分式方程1(1重难点)
1. 已知关于x 的分式方程+=1的解是非负数，则m 的取值范围是（ ）
A. m ＞2 B ． m ≥2
C ． m ≥2且m ≠3
D ． m ＞2且m ≠3
2.分式方程的解是（ ）
A ． x =﹣2
B ．
x =2 C ．
x =1 D ． x =1或x=2
3．关于x 的方程
=1的解是（ ）A.x=4 B ．x=3 C ．x=2 D ． x=1
4.已知点P （1﹣2a ，a ﹣2）关于原点的对称点在第一象限内，且a 为整数，则关于x 的分式方程=2的解是（ ）
A ． 5
B ．
1 C ．
3 D ． 不能确定
5.将分式方程=去分母后得到的整式方程，正确的是（ ）
A ． x ﹣2=2x
B ． x 2
﹣2x=2x
C ． x ﹣2=x
D ． x =2x ﹣4
6.分式方程的解为（ ）
A ． x =﹣
B ． x =
C ． x =
D ．
7.分式方程的解为（ ）
A ． 1
B ． 2
C ． 3
D ．
4 8.分式方程﹣1=
的解是（ ） A ． x =1 B ． x =﹣1+
C ． x =2
D ． 无解
9.方程
=3的解是x = ． 10.分式方程
12x 1
=-的解是 ．
11.方程=的根x = ． 12.分式方程=
的解为 ．
13.分式方程=
的解为 ． 14.若代数式21-x 和1
23+x 的值相等，则=x ． 15.分式方程
﹣
=1的解是 ． 16.分式方程
=0的解是 ．
17.关于x 的方程=﹣1的解是正数，则a 的取值范围是 ．
18.分式方程=
的解为x= ．19.分式方程
1
2x x x x
-=+的解为x = 。 20.方程
的解是 ．
21. 观察下列等式： 第一个等式：a 1==﹣；第二个等式：a 2==﹣； 第三个等式：a 3=
=
﹣
；第四个等式：a 4=
=
﹣
．
按上述规律，回答以下问题：
（1）用含n 的代数式表示第n 个等式：a n = = ； （2）式子a 1+a 2+a 3+…+a 20= ．
22.某校为美化校园，计划对面积为1800m 2的区域进行绿化，安排甲、乙两个工程队完成．已知甲队每天能完成绿化的面积是乙队每天能完成绿化的面积的2倍，并且在独立完成面积为400m 2区域的绿化时，甲队比乙队少用4天．
（1）求甲、乙两工程队每天能完成绿化的面积分别是多少m 2
？
（2）若学校每天需付给甲队的绿化费用为0.4万元，乙队为0.25万元，要使这次的绿化总费用不超过8万元，至少应安排甲队工作多少天？
23.山地自行车越来越受到中学生的喜爱，各种品牌相继投放市场，某车行经营的A型车去年销售总额为5万元，今年每辆销售价比去年降低400元，若卖出的数量相同，销售总额将比去年减少20%．
（1）今年A型车每辆售价多少元？（用列方程的方法解答）
（2）该车计划新进一批A型车和新款B型车共60辆，且B型车的进货数量不超过A型车数量的两倍，应如何进货才能使这批车获利最多？
A，B
24.为顺利通过“国家文明城市”验收，东营市政府拟对称取部分路段的人行道地砖、绿化带、排水管等公用设施全面更新改造，根据市政建设的需要，需在40天内完成工程．现有甲、乙两个工程队有意承包这项工程，经调查知道，乙工程队单独完成此项工程的时间是甲工程队单独完成此项工程时间的2倍，若甲、乙两工程队合作只需10天完成．
（1）甲、乙两个工程队单独完成此项工程各需多少天？
（2）若甲工程队每天的工程费用是4.5万元，乙工程队每天的工程费用是2.5万元，请你设计一种方案，既能按时完工，又能使工程费用最少．
25.从广州某市，可乘坐普通列车或高铁，已知高铁的行驶路程是400千米，普通列车的行驶路程是高铁的行驶路程的1.3倍．
（1）求普通列车的行驶路程；
（2）若高铁的平均速度（千米/时）是普通列车平均速度（千米/时）的2.5倍，且乘坐高铁所需时间比乘坐普通列车所需时间缩短3小时，求高铁的平均速度．
26.学校计划选购甲、乙两种图书作为“校园读书节”的奖品．已知甲图书的单价是乙图书单价的1.5倍；用600元单独购买甲种图书比单独购买乙种图书要少10本．
（1）甲、乙两种图书的单价分别为多少元？
（2）若学校计划购买这两种图书共40本，且投入的经费不超过1050元，要使购买的甲种图书数量不少于乙种图书的数量，则共有几种购买方案？
分式方程解法知识讲解
