毕业论文11

●A基础理论

○B应用研究

○C调查报告

○D其他

本科生毕业论文（设计）

数列极限的几种求法

二级学院：数学与计算科学学院

专业：数学与应用数学

年级：

学号：

作者姓名：

指导教师：

完成日期：2013年5月5日

数列极限的几种求法

专业名称：数学与应用数学作者姓名：

指导教师：

论文答辩小组

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论文成绩：

1 引言 (1)

2 关于数列极限两种最常见的求法 (1)

2.1 定义法 (1)

2.2 两边夹原则 (2)

3 几种判别数列极限存在的方法 (4)

3.1 单调有界定理 (4)

3.2 柯西收敛准则 (6)

4 利用函数性质求极限 (10)

4.1 海涅定理 (10)

4.2 重要极限的应用 (12)

5 其它方法 (14)

5.1 施笃兹定理法 (14)

5.2 级数性质法 (17)

5.3 定积分定义法 (17)

5.4 错位法与拆分法 (19)

数列极限的几种求法

摘要：主要介绍了极限的几种求法,并以几个实例来加以说明. 关键词：数列;极限;求法

Several Methods of Finding the Sequence limit

Abstract: Several methods of Finding the sequence limit are introduced and some examples are used to explait them.

Keyword ：sequence ; limit; solution

1 引言

数列极限是极限论的重要组成部分，而极限论是数学分析学的基础.同时极限论不仅在复变函数、实变函数、常微分方程、泛函分析等数学领域里应用广泛，而且在计算机技术、科学研究、工程技术等方面应用也日益广泛.虽然国内外学者对数列极限的性质、存在的判别、求法解法的研究已经相当系统、成熟，然而对于初学者而言，这部分知识他们并不容易接受，尤其是对数列极限的定义、数列极限存在判别方法的使用、数列极限的不同求法对不同题型的应用等.因此通过比较研究，实例对比总结结论以获得对知识更深的理解就显得极其重要.

2 关于数列极限两种最常见的求法

2.1 定义法

定义2.1.1

[4]

设{}n a 为数列,a 为实数,若对任给的正数，ε 总存在正整数，N 使得

当N n >时有,ε<-a a n 则称数列{}n a 收敛于，a 实数a 称为数列{}n a 的极限,并记作

lim n n a a →∞

=或()n a a n →→∞.

例2.1.2

[1]

设.0lim

=+-∞→a x a

x n

n x 证明.lim a x n x =∞

→

证明因为.0lim

=+-∞→a x a x n

n x 故0>?ε(取21

<ε),，

+∈?N N N n >?,有

.22εεεεa a x a a x a x a x n n n n +-≤+-=+<- 于是,412εε

εa a a x n <-<- 由ε的任意性知.lim a x n x =∞

→

例2.1.3

[6]

用N -ε语言证明).1(0lim

>=∞→a a n

n 证明设,1u a += 由于,1>a 所以.0>u 由二项式定理得

)1(2)1(1)1(2

2u n n u n n nu u a n n ->+-+

+=+= 因此

,)1(2

02ε<-<=-u

n a n a n n n 解此不等式得,122+>

u n ε应取.122??

????+=u N ε 用N -ε语言表述即为:,0>?ε即.1)1(2

????+-=a N ε 当N n >时，有,)1(2

02ε<-<=-u

n a n a n n n 这就说明了).1(0lim

>=∞→a a n

n 小结设通过以上例子总结出运用”

“N -ε论证法的大致步骤: )(i 任意给定；0>ε

)(ii 令；ε<-A x n )(iii 推出；)(εΦ>n

)(iv 取，)(εΦ=N 再用N -ε语言顺述并得出结论.

以上是对已知数列极限存在的情况下求数列极限,那么对于一个给定的数列,当它满足什么条件时才能保证这个数列的极限存在呢?下面给出的迫敛性法则有助于我们找到结论.

