江西上饶市重点中学高三六校第一次联考数学文试题word含解析

命题学校：上饶市二中 主命题：严慧敏 副命题：江金花

时间：120分钟 总分：150分

第Ⅰ卷（共60分）

一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，

只有一项 是符合题目要求的.

1.已知i 为虚数单位，a R ∈，若()211a a i -++为纯虚数，则复数()2z a a i =+- 在复平面内对应的点位于（ ）

A ．第一象限

B ．第二象限

C ．第三象限

D ．第四象限 【答案】D 【解析】

试题分析：因为()211a a i -++为纯虚数，所以1a =，1z i =-对应的点在第四象限，选D

考点：1.复数的分类；2.复数的运算； 2.已知集合{}

11,=21,x A x

B y y x R x -??

=<=-∈????

，则A B ?=（ ） A ．φ B ．{}1x x > C ．{}10x x -<< D ．{}

101x x x -<<>或 【答案】D

考点：1.解分式不等式；2.求函数的值域；3.集合的运算； 3.已知()31

tan ,tan 42

ααβ=

-=，则tan β=（ ）

A．2

11

B．

2

11

-C．2D．2-

【答案】A 【解析】

试题分析：

tan tan()

tan tan[()]

1tan tan()

ααβ

βααβ

ααβ

--

=--=

+-

31

-

2

42=

3111

1+

42

?

，选

A

考点：凑角求值

4.从标有１,２,３,４,５,６的６张纸片中任取２张，那么这２张纸片数字之积为６的概率是（）

A．1

5

B．

1

15

C．

2

15

D．

1

3

【答案】C

【解析】

试题分析：从标有１,２,３,４,５,６的６张纸片中任取２张，有30种取法，这２张纸片数字之积为６的取法有（1，6），（6，1），（2，3），（3，2）有4种取法，那么这２张纸片数字之积

为６的概率是

2

15

；选C；

考点：古典概型

5.执行如图所示的程序框图，则输出S的值是（）

A．4

5

B．

9

5

C．

5

6

D．

11

6

【解析】

试题分析：运行程序

1

1,1;2,1

21

i s i s

====+

?

，25

≥不满足，

1

3,121

i s ==+

+? 132?，35≥不满足， 14,121i s ==++?132?1

+43

?，45≥不满足，

5,1i s ==+

121+?132?11

++4354

??；由于55≥满足，输出1111111112233445

S =+-

+-+-+- 9

=

5

，选B 考点：程序框图 6.下面四个命题：

（1）“22a b >”是“ln ln a b >”的充要条件。

（2）命题“正方形是矩形”的否定是“正方形不是矩形”。

（3）“直线a ∥直线b ”的充分不必要条件是“直线a 平行于直线b 所在的平面”。 （4）命题“若43x ≤

，则131

x ≥-”的逆命题是真命题。 其中正确命题的序号是（ ）

A ．（1）（2）

B ．（1）（3）

C ．(4)

D ．（2）(4) 【答案】C

考点：判断命题的真假；

7.已知向量()()3,4,211,4a a b =-=

，若向量a 与向量b 的夹角为θ，则cos θ=（ ）

A ．35

B ．35-

C ．45

D ．45

-

【答案】B 【解析】

试题分析：由于向量()()3,4,211,4a a b =-=

，设(,)b x y = ，则2(32，a b x -=-

42)(11,4)y -=，3-211,424,4,0x y x y =-==-=，则(4,0)b =-

，所以

3(4)403

cos 545a b a b

θ??-+?===-?? ，选B

考点：平面向量的坐标运算 8.观察下列各式

：

2

，3=

，4,=

若m =（ ） A ．80 B ．81 C ．728 D ．729 【答案】C 【解析】

3999+9728m m m =??=，选 C ； 考点;归纳推理；

9.一个几何体的三视图如图所示，其中俯视图是一个正方形，则这个几何体的体积是（ ）

A ．64

B ．32

C ．16

D ．8

俯视图

【答案】B 【解析】

试题分析：从三视图可以看出原几何体为一四棱柱被一截面所截，求体积可用割补法，沿高为2的侧棱顶点处做平行于地面的截面，把解得部分补在原形体上，恰好为一个正四棱柱，其体积为442=32??，选B 考点：三视图求体积

10.定义在R 上的函数()x f y =，满足()()2f x f x -=，()1x f -'()0x <，若 ()()313f a f +<，则实数a 的取值范围是（ ）

A ．2,3??-∞- ??