16.3《分式方程解法》说课稿 《课标》指出：“数学教学是数学活动的教学，是师生之间、学生之间交往互动与共同发展的过程。”从教师的教学角度上看：教师是进行数学活动的组织者、引领者，是教学活动的主导；从学生的学习角度上看：数学活动是学生经历数学化过程的活动，是学生自己建构数学知识的活动，是学习活动的主体；从师生的合作角度上看：数学活动过程是教师和学生之间互动的过程，是师生共同发展的过程，即要促进学生发展，也要促进教师成长。教师作为数学教学主导，在设计数学活动时要遵循以下原则：一、根据学生的年龄特征和认知特点组织教学。二、重视培养学生的应用意识和实践能力。1、让学生在现实情境和已有的生活和知识经验中体验和理解数学。2、培养学生应用数学的意识和提高解决问题的能力。三、重视引导学生自主探索，培养学生的创新精神。1、引导学生动手实践、自主探索和合作交流。2、鼓励学生解决问题策略的多样化。 四、教师对教学目标，难点，重点把握要恰当、具体。 数的计算非常重要，计算是帮助我们解决问题的工具，只有在具体的情境中才能让学生真正认识计算的作用。首先应当让学生理解的是面对具体的情境，确定是否需要计算，然后再确定需要什么样的计算方法。口算、笔算、估算、计算器和计算机都是供学生选择的方式，都可以达到算出结果的目的。 一、设计思想： 数学来源于生活，数学教学应走进生活，生活也应走进数学，数学与生活的结合，会使问题变得具体、生动，学生就会产生亲近感、探究欲，从而诱发内在学习潜能，主动动手、动口、动脑。因此，在教学中，我们应自觉地把生活作为课堂，让数学回归生活，服务生活。培养学生的动手能力和创新能力，丰富 和发展学生的数学活动经历，并使学生充分体会到数学之趣、数学之用、数学之美。
分式方程解法的标准
分式方程解法的标准 一,内容综述: 1.解分式方程的基本思想 在学习简单的分式方程的解法时,是将分式方程化为一元一次方程,复杂的(可化为一元二次方程)分式方程的基本思想也一样,就是设法将分式方程"转化"为整式方程.即 分式方程整式方程 2.解分式方程的基本方法 (1)去分母法 去分母法是解分式方程的一般方法,在方程两边同时乘以各分式的最简公分母,使分式方程转化为整式方程.但要注意,可能会产生增根.所以,必须验根. 产生增根的原因: 当最简公分母等于0时,这种变形不符合方程的同解原理(方程的两边都乘以或除以同一个不等于零的数,所得方程与原方程同解),这时得到的整式方程的解不一定是原方程的解. 检验根的方法: 将整式方程得到的解代入原方程进行检验,看方程左右两边是否相等. 为了简便,可把解得的根直接代入最简公分母中,如果不使公分母等于0,就是原方程的根;如果使公分母等于0,就是原方程的增根.必须舍去. 注意:增根是所得整式方程的根,但不是原方程的根,增根使原方程的公 分母为0. 用去分母法解分式方程的一般步骤: (i)去分母,将分式方程转化为整式方程; (ii)解所得的整式方程; (iii)验根做答 (2)换元法 为了解决某些难度较大的代数问题,可通过添设辅助元素(或者叫辅助未知数)来解决.辅助元素的添设是使原来的未知量替换成新的未知量,从而把问题化繁为简,化难为易,使未知量向已知量转化,这种思维方法就是换元法.换元法是解分式方程的一种常用技巧,利用它可以简化求解过程. 用换元法解分式方程的一般步骤: (i)设辅助未知数,并用含辅助未知数的代数式去表示方程中另外的代数 式; (ii)解所得到的关于辅助未知数的新方程,求出辅助未知数的值; (iii)把辅助未知数的值代回原设中,求出原未知数的值; (iv)检验做答. 注意:(1)换元法不是解分式方程的一般方法,它是解一些特殊的分式方程的特殊
(完整版)初二数学分式方程经典应用题(含答案)
分式方程应用题 1、温（州）--福（州）铁路全长298千米．将于2009年6月通车，通车后，预计从福州直达温州的 火车行驶时间比目前高速公路上汽车的行驶时间缩短2小时．已知福州至温州的高速公路长331千米，火车的设计时速是现行高速公路上汽车行驶时速的2倍．求通车后火车从福州直达温州所用的时间（结果精确到0.01小时）． 2、某商店在“端午节”到来之际，以2400元购进一批盒装粽子，节日期间每盒按进价增加20%作为 售价，售出了50盒；节日过后每盒以低于进价5元作为售价，售完余下的粽子，整个买卖过程共盈利350元，求每盒粽子的进价． 4、甲、乙两个清洁队共同参与了城中垃圾场的清运工作．甲队单独工作2天完成总量的三分之一， 这时增加了乙队，两队又共同工作了1天，总量全部完成．那么乙队单独完成总量需要（ ） Ａ．6天 Ｂ．4天 Ｃ．3天 Ｄ．2天 5、炎炎夏日，甲安装队为A 小区安装66台空调，乙安装队为B 小区安装60台空调，两队同时开工 且恰好同时完工，甲队比乙队每天多安装2台．设乙队每天安装x 台，根据题意，下面所列方程中正确的是（ ） A ．66602x x =- B ．66602x x =- C ．66602x x =+ D ．66602x x =+ 6、张明与李强共同清点一批图书，已知张明清点完200本图书所用的时间与李强清点完300本图书 所用的时间相同，且李强平均每分钟比张明多清点10本，求张明平均每分钟清点图书的数量． 7、有两块面积相同的试验田，分别收获蔬菜900kg 和1500kg ，已知第一块试验田每亩收获蔬菜比第 二块少300kg ，求第一块试验田每亩收获蔬菜多少千克．设一块试验田每亩收获蔬菜x kg ，根据题意，可得方程（ ） A ．9001500300x x =+ B ．9001500300 x x =- C ．9001500300x x =+ D ．9001500300x x =- 8、进入防汛期后，某地对河堤进行了加固．该地驻军在河堤加固的工程中出色完成了任务．这是记 者与驻军工程指挥官的一段对话: 通过这段对话,请你求出该地驻军原来每天加固的米数.