2.2 两边夹原则

定理 2.2.1

[2]

设收敛数列{}n a ,{}n b 都以a 为极限,数列{}n c 满足存在正整数

，0N 当0N n >时有，，n n n b c a ≤≤ 则数列{}n c 收敛，且.lim a c n n =∞

→

例 2.2.2[5]

求极限 .sin )1(lim 21

n k n k n

k n π

∑=∞→+

解利用,sin 6

3x x x x <<-得

26332sin 61n k n k n k n k ππππ<<-

从而

3121

)1(61)1(n n

k n k n k n k n

k n

k ∑∑==+-+

)

1(sin )1(n

k n k

n k n k n

k n

k π

∑∑==+<

+< 又由于 ()∞→→≤+∑∑==n n k n k n k n

k n

k ,02)1(16

31633ππ 所以有 ,65)(1)(lim )1(lim 10212212π

πππ=+=+=+?∑∑=∞→=∞→dx x x n n k n

k n k n k n k n n

k n

故 .6

5sin )1(lim 21

π=+

∑=∞

→n k n k n

k n 例2.2.3[4] 求极限.1sin 212sin 1sin lim ??

????

?++++++∞→n n n n n n n πππ （北京大学1999年）解由题意立即可得

++++<

++++2

2sin

1sin 1sin 2sin

sin

n n n n n n n πππππ

.1sin 2sin sin 1sin n

n n n n n ++++<++ππππ 又有 )1

sin 2sin sin (lim ++++∞→n n n n π

ππ

????+++??+=∞→)sin 2sin (sin 11lim πππππ n n n n n n

???+++=∞→)sin 2sin (sin lim 1πππππ n n n n .2

sin 1

xdx

同理可得

)1sin sin

sin (

lim ππ

++++∞

→n

n n

因此 .21sin 212sin 1sin lim π

πππ=?

???

?++++++∞→n n n n n n n 小结:运用两边夹原则的关键在于将数列{}n c 进行适当地放大与缩小,一般是从数列{}n c 本身结构出发,将其通项放大后得数列{}n a ,缩小后得数列{}，

n b 并使{}n a 与{}n b 的极限都存在且相等,放缩的技巧基本上类似应用"-"N ε定义法证数列极限时的

常用方法,关键在于掌握不等式放缩的各种方法.

但事实上很多数列不一定就有一定规律的或者很容易使用两边夹原则就可以求之的,而且有的数列是有极限还得进行判断,这时就得引入判别数列极限存在的定理.

我们已经知道,收敛数列必定有界,但有界数列却不一定收敛,那么对于有界数列,我们应该附加什么条件,才能保证它收敛呢?

3 几种判别数列极限存在的方法

3.1 单调有界定理

定理3.1.1

[1]

在实数系中,有界的单调数列必有极限.

注:)(i 定理中的两个条件（单调和有界）缺一不可,如数列{}n )1(-是有界的,但它不满足单调性,由以前学习所知,它的极限并不存在,又如数列{}2+n 显然是单调的,但它无界,显然它的极限不存在.

)(ii 此定理中“单调有界”的条件是充分的,然而并非必要.例如???

???n n sin 的极限存

在,但它不具备有单调性.

例3.1.2

[2]

设,,2,1,0),2

(21,210 =+=

=+n x x x x n n n 求.lim n x n ∞

→ （华南理工大学1998年）解由题意可得,,0>n

x 且,222

1)2(2

11=??≥+=+n

n n

n n x x x x x

又 ,02221)2(212

1≤-=-=

-+=-+n

n n n n n n n x x x x x x x x x 所以数列{}n x 单调减少有下界，从而收敛.不妨设,lim a x n n =∞

→

对)2

(211n

n n x x x +=+两端取极限可得

),2

(21a

a a +=

解得 2=a (2-=a 舍去)

因此 .2lim =

∞

→n

例3.1.3[9]

证明e n n =+++++∞

→)!

!31!2111(lim 证明令;!

