正四面体

正四面体
正四面体

在江苏省考中,图形推理的空间重构主要考察正六面体、正四面体和正八面体,正六面体的考察方式和国考差不多,所有有过国考复习基础的同学在准备省考的时候可以把重点放到正四面体和正八面体上来,各个击破。今天我们一起了解正四面体的考法和解题技巧。正四面体就是由四个正三角形组成,如下图:

我们可以看到,一个正四面体由四个正三角形组成,总共有ABCD四个顶点,每个顶点会连接三个面,它的展开情况有两种情形:三角式和直线式。如下图所示:

第一种情形我们称为三角式,第二种情形我们称为直线式,既然一个四面体有四个顶点,每个顶点连接三个三角形,那我们可以通过描点法来进行解题。下面我们通过几道历年真题来进行讲解。

1、左边给定的是纸盒的外表面,右边哪一项能由它折叠而成? (2013年江苏公务员行测C类52题)

解析:此题可以采用描点法来解答。将正四面体的展开图描点之后,如下图所示:

将选项A图描点之后,如下图所示:

与原图对比发现,若以CAB面为基准面,则ABD面与原图并不相同,错误,则A项错误。将选项B图描点之后,如下图所示:

若以BCD面为基准面,与原图对比发现,原图中并无ACD面,故B项错误。

将选项D图描点之后,如下图所示:

若以BCD面为基准面,与原图对比发现,原图的AD边连着黑白相间的图形,而此图中,AD边与黑三角相连,故D项错误。而只有C项的所有点面均与题干的展开图完全符合,故正确答案为C项。

2、左边给定的是纸盒的外表面,右边哪一项能由它折叠而成?

(2013年江苏公务员行测A类57题)

解析:此题可以采用描点法来做,将题干的图形描点之后为下图,

将选项A图描出如下所示:

通过与原图对比发现,BCD面中的D点错误,在原图中应该是C点,故A项错误。

将选项B图中的点描出,如下所示

通过与原图对比发现,ABD面错误,应该为CBD,故B项错误。

将选项C图中的点描出如下所示:

通过与原图对比发现ABD面错误,应该为ABC面,故C项错误。将选项D图中的点描出后完全无误,故正确答案为D项。

3、左边给定的是纸盒的外表面,右边哪一项能由它折叠而成?

(2013年江苏公务员行测B类112题)

解析:此题可以采用描点法来做。将题干的图标点后如下图所示。

选项A图描点如下所示:

经过与原图对比可知,ABD面与原图中的ABD面并非同一面,故A项错误。选项B图描点如下所示:

经过与原图对比可知,ABC面与原图的ABC面并非同一个面,故B项错误。

选项C图描点如下所示:

经过与原图对比可知,CAB面与原图的CAB面并非同一个面,故C项错误。D选项的图每个面与原图一致,故答案为D项。

描点法对于正四面体是一个比较好用的方法,对于空间想象能力比较差的同学是一个很好的解题技巧,如果能理解如何描点并加以熟练的运用,就可以在考场上快速的求出正确的答案。

12009年4·26联考《行测》真题(天津/陕西/湖北)第53题

A.A

B.B

C.C

D.D

正确答案是D,你的答案是C。回答错误

解析元素组成凌乱,考数数。已知图形均是封闭图形,每个图形均有9个内角,那么待选图形也应有9个内角,D符合条件。故正确答案为A。

平面-数数

2

A.A

B.B

C.C

D.D

3小明用下图甲的胶滚沿着从左到右的方向将图案滚涂到墙上,右边所给的四个图案中符合胶滚滚涂图案的是()。

A.A

B.B

C.C

D.D

正确答案是C,你的答案是B。回答错误

来源

2009年上海市公务员录用考试《行测》真题第68题

统计

全站数据: 本题共被作答2453次,正确率为51.16%,易错项为 A

解析

由于甲上的图案是从左往右滚动,因此中间的三角形应该首先印到墙上,因此排除A、B。

又由于中间只有一个三角形,因此D错误。故正确答案为C。

考点

其他

笔记

编辑笔记

4

A.A

B.B

C.C

D.D

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2008年湖北省公务员录用考试《行测》真题(B类)第52题

统计

全站数据: 本题共被作答2280次,正确率为62.76%,易错项为 A

解析

部分元素不变,部分呈现明显数量递减,考数量。每一横行中每个图形的下半部分不变,上半部分中重复的小图形的个数成等差数列递减。第一行三角形个数依次为5,3,1;第二行