分式方程的解法与技巧_知识精讲
分式方程的解法与技巧 【典型例题】 1. 局部通分法： 例1. 解方程：x x x x x x x x -----=-----34456778 分析：该方程的特点是等号两边各是两个分式，相邻两个分式的分子与分子，分母与分母及每个分式的分子与分母都顺序相差1，象这类通常采取局部通分法。 解：方程两边分别通分并化简，得： 145178()()()() x x x x --=-- 去分母得：()()()()x x x x --=--4578 解之得：x ＝6 经检验：x ＝6是原分式方程的根。 点拨：此题如果用常规法，将出现四次项且比较繁，而采用局部通分法，就有明显的优越性。 但有的时候采用这种方法前需要考虑适当移项，组合后再进行局部通分。 2. 换元法： 例2. 解方程： 7643165469222x x x x x x ----+=--+ 分析：此方程中各分式的分母都是含未知数x 的二次三项式，且前两项完全相同，故可考虑用换元法求解。令或或或k x x k x x k x x =--=-+=-+222646569 k x x =-26均可。 解：设，则原方程可化为：k x x =-+265 793144k k k --=-+ 去分母化简得：20147111602k k --= ∴()()k k -+=1220930 ∴，k k ==-129320 当时，k x x =--=126702 ()()x x -+=710 解之得：，x x 1217=-=
当时，k x x =--+=-93206593202 2012019302x x -+= 解此方程此方程无解。 经检验：，是原分式方程的根。x x 1217=-= 点拨：换元法解分式方程，是针对方程实际，正确而巧妙地设元，达到降次，化简的目的，它是解分式方程的又一重要的方法，本题还有其它的设法，同学们可自己去完成。 3. 拆项裂项法： 例3. 解方程： 12442212x x x x ++-+-= 分析：这道题虽然可用通分去分母的常规解法，但若将第二项拆项、裂项，则更简捷。 解：原方程拆项，变形为： ()()()()12222222221x x x x x x ++++-+---= 裂项为： 122222221x x x x ++-++--= 化简得：321x += 解之得：x =1 经检验：x ＝1是原分式方程的解。 4. 凑合法： 例4. 解方程：x x x x 4143412 +-=--- 分析：观察此方程的两个分式的分母是互为相反数，考虑移项后易于运算合并，能使运算过程简化。 解：部分移项得： x x x x 4143412=--+--- ∴x x x x 4143412=------ ∴x 412= ∴x ＝2 经检验：x ＝2是原分式方程的根。
第1课时 分式方程及其解法
15．3 分式方程 第1课时 分式方程及其解法 1．理解分式方程的意义． 2．掌握分式方程的基本思路和解法． 3．理解分式方程可能无解的原因，并掌握解分式方程的验根的方法． 阅读教材P 149～151，完成预习内容． 知识探究 1．填空： (1)分母中________有未知数的方程叫做整式方程 (2)分母中__________的方程叫做分式方程． 2．判断下列说法是否正确： ①2x ＋32＝5是分式方程；②34－4x ＝4x ＋3是分式方程； ③x 2x ＝1是分式方程；④1x ＋1＝1y －1 是分式方程． 3．解分式方程的一般步骤：(1)________；(2)________；(3)________；(4)________． 自学反馈 1．下列方程中，哪些是分式方程？哪些是整式方程？ ①x －22＝x 3；②4x ＋3y ＝7； ③ 1x －2＝3x ；④x （x －1）x ＝－1； ⑤3－x π＝x 2；⑥2x＋x －15 ＝10； ⑦x －1x ＝2；⑧2x ＋1x ＋3x ＝1. 判断整式方程和分式方程的方法就是看分母中是否含有未知数． 2．解方程：12x ＝2x ＋3 . 活动1 小组讨论 例1 解方程：2x －1＝4x 2－1 . 解：方程两边乘(x ＋1)(x －1)，得2(x ＋1)＝4. 解得x ＝1. 检验：当x ＝1时，(x ＋1)(x －1)＝0. ∴x ＝1不是原分式方程的解． ∴原分式方程无解． 例2 解方程：
(1)x x ＋1＝2x 3x ＋3＋1；(2)5x 2＋x －1x 2－x ＝0. 解：(1)x ＝－32 . (2)x ＝32 . 活动2 跟踪训练 1．解分式方程：(1)x x －1＝32x －2 －2； (2)x －3x －2＋1＝32－x ； (3)2x 2x －1＝1－2x ＋2 . 方程中分母是多项式，要先分解因式，再找公分母． 活动3 课堂小结 解分式方程的思路是： 分式方程――→去分母 两边都乘以最简公分母一化二解三检验整式方程―→验根 【预习导学】 知识探究 1．(1)不含 (2)含有未知数 2.①不是分式方程，因为分母中不含有未知数．②是分式方程．因为分母中含有未知数．③是分式方程．因为分母中含有未知数．④是分式方程．因为分母中含有未知数． 3.(1)去分母 (2)解整式方程 (3)验根 (4)小结 自学反馈 1．①⑤⑥是整式方程，因为分母中没有未知数．②③④⑦⑧是分式方程，因为分母中含有未知数． 2.x ＝1. 【合作探究】 活动2 跟踪训练 1．(1)方程两边乘2x －2，得2x ＝3－2(2x －2)．解得x ＝76.检验：当x ＝76时，2x －2≠0.所以，x ＝76 是原方程的解．(2)方程两边乘x －2，得x －3＋x －2＝－3.解得x ＝1.检验：当x ＝1时，x －2≠0.所以，x ＝1是原方程的解．(3)方程两边乘(2x －1)(x ＋2)，得2x(x ＋2)＝(2x －1)(x ＋2)－2(2x －1)．解得x ＝0.检验：当x ＝0时，(2x －1)(x ＋2)≠0.所以，x ＝0是原方程的解．
分式方程的几种解法
分式方程的几种解法 分式方程是初中数学教材重点内容之一，它是一元二次方程的应用和深化，同时又是列分式方程解应用题及解分式方程组的基础，所以分式方程有承上启下的作用，至关重要，它的解法很多，这里略谈一二。 一、 去分母法 方法导析：它是分式方程的基本解法，即：方程两边同乘以各分母的最简公分母，化分式方程为整式方程，解出这个整式方程，最后把所得结果代入最简公分母中检验，便得分式方程的根。 例1：解方程： 4 1 21235222-- -=++-x x x x x 解：方程两边同乘以)2)(2)(1(-++x x x 去分母得： )1(4)2)(1()2)(52(+-++=--x x x x x 整理得：01282=+-x x 解之得：6,221==x x 检验：把2=x 代入)2)(2)(1(-++x x x ，它等于0，所以2=x 不是原方程的根。把6=x 代入)2)(2)(1(-++x x x ，它不等于0，所以6=x 是原方程的根。∴原方程的根为6=x 。 二、 换元法 方法导析：根据方程特点用另一字母代替方程中的未知项式，得到一个关于这一字母的新方程，再进行解方程，其宗旨是换得的方程较原方程简单。
