第九篇_解析几何第2讲_两条直线的位置关系

第2讲 两条直线的位置关系

【2013年高考会这样考】 1．考查两直线的平行与垂直．

2．考查两点间的距离公式、点到直线的距离公式、两平行直线间的距离公式． 【复习指导】

1．对两条直线的位置关系，求解时要注意斜率不存在的情况，注意平行、垂直时直线方程系数的关系．

2．熟记距离公式，如两点之间的距离、点到直线的距离、两条平行线之间的距离．

基础梳理

1．两条直线平行与垂直的判定 (1)两条直线平行

对于两条不重合的直线l 1、l 2，其斜率分别为k 1、k 2，则有l 1∥l 2?k 1＝k 2，特别地，当直线l 1、l 2的斜率都不存在时，l 1与l 2的关系为平行． (2)两条直线垂直

①如果两条直线l 1、l 2的斜率存在，设为k 1、k 2，则l 1⊥l 2?k 1k 2＝－1.

②如果l 1、l 2中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为0时，l 1与l 2的关系为垂直． 2．两直线相交

交点：直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0和l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0的公共点的坐标与方程组???

A 1x ＋

B 1y ＋

C 1＝0，A 2x ＋B 2y ＋C 2

＝0的解一一对应． 相交?方程组有唯一解，交点坐标就是方程组的解； 平行?方程组无解； 重合?方程组有无数个解． 3．三种距离公式

(1)平面上的两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)间的距离公式|P 1P 2|＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2. 特别地，原点O (0,0)与任一点P (x ，y )的距离|OP |＝x 2＋y 2.

(2)点P 0(x 0，y 0)到直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0的距离d ＝

|Ax 0＋By 0＋C |

A 2＋B

2

. (3)两条平行线Ax ＋By ＋C 1＝0与Ax ＋By ＋C 2＝0间的距离为d ＝

|C 1－C 2|

A 2＋

B 2

.

一条规律

与直线Ax ＋By ＋C ＝0(A 2＋B 2≠0)平行、垂直的直线方程的设法：

一般地，平行的直线方程设为Ax ＋By ＋m ＝0；垂直的直线方程设为Bx －Ay ＋n ＝0. 两个防范

(1)在判断两条直线的位置关系时，首先应分析直线的斜率是否存在．两条直线都有斜率，可根据判定定理判断，若直线无斜率时，要单独考虑．

系数化为分别相等． 三种对称

(1)点关于点的对称

点P (x 0，y 0)关于A (a ，b )的对称点为P ′(2a －x 0,2b －y 0)． (2)点关于直线的对称

设点P (x 0，y 0)关于直线y ＝kx ＋b 的对称点P ′(x ′，y ′)， 则有???

??

y ′－y 0x ′－x 0·k ＝－1，y ′＋y 02＝k ·x ′＋x 0

2＋b ，可求出x ′，y ′.

(3)直线关于直线的对称

①若已知直线l 1与对称轴l 相交，则交点必在与l 1对称的直线l 2上，然后再求出l 1上任一个已知点P 1关于对称轴l 对称的点P 2，那么经过交点及点P 2的直线就是l 2；②若已知直线l 1与对称轴l 平行，则与l 1对称的直线和l 1分别到直线l 的距离相等，由平行直线系和两条平行线间的距离即可求出l 1的对称直线．

双基自测

1．(人教A 版教材习题改编)直线ax ＋2y －1＝0与直线2x －3y －1＝0垂直，则a

的值为( )．

A ．－3

B ．－4

3 C ．2 D ．3 解析 由? ????－a 2×2

3＝－1，得：a ＝3.

答案 D

2．原点到直线x ＋2y －5＝0的距离为( )． A ．1 B. 3 C ．2 D. 5 解析 d ＝|－5|

1＋2

2＝ 5. 答案 D

3．(2012·银川月考)过点(1,0)且与直线x －2y －2＝0平行的直线方程是( )． A ．x －2y －1＝0 B ．x －2y ＋1＝0 C ．2x ＋y －2＝0

D ．x ＋2y －1＝0

解析 ∵所求直线与直线x －2y －2＝0平行，∴所求直线斜率k ＝1

2，排除C 、D.又直线过点(1,0)，排除B ，故选A. 答案 A

4．点(a ，b )关于直线x ＋y ＋1＝0的对称点是( )． A ．(－a －1，－b －1) B ．(－b －1，－a －1) C ．(－a ，－b )

D ．(－b ，－a )

解析

设对称点为(x ′，y ′)，则???

??

y ′－b x ′－a ×(－1)＝－1，

x ′＋a 2＋y ′＋b 2＋1＝0，

解得：x ′＝－b －1，y ′＝－a －1. 答案 B

5．平行线l 1：3x －2y －5＝0与l 2：6x －4y ＋3＝0之间的距离为________． 解析 直线l 2变为：3x －2y ＋32＝0，由平行线间的距离公式得：d ＝???

???－5－3232＋22＝13

2.

答案

13

2

考向一两条直线平行与垂直的判定及应用

【例1】?(1)已知两条直线y＝ax－2和y＝(a＋2)x＋1互相垂直，则实数a＝________.