?

B ．2,3

??+∞ ???

C ．22,33??- ???

D ．22,,33

????-∞-?+∞ ? ?

?

?

??

【答案】D 【解析】

试题分析：函数()x f y =，满足()()2f x f x -=说明函数()x f y =的图象关于直线1x =对

称，由于()1x f -'()0x <，则当1x <时，()0f x '

>，函数在(,1)-∞为增函数，当1x >时，()0f x '<，函数在(1，+)∞为减函数，因(1)(3)f f -=，若()()313f a f +<，则311a +<-或'，313a +>，则23a <-

或2

3

a >，选D ； 考点：1.利用导数判断函数的单调性；2.借助函数图象，数形结合，解不等式

11.过抛物线：()220y px p =>的焦点F 作倾斜角为60?的直线l ，若直线l 与抛物线在第一象

限的交点为A ，并且点A 也在双曲线：()22

2210,0x y a b a b

-=>>的一条渐近线上，则双曲线的

离心率为（ ）

A B C D 【答案】A 【解析】

试题分析：．过抛物线：()220y px p =>的焦点F (

,0)2

p

，倾斜角为60?的直线l 的方程为

)2

p

y x =-

，直线l 与抛物线在第一象限的交点为3(

)2

p

，点A 也在双曲线：

()22

2

210,0x y a b a b

-=>>的一条渐近线上，应在b y x a =32b p a =?，则有

22433b b a a =?=，22222

22

471333

b c a e e e a a -==-=?=?=，选A

考点：1.直线与抛物线的交点；2.双曲线的离心率； 12.如图，圆221x y +=上一定点A(0，1),一动点M 从 A 点开始逆时针绕圆运动一周，并记由射线OA 按逆时针方 向绕O 点旋转到射线OM 所形成的∠AOM 为x ，直线AM 与X 轴交于点N （t ,0）,则函数t =()f x 的图像大致为（ ）

【答案】A 【解析】

试题分析：设点(sin ,cos )M x x -，则直线AM 的方程为111cos Y 1sin x

X x

-=

+，求直线

与x 轴的交点

1cos 10sin x t x -+=，则sin cos 1

x

t x =-，研究(0,2

)x π∈的图象，由1

01cos t x

'=

>-，说明函数为增函数，选A

考点;1.建立函数模型；2.用导数研究函数的单调性；3.函数图象；

第Ⅱ卷（共90分）

二、填空题（每题4分，满分16分，将答案填在答题纸上）

13.若曲线：()101x y a a a =+>≠且在点（0,2）处的切线与直线210x y ++=垂直，则a =_____． 【答案】2

e 【解析】

试题分析：曲线在点（0,2）处的切线与直线210x y ++=垂直，所以曲线的切线的斜率为2，因为ln x y a a '=

，切线的斜率20ln 2x k y a a e ='===?=；

考点：导数的几何意义

14.某校从参加高三年级期末考试的学生中随机抽取100名学生，将其数学成绩分成五段：

[)[)[)[)50,70,70,90,90,110,110,130，[]130,150，它的频率分布直方图如图所示，则该批学

生中成绩不低于90分的人数是_____．

【答案】65 【解析】

试题分析：成绩不低于90分包括[90,110),[110,130),[130,150]三部分，[50,70)的频率

为0.05，

[70,90)的频率为0.3，[110,130)的频率为0.15，[130,150)的频率为0.1，[90,110)的频率为1-0.6=0.4，

不低于90分的概率为0.65，该批学生中成绩不低于90分的人数是1000.65=65?人； 考点：频率分布直方图

15．已知变量x ，y 满足约束条件20

2104140

x y x y x y +-≥??--≤??+-≤?