例2：解方程：2 13 33322=-+-x x x x 解，设a x x =-32，则a x x 13332?=-，原方程变形为： 2 133=+ a a 去分母，得：061322=+-a a 解之得：61=a 2 1 2=a 当6=a ，即63 2=-x x ，去分母，整理得0362=--x x 323±=∴x 当21=a ，即2132=-x x ，去分母，整理得0622=--x x 2 3 ,221-==∴x x 检验，把323+=x ，323-=x ，2=x ， 2 3-=x 分别代入原方程分母中其计算结果都不为0，所以他们都是原方程的根。 ∴原方程的根是323±=∴x ，2=x ， 2 3- =x 三、 通分法 方法导析：根据方程特点，原方程式适当变形后，两边进行通分，再结合分式性质解题。 例3：解方程： 4 1 614121+- +=+-+x x x x 解：方程两边通分得：) 4)(6(6 4)4)(2(24++--+=++--+x x x x x x x x 即： 24 102 8622 2+-=++x x x x ∴24108622+-=++x x x x 解得：1=x 经检验：原方程的根是1=x 。 四、 加减法
56初中数学八年级上册 分式方程的解法及应用(提高)知识讲解
初中数学八年级上册 分式方程的解法及应用（提高）知识讲解 【学习目标】 1. 了解分式方程的概念和检验根的意义，会解可化为一元一次方程的分式方程． 2. 会列出分式方程解简单的应用问题． 【要点梳理】 要点一、分式方程的概念 分母中含有未知数的方程叫分式方程. 要点诠释：（1）分式方程的重要特征：①是等式；②方程里含有分母；③分母中含有未知数. （2）分式方程和整式方程的区别就在于分母中是否有未知数（不是一般的字母系数）.分母中含有未知数的方程是分式方程，分母中不含有未知数 的方程是整式方程. （3）分式方程和整式方程的联系：分式方程可以转化为整式方程. 要点二、分式方程的解法 解分式方程的基本思想：将分式方程转化为整式方程.转化方法是方程两边都乘以最简公分母，去掉分母.在去分母这一步变形时，有时可能产生使最简公分母为零的根，这种根叫做原方程的增根.因为解分式方程时可能产生增根，所以解分式方程时必须验根. 解分式方程的一般步骤： （1）方程两边都乘以最简公分母，去掉分母，化成整式方程（注意：当分母是多项式时，先分解因式，再找出最简公分母）； （2）解这个整式方程，求出整式方程的解； （3）检验：将求得的解代入最简公分母，若最简公分母不等于0，则这个解是原分式方程的解，若最简公分母等于0，则这个解不是原分式方程的解，原分式方程无解. 要点三、解分式方程产生增根的原因 方程变形时，可能产生不适合原方程的根，这种根叫做原方程的增根. 产生增根的原因：去分母时，方程两边同乘的最简公分母是含有字母的式子，这个式子有可能为零，对于整式方程来说，求出的根成立，而对于原分式方程来说，分式无意义，所以这个根是原分式方程的增根. 要点诠释：（1）增根是在解分式方程的第一步“去分母”时产生的.根据方程的同解原理，方程的两边都乘以（或除以）同一个不为0的数，所得方程是原方 程的同解方程.如果方程的两边都乘以的数是0，那么所得方程与原方 程不是同解方程，这时求得的根就是原方程的增根. （2）解分式方程一定要检验根，这种检验与整式方程不同，不是检查解方程过程中是否有错误，而是检验是否出现增根，它是在解方程的过程中 没有错误的前提下进行的. 要点四、分式方程的应用 分式方程的应用主要就是列方程解应用题. 列分式方程解应用题按下列步骤进行： （1）审题了解已知数与所求各量所表示的意义，弄清它们之间的数量关系； （2）设未知数； （3）找出能够表示题中全部含义的相等关系，列出分式方程；
分式方程的概念及解法
分式方程的概念，解法 知识要点梳理 要点一：分式方程的定义 分母里含有未知数的方程叫分式方程。 要点诠释： 1．分式方程的三个重要特征：①是方程；②含有分母；③分母里含有未知量。 2．分式方程与整式方程的区别就在于分母中是否含有未知数(不是一般的字母系数)，分母中含有未知数的方程是分式方程，不含有未知数的方程是整式方程，如：关于的方程和 都是分式方程，而关于的方程和都是整式方程。 要点二：分式方程的解法 1. 解分式方程的其本思想 把分式方程化为整式方程，具体做法是“去分母”，即方程两边同乘最简公分母，将分式方程转化为整式方程，然后利用整式方程的解法求解。 2．解分式方程的一般方法和步骤 (1)去分母，即在方程的两边都乘以最简公分母，把原方程化为整式方程。 (2)解这个整式方程。 (3)验根：把整式方程的根代入最简公分母，使最简公分母不等于零的根是原方程的根，使最简公 分母等于零的根是原方程的增根。 注：分式方程必须验根；增根一定适合分式方程转化后的整式方程，但增根不适合原方程，可使原方程的分母为零。 3. 增根的产生的原因： 对于分式方程，当分式中，分母的值为零时，无意义，所以分式方程，不允许未知数取那些使分母的值为零的值，即分式方程本身就隐含着分母不为零的条件。当把分式方程转化为整式方程以后，这种限制取消了，换言之，方程中未知数的值范围扩大了，如果转化后的整式方程的根恰好是原方程未知数的允许值之外的值，那么就会出现增根。 规律方法指导 1．一般地，解分式方程时，去分母后所得整式方程有可能使原方程中分母为0，因此应如下检验：将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解，否则，这个解不是原分式方程的解． 经典例题透析： 类型一：分式方程的定义 1、下列各式中，是分式方程的是（） A．B．C．D． 举一反三：
分式方程应用题含答案经典