圆的个数为3,2,1;第三行海鸥的个数为6,3,0。故正确答案为C。

考点

平面-数数

笔记

编辑笔记

5

A.A

B.B

C.C

D.D

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来源

2013年广东省公务员录用考试《行测》真题(三)第75题

统计

全站数据: 本题共被作答2189次,正确率为63.00%,易错项为 B

解析

观察前几列条纹,后一列条纹由前一列条纹向上移动所得。考虑第四列条纹的第一个方格,

可确定C符合此规律。故正确答案为C。

考点

平面-位置

编辑笔记

6

A.A

B.B

C.C

D.D

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来源

2010年江苏省公务员录用考试《行测》真题(A类)第57题

统计

全站数据: 本题共被作答2250次,正确率为37.56%,易错项为 C

解析

元素组成凌乱,考虑数量,经过验证,数点。已有图形从左至右、自上而下每个图形的交点数依次为3、4、5、6、7、8、9、10个,则下一个图形的交点数应当为11个,选项中点

数为11、5、12、12 。故正确答案为A。

秒杀技

当题目元素凌乱,那么数数的考点很多,可以从题目中最简单的图形出发,帮你去确定考点。考点

平面-数数

笔记

编辑笔记

7

右边的四个平面图形中,只有一个是由左边的四个图形拼合而成的,请选出。

A.A

B.B

C.C

D.D

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2011年江苏省公务员录用考试《行测》真题(B类)第106题

统计

全站数据: 本题共被作答2238次,正确率为42.63%,易错项为 C

解析

由于D项中的图形可划分为如下部分,因此正确答案为D。

考点

平面-拼图

笔记

编辑笔记

8

从所给的四个选项中,选择最合适的一个填入问号处,使之呈现一定的规律性。

A.A

B.B

C.C

D.D

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来源

2013年浙江省公务员录用考试《行测》真题(A类)第78题

统计

全站数据: 本题共被作答3012次,正确率为87.52%,易错项为 B

解析

本题元素组成凌乱,考数数。本题数封闭空间的数量。已知每个图形的封闭空间都为6个,

A项也有6个,是答案。B项和C项只是5个,D项只有4个。故正确答案为A。

考点

平面-数数

笔记

编辑笔记

9

A.A

B.B

C.C

D.D

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10

A.A

B.B

C.C

D.D

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2010年贵州省公务员录用考试《行测》真题第53题

统计

全站数据: 本题共被作答2325次,正确率为39.96%,易错项为 D

解析

元素组成凌乱,考数数。本题考察数直线。已知图形第一列图形的直线数分别是8、7、6,第二列图形的直线数分别为3、4、5,因此第三列图形的直线数分别为2、1、0,此时按纵向S型规律来看,图形直线数为8、7、6、5、4、3、2、1、0。通过分析,只有B项中图

形没有直线,故正确答案为B。

考点

平面-数数

笔记

编辑笔记

11

A.A

B.B

C.C

D.D

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来源

2008年浙江省公务员录用考试《行测》真题第59题

统计

全站数据: 本题共被作答2286次,正确率为22.35%,易错项为 A

解析

元素组成凌乱,考数数。本题是图形数量题,考查的是图形顶点(交点)数目的变化,四幅图中顶点(交点)的个数分别为8、7、6、5,依次递减,只有D项交点数为4。故正确答

案为D。

考点

平面-数数

笔记

编辑笔记

12

A.A

B.B

C.C

D.D

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来源

2008年江西省公务员录用考试《行测》真题第53题

统计

全站数据: 本题共被作答2269次,正确率为45.79%,易错项为 A

解析

元素组成凌乱,考数数。数部分。已知各图均由两个不相同且不相连的部分组成,选项A、

B、C、D分别有两个部分(相同),三个部分,一个部分,两个部分,故正确答案为D。考点

平面-数数

笔记

编辑笔记

13

A.A

B.B

C.C

D.D

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来源

2011年江苏省公务员录用考试《行测》真题(B类)第112题

统计

全站数据: 本题共被作答2379次,正确率为51.45%,易错项为 C

解析

元素组成凌乱,数部分。九宫格中都不是一个连通图形,多个部分组成,即题干中所有图形

均是由不相交的小图形构成。ACD都是连通图形,因此正确答案为B。

考点

平面-数数

笔记

编辑笔记

14

A.A

B.B

C.C

D.D

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来源

2008年福建省公务员录用考试《行测》真题第63题

统计

全站数据: 本题共被作答2248次,正确率为41.37%,易错项为 D

解析

元素个数,每个图形内各元素的数量分别为6,6,7,7,8,8。选项中元素个数为8,6 ,

7 ,7 。故正确答案为A。

考点

平面-数数

15

从所给的四个选项中,选择最合适的一个填入问号处,使之呈现一定的规律性。

A.A

B.B

C.C

D.D

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来源

2013年4·13联考《行测》真题(辽宁/湖南/湖北/安徽/四川/福建/云南/黑龙江/江西/广西/

贵州/海南/内蒙古/山西/重庆/宁夏/西藏)第96题

统计

全站数据: 本题共被作答5809次,正确率为56.79%,易错项为 D

解析

本题元素组成凌乱,考数数,具体考直线数和交点数。已知图形中均包含3条直线,且内部图形与外部图形的交点数均为3。A项中包含5条直线,内外部图形相交的交点数为3,B项有3条直线,3个交点,C项有3条直线,0个交点,D项有3条直线,4个交点。故

正确答案为B。

考点

平面-数数

16

以下为立方体的外表面,下列哪个立方体可以由此折成?