!31!2111n y n ++++

+= 则显然{}n y 是严格单调递增的，又因为 122

21212-++++

112122211)21(2

+<+--= 故{}n y 有上界.因此{}n y 收敛，另一方面，任意设定,k 当k n >时，

+--+-++=+3

!3)2)(1(1!2)1(1!11)11(n n n n n n n n n n n

n n n n n 1

!123)2)(1(??--+

1()21)(11(!1)21)(11(!31)11(!2111n

n n n n n n n ----++--+-+

)11()21)(11(!1)21)(11(!31)11(!2111n

k n n k n n n ----++--+-+

+> 由此式两端令,∞→n 得

!31!2111k e ++++

+≥ 另外，又可看出 e k k k =+++++≤+

1!31!2111)11( 故由两边夹法则可知 e n n =++++

+∞

→)!

!31!2111(lim 到目前为止,我们讨论一个数列}{n a 是否收敛时,总是和一个特定的数列a 紧密联系在一起的,我们的任务只是验证数列}{n a 是否以a 为极限,但事实上如果预先不告诉我们那个a ,如何从数列本身的特性来判断它是否收敛?另一方面,单调有界原理只是数列收敛的充分条件,它只适合于一类特殊的数列--单调有界数列，因而它对求数列极限有很大的局限性.所以单调有界原理并不是收敛的特征性质，这也就要求我们必须寻找一个能够刻画数列收敛的特征,即从数列本身的结构出发，来研究收敛的充要条件.

3.2 柯西收敛准则

定理 3.2.1

[4]

数列{}n a 收敛的充分必要条件是任给，0>ε 存在，)(εN 使得

当N N n >>m ，时,都有

ε<-n m a a )'21.3( 成立.

注:)(i 我们令,p n m =-则,p n m +=这时p 为正整数（当N n >时必有N m >）.于是上式可以改为

.ε<-+n p n a a

这样我们就得到柯西准则的另一种表述形式: 定理3.2.2

[7]

数列{}n a 收敛的充要条件是:任给,0>ε 总存在正整数,N 使

得N n >时,对一切正整数,p 都有

.ε<-+n p n a a )'22.3(

成立.

显然,柯西收敛准则的两种表达形式等价,他们各有方便之处.

)(ii 柯西收敛准则揭示了收敛数列的本质特征,它表明数列收敛时,对于下标充分大的任意两项能相差任意小.

)(iii 利用柯西收敛准则来判断一个数列是否收敛(也是""N -ε方法)无需事先知道数列的极限是什么,只需根据数列本身的结构特征,恰当的运用不等式,就能鉴别它的收敛性.

例3.2.3[5]

证明数列),2,1(!

sin !33sin !22sin 1sin =++++=n n n

a n 收敛.

证明 (证法一)设,n m > 考虑下式 !

sin )!2()2sin()!1()1sin(m m

n n n n a a n m +

++++++=

- !

sin )!

2()2sin()!

1()1sin(m m n n n n +

++++

++≤

m m n n n n )1(1

)2)(1(1)1(1-+

+++++<

11()2111()111(m

m n n n n --+++-+++-

= .1

11n

m n <-=

可见,任给,0>ε要使,ε<-n m a a 只需要ε

或ε1>n 即可,故只须选取正

整数，??

???=ε1N 则当

N n m >>时,有

ε<<

-n

a a n m 所以由定理4.11便可知{}n a 收敛.

(证法二)因为

()

sin()!2()2sin()!1()1sin(p n p n n n n n a a n p n +++++++++=

()sin()!

2()2sin()!

1()1sin(p n p n n n n n +++

++++

++≤

)

)(1(1

)2)(1(1)1(1p n p n n n n n +-+++++++<

)111()2111()111(p n p n n n n n +--++++-+++-= n

p n n 111<+-=

可见,任给,0>ε 要使,ε<-+n p n a a 只需要ε

1>n 即可,故只须选取正整数，??

???=ε1N 则当N n >时,对一切正整数，p 都有,1ε<<-+n a a n p n 所以由定理4.12知数列{}n a 收敛.

注:上例表明,运用柯西收敛准则的两种形式(定理4.11和定理4.12)证明一个数列的收敛性,其方法与利用""N -ε定义法验证数列极限的方法在程序和要求上是类似的.但要注意,由于绝对值不等式)'11.4(和)'12.4(都有两个下标,而所要确定的正整数N 仅与ε有关,而与m 或p 无关,故在放大n m a a -或n p n a a -+时必须设法把下标m 或p 去掉,使最后得到的式子仅含有.n 如下例:

例3.2.4

[5]

已知,1

),2,1(3232 =++++=n n

q q q q a n

n 收敛.