分式方程 应用题专题 1、温（州）--福（州）铁路全长298千米．将于2009年6月通车，通车后，预计 从福州直达温州的火车行驶时间比目前高速公路上汽车的行驶时间缩短2小时．已知福州至温州的高速公路长331千米，火车的设计时速是现行高速公路上汽车行驶时速的2倍．求通车后火车从福州直达温州所用的时间（结果精确到小时）． 解：设通车后火车从福州直达温州所用的时间为x 小时． 依题意，得 29833122 x x =?+． 解这个方程，得14991 x =． 经检验14991 x =是原方程的解． 148 1.6491x =≈． 2、某商店在“端午节”到来之际，以2400元购进一批盒装粽子，节日期间每盒按进 价增加20%作为售价，售出了50盒；节日过后每盒以低于进价5元作为售价，售完余下的粽子，整个买卖过程共盈利350元，求每盒粽子的进价． 解：设每盒粽子的进价为x 元，由题意得 20%x ×50-（x 2400-50）×5=350 化简得x 2-10x -1200=0 解方程得x 1=40，x 2=-30（不合题意舍去） 经检验，x 1=40，x 2=-30都是原方程的解， 但x 2=-30不合题意，舍去． 答： 每盒粽子的进价为40元． 4、甲、乙两个清洁队共同参与了城中垃圾场的清运工作．甲队单独工作2天完成 总量的三分之一，这时增加了乙队，两队又共同工作了1天，总量全部完成．那么乙队单独完成总量需要（ D ） Ａ．6天 Ｂ．4天 Ｃ．3天 Ｄ．2天 5、炎炎夏日，甲安装队为A 小区安装66台空调，乙安装队为B 小区安装60台空 调，两队同时开工且恰好同时完工，甲队比乙队每天多安装2台．设乙队每天安装x 台，根据题意，下面所列方程中正确的是（ D ） A ．66602x x =- B ．66602x x =- C ．66602x x =+ D ．66602x x =+ 6、张明与李强共同清点一批图书，已知张明清点完200本图书所用的时间与李强 清点完300本图书所用的时间相同，且李强平均每分钟比张明多清点10本，求张明平均每分钟清点图书的数量． 解：设张明平均每分钟清点图书x 本，则李强平均每分钟清点(10)x +本，
分式方程解法与增根
分式方程（一） 1.分式方程主要是看分母是否有外未知数; 2.解分式方程的关健是化分式方程为整式方程;方程两边同乘以最简公分母. 3.解分式方程的应用题关健是准确地找出等量关系,恰当地设末知数. 例题1 下列方程中，哪些是分式方程？ ①5（x+1）+x=10 ②21=y ③ 3 21x x -= +π ④42213+-+y y ⑤()x x 33221 =- ⑥ 1212=+y x 例题2 解下列分式方程 （1） x x 311=-； （2） x x x 38741836---=- （3）112112++=++-x x x x ； （4） 11 4 112=---+x x x ； （5） 021211=-++-x x x x ； （6） 22 3 22=--+x x x ； （7） 1 71372 22 2 --+ =-- +x x x x x x （8） 2 1 23524245--+=--x x x x
（9） 01 1 2212 =-++--x x x x （10） 8 6871252652 22 +--=---+-+x x x x x x x x x （11） 12 752352 2+--=+--x x x x x x 例题3：解分式方程： （1） 4 1 215111+++=+++x x x x （2） 8 7 329821+++++=+++++x x x x x x x x （3） )(11b a x b b x a a ≠+=+ （4） ) 1999x )(1998x (1 .....)3x )(2x (1)2x )(1x (1)1x (x 1+++ ++++++++ 并求当x=1时,该代数式的值 （5）若关于x 的分式方程9 13 23322 2---=+-x x x a 的解是x=4,则a 的值是多少？
分式方程的解法1——窦硕爱
全国中小学“教学中的互联网搜索”优秀教学案例评选 教案设计 初中数学 《分式方程解法1》 一、教案背景 1、面向学生： 中学 小学 2、学科：数学 3、课时：1 4、学生课前准备：复习分式的基本性质，分式方程的概念， 一元一次方程的解法。 二、教材分析 本节是青岛版数学八年级上册第三章《分式》第七节《分式 方程》第二课时。 本节是在上节学习分式方程的基础上，仍以上节问题1,2中 得到的方程为例，研究怎样解分式方程的问题。通过小亮的思考， 引导学生探索解分式方程的解法，由学生得出解分式方程的基本 思路：去分母，把分式方程化为整式方程。使学生体会到，运用 转化的数学思想，是解分式方程的关键。 本节重点放在解分式 方程的步骤和转化思想上，验根虽作为一个步骤出现，但教学中 暂不要作过多的解释。 三、教学目标 知识技能： 1、经历探索分式方程的解法的过程，体会分式方程化为整式 方程的思想。 √ 2 (2)1 x x
2、会解可化为一元一次方程的分式方程。 3、掌握解分式方程的一般步骤。 过程与方法： 经历探索分式方程的解法的过程，发展学生分析问题、解决问题的能力。 情感态度与价值观： 结合已有经验解决新问题，获得成就感以及克服困难的方法和勇气。 教学重点：分式方程的解法。 教学难点：把分式方程转化为整式方程。 教学思路： 本节课主要学习没有增根的分式方程的解法，它是在分式方程的概念的基础上进一步学习，重点是探索解分式方程的步骤。在设计本课时教案时，先复习分式的基本性质，分式方程的概念，并由上节的问题1与问题2中的两个分式方程引出它的解法，注意引导学生利用分式的基本性质探索，并与一元一次方程的解法进行比较学习。在理解、掌握分式方程的解法的学习过程中，逐步渗透类比、转化数学思想。在学习过程中，采用小组学习方式，组间竞争，按各组表现评出最优小组，激发学生学习积极性和兴趣。 教师准备：制作课件、精选习题、学生分成十组 教学过程： 一、知识回顾
分式方程的解法
1.分式方程的定义：分母里含有未知数的方程叫分式方程. 2.解分式方程的基本思想是：去分母，化为整式方程. 3.解分式方程的一般步骤是： 去分母→去括号→移项→合并同类项→化系数为1→检验. 4.分式方程增根：使最简公分母为0的未知数的值叫做分式方程的增根. 二、基础夯实 1.解下列分式方程： （1） x x x -=--23124 （2）1)2)(1(21++-=-x x x x 2.当m 为何值时，分式方程1 31212-=--+x x x m 会产生增根？ 三、经典例题 例1.我们容易求得分式方程22 11+=+x x 的解为2=x 或21=x （口头检验一下）. （1）方程33 11+=+x x 的解为 ； （2）以x 为未知数的方程c c x x +=+11的解为 ； （3）解方程：5 26423234=+-+-+x x x x 例2.解方程 4 5342312++-++=++-++x x x x x x x x 分式方程的解法
例3.解方程 x x x x x x x 11)1999)(1998(1...)2)(1(1)1(1+=++++++++. 例4.当a 为何值时，以x 为未知数的方程 32 4=+-x ax 无解？ 例5.解方程组（1）?????????=+=+=+514131a c ca c b bc b a ab （2）?????????=+++=+++=+++4 31112 7116511y x x z x z z y z y y x 四、方法归纳 1.解分式方程常用的方法：去分母法、部分分式法、逐项通分或整体通分法、裂项相消法、