A.A

C.C

D.D

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来源

2013年4·13联考《行测》真题(辽宁/湖南/湖北/安徽/四川/福建/云南/黑龙江/江西/广西/

贵州/海南/内蒙古/山西/重庆/宁夏/西藏)第97题

统计

全站数据: 本题共被作答5659次,正确率为67.52%,易错项为 C

解析

本题考查空间重构,通常用排除的思想。左上角有小黑点的一面与中间有小正方形的一面是相对面,根据相对面不相邻的原则,排除B项。假如C项的顶面和右侧面的方位是正确的,那么左侧面的小黑点应位于左上角;假如D项的顶面和左侧面的方位是正确的,那么右侧面应该是中间有小正方形的一面。C项和D项均错误,A项可由左侧展开图折成。故正确

答案为A。

考点

空间-折纸盒

笔记

编辑笔记

17

以下为立方体的外表面,下列哪个立方体可以由此折成?

A.A

B.B

C.C

D.D

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来源

2013年4·13联考《行测》真题(辽宁/湖南/湖北/安徽/四川/福建/云南/黑龙江/江西/广西/

贵州/海南/内蒙古/山西/重庆/宁夏/西藏)第98题

全站数据: 本题共被作答5678次,正确率为63.31%,易错项为 C

解析

本题考查空间重构。A项可由左侧展开图折成。假设B项的顶面和左侧面的方位是对的,右侧面的“A”指向错误;假设C项的顶面和左侧面的方位是对的,右侧面的“T”指向错误;假

设D项的左侧面和右侧面的方位是对的,顶面的“A”指向错误。故正确答案为A。

考点

空间-折纸盒

笔记

编辑笔记

18

从所给的四个选项中,选择最合适的一个填入问号处,使之呈现一定的规律性。

A.A

B.B

C.C

D.D

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来源

2013年4·13联考《行测》真题(辽宁/湖南/湖北/安徽/四川/福建/云南/黑龙江/江西/广西/

贵州/海南/内蒙古/山西/重庆/宁夏/西藏)第93题

统计

全站数据: 本题共被作答6045次,正确率为68.82%,易错项为 C

解析

元素组成凌乱,考属性。第一组图形中的每个图形均沿竖轴对称,第二组图形中的已知图形沿左斜线对称。A项图形沿左斜线对称,B项不是对称图形,C项沿右斜线对称,D项沿竖轴对称。故正确答案为A。

平面-属性

笔记

编辑笔记

19

A.A

B.B

C.C

D.D

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来源

2012年9·15联考《行测》真题(新疆/福建/重庆/河南)第72题

统计

全站数据: 本题共被作答5861次,正确率为29.59%,易错项为 B

解析

元素组成凌乱,考数数。已知图形第一列各个图形封闭空间数分别是4、0、4;第二列各个图形封闭空间数分别是5、1、4;观察发现,按列来看,后两个图形封闭空间数之和是第一个图形封闭空间数。依此规律,第三列未知图形封闭空间数应为4。D项符合封闭空间数为

4的要求,所以答案为D。

考点

平面-数数

编辑笔记

20

A.A

B.B

C.C

D.D

正确答案是D,你的答案是A。回答错误

来源

2012年9·15联考《行测》真题(新疆/福建/重庆/河南)第73题

统计

全站数据: 本题共被作答5842次,正确率为41.68%,易错项为 A

解析

元素组成凌乱,考数数。题干图形均有两部分组成,但这个题目不考查内外关系,而是可以一笔画构成,那么未知图形的内部图形也应由一笔画构成。选项笔画数依次为2、2、3、1。

故正确答案为D。

考点

平面-数数

笔记

编辑笔记

21

A.A

B.B

三棱锥的一个体积公式及其两条推论

三棱锥的一个体积公式及其两条推论 (李明 中国医科大学数学教研室 110001) 摘要:本文利用空间向量这个强有力的数学工具推导出了三棱锥的一个体积公 式 1 6 V =a b c 、、为三条侧楞的 长度,αβγ、、为它们的相互夹角,即三个侧面顶角),并由该公式推演出了两条推论. 关键词: 三棱锥 体积公式 等夹角三棱锥 最大体积 0引言 我们知道,如果 OAB ?的两条边OA a OB b ==、,其夹角AOB α∠=(显然 (0,)απ∈),则OAB ?的面积1 sin 2 S ab α=(如图1).将此结论类比到空间(如图2),我们 便有如下问题:如果三棱锥O ABC -的三条侧棱OA a OB b OC c ===、、,其夹角 AOB BOC COA αβγ∠=∠=∠=、、(显然(0,),(0,2)αβγπαβγπ∈++∈、、),则 三棱锥O ABC -的体积V 如何用这些已知的棱长a b c 、、及已知的夹角αβγ、、来表示呢?即体积V 的公式是什么呢? 1 推导体积V 的公式 首先,在图2的基础上,以三棱锥O ABC -的顶点O 为坐标原点,以OA 为x 轴正向,以垂直于OAB ?所在的平面的方向为z 轴建立右手空间直角坐标系Oxyz (如图3). 图3 x

