2018届浙江省杭州市高三第二次高考科目教学质量检测数学试题(解析版)

2017-2018学年杭州市第二次高考科目教学质量检测

高三数学检测试卷

考生须知：

1．本卷满分150分，考试时间120分钟．

2．答题前，在答题卷密封线内填写学校、班级和姓名．

3．所有答案必须写在答题卷上，写在试卷上无效．

4．考试结束，只需上交答题卷．

选择题部分（共40分）

一、选择题：（本大题共10 小题，每小题 4 分，共40 分）

1. 已知集合A＝{x | x＞1}，B＝{x | x＜2}，则A∩B＝（）

A. { x | 1＜x＜2}

B. {x | x＞1}

C. {x | x＞2}

D. {x | x≥1}

【答案】A

【解析】由题意，根据集合交集运算定义，解不等式组，可得，故选A.

2. 设a∈R，若(1＋3i)(1＋a i)∈R（i 是虚数单位），则a＝（）

A. 3

B. －3

C.

D. －

【答案】B

【解析】由题意，根据复数乘法的运算法则，得，结合条件，得，即

，故正解答案为B.

3. 二项式的展开式中x3项的系数是（）

A. 80

B. 48

C. －40

D. －80

【答案】D

【解析】由题意，根据二项式定理展开式的通项公式得，，由，解得，

则所求项的系数为，故正解答案为D.

4. 设圆C1：x2＋y2＝1 与C2：(x－2)2＋(y＋2)2＝1，则圆C1与C2的位置关系是（）

A. 外离

B. 外切

C. 相交

D. 内含

【答案】A

【解析】由题意知，圆的圆心为，半径为，圆的圆心为，半径为，因为两圆心距

为，又，则，所以两圆的位置关系为相离，故正确答案为A. 点睛：此题主要考查解析几何中圆的标准方程，两圆的位置关系，以及两点间的距离公式的应用等有关方面的知识与技能，以属于中低档题型，也是常考考点.判断两圆的位置关系，有两种方法，一是代数法，联立两圆方程，消去其中一未知数，通过对所得方程的根决断，从而可得两圆关系；一是几何法，通计算两圆圆心距与两圆半径和或差进行比较，从而可得两圆位置关系.

5. 若实数x，y 满足约束条件，设z＝x＋2y ，则（）

A. z≤0

B. 0≤z≤5

C. 3≤z≤5

D. z≥5

【答案】D

【解析】由题意，先作出约束条件的可行域图，如图所示，将目标函数转化为，作出其平行直线

，将其在可行域范围内上下平移，则当平移至顶点时，截距取得最小值，即，故正确答案为D.

6. 设a＞b＞0，e 为自然对数的底数．若a b＝b a，则（）

A. ab＝e2

B. ab＝

C. ab＞e2

D. ab＜e2

【答案】C

【解析】由题意，对等式两边取自然对数，，则，构造函数，则，由

时，得，由，得，即当，有，又，且，则，所以，故选C.

7. 已知0＜a＜，随机变量ξ 的分布列如下：

当 a 增大时，（）

A. E(ξ)增大，D(ξ)增大

B. E(ξ)减小，D(ξ)增大

C. E(ξ)增大，D(ξ)减小

D. E(ξ)减小，D(ξ)减小

【答案】A

【解析】由题意，得根据离散型随机变量的均值与方差的计算公式得，，则易当变大时，均值

也随之增大，而与的差距也越大，故方差也增大，故正确答案为A.

8. 已知a＞0 且a≠1，则函数f (x)＝(x－a)2ln x（）

A. 有极大值，无极小值

B. 有极小值，无极大值

C. 既有极大值，又有极小值

D. 既无极大值，又无极小值

【答案】C

【解析】由题意，，由，得或，由

方程，结合函数图象，易知此方程有解，根据函数单调性与极值关系，可知函数具有极大值，也有极小值，故选C.

9. 记M 的最大值和最小值分别为M max 和M min．若平面向量a，b， c 满足| a |＝| b |＝a?b＝c?(a ＋2b－2c)＝2．则（）

A. |a－c|max＝

B. |a＋c|max＝

C. |a－c|min＝√

D. |a＋c|min＝

【答案】A

【解析】根据题意，建立平面直角坐标系，不妨取，，则，设，由

，得，即对应点在以圆心为，半径为的圆周上，则

，故正确答案为A.

点睛：此题主要考查平面向量的模、数量积的坐标表示及运算，以及坐标法、圆的方程的应用等有关方面的知识与技能，属于中高档题型，也是常考考点.在解决此类问题中，需要根据条件，建立合理的平面直角坐标系，将向量关系转化为点位置关系，通对坐标运算，将其结果翻译为向量结论，从而问题可得解.