证明设,n m > 因为

q n q n q a a m

n n n m +++++=-++ 2121

n q

n n +

+++

+≤

++ 2

n n q

q q +++<++ 2

q q

n n

m n -<

-<--=

+-+111)

1(1

可见，任给,0>ε 要使,ε<-n m a a 只需要ε<-+q

n 11

或q

q n ln )1(ln ->

ε即可,

故只须选取正整数q

q N ln )1(ln -=

ε 则当N n m >>时,有,1ε<-<

-q

a a n

n m 从

而由定理4.11可知{}n a 收敛.

与此同时,上述柯西收敛准则也经常用来研究数列的敛散性,为此我们又给出:

定理3.2.5

[7]

数列{}n a 发散的充要条件是:存在某个,00>ε 使得对任何的

自然数N ,必有N m >0和N n >0,使得.00ε≥-n m a a

此定理是柯西收敛准则的反面叙述. 例3.2.6

[3]

证明数列)3,2,1(1

31211 =++++

=n n

a n 发散. 证明由定理，

15.4并设,n m >考虑到

m n n a a n m 1

2111+++++=

- )

2111n m n n n -++++++=

m n m n m m m m n

m -=-=+++>

-1111

因此,如果,2n m = 则有 2

211=->-n m a a

这样对于，2

0=ε 不管N 多大,如果取 ,2,1000n m N n =+=

则,,00N m N n >>并且

000002

21100ε==-=-

>-n n m n a a n m 从而{}n a 发散.

最后,我们强调指出,利用以上定理分析解决数列问题时,必须正确指出使用定理的条件,否则就会出现不必要的错误.如对柯西收敛准则中)'11.4(和

)'12.4(式中的，ε 它只与n 有关,而与m 及p 都无关,如果不注意这一条件就会出

现错误.

例如,对于数列)3,2,1(1

31211 =++++

=n n

a n 对任一正整数ε及确定的正整数，p 取，??

???-=1εP N 当N n >时,即1->εp n 时,恒有

p n n a a n p n ++++=

-+111

ε<+=++++<

1111n p n n 但事实上由例6我们知,数列{}n a 是发散的.

4 利用函数性质求极限

我们已经指出函数极限与数列极限的主要差别在于前者的变量连续地变化,后者的变量离散地变化(跳跃地变化).实际上,无论变量是离散地变化还是连续地变化,只要它们的变化趋势相同,从极限的意义来说,效果就都是相同的.基于这个事实,数列极限与函数极限之间应该存在着一定的关系,它们在一定的条件下应能相互转化,能够建立这种关系的就是下面的海涅)(Heine 定理:

4.1 海涅定理

定理4.11

[2]

A x f x x =→)(lim 0

的充分必要条件是：对于任意满足条件,lim 0x x n n =∞

→ 且

),2,1(0 =≠n x x n 的数列{},n x 有 .)(lim A x f n n =∞

→

例4.1.2[7]

求极限)0(),(lim 1

+∞

→x x x n n n n 解

????????-=-+++1)()

1(1

1212n n n n n x

n x x n

)1(11

=+++n n x x n n n n n

由于，x x x t

x t t t t ln )ln (lim 1

lim 00==-→→

由海涅定理我们知

.ln )

1(1

lim

)

1(1x n n x n n n =+-+∞

→

所以原式为

).x x (n lim 1

n n 2n +∞

→-

x n n x x

n n n n n n n n ln 1

lim 1

lim

lim 1

)1(1

1=+?-?=∞→++∞

→+∞

→ 例4.1.3

[4]

若0,,>c b a ,求n

n c b a ???

?++

+∞→3

lim .（华南师大1997年）解先考虑????

?++=?????

??++3ln 3ln 1

111

x x x x

x x c b a x c b a 而极限 ????

??+++∞→3ln lim 1

x x x

c b a x

x x x 1

3ln ln lim 1

-???