在图3中,(,0,0),(cos ,sin ,0),(,,)OA a OB b b OC x y z αα=== (其中x y z 、、为未知 数),将这些向量带入如下向量方程组: cos cos OC c OB OC OB OC OA OC OA OC βγ ?=???=???=?? 我们便得到如下关于x y z 、、的代数方程组: 2222cos sin cos cos x y z c x y c x c ααβγ?++=? +=??=? 由此方程组我们可以求得 : z 于是三棱锥的体积为 111 sin 3321 (1) 6 AOB V S z z ab α ?==?= 2 两条推论 由体积公式(1),我们可以推演出如下两条推论.其中推论2的证明略微复杂,下文将详细给出证明步骤,而推论1的证明显而易见,不予赘述. 推论1(等夹角三棱锥体积公式)如图4,在三棱锥O ABC -中,如果三条侧棱 OA a OB b OC c ===、、,其夹角AOB BOC COA θ∠=∠=∠=(显然2 (0,)3 θπ∈),则 三棱锥O ABC -的体积为 1 (1cos (2)6 V abc θ=- B b O a c 图5 C B b A O a c θ θ θ 图4 C

使学生了解甲烷的结构式和甲烷的正四面体结构.

第 一 节 甲烷 1、 使学生了解甲烷的结构式和甲烷的正四面体结构。 2、 使学生掌握甲烷的化学性质,实验室制法和收集方法。 3、 使学生了解取代反应。 4、 培养学生观察、分析实验现象,形成规律性认识,并应用概念认识新事物的思维能力。 甲烷的实验室制法,甲烷的化学性质,取代反应。 甲烷的分子结构、甲烷的取代反应。 实验5——1、实验5——2用品 二课时 自学——辅导法 [引 言]1、什么是有机物?定义:含碳元素的化合物(碳氢化合物及其衍生 物)称为有机化合物。简称有机物(注意:CO 、CO 2、H 2CO 3及碳 盐例外,它们称为无机物)。 2、有机物与人类的关系。 3、人类早期、和现在取得有机物的手段。 [阅 读]P115页上 [提 问]1、有机物和无机物的种类比较(多少) 2、为什么有机物的种类繁多? 3、组成有机物的元素。 4、那类有机物叫烃?最简单的烃是什么? [简 述]有机物的特点: ①有机物种类繁多,结构复杂。 ②大多数有机物难溶于水而易溶于汽油、酒精、苯等有机溶剂。 ③绝大多数有机物受热易分解,而且容易燃烧。 ④绝大多数有机物是非电解质,不易导电,熔点低。 ⑤有机物所起的化学反应比较复杂,一般比较慢,并且还常伴随有副反应发 生。 [板 书] 第一节 甲 烷 一、甲烷的分子结构 [阅 读]P115页——116页上 要求掌握:⑴甲烷的分子式 ⑵甲烷的电子式 ⑶甲烷的结构式 ⑷甲烷的分子结构示意图

[展示甲烷的球辊模型和比例模型]加深对甲烷的正四面体结构的认识。 CH4分子中1个C与4个H形成一个四面体,C在正四面体中心,4个H在正四面体的4个顶点。 ①键角:109°28 ˊ正四面体 ②键长:C-H键键长:1.09×10-10m ③键能:413 KJ·mol-1 但由于有机物的立体结构式书写起来比较费事,为方便起见,一般采用平面的结构式。 [板书]甲烷的物理性质 ⑴无色、无味气体 ⑵在标准状况下,ρ=0.717g·L-1 ⑶极难溶于水 [板书]二、甲烷的实验室制法 1、原料:无水CH 3 COONa和干燥的碱石灰(NaOH和CaO)。 2、反应原理: CH 3-C0ONa + NaOH △ → Na 2 CO 3 + CH 4 ↑ CaO的作用 ①干燥剂(吸收反应中的水分产生) ②疏松剂(使生产的CH 4 易于外逸) ③防止试管破裂(防止NaOH在高温下与玻璃反应) [提问]讨论制取甲烷的装置与制取什么气体相同?为什么?[学生回答]与制氧气、氨气的装置相同(S+S g) [板书]三、甲烷的化学性质 1、甲烷的氧化反应 CxHy + (x+y/4) O 2点燃 → xCO 2 + y/2H 2 O *若在甲烷燃烧导管上方罩一个烧杯,烧杯内沾有石灰水能观察到什么现象? 火焰呈淡蓝色,烧杯内部有水蒸气凝结,石灰水变浑浊,同时放出大量的热。 证明:甲烷燃烧时有二氧化碳和水生成 用途:甲烷燃烧时要放出大量的热,故甲烷可用作燃料。 注意:如果点燃甲烷和氧气(或空气)的混和物,它立即发生爆炸,爆炸极限为:空气中含甲烷:5—15% 氧气中含甲烷:5.4—59.2%。所以点燃甲烷前必须检验纯度。 在煤矿矿井里要采取通风,严禁烟火等安全措施。 [实验5——4]演示 [讲述]高锰酸钾的酸性溶液是强的氧化剂。甲烷与之不反应说明甲烷很稳定,甲烷与强酸、强碱也不反应。 [板书]2、甲烷的取代反应 [实验5——2]演示 [学生讨论]由你观察到的现象,可以分析得到那些实验信息? [回答] 1、混合气体在光照下发生了化学反应。 2、生成了新的油状物质。