，则2

1y z x +=

+的取值范围是_____． 【答案】3

（-,-6][,+)2

∞?∞ 【解析】

试题分析：先画出线性约束条件所表示的可行域，目标函数表示可行域中的点(,)x y 与点

(1,2)--连线的斜率，求出15

(1,1),(1,

),(2,4)4

A B C --，当直线从DA 到直线BD ，其斜率从32到+∞，当直线从DB 到DC ，其斜率从-∞到-6，则21y z x +=+的取值范围是3

(,6][,)2

-∞-?+∞；

考点：线性规划；

16.若关于x 的不等式1x x m a --+≥有解时，实数a 的最大值为5，则实数m 的值为_____． 【答案】-6或4 【解析】

试题分析：设()1-f x x x m =-+表示数轴上一点到1，m 对应点距离之差，若1m ->，

1m <-，()1-f x x x m =-+的最小值为1+m ，最大值为-1m -，关于x 的不等式

1x x m a --+≥有解，则-1a m ≤-，实数a 的最大值为5，则-15,-6m m -==；

若-1，1m m <>-，()

=f x 1-x x m -+的最小值为--1m ，最大值为1+m ，关于x 的不等式1x x m a --+≥有解，

则1+a m ≤，实数a 的最大值为5，则1+5,4m m ==；所以实数m 的值为-6或4； 考点：1.含绝对值的函数；2.存在性问题；

三、解答题 （本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）

17.（本题满分10分）已知向量(c o s ,1),(3s i n ,1)(0)

a x

b x ωωω=->

，函数()3)(+?-=b b a x f

图像的一条对称轴与其最近的一个对称中心的距离为4

π.

（1）求()x f 的解析式；

（2）在ABC ?中，c b a ,,分别是角A,B,C 的对边，2

ABC b S ?==

且26c f π??+

???12

=，求边c 的值.

【答案】（1）()1

232

f x x π??∴+- ??

?，

（2）1c =， 【解析】

试题分析：先利用数量积坐标运算和降幂公式及辅助角公式，求出函数

1

()sin(2)3

2

f x x π

ω=+

-

，图像的一条对称轴与其最近的一个对称中心的距离为

4

π

，所以周期2,12T ππωω===，则()f x =1

sin(2)3

2

x π

+

-

；第二步由26c f π??+ ???

=可得6C π=，又

111

sin 222ABC S a b c a ?=?= 2a ∴=，最后用余弦定理求出边1c =；

试题解析：（1）()(

)())

3cos ,2,13f x a b b x x x ωωω=-?+=-?+

1

s i n 232

x πω?

?=+

- ??

?………………………… （2分） ()f x 的最小正周期为π 22π

πω

∴=

1ω∴= ()1

232f x x π?

?∴=+- ??

?………

（2）26c f π??+

= ???

21

32c π??+-=

??? 21sin 32c π??+= ??? 0c π<< 225

333

c πππ∴

<+< 25

36

c ππ∴+= 6c π∴= ……………… （6分）

又111sin 222ABC S a b c a ?=

?==

2a ∴= …………… （8分）

由余弦定理知：c =1= ………… （10分） 考点：1.三角函数恒等变换；2.三角函数性质；3.面积公式与余弦定理； 18.（本题满分12分）如图，在边长为1的正六边形ABCDEF 中，其中心为点O . （1）在正六边形ABCDEF 的边上任取一点P ，求满足OP 在OE

上的投影大于

1

2

的概率; （2）从A ，B ，C ，D ，E ，F 这六个点中随机选取两个点，记这两个点之间的距离为x ，求x 大

. 【答案】（1）13，（2）3

5

； 【解析】

试题分析：先计算OD ，OF 在OE

上的投影为

1

2

，当P 在线段FE （除点F ）和线段ED （除点D ）

上运动时，OP 在OE

上的投影大于12，∴OP 在OE 上的投影大于12的概率21

63

p =

=；结

随机选取两个点不相邻用列举法列出所有情况总共有9种, 六个点中随机选取两个点用列举法列出所有情况总共有15

种；利用古典概型概率公式计算得：(93

155

P x ∴≥==； 试题解析：（1）OD ，OF 在OE

上的投影为

cos ,cos ,OD OD OE OF OF OE ??=??

01

=1cos 602

?=，

∴当P 在线段FE （除点F ）和线段ED （除点D ）上运动时，OP 在OE

上的投影大于12

，∴OP 在OE

上的投影大于

1

2

的概率21

63

p =

=； ……………………………… （6分） （2

选出的两个点不相邻有9种，（A,C ）,(A,D),(A,E),(B,D),(B, E)(B,F),(C,E),(D,F),(C,F); 六个点中随机选取两个点,总共有15种：

（A,B),(A,C),(A,D),(A,E),(A,F),(B,C),(B,D),(B,E),(B,F),(C,D),(C,E),(C,F),(D,E),(D,F),( E,F)；

(93

155

P x ∴≥=

=； 考点：古典概率

19.（本题满分12分）如图1是边长为4的等边三角形，将其剪拼成一个正三棱柱模型（如图2），使它的全面积与原三角形的面积相等。D 为AC 上一点，且BD ⊥DC 1. （1）求证：直线AB 1∥平面BDC 1 （2）求点A 到平面BDC 1的距离.