(2)“ab＝4”是直线2x＋ay－1＝0与直线bx＋2y－2＝0平行的()．

A．充分必要条件B．充分不必要条件

C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件

[审题视点] (1)利用k1·k2＝－1解题．(2)抓住ab＝4能否得到两直线平行，反之两直线平行能否一定得ab＝4.

解析(1)由题意知(a＋2)a＝－1，所以a2＋2a＋1＝0，则a＝－1.

(2)直线2x＋ay－1＝0与直线bx＋2y－2＝0平行的充要条件是－2

a＝－

b

2且－

1

a≠－

1，即ab＝4且a≠1，则“ab＝4”是“直线2x＋ay－1＝0与直线bx＋2y－2＝0平行”的必要而不充分条件．

答案(1)－1(2)C

(1)充分掌握两直线平行与垂直的条件是解决本题的关键，对于斜率都存在且不重合的两条直线l1和l2，l1∥l2?k1＝k2，l1⊥l2?k1·k2＝－1.若有一条直线的斜率不存在，那么另一条直线的斜率是多少一定要特别注意．

(2)①若直线l1和l2有斜截式方程l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2，则：直线l1⊥l2的充要条件是k1·k2＝－1.

②设l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0.

则：l1⊥l2?A1A2＋B1B2＝0.

(3)注意转化与化归思想的应用．

【训练1】已知直线l1：x＋my＋6＝0，l2：(m－2)x＋3y＋2m＝0，求m的值，使得：

(1)l1与l2相交；(2)l1⊥l2；(3)l1∥l2；(4)l1，l2重合．

解(1)由已知1×3≠m(m－2)，即m2－2m－3≠0，

解得m≠－1且m≠3.

故当m≠－1且m≠3时，l1与l2相交．

(2)当1·(m －2)＋m ·3＝0，即m ＝1

2时，l 1⊥l 2.

(3)当1×3＝m (m －2)且1×2m ≠6×(m －2)或m ×2m ≠3×6，即m ＝－1时，l 1∥l 2. (4)当1×3＝m (m －2)且1×2m ＝6×(m －2)，即m ＝3时， l 1与l 2重合．

考向二 两直线的交点

【例2】?求经过直线l 1：3x ＋2y －1＝0和l 2：5x ＋2y ＋1＝0的交点，且垂直于直线l 3：3x －5y ＋6＝0的直线l 的方程．

[审题视点] 可先求出l 1与l 2的交点，再用点斜式；也可利用直线系方程求解． 解 法一 先解方程组???

3x ＋2y －1＝0，5x ＋2y ＋1＝0，

得l 1、l 2的交点坐标为(－1,2)， 再由l 3的斜率35求出l 的斜率为－5

3， 于是由直线的点斜式方程求出l ： y －2＝－5

3(x ＋1)，即5x ＋3y －1＝0.

法二 由于l ⊥l 3，故l 是直线系5x ＋3y ＋C ＝0中的一条，而l 过l 1、l 2的交点(－1,2)，

故5×(－1)＋3×2＋C ＝0，由此求出C ＝－1， 故l 的方程为5x ＋3y －1＝0.

法三 由于l 过l 1、l 2的交点，故l 是直线系3x ＋2y －1＋λ(5x ＋2y ＋1)＝0中的一条，

将其整理，得(3＋5λ)x ＋(2＋2λ)y ＋(－1＋λ)＝0. 其斜率－3＋5λ2＋2λ

＝－53，解得λ＝1

5，

代入直线系方程即得l 的方程为5x ＋3y －1＝0.

运用直线系方程，有时会给解题带来方便，常见的直线系方程有：

(1)与直线Ax ＋By ＋C ＝0平行的直线系方程是： Ax ＋By ＋m ＝0(m ∈R 且m ≠C )；

(2)与直线Ax ＋By ＋C ＝0垂直的直线系方程是Bx －Ay ＋m ＝0(m ∈R )；

(3)过直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0与l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0的交点的直线系方程为A 1x ＋B 1y ＋C 1＋λ(A 2x ＋B 2y ＋C 2)＝0(λ∈R )，但不包括l 2.

【训练2】 直线l 被两条直线l 1：4x ＋y ＋3＝0和l 2：3x －5y －5＝0截得的线段的中点为P (－1,2)，求直线l 的方程．

解 法一 设直线l 与l 1的交点为A (x 0，y 0)，由已知条件，得直线l 与l 2的交点为B (－2－x 0,4－y 0)，并且满足???

4x 0＋y 0＋3＝0，

3(－2－x 0)－5(4－y 0)－5＝0，

即??? 4x 0＋y 0＋3＝0，3x 0－5y 0＋31＝0，解得???

x 0＝－2，y 0＝5， 因此直线l 的方程为

y －25－2＝x －(－1)

－2－(－1)

，即3x ＋y ＋1＝0. 法二 设直线l 的方程为y －2＝k (x ＋1)，即kx －y ＋k ＋2＝0. 由???

kx －y ＋k ＋2＝0，4x ＋y ＋3＝0，得x ＝－k －5k ＋4.