正四面体

正四面体 常用性质: 1、正四面体是由四个全等正三角形围成的空间封闭图形,所有棱长都相等。 它有4个面,6条棱,4个顶点。正四面体是最简单的正多面体。 2、正四面体属于正三棱锥,但是正三棱锥只需要底面为正三角形,其他三个面是全等的等腰三角形就可以,不需要四个面全等且都是等边三角形。因此,正四面体是特殊的正三棱锥。 3、基本性质:正四面体是一种柏拉图多面体,正四面体与自身对偶。 正四面体的重心、四条高的交点、外接球、内切球球心共点,此点称为中心。 正四面体的对边相互垂直。正四面体的对棱相等。 正四面体内任意一点到四个面的距离之和为定值 3 。 4、相关数据当正四面体的棱长为a时,一些数据如下: (中心把高分为1:3两部分} 2体积: 3 12 对棱中点的连线段的长: 2,两邻面夹角满足 1 cos 3 α=。 若将正四面体放进一个正方体内,则该正方体棱长为 2,其实,正四面体的棱切球 即为次正方体的内切球。 5、建系方法1.设有一正四面体D-ABC棱长为a 以AB边为y轴A为顶点ABC所属平面为xOy面建系四个顶点的坐标依次为 其他性质: 正四面体有一个在其内部的内切球和七个与四个面都相切的旁切球,其中有三个旁切球球心在无穷远处。 正四面体有四条三重旋转对称轴,六个对称面。 正四面体可与正八面体填满空间,在一顶点周围有八个正四面体和六个正八面体。 正四面体体积占外接球体积的2*3^0.5/9*π,约12.2517532%。 内切球体积占正四面体体积的π*3^0.5/18,约30.2299894%。 两条高夹角:2ArcSin(√6/3)=ArcCos(-1/3)=≈1.91063 32362 49(弧度)或109°28′16″39428 41664 889。这一数值与三维空间中求最小面有关,也是蜂巢底菱形的钝角的角度. 侧棱与底面的夹角:ArcCos(√3/3) 正四面体的对棱相等。具有该性质的四面体符合以下条件: 1.四面体为对棱相等的四面体当且仅当四面体每对对棱的中点的连线垂直于这两条棱。 2.四面体为对棱相等的四面体当且仅当四面体每对对棱中点的三条连线相互垂直。 3.四面体为对棱相等的四面体当且仅当四条中线相等。 化学中CH4,CCl4,SiH4等物质也是正四面体结构。正四面体键角是109度28分,约为109.47°。

空间几何体表面积与体积公式大全

空间几何体的表面积与体积公式大全 一、全(表)面积(含侧面积) 1、柱体 ①棱柱 ②圆柱 2、锥体 ①棱锥: ②圆锥: 3、台体 ①棱台: ②圆台: 4、球体 ①球: ②球冠:略 ③球缺:略 二、体积 1、柱体 ①棱柱 ②圆柱 2、锥体 ①棱锥 ②圆锥

3、台体 ①棱台 ②圆台 4、球体 ①球: ②球冠:略 ③球缺:略 说明:棱锥、棱台计算侧面积时使用侧面的斜高计算;而圆锥、圆台的侧面积计算时使用母线计算。 三、拓展提高 1、祖暅原理:(祖暅:祖冲之的儿子) 夹在两个平行平面间的两个几何体,如果它们在任意高度上的平行截面面积都相等,那么这两个几何体的体积相等。 最早推导出球体体积的祖冲之父子便是运用这个原理实现的。 2、阿基米德原理:(圆柱容球) 圆柱容球原理:在一个高和底面直径都是的圆柱形容器内装一个最大的球体,则该球体的全面积等于圆柱的侧面积,体积等于圆柱体积的。