( 图1 )

A

B

C

A 1

D

B 1

C 1

( 图2 )

【答案】（1）证明见解析，（2）1

2

， 【解析】

试题分析：首先证明线面平行，只需寻求线线平行，连接1B C 交1BC 于O ，连接OD ，由于OD 为1AB C ?的中位线，则1//OD AB ，进而说明线面平行；第二步利用转化思想点A 到平面BDC 1的距离就是点C 到平面BDC 1的距离，过点C 作1CE DC ⊥垂足为E ，11BD AAC C ⊥ 平面

BD CE ∴⊥，又1BD DC D ?=，

1CE BDC ∴⊥平面，则CE 点C 到平面BDC 1的距离，最后利用面积相等求出1

=

2

CE ； 试题解析：（1）证明：连接1B C 与1BC 交于点O ，连接OD ，

111

1111B D D C

B D

C C

B D A A

C C

D C C C C ⊥?

?⊥?⊥???=

?

平面

BD AC ∴⊥ 又 △ABC 为等边三角形AB BC ∴= D ∴为AC 中点， 平行四边形11BB C C 中O 是1B C 的中点

1

11111//OD AB OD BDC AB BDC AB BDC ??

??????

平面//平面平面…………… （6分） （2）设点A 到平面BDC 1的距离为d ，AD CD = 又 d ∴等于点C 到平面BDC 1的距离，过点

C

作1CE DC ⊥垂足为

E ，11BD AAC C

⊥ 平面

BD CE ∴⊥

1BD DC D ?= 又，则CE ⊥平面1BDC ，

，则CE 点C 到平面BDC 1的距离 2AC = ∴1CD =

，13

CC

=

1C D =

∴

11

11322DC C C d CE DC ?∴===

=…（12分） 考点：1.线面平行的判定；2.点到平面的距离； 20.（本题满分12分）已知数列13n n a -??

?

???

的前n 项和3n S n =-. （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）令n n b n a =?，求{}n b 的前n 项和n T . 【答案】（1）()()

2123n n

n a n -=?∴=?≥-?，（2）()()1

112314n n T n n N ++??=-?+∈??， 【解析】

试题分析：利用2n ≥时，1n n n a S S -=

-，先求出n a ，而11,2n a ==-不满足，故通

项公式用分段函数形式书写，()()2123n n n a n -=?∴=?

≥-?，第二步由于()()

2123n n n

n b n a n n -=?=?=?≥-??，利用错位相减法，求出数列{}n b 的前n 项和n T ； 试题解析：（1）当2n ≥时，

()11

13131=33n

n n n a S S n n --=-=-----????， 3n n a =-

当1n =时，11=2a S =-不满足上式

()

(

)2123n n

n a n -=?∴=?≥-? ……………………（6分） （2）()

()

2

123n n n

n b n a n n -=?=?=?

≥-?? 2

3

223333n

n T n =--?-?--?

3413623333n n T n +=--?-?--? 31214333n n n T n +-=----+?

1112322n n T n +??

=+-? ???

()()1

112314

n n T n n N ++??=

-?+∈?? ……………………（12分） 考点：1.求数列的通项公式；2.错位相减法求和

21.（本题满分12分）已知定点F （3，0）和动点P （x ，y ），H 为PF 的中点，O 为坐标原点，且满足2OH HF -=． （1）求点P 的轨迹方程；

（2）过点F 作直线l 与点P 的轨迹交于A ，B 两点，点C （2，0）．连接AC ，BC 与直线4

3

x =分别交于点M ，N ．试证明：以MN 为直径的圆恒过点F ．

【答案】（1）()22

1045

x y x -=>，（2）证明见解析， 【解析】

试题分析：取()3,0F '-连接PF '， 2OH HF -= ，4PF PF '∴-=，符合双曲线定义，点P 的轨迹是以F '，F 为焦点的双曲线的右支 2,3a c ∴==，

2

2

2

945b c a ∴=-=-=，点P 的轨迹方程为：()22

1045

x y x -

=>；第二步设直线l 方程为3x ty =+，联立方程组，设而不求，利用根与系数关系，可得出1221223054

2554t y y t y y t -?

