΔBOC。 6.如图6,AE=BF,AD∥BC,AD=BC,则有ΔADF≌,且DF= 。 二、选择题. 7.如图7,BE=CF,AB=DE,添加下列哪些条件可以推证△ABC≌△DFE ()(A)BC=EF (B)∠A=∠D (C)AC∥DF (D)AC=DF 图7 图8 8.已知,如图8,AC=BC,AD=BD,下列结论,不正确的是() (A)CO=DO(B)AO=BO (C)AB⊥BD (D)△ACO≌△BCO 9.在△ABC内部取一点P使得点P到△ABC的三边距离相等,则点P应是△ABC的

哪三条线交点.( ) (A )高 (B )角平分线 (C )中线 (D )垂直平分线已知 10.下列结论正确的是 ( ) (A )有两个锐角相等的两个直角三角形全等; (B )一条斜边对应相等的两个直角三角形全等; (C )顶角和底边对应相等的两个等腰三角形全等; (D )两个等边三角形全等. 11.下列条件能判定△ABC ≌△DEF 的一组是 ( ) (A )∠A=∠D , ∠C=∠F , AC=DF (B )AB=DE , BC=EF , ∠A=∠D (C )∠A=∠D , ∠B=∠E , ∠C=∠F (D )AB=DE ,△ABC 的周长等于△DEF 的周长 12.已知,如图9,△ABC 中,AB=AC ,AD 是角平分线,BE=CF ,则下列说法正确的有几个 ( ) 图9 三、解答题: 13.如图10,AB=DF ,AC=DE ,BE=FC ,问:ΔABC 与ΔDEF 全等吗?AB 与DF 平行吗?请说明你的理由。 图10 14. 如图11,已知AB=AC ,AD=AE ,BE 与CD 相交于O ,ΔABE 与ΔACD 全等吗?说明你的理由。 图11 (1)AD 平分∠EDF ; (2)△EBD ≌△FCD ; (3)BD=CD ; (4)AD ⊥BC . (A )1个 (B )2个 (C )3个 (D )4个

人教版八年级数学上册全等三角形测试题(供参考)

全等三角形测试题 姓名________学号________ 一、选择题.(在所给的四个选项中,只有一个符合答案的,将正确的序号填在括号内.) 1.下列判断两个三角形全等的条件中,正确的是(). A、一条边对应相等 B、两条边对应相等 C、三个角对应相等 D、三条边对应相等 2、下面命题错误的是(). A.边长相等的两个等边三角形全等 B.两条直角边对应相等的两个直角三角形全等 C.有两条边对应相等的两个等腰三角形全等 D.形状和大小完全相同的两个三角形全等 3、如图,小明把一块三角形的玻璃打碎成了三块,现在要到玻璃店去配一块完全一样的 玻璃,那么最省事的办法是(). A、带①去 B、带②去 C、带③去 D、带①和②去 第3题第4题第5题 4、如图,将两根钢条AA'、BB'的中点 O连在一起,使AA'、BB'能绕着点 O自由转动, 就做成了一个测量工具,则A'B'的长等于内槽宽 AB,那么判定△OAB≌△OA'B'的理由是(). A.SAS B.ASA C.SSS D.HL 5、如图,在①AB=AE;②AD=AE;③∠B=∠C;④BD=CE四个条件中,能证明△ABD 与△ACE全等的条件序号是(). A.①②③B.②③④C.①②④D.①③④ 6、下列说法中,正确的有(). ①全等三角形对应顶点所对应的角是对应角;②全等三角形对应顶点所对的边是对应边;③全等 三角形对应边所夹的角是对应角;④全等三角形对应角所夹的边是对应边. A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 7、如图,OA=OB,OC=OD,∠O=50°,∠D=35°,则∠AEC等于(). A.60°B.50°C.45°D.30° 8、如图,已知△ABC的六个元素,则 下面甲、乙、丙三个三角形中和△

初二上册数学练习题浙教版

初二上册数学练习题浙教版 【导语:】本文是为您整理的初二上册数学练习题浙教版,欢迎大家查阅。 1.小敏准备用350元零用钱给贫困地区的学生买一些钢笔.若钢笔每支18元,则小敏最多能购买__19__支. 2.一个长方形的长为x(m),宽为50m,如果它的周长不小于280m,那么x应满足x≥90.3.若干名同学合影,每人交费0.7元,一张底片0.68元,冲印一张相片0.5元,每人分一张,并将收来的钱尽量用完,则这张照片上的同学至少有__4__名. 4.在一次社会实践活动中,某班可筹集到的活动经费最多为900元.若此项活动租车需300元,每个学生活动期间所需经费为15元,则参加这项活动的学生人数最多为__40__人.5.小芳用30元钱买笔记本和练习本共20本,已知每本笔记本4元,每本练习本0.5元,那么她最多能买笔记本(B) A.4本 B.5本 C.6本 D.7本 6.某汽车厂改进生产工艺后,每天生产的汽车数量比原来多6辆,15天的产量就超过了原来20天的产量,问:原来每天最多能生产多少辆汽车? 【解】设原来每天生产x辆, 15(x+6)>20x,解得x答:原来每天最多能生产17辆汽车. 7.有10个菜农,每人可种甲种蔬菜3亩或乙种蔬菜2亩.已知种甲种蔬菜每亩可获利0.5万元,种乙种蔬菜每亩可获利0.8万元.若要使总获利不低于15.6万元,最多安排多少人种甲种蔬菜? 【解】设最多安排x人种甲种蔬菜,则安排(10-x)人种乙种蔬菜,由题意,得 0.5×3x+0.8×2(10-x)≥15.6,解得x≤4. ∴x的整数解为x=4. 答:最多安排4人种甲种蔬菜. 8.采石厂工人进行爆破时,为了确保安全,点燃炸药导火线后要在炸药爆破前转移到400m及以外的安全区域,导火线的燃烧速度是1cm/s,人离开的速度是5m/s,则导火线的长度至少需要(D) A.70cm B.75cm C.79cm D.80cm 【解】设导火线长x(cm),由题意,得 x1≥4005,解得x≥80. 9.某体育用品商场预测某品牌运动服能够畅销,用32000元购进了一批这种运动服,上市后很快脱销.商场又用68000元购进第二批这种运动服,所购数量是第一批购进数量的2倍,但每套进价多了10元. (1)该商场两次共购进这种运动服多少套? (2)如果这两批运动服每套的售价相同,且全部售完后总利润率不低于20%,那么每套售价至少是多少元(不考虑运费等其他因素,利润率=利润成本×100%)? 【解】(1)设商场第一次购进x套运动服,由题意,得680002x-32000x=10,解得x=200. 经检验,x=200是所列方程的根. 2x+x=2×200+200=600. ∴商场两次共购进这种运动服600套. (2)设每套运动服的售价为y元,由题意,得600y-32000-6800032000+68000≥20%,解得y≥200. ∴每套运动服的售价至少是200元.

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