分式方程的解法经典练习题
【题型3】分式方程的解法 解下列方程 (1)2x ＝3x ＋1； (2)23＋x 3x －1＝19x －3； (3)32x ＋2＝1－1x ＋1； (4)1x －2＝4x 2－4. 【变式训练】 1.解下列方程 (1)13 21 x x =+； (2)2132-=+x x ； （3）133322-=+x x . (4)0422421=+--x x ； （5）0232135=-++x x ； （6）x x 231 43-=- 2.解下列方程 (1)42x ＋1＝x 2x ＋1＋1； (2)x －3x －2＋1＝32－x ； (3)1x －2＝1－x 2－x －3.
(4) 2x ＋3＋32＝72x ＋6； (5)2-x x ＝3x -1； (6)x －1x －2＝2 - x x ＋1. （7）1-3x x 2-x 6+=； (8)51 x 3 -1-x 5x =+； (9) 5315x +=--x x ； (10)3 23 2324x -=-+x x ； （11）21124x x x -=--； （12）31x 3x -1-x 12 =+. (13)3x 2－9＋x x －3＝1； (14)23-x x ＝2x 2－4 +3； (15)x x －1＋1 x 2－1＝1. 3.解下列方程 (1)x x 2－4＋2x ＋2＝1x －2； (2)x ＋14x 2－1＝32x ＋1－44x －2； (3)2x ＋3＋6x 2－9＝1x －3.
4.解下列方程 (1)1 200x －1 2001.5x ＝100； （2）1 000x ＝1 600x ＋30； （3）x x -=+-30004000232000. （4）900x ×12＝900x ＋45×15； （5）420x －420x －0.5＝200； （6）8 000x ＝12 000x ＋8.
分式方程的解法.doc
分式方程的解法 一、知识清单 1. 分式方程的定义：分母里含有未知数的方程叫分式方程. 2. 解分式方程的基本思想是：去分母，化为整式方程. 3. 解分式方程的一般步骤是： 去分母→去括号→移项→合并同类项→化系数为1→检验. 4. 分式方程增根：使最简公分母为0 的未知数的值叫做分式方程的增根. 二、基础夯实 1. 解下列分式方程： （1） 4x x 2 1 3 2 x x 2 （2） 1 x 1 ( x 1)( x 2) 2. 当m 为何值时，分式方程 m 2 x 1 x 1 3 2 x 会产生增根？ 1 三、经典例题 1 1 例1. 我们容易求得分式方程 2 x x 2 的解为x 2或 1 x （口头检验一下）. 2 1 1 （1）方程 3 x x 3 的解为； 1 1 （2）以x为未知数的方程 c x x c 的解为； （3）解方程： x 3x 4 2 3x x 2 4 26 5
例2. 解方程 x x 2 1 x x 3 2 x x 4 3 x x 5 4 例 3. 解 方 程 1 x(x 1) (x 1 1)( x 2) ... ( x 1 1998)( x 1999 ) 1 1 x . 4 ax 例4. 当a 为何值时，以x为未知数的方程 3 x 2 无 解？ 1 1 5 ab 1 x y y z 6 a b 3 例5. 解方程组（1） bc b c 1 4 （2） 1 1 y z z x 7 12 ca 1 1 1 3 c a 5 z x x y 4
四、方法归纳 1. 解分式方程常用的方法：去分母法、部分分式法、逐项通分或整体通分法、裂项相消法、 1 1 换元法、倒置变换法等，还可以巧妙应用“x c x c ”型的解是x c或x 1 c . 2. 利用增根的意义解题是一类重要题型，其方法为：（1）先将分式方程转化为整式方程；（2）从原分式方程中求出使分母为零的增根；（3）把增根代入所得到的整式方程中. 3. 方程无解与方程有增根不是一回事. 如例4 方程无解时 a 有2 个值，但方程有增根时 a 只 有1 个值. 五、考题演练 1. 解关于x的方程 1 1 x a . x 1 a 1 2. 解方程13 11 2x 2x 17 15 2x 2x 19 17 2x 2x 11 9 2x 2x 3. 解方程x 1 1 1 1 2 x x x x x x2 x 2 2 3 2 5 6 7 12 4 21
可化为一元二次方程的分式方程的解法1――去分母法
可化为一元二次方程的分式方程的解法（1）——去分母法 一、复习 1．什么是分式方程？解分式方程的一般步骤是什么？ 2．解下列方程：（1）5355x x x =--- （2）216122312 x x x x x -+=+--- 二、学习内容 1．例题： 例1 解分式方程： 2142 1242x x x x ++=+-- 例2 解分式方程：222 2125 044348314x x x x x x ---=---+- 例3 解关于x 的分式方程：11 x c x c +=+ 2．练习： 解下列方程： 335311)1(2-+=--+x x x x x x 2 213211)2(x x x x --= --
2116(3) 122312x x x x --=---- 115(4)124 x x +=-+ 【课后作业】 1．方程 2 41 2(3)3 x x x -+=++个数是 （ ） A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．无数多个 2．方程21122 x x x x x += --去分母，整理得 ． 3．解下列分式方程 （1）631(1)(1)1x x x -=+-- （2）2 4345 (4)5121760 x x x x x x --+=---+ (3) 2154111x x x x --=+-- （4）212 333x x x -=-+- （5）222 2140422x x x x x x --+=--+ （6）1234 4321 x x x x -=----- 4．解下列关于x 的方程：222 212(0)x x a x a x a a x x a -+=≠--+
分式方程的概念及解法