+=??-???=?-?

，根据

、、A C M 三点共线， 114223

y m

x ∴

=-- ，11232y m x ∴=-?-同理22232y n x =-?-，求出点、M N 的坐标，要证明以MN 为直径的圆恒过点F ，只需证明0FM FN ?=

即可；

试题解析：（1）如图取()3,0F '-连接PF '， 2OH HF -= ，4PF PF '∴-=，由双曲线定义知，点P 的轨迹是以F '，F 为焦点的双曲线的右支 2,3a c ∴==，

2

2

2

945b c a ∴=-=-=，P ∴点的轨迹方程为：()22

1045

x y x -

=>………（5分）

（2）设()()11224

4,,,,,,,33A x y B x y M m N n ????

? ?????

，直线l 方程为3x t y =+，联立22

35420

x ty x y =+??-=? 整理得：()22

5430250t y ty -++=， 1221223054

2554t y y t y y t -?

+=??-?

??=?-?

……………………（6分） A C

M 、、三点共线， 114223

y m

x ∴=-- ，11232y m x ∴=-?-同理22232y n x =-?- 12124242,,,332332y y M N x x ????

-?-? ? ?--????

………………………（8分） 121242423,3,332332y y FM FN x x ?????=--??--? ? ?--???? ()()1212254

9911y y ty ty ?=+?

++ ()1221212254991y y t y y t y y ?=+??+++222225

254549915454

t t t t t -=+?

?+?+-- 2222542599253054t t t =

+?-+-254252525

099499??=+?-=-= ???

FM FN ∴⊥即90MFN ∠=?

MN ∴以为直径的圆恒过点F ……………………（12分）

考点：1.求动点轨迹方程；2.过定点问题 22.（本题满分14分）设函数()22ln f x x x =-. （1）求()f x 的单调区间；

（2）令2

()()(13)a

g x f x x x x

=-+

≤≤，其图像上任意一点()00,P x y 处切线的斜率2k ≤恒成立，求实数a 的取值范围；

（3）求证：对于任意正整数n ，有()

22222222123ln 123n n ++++-???? ln 2n

e ??

> ???

.

【答案】（1）(0,1)，（2）4≥-a ，（3）证明见解析

【解析】

试题分析：先对函数求导，令()0f x '

=，求出x ，针对x 的不同区间，研究()f x '的符号，从而求出函数的单调区间；第二步求导数22

()a

g x x

x

'

=--

，设切点的横坐标为0x ，则2

2

a

k x x =-

-

= 02

22(13)x a

x x +-

≤≤≤，

200

22a x x ≥--()

013x ≤≤恒成立, 即

()

200max

22a x x ≥--()013x ≤≤

最后求出函数()2

00022x x x ?=--的最大值为-4，则4a ∴≥-；第三步由（1）知，()f x 在

()0,1x ∈上单调递减,在()1,x ∈+∞上单调递增，()()11f x f ∴≥=,则22ln 1x x -≥，

写出当1,2,3,....

x n =， 再利用叠加法证明不等式；

试题解析：（1）()f x 的定义域是()0,x ∈+∞， ()221

220x f x x x x -'=-=?

=..（1分） 11x =-或（舍去）,()()()()0,1,0,1,,0x f x x f x ''∈<∈+∞> ,()f x ∴的单调递增区间

是()1x ∈+∞，,单调递减区间是()0,1x ∈ ……………………（3分） （2）()()2

2

2ln 2ln 13a a

g x x x x x x x x

=--+

=-+≤≤ ()()0220022,a a

g x k g x x x x x ''=--==-- ()0020

2213x a x x +=-≤≤≤,

20022a x x ≥--()013x ≤≤恒成立, 即()2

00

max

22a x x ≥--()0

13x

≤≤

令

()200022x x x ?=--，有()0x ?在[]01,3x ∈单调递减,∴()()0max 14x ??==-

4a ∴≥-……………………（7分）

（3）由（1）知，()f x 在()0,1x ∈上单调递减,在()1,x ∈+∞上单调递增

()()11f x f ∴≥=,

∴212ln11-≥

2

-≥

22ln21

2

-≥

32ln31

……

22ln1

-≥

n n

考点：1.利用导数求函数的单调区间；2.导数的几何意义；3.利用函数的单调性，证明不等式；