10. 已知三棱锥S－ABC 的底面ABC 为正三角形，SA＜SB＜SC，平面SBC，SCA，SAB 与平面ABC 所成的锐二面角分别为α1，α2，α3，则（）

A. α1＜α2

B. α1＞α2

C. α2＜α3

D. α2＞α3

【答案】A

【解析】由题意，设三角形的高分别为，三棱锥的高为，易知，根据正弦函数

的定义得，，所以，又均为锐角，所以，故正确答案为A.

非选择题部分（共110 分）

二、填空题（本大题共7 小题，第11-14 题，每小题 6 分，15-17 每小题 4 分，共36 分）

11. 双曲线= 1的渐近线方程是________，离心率是_______．

【答案】(1). (2).

【解析】由可得双曲线的渐近线方程是，

且双曲线中，.

12. 设各项均为正数的等比数列{a n}的前n项和为Sn，若S4＝80，S2＝8，则公比

q＝______，a5＝_______．

【答案】(1). 3(2). 162

13. 一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是________，表面积是________．

【答案】(1). (2).

【解析】由三视图知，该几何体是由四分之一球与半个圆锥组合而成，则该组合体的体积为

，

表面积为，从而问题可得解.

14. 在△ABC中，若sin A∶sin B∶sin C＝2∶3∶4，则cos C＝______；当BC＝1时，则△ABC的面积等于______．

【答案】(1). -(2).

【解析】由题意，根据正弦定理得，，设，根据余弦得，；

由，则，又，根据三角形面积公式得，从而问题可得解.

15. 盒子里有完全相同的6个球，每次至少取出1个球(取出不放回)，取完为止，则共有_______种不同的取法（用数字作答）．

【答案】32

【解析】由题意，一次可以取球的个数为1，2，3，4，5，6个，则若一次取完可由1个6组成，有1种；二次取完可由1与5，2与4，3与3组成共5种；三次取完由1，1，4或1，2，3或2，2，2组成共10种；四次取完有1，1，1，3或1，1，2，2组成共10种；五次取完，由1，1，1，1，2个组成共5种；六次取完由6个1组成共有1种，综上得，共有32种.

点睛：此题主要考查数学中计数原理在实际问题中的应用，属于中档题型，也是常考考点.计数原理是数学中的重要研究对象之一，分类加法计数原理、分步乘法计数原理是解计数问题最基本、最重要的方法，也称为基本计数原理，它们为解决很多实际问题提供了思想和工具.

16. 设函数f(x)（x∈R）满足|f(x)－x2|≤，|f(x)＋1－x2|≤，则f(1)＝______．

【答案】

【解析】由，得，由，得，则当时，有

，又，从而可知，从而问题可得解.

17. 在△ABC 中，角A，B，C 所对的边分别为a，b，c．若对任意λ∈R，不等式恒成立，则的最大值为_____．

【答案】2

三、解答题：（本大题共5小题，共74分）

18. 已知函数f(x)＝

（Ⅰ）求f(x)的最小正周期和最大值；

（Ⅱ）求函数y＝f(－x)的单调减区间．

【答案】(1)见解析;(2)(＋2kπ，＋2kπ)（k∈Z）．

【解析】试题分析：（Ⅰ）由已知，根据诱导公式，可将函数的解析式进行化简整理，再根据正弦函数周期的计算公式，可求出原函数的最小正周期，根据正弦函数的值域，可求出原函数的最大值；（Ⅱ）由

（Ⅰ）可得函数的解析式，根据正弦函数的单调减区间，从而问题可得解.

试题解析：（Ⅰ）因为sin(x＋)＝cos(x－)，

所以f (x)＝2sin(x＋)＝－2sin(x＋)．

所以函数f (x)的最小正周期是2π，最大值是2．

（Ⅱ）因为f (－x)＝2sin(x－)，

所以单调递减区间为(＋2kπ，＋2kπ)（k∈Z）．

点睛：此题主要考查三角函数中诱导公式的应用，以及三角函数的最小正周期、单调区间、最值等有关方面的知识与技能，属于中档题型，也是常考考点.解决此类问题过程中，常需要通过诱导公式、三角恒等变换公式将函数解析式进行化归，即含一种三角函数名、一个角的解析式，再进行求解运算.

19. 如图，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，∠A＝120°，M为线段BC的中点，D为线段BC上一点，且BD ＝BA，沿直线AD将△ADC翻折至△ADC′，使AC′⊥BD．

（Ⅰ）证明：平面AMC′⊥平面ABD；

（Ⅱ）求直线C′D与平面ABD所成的角的正弦值．