变式】方程 中，x 为未知量，a,b 为已知数，且 ，则这个方程是( ) 分式方程的概念，解法 知识要点梳理 要点一：分式方程的定义 分母里含有未知数的方程叫分式方程。 要点诠释： 1 ．分式方程的三个重要特征：①是方程；②含有分母；③分母里含有未知量。 2 ．分式方程与整式方程的区别就在于分母中是否含有未知数 ( 不是一般的字母系数 ) ，分母中含有未知 数的方程是分式方程，不含有未知数的方程是整式方程，如：关于 的方程 都是分式方程，而关于 的方程 和 都是整式方程。 要点二：分式方程的解法 1. 解分式方程的其本思想 把分式方程化为整式方程，具体做法是“去分母”，即方程两边同乘最简公分母，将分式方程转化 为整式方程，然后利用整式方程的解法求解。 2 ．解分式方程的一般方法和步骤 (1) 去分母，即在方程的两边都乘以最简公分母，把原方程化为整式方程。 (2) 解这个整式方程。 (3) 验根：把整式方程的根代入最简公分母，使最简公分母不等于零的根是原方程的根，使最简公 分母 等于零的根是原方程的增根。 注：分式方程必须验根；增根一定适合分式方程转化后的整式方程，但增根不适合原方程，可使原方 程的分母为零。 3. 增根的产生的原因： 对于分式方程，当分式中，分母的值为零时，无意义，所以分式方程，不允许未知数取那些使分母的 值为零的值，即分式方程本身就隐含着分母不为零的条件。当把分式方程转化为整式方程以后，这种限制 取消了，换言之，方程中未知数的值范围扩大了，如果转化后的整式方程的根恰好是原方程未知数的允许 值之外的值，那么就会出现增根。 规律方法指导 1 ．一般地，解分式方程时，去分母后所得整式方程有可能使原方程中分母为 0，因此应如下检验：将 整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为 0，则整式方程的解是原分式方程的解，否则， 这个解不是原分式方程的解． 经典例题透析： 类型一：分式方程的定义 举一反三：1、下列各式中，是分式方程的是( A ． C ． 和 B ． D ．
分式方程的解题方法
【知识精读】 1. 解分式方程的基本思想：把分式方程转化为整式方程。 2. 解分式方程的一般步骤： （1）在方程的两边都乘以最简公分母，约去分母，化成整式方程； （2）解这个整式方程； （3）验根：把整式方程的根代入最简公分母，看结果是否等于零，使最简公分母等于零的根是原方程的增根，必须舍去，但对于含有字母系数的分式方程，一般不要求检验。 3. 列分式方程解应用题和列整式方程解应用题步骤基本相同，但必须注意，要检验求得的解是否为原方程的根，以及是否符合题意。 下面我们来学习可化为一元一次方程的分式方程的解法及其应用。 【分类解析】 例1. 解方程：x x x --+=121 1 分析：首先要确定各分式分母的最简公分母，在方程两边乘这个公分母时不要漏乘，解完后记着要验根 解：方程两边都乘以()()x x +-11，得 x x x x x x x x x 222211121232 32 --=+---=--∴==()()()， 即， 经检验：是原方程的根。 例2. 解方程x x x x x x x x +++++=+++++12672356 分析：直接去分母，可能出现高次方程，给求解造成困难，观察四个分式的分母发现()()()()x x x x ++++6723与、与的值相差1，而分子也有这个特点，因此，可将分母的值相差1的两个分式结合，然后再通分，把原方程两边化为分子相等的两个分式，利用分式的等值性质求值。 解：原方程变形为： x x x x x x x x ++-++=++-++67562312 方程两边通分，得
1671236723836 92 ()()()() ()()()() x x x x x x x x x x ++=++++=++=-∴=-所以即 经检验：原方程的根是x =- 92。 例3. 解方程：121043323489242387161945 x x x x x x x x --+--=--+-- 分析：方程中的每个分式都相当于一个假分数，因此，可化为一个整数与一个简单的分数式之和。 解：由原方程得：3143428932874145 - -++-=--++-x x x x 即2892862810287x x x x ---=--- 于是，所以解得：经检验：是原方程的根。 189861810878986810871 1()()()() ()()()() x x x x x x x x x x --=----=--== 例4. 解方程：612444444 0222 2y y y y y y y y +++---++-=2 分析：此题若用一般解法，则计算量较大。当把分子、分母分解因式后，会发现分子与分母有相同的因式，于是可先约分。 解：原方程变形为：622222220222 ()()()()() ()()y y y y y y y y ++-+--++-= 约分，得62222202 y y y y y y +-+-++-=()() 方程两边都乘以()()y y +-22，得 622022()()y y y --++=
1分式及分式方程解法讲义
分式及分式方程 1、若分式2242x x x ---的值为零，则x 的值为________； 2、若a ，b 都是正数，且1a －1b =222,ab a b a b +-则，则=______． 3、已知两个分式：A=2411,422B x x x =+-+-，其中x ≠±2，那么A 与B 的关系（ ） A ．相等 B ．互为倒数 C ．互为相反数 D ．A 大于B 4、已知23,2343a b c a b c a b c +-==-+则的值为________； 5、（2011年北京四中五模）小强老师为了今年的升高中考试，他先用120元买了若干本数学复习资料，后来又用240元买同样的数学复习资料：这次比上次多20本，而且店家给予优惠，每本降价4元，设第一次买了x 本，请问第一次他买了多少本复习资料？________ （只列方程，不计算） 6、用换元法解分式方程13101x x x x --+=-时，如果设1x y x -=，将原方程化为关于y 的整式方程，那么这个整式方程是（ ） A ．230y y +-= B ．2310y y -+= C ．2310y y -+= D ．2310y y --= 7、（2009泰安）某服装厂准备加工400套运动装，在加工完160套后，采用了新技术，使得工作效率比原计划提高了20%，结果共用了18天完成任务，问计划每天加工服装多少套？在这个问题中，设计划每天加工x 套，则根据题意可得方程为 （A ）18%)201(400160=++x x （B ）18%)201(160400160=+-+x x （C ） 18%20160400160=-+x x （D ）18%)201(160400400=+-+x x 8、先化简再求值：2221412211 a a a a a a --÷+-+-g ，其中a 满足a 2－a=0． 9、先化简，再求值： 21x x -(x x 1-－2),其中x =2.