??++=+∞→

21111

21ln 1

ln 1ln 1lim

b a

c c x b b x a a x x

x x x x x x -++??-??-?-=+∞

→

abc c

b a c

c b b a a x

x ln 3

ln ln ln lim

111111=++?+?+=+∞

→ 所以

n c b a ???

?++

+∞→3

lim ??

?????????? ??+++∞→+∞→=????

??++=x x x c b a x n n

x x n e c b a 1

ln 1

lim 3lim ()()31

ln 3

13ln abc e

abc e abc ==??

? ???= 小结:海涅定理揭示了变量离散地变化与连续地变化之间的内在关系,即在某种条件下,数列极限与函数极限可以相互转化.海涅定理有着广泛的应用,在解决问题时,根据海涅定理,我们可以把关于函数的极限问题转化为数列的极限问题;也可以把数列的极限问题转化为函数的极限问题.根据归结原则,若函数的极限存在，则同一极限过程的点列必存在且相等.对一些复杂的数列极限,可借助函数极限的方法去求解.因为函数的极限可用洛必达法则,泰勒公式,等价无穷小等很好的公式去求解.

4.2 重要极限的应用

定理4.2.1[4]

两个特殊极限;1sin lim )(0

=→x

i x .)11(lim )1(lim )(10

e x

x ii x

x x

x =+

=+∞

→→

例4.2.2[7]

求极限)1

4(tan lim n

n +∞→π

解记n 1为，x 则,0→?∞→x n 令

),4

(tan 1

x y x

+=π 则 )4

tan(ln 1ln x x y +=π

tan()

4(lim )4tan(ln lim ln lim 2000=++=+=→→→x x ses x x y x x x ππ

故 ,lim 2

e y x =→从而.)1

(

tan lim 2e n

n =+

∞

→π

例4.2.3

[7]

求极限

ln 1

1ln(ln )cot 1

(sin 26lim

22n

n n n arc n n n n n +-∞

→

解利用等价无穷小得)(ln 1)ln 11ln(∞→≈+

n n

n n n 而

,12lim 2=∞

→n

n n 所以 )

ln 1

1ln(ln )

cot 1

(sin 26lim 2

n n n arc n

n n

n +-∞

→ n

n arc n n n 1)

cot 1

(sin 6lim 2

-=∞→ )cot 1

(sin

6lim 3n arc n

n n -=∞

→

将

换为x ，则当∞→n 时有,0→x 于是利用洛必达法则有 3

cot (sin 6lim x x

arc x x -→ 2

)11

(cos 2lim

x x x +-

=→ 1)

1(1

cos )1(lim 22220=+-+=→x x x x x 故 .1)

ln 1

1ln(ln )cot 1

(sin

26lim 22=+-∞

→n

n n n arc n n n n n

小结:以上方法是利用重要公式求极限或转化为函数的极限,此方法必须在牢记重要极限的形式和其值的基础上,对所求式子作适当变形,从而达到求其极限的目的,这种方法灵活,有相当的技巧性.

5 其它方法

5.1 施笃兹定理法

我们所学的施笃兹)(stolz 公式也是求数列极限的一种有利工具,但需要满足一定的条件:若数列{}n y 单调递增趋于∞+,且A y y x x n

n n

n n =--++∞

→11lim

（可以为无穷大），那么

A y x n

n =∞

→lim

,有了这样的公式我们在解决一类数列极限时可以简便求出其解. 定理5.1.1

[2]

若 )(i {}n y 严格增大,且无界;

)(ii l y y x x n n n n n =----∞

→1

lim ,

则?

?n n y x 收敛，且l y y x x y x n n n n n n n n =--=--∞→∞→11lim lim .

例5.1.2

[5]

设p 为自然数,求下列各极限:

)(i 1

)12(31lim

+∞→-+++p p

p n n n )(ii )1(lim 2

>∞→a a

n n n

解 )(i 设,,)12(5311+=-++++=p n p p p n n y n x 则n y 单调递增，且+∞→n y

又因为 1111)1()12(++++-++=--p p p

n n n n n

n n y y x x

)1(!