分析:圆柱体积: 圆柱侧面积: 因此:球体体积: 球体表面积: 通过上述分析,我们可以得到一个很重要的关系(如图) += 即底面直径和高相等的圆柱体积等于与它等底等高的圆锥与同直径的球体积之和 3、台体体积公式 公式: 证明:如图过台体的上下两底面中心连线的纵切面为梯形。 延长两侧棱相交于一点。 设台体上底面积为,下底面积为 高为。 易知:∽,设, 则 由相似三角形的性质得:

即:(相似比等于面积比的算术平方根) 整理得: 又因为台体的体积=大锥体体积—小锥体体积 ∴ 代入:得: 即: ∴ 4、球体体积公式推导 分析:将半球平行分成相同高度的若干层(),越大,每一层越近似于圆柱,时,每一层都可以看作是一个圆柱。这些圆柱的高为,则:每个圆柱的体积= 半球的体积等于这些圆柱的体积之和。 ……

正四面体的结构与稳定性

正四面体的结构与稳定性 江苏省如皋市丁堰中学冒春建 226521 物质的组成、结构决定物质的性质。如果某物质具有稳定的空间构型,就有稳定的性质。那么怎么样的空间构型才是稳定的呢?按照价键理论,只要化学键的键角方向与其成键原子的价电子云在空间的伸展方向一致,则成键原子间的作用力最强烈,而成键电子与成键电子之间的排斥力最小(即通常所说的“键角张力”),非成键原子或原子团之间的空间距离最大,达到最大程度的舒展,使非成键原子或原子团间的空间位阻最小,具有这样的结构其内能最小,结构稳定。 正四面体结构是中学生所遇化学物质中最常见的空间构型之。例如,原子晶体中的金刚石、晶体硅、水晶等,它们的熔沸点高、硬度大,通常情况下很难跟一般的化学试剂反应,表现出较强的稳定性;分子晶体中的甲烷、四氯化碳等,它们在通常情况下与大多数化学试剂如强酸、强碱、强氧化剂、强还原剂等都不起反应,也表现出较强的稳定性。这是什么原因呢?因为在这些物质中,碳原子、硅原子都是以四个sp3杂化轨道与其相邻的四个原子形成典型的共价键基团“CC4”、“SiSi4”、“SiO4”或小分子“CH4”、“CCl4”,它们的键角方向与其中心原子的四个sp3杂化轨道的空间伸展方向一致,均为109°28′,不存在“键角张力”。并且它们的成键原子的电子云之间达到最大程度的重叠,键能大,内能低,结构稳定,所以它们的性质也稳定。 我们知道,浓硫酸中+6价的硫具有强氧化性,而稀硫酸中同样为+6价的硫却没有氧化性,这是为什么呢?在浓硫酸中,+6价的硫绝大多数是以H2SO4分子形式存在,而H2SO4分子的空间构型是不规则的四面体,在H2SO4分子中O—S—O键的键角与硫原子的四个sp3杂化轨道的空间伸展方向(夹角为109°28′)不一致,化学键之间存在较强的“键角张力”,内能较大。并且四个S—O键的键长不等,使位于中间的+6价硫原子的周围空间相对来说有一定的空隙,易受到具有还原性微粒的攻击,夺得电子,从而表现出氧化性。 在稀硫酸中,+6价的硫原子是以自由移动的SO42-离子形式存在,而SO42-离子的空间构型是正四面体,所有的S—O键都是沿着硫原子的四个sp3杂化轨道在空间的伸展方向成键,不存在化学键之间的“键角张力”,四个S—O键的键长、键能完全相同,四个氧原子均匀地、等距离地分布在硫原子周围,使位于正四面体中心的+6价硫原子难以被其它原子或原子团攻击,也就没有得电子的可能性,故稀硫酸中+6价的硫没有氧化性。 又如,氨气和硝酸中的氮元素分别处于最低价态-3价和最高价态+5价,按理说,前者具有较强的还原性,后者具有很强的氧化性,两者相遇应发生强烈的氧化还有反应,而事实上,它们之间发生的是非氧化还原反应(简单的化合反应),这又是什么原因呢?这是由于N H3分子中的氮原子在成键时的四个sp3杂化轨道有一个被自身的孤对电子占领,当它遇到H+后很快形成N→H配位键,变成N H4+离子。而N H4+离子的空间构型又是正四面体,四个N—H键的键长、键能均完全一样,键角均为109°28′,与N原子的四个sp3杂化轨道的夹角完全吻合,不存在“键角张力”;四个氢原子也均匀地分布在氮原子周围,使位于中心的-3价氮原子难以被其它原子或原子团进攻。故氨气在遇到硝酸、浓硫酸等酸性强氧化剂时,表现不出还原性。但是,当N H3在一定条件下,遇到CuO、Cl2等氧化剂时又表现出一定的氧化性。这是因为N H3分子中,N原子的四个sp3杂化轨道中有一个被孤对电子占用,根据价电子对互斥原理,N—H键间的夹角受孤对电子的排斥挤压,键角不再是109°28′,而是107°,故N H3分子中氮原子的周围空间不是被氢原子均匀包围,氮原子的价电子云有了一定程度的“裸露”,较易受到其它氧化性微粒的进攻,从而表现出一定的还原性。

三棱锥的体积

锥体的体积 教学重点和难点 三棱锥体积公式及其探求. 教学设计过程 (一)复习三个问题(学生口答) 1.锥体平行于底面的截面的性质 2.祖暅原理 3.柱体的体积公式及探求思路 (二)学生探求锥体体积公式 1.底面积是S,高是h的柱体体积公式的探求思路? 构造一个与所给柱体等底面积等高的长方体,由祖暅原理知,它们的体积相等,所以V 柱体 =Sh. 2.等底面积等高的两个锥体的体积之间有什么关系呢? 用祖暅原理.设有任意两个锥体,不妨选取一个三棱锥,一个四棱锥,并设它们的底面积都是S,高都是h(如图1).①把这两个锥体的底面放在同一个平面α上,由于它们的高相等,故它们的顶点必在与α平行的同一个平面β上,即这两个锥体可夹在两个平行平面α,β 之间;②用平行于平面α的任意平面去截这两个锥体,设截面面积分别为S 1,S 2 ,截面和顶点 的距离是h 1 ,体积分别 由祖暅原理知:V 1=V 2 .(生叙述师板书) 可以叙述为:等底面积等高的两个锥体的体积相等. 3.如何求出锥体的体积? 怎样研究三棱锥的体积呢?(板书:三棱锥的体积,并作出一个底面积为S的,高为h 的三棱锥A'-ABC,(如图2) 图1

(1)补成三棱柱,把三棱锥A'-ABC以底面△ABC为底面,AA'为侧棱补成个三棱柱ABC -A'B'C'. (2)分割成三个三棱锥.(补形过程及分割过程由学生完成) 怎样证明这三个三棱锥1,2,3等体积呢? (学生思考两个锥体等体积的依据——前面定理的条件:(1)等底面积,(2)等高) 在三棱锥1,2中,S△ ABA'=S △B'A'B ,又由于它们有相同顶点C,故高也相等,所以V 1 =V 2 .又 在三棱锥2,3中,S △BCB'=S △B'C'C ,它们有相同顶点A',故高也相等.所以V 2 =V 3 ,所以V 1 =V 2 =V 3 . 一般锥体的体积又如何呢?(设一般锥体的底面积为S,高为h) 构造一个三棱锥,使其底面积为S,高为h,由于等底面积 (三)锥体体积公式的简单应用 例1、如图7,在正方体ABCD-A'B'C'D'中,已知棱长为a,求:(1)三棱锥B'-ABC的体积; (2)这个三棱锥的体积是正方形体积的几分之几; (3)B到平面AB'C的距离? 分析(3):注意到三棱锥B-AB'C与三棱锥B'-ABC是同一个三棱锥. S △AB'C 也易求,这样h即可求出. 巧用了三棱锥的体积,使问题的求解变得十分简捷.这种方法称作顶点转换法,有时也称作等积转换法.

判断分子的构型

二、判断分子构型——价层电子对互斥理论(VSEPR) 现代化学的重要基础之一是分子(包括带电荷的离子)的立体结构。实验测出,SO3分子是呈平面结构的,O—S—O的夹角等于120o,而SO32-离子却是呈三角锥体,硫是锥顶,三个氧原子是三个锥角,象一架撑开的照相用的三角架。又例如SO2的三个原子不在一条直线上,而CO2却是直线分子等等。价层电子对互斥理论用以预测简单分子或离子的立体结构,我们不难学会用这种理论来预测和理解分子或离子的立体结构,并用来进一步确定分子或离子的结构。 价层电子对互斥理论认为,在一个共价分子中,中心原子周围电子对排布的几何构型主要决定于中心原子的价电子层中电子对的数目。所谓价层电子对包括成键的σ电子对和孤电子对。价层电子对各自占据的位置倾向于彼此分离得尽可能地远些,这样电子对彼此之间的排斥力最小,整个分子最为稳定。这样也就决定了分子的空间结构。也正因此,我们才可以用价层电子对很方便地判断分子的空间结构。例如:甲烷分子(CH4),中心原子为碳原子,碳有4个价电子,4个氢原子各有一个电子,这样在中心原子周围有8个电子,4个电子对,所以这4个电子对互相排斥,为了使排斥力最小,分子最稳定,它们只能按正四面体的方式排布。这样就决定了CH4的正四面体结构。 利用VSEPR推断分子或离子的空间构型的具体步骤如下: ①确定中心原子A价层电子对数目。中心原子A的价电子数与配位体X提供共用的电子数之和的一半,就是中心原子A价层电子对的数目。例如BF3分子,B原子有3个价电子,三个F原子各提供一个电子,共6个电子,所以B 原子价层电子对数为3。计算时注意:(ⅰ)氧族元素(ⅥA族)原子作为配位原子时,可认为不提供电子(如氧原子有6个价电子,作为配位原子时,可认为它从中心原子接受一对电子达到8电子结构),但作为中心原子时,认为它提供所有的6个价电子。(ⅱ)如果讨论的是离子,则应加上或减去与离子电荷相应的电子数。如PO43-离子中P原子的价层电子数应加上3,而NH4+离子中N原子的价层电子数则应减去1。(ⅲ)如果价层电子数出现奇数电子,可把这个单电子当作电子对看待。如NO2分子中N原子有5个价电子,O原子不提供电子。因此中心原子N价层电子总数为5,当作3对电子看待。 ②确定价层电子对的空间构型。由于价层电子对之间的相互排斥作用,它们趋向于尽可能的相互远离。于是价层电子对的空间构型与价层电子对数目的关系如下表所示:

正四面体

正四面体是一种柏拉图多面体,正四面体与自身对偶。 正四面体的重心、四条高的交点、外接球、内切球球心共点,此点称为中心。 正四面体有一个在其内部的内切球和七个与四个面都相切的旁切球,其中有三个旁切球球心在无穷远处。 正四面体有四条三重旋转对称轴,六个对称面。 正四面体可与正八面体填满空间,在一顶点周围有八个正四面体和六个正八面体。 化学中CH4,CCl4等分子也呈正四面体状。 相关数据 当正四面体的棱长为a时,一些数据如下: 高:√6a/3。中心把高分为1:3两部分。 表面积:√3a^2 体积:√2a^3/12 对棱中点的连线段的长:√2a/2 外接球半径:√6a/4,正四面体体积占外接球体积的2*3^0.5/9*π,约12.2517532%。 内切球半径:√6a/12,内切球体积占正四面体体积的π*3^0.5/18,约30.2299894%。 棱切球半径:√2a/4. 两条高夹角:2ArcSin(√6/3)=ArcCos(-1/3)=≈1.91063 32362 49(弧度)或109°28′16″39428 41664 889。这一数值与三维空间中求最小面有关,也是蜂巢底菱形的钝角的角度. 两邻面夹角:2ArcSin(√3/3)=ArcCos(1/3)≈1.23095 94173 4077(弧度)或70°31′43″60571 58335 111,与两条高夹角在数值上互补。 侧棱与底面的夹角:ArcCos(√3/3) 正四面体的对棱相等。具有该性质的四面体符合以下条件: 1.四面体为对棱相等的四面体当且仅当四面体每对对棱的中点的连线垂直于这两条棱。 2.四面体为对棱相等的四面体当且仅当四面体每对对棱中点的三条连线相互垂直。 3.四面体为对棱相等的四面体当且仅当四条中线相等。

典型的晶体结构

典型的晶体结构 1.铁 铁原子可形成两种体心立方晶胞晶体:910℃以下为α-Fe,高于1400℃时为δ-Fe。在这两种温度之间可形成γ-面心立方晶。这三种晶体相中,只有γ-Fe能溶解少许C。问:1.体心立方晶胞中的面的中心上的空隙是什么对称?如果外来粒子占用这个空隙,则外来粒子与宿主离子最大可能的半径比是多少? 2.在体心立方晶胞中,如果某空隙的坐标为(0,a/2,a/4),它的对称性如何?占据该空隙的外来粒子与宿主离子的最大半径比为多少? 3.假设在转化温度之下,这α-Fe和γ-F两种晶型的最相邻原子的距离是相等的,求γ铁与α铁在转化温度下的密度比。 4.为什么只有γ-Fe才能溶解少许的C? 在体心立方晶胞中,处于中心的原子与处于角上的原子是相接触的,角上的原子相互之间不接触。a=(4/3)r。 ①②③ 1.两个立方晶胞中心相距为a,也等于2r+2r h[如图①],这里r h是空隙“X”的半径,a =2r+2r h=(4/3)r r h/r=0.115(2分) 面对角线(2a)比体心之间的距离要长,因此该空隙形状是一个缩短的八面体,称扭曲八面体。(1分) 2.已知体心上的两个原子(A和B)以及连接两个晶体底面的两个角上原子[图②中C和D]。连接顶部原子的线的中心到连接底部原子的线的中心的距离为a/2;在顶部原子下面的底部原子构成晶胞的一半。空隙“h”位于连线的一半处,这也是由对称性所要求的。所以我们要考虑的直角三角形一个边长为a/2,另一边长为a/4[图③],所以斜边为16 /5a。(1分)r+r h=16 /5a=3/5r r h/r=0.291(2分) 3.密度比=42︰33=1.09(2分) 4.C原子体积较大,不能填充在体心立方的任何空隙中,但可能填充在面心立方结构的八面体空隙中(r h