分式方程及其解法优秀教案
9．3 分式方程 第1课时 分式方程及其解法 教学目标： 1．经历探索分式方程的概念； 2．经历探索分式方程解法的过程，掌握可化为一元一次方程的分式方程的解法，知道转化的思想方法在解分式方程中的应用； 3．了解增根的概念，会检验一个数是不是分式方程的增根，会根据增根求方程中字母的值． 教学重点： 分式方程的解法和应用 教学难点： 解分式方程可能产生增根原因的理解。 教学过程： 一、复习引入 前面我们学习了分式的有关性质及计算，我们来看下面问题： （1） （2） （3） （4） （5） （6） （7） （8） （9） （1）上面代数式中，哪些是整式？哪些是分式？ （2）利用“+”、“-”、“=”，把上述某几个代数式连接起来，请你写出几个方程。（两个学生板演） 从写的方程里找出我们学过的整式方程，如： 252=-x ，15 272=-+x 等。 何为整式方程？ 剩下的方程有何特点？如何命名？ 二、新课探究 （一）分式方程的概念 生总结口述，师板书。 辨一辨： 下列方程中，哪些是分式方程？哪些整式方程？为什么？ 2x -31x x 332-x 21 32--x x 323-+x x 7252x -
21;23x x -=（）43(2)7;x y +=1(3)30;21 x -=+3(4)=;2 x x -π1(5)210;5x x -+=3(6).2x x +- （二）探究分式方程的解法 还记不记得整式方程（一元一次方程）的解法？有哪些基本步骤？ 我们能否类比一元一次方程的解法来解分式方程呢？ 例一：解分式方程 7 2323=-+x x 你是如何解这个方程的？有哪些方法（同乘最简公分母或交叉相乘）？ 哪种方法更好？为什么？ 解得9-=x ，是否正确可以怎么办？（代入原方程检验） 反思提升： 我们解这个分式方程的基本思路是什么？（把分式方程转化为整式方程） 如何进行转化的？（方程两边同乘最简公分母） 解分式方程的基本步骤是什么？ 我们再来看下面的例题： 例二：解分式方程 3 2231--=--x x x 大家按上面的步骤解一下。 解得3=x 你有什么发现？为什么会出现这种情况？ 学生讨论，交流。 得到增根概念：3=x 是原方程两边同乘以最简公分母变形后的整式方程的根，但不是原方程的根，像3=x 这样的根，称为增根。解分式方程时可能产生增根，所以必须检验。 怎么检验是否是增根呢？（代入最简公分母） 师板书规范步骤。 课堂练习： 解分式方程x x x 2132=+-- 一生板演 反思提升： 解分式方程有哪些易错点？
第1课时 分式方程及其解法
9.3分式方程 第1课时分式方程及其解法 【教学目标】 1.能将实际问题中的等量关系用分式方程表示，体会分式方程的模型作用. 2.经历探索分式方程概念和分式方程解法的过程，会解可化为一元一次方程的分式方程(方程中分式不超过两个)，会检验根. 【教学重点】 分式方程及其解法. 【教学难点】 增根的意义. 教学过程 一、组织教学，复习提问 教师课件出示引言中的问题，设提速前的速度为x km/h，填写下列表格. 学生尝试填写表格，找出等量关系，并列出方程1600 x－ 1600 x（1＋25%）＝4
教师板书学生所列出的方程. 师：如果设提速前到达目的地要t h ，我们又能列出什么样的方程呢？请同学们试一试. 生：1600t ×(1＋25%)＝1600t －4 . 教师板书学生所列出的方程，这两个方程有什么共同的特点呢？ 让学生找出问题的所有等量关系，发展学生分析问题并解决问题的能力，经历从实际问题抽象和概括分式方程这一“数学化”的过程. 二、创设情境，引入新课 1.师：1600x －1600x （1＋25%） ＝4，如何解这个方程呢？ 提出问题：(1)这个方程和我们以前学过的方程有什么区别呢？ (2)以前学过的方程中如果有分母该怎么办？ (3)对于这个分式方程你该如何去解？ 让学生观察方程，然后寻找分式方程的解法. 2.师：板书这个方程的解法，然后让学生归纳这种方程的解法步骤. 引导学生用自己的语言概括解分式方程的方法与步骤，类比以前学过的方程，主动构建分式方程的解法. 3.师：你学会解分式方程了吗？试一试：2－x x －3＝13－x －2. 学生尝试解分式方程，发现困惑，x ＝3时，原分式方程的分母等于0，没有意义，这是为什么呢？ 教师带领学生阅读课本，并讨论增根产生的原因和增根的概念.