2)1()1(1

)2()2()2(11+++++++++++=--n p n p p n p n p n p n p p

p p

)(1211!2)1()1(11221

∞→+→++++++++=

-n p n

n p p p n n p p p

p p 所以由stolz 定理有 1)12(31lim +∞→-+++p p

p n n n

12lim 11+=--=++∞→p y y x x p

n n n n )(ii 设,,2

n n a y n x == 则由1>a 知,n y 单调增,且，

+∞→n y 又因为 n

n n n n a n a a a n y y x x 1

211)1(1211+?-=-+=--++ 所以 n

n n n n n n a n a y y x x 1

2lim 11lim

11+-=--∞→++∞

→

注意到

n a n 12+仍为∞

∞

型)(∞→n ,且满足stolz 定理条件 0)

1(2

lim )12(1)1(2lim 12lim 1=-=-+-++=+∞→+∞→∞→a a a a n n a n n n n n n n n 即 .0lim

11=--++∞

→n

n n

n n y y x x

故 .0lim lim 112

=--=++∞→∞→n

n n n n n

n y y x x a n 注: )(i 本题个小题均为

∞

型,通过恰当引入,,n n y x 应用stolz 定理将问题转化为求n n n n y y x x --++11的极限,各题中,为求出n

n n

n y y x x --++11的极限,均用到二项展开式.

)(ii 由本题可见,为应用stolz 定理,引进,,n n y x 后,应检验其是否满足定理条件，并求极限n

n n

n n y y x x --++∞

→11lim

,只有在确定此极限存在(包括为∞±时)方可用定理,若

n n n

n n y y x x --++∞→11lim 不存在,不能推出n

n n y x ∞→lim 不存在,只能证明不能用此定理. )(iii 由第二小题可见,在同一题目中,只要定理条件满足,stolz 定理可以连续使

用.并由此题,结合数学归纳法,立即可得，0lim =∞→n k

n a

n 其中k a ,1>为任意给定的自然

数.

例 5.1.3

[2]

设0)(lim 1=--∞

→n n n A A n ,试证:n

A A A n

n +++∞

→ 21lim

存在

时,.lim

lim 21n

A A A A n

n n n +++=∞

→∞

→

证明因为n

A A n A A A A n

n n n +++++-

= 11)(，因此只须证明第一项趋于0，为了利用0)(lim 1=--∞

→n n n A A n ，特令112211,,,--=-==n n n A A a A A a A a ,

则可知0lim =∞

→n n na ,且112211)()()(A A A A A A A A n n n n n +-++-+-=---

11a a a n n +++=- 于是由stolz 公式有，

)(lim 21n n

A A A A n

n +++-

∞

→

])

()()[(lim 2121111n

a a a a a a a a a n n n n +++++++-

+++=-∞

→

a n a a n

n )1(2lim

32-+++=∞→ （应用stolz 公式）

1(lim )1()1(lim

=?-=---=∞→∞→n n n n na n

n n n a n

使用施笃兹公式可解决一类比较复杂的数列极限,然而有些更显复杂的数列,也不满足已有的条件,这时就得另寻他法,我们注意到有时所求数列极限跟数项级数有一定的转化关系,于是我们就可以考虑是否可转化为级数类而求之?下面的例子就说明可以转化为级数的形式.

5.2 级数性质法

例5.2.1[7]

求极限 n

n n n n !

2lim ∞→

解构造级数,!

2∑n

n n

n 用达朗贝尔判别法，有.12)1(2lim !2)

1()!1(2lim 11<=+=???????++∞→++∞→e n n n n n n n

n n n n n n n 从而级数,!

2∑n n n

n 收敛，

由收敛级数的必要条件知.0!

2lim

=∞→n

n n n n 类似于利用级数性质法求数列极限,定积分作为数学分析学重要课程之一,巧妙利用定积分性质对求数列极限也会有很多帮助.

5.3 定积分定义法

定理5.3.1

[7]

若函数)x (f 为区间[]b ,a 上的连续函数，则利用定积分求极限

的基本形式为 ?∑=-?-=∞

→b a n

i n dx x f n

b n i a b f .)())((

lim 1