由???

kx －y ＋k ＋2＝0，3x －5y －5＝0，得x ＝－5k －15

5k －3.

则－k －5k ＋4＋－5k －15

5k －3

＝－2，解得k ＝－3. 因此所求直线方程为y －2＝－3(x ＋1)，即3x ＋y ＋1＝0. 法三 两直线l 1和l 2的方程为(4x ＋y ＋3)(3x －5y －5)＝0，① 将上述方程中(x ，y )换成(－2－x,4－y )， 整理可得l 1与l 2关于(－1,2)对称图形的方程： (4x ＋y ＋1)(3x －5y ＋31)＝0.② ①－②整理得3x ＋y ＋1＝0.

考向三 距离公式的应用

【例3】?(2011·北京东城模拟)若O (0,0)，A (4，－1)两点到直线ax ＋a 2y ＋6＝0的距离相等，则实数a ＝________.

[审题视点] 由点到直线的距离公式列出等式求a .

解析 由题意，得6a 2＋a 4＝|4a －a 2＋6|a 2＋a 4，即4a －a 2＋6＝±6，解之得a ＝0或－2或4或6.

检验得a ＝0不合题意，所以a ＝－2或4或6. 答案 －2或4或6

用点到直线的距离公式时，直线方程要化为一般式，还要注意公式中分

子含有绝对值的符号，分母含有根式的符号．而求解两平行直线的距离问题也可以在其中一条直线上任取一点，再求这一点到另一直线的距离．

【训练3】 已知直线l 1：mx ＋8y ＋n ＝0与l 2：2x ＋my －1＝0互相平行，且l 1，l 2之间的距离为 5，求直线l 1的方程．

解 ∵l 1∥l 2，∴m 2＝8m ≠n

－1，∴??? m ＝4，n ≠－2或???

m ＝－4，n ≠2.

(1)当m ＝4时，直线l 1的方程为4x ＋8y ＋n ＝0，把l 2的方程写成4x ＋8y －2＝0.∴|n ＋2|

16＋64

＝5，解得n ＝－22或n ＝18. 所以，所求直线的方程为2x ＋4y －11＝0或2x ＋4y ＋9＝0.

(2)当m ＝－4时，直线l 1的方程为4x －8y －n ＝0，l 2的方程为2x －4y －1＝0，∴|－n ＋2|

16＋64

＝5，解得n ＝－18或n ＝22. 所以，所求直线的方程为2x －4y ＋9＝0或2x －4y －11＝0.

考向四 对称问题

【例4】?光线从A (－4，－2)点射出，到直线y ＝x 上的B 点后被直线y ＝x 反射到y 轴上C 点，又被y 轴反射，这时反射光线恰好过点D (－1,6)，求BC 所在的直线方程．

[审题视点] 设A 关于直线y ＝x 的对称点为A ′，D 关于y 轴的对称点为D ′，则直线A ′D ′经过点B 与C . 解 作出草图，

如图所示．设A 关于直线y ＝x 的对称点为A ′，D 关于y 轴的对称点为D ′，则易得A ′(－2，－4)，D ′(1,6)．由入射角等于反射角可得A ′D ′所在直线经过点

B 与

C .故BC 所在的直线方程为

y －66＋4＝x －1

1＋2

，即10x －3y ＋8＝0.

解决这类对称问题要抓住两条：一是已知点与对称点的连线与对称轴垂

直；二是以已知点和对称点为端点的线段的中点在对称轴上．

【训练4】 已知直线l ：x －y －1＝0，l 1：2x －y －2＝0.若直线l 2与l 1关于l 对称，则l 2的方程是( )．

A ．x －2y ＋1＝0

B ．x －2y －1＝0

C ．x ＋y －1＝0

D ．x ＋2y －1＝0

解析 l 1与l 2关于l 对称，则l 1上任一点关于l 的对称点都在l 2上，故l 与l 1的交点(1,0)在l 2上．又易知(0，－2)为l 1上一点，设其关于l 的对称点为(x ，y )，则?????

x ＋02－y －22－1＝0，y ＋2x ×1＝－1，

得???

x ＝－1，y ＝－1.即(1,0)、(－1，－1)为l 2上两点，可得l 2方程为x －2y －1＝0. 答案 B

难点突破19——两直线平行与垂直问题的求解策略

从近两年新课标高考试题可看出高考主要以选择题、填空题的形式考查两直线的平行和垂直问题，往往是直线方程中一般带有参数，问题的难点就是确定这些参数值，方法是根据两直线平行、垂直时所满足的条件列关于参数的方程(组)，通过解方程(组)求出参数值，但要使参数符合题目本身的要求，解题时注意直线方程本身的限制．

【示例1】? (2011·浙江)若直线x －2y ＋5＝0与直线2x ＋my －6＝0互相垂直，则实数m ＝________.

【示例2】?(2010·上海)已知直线l1：(k－3)x＋(4－k)y＋1＝0与l2：2(k－3)x－2y ＋3＝0平行，则k的值是()．

A．1或3 B．1或5 C．3或5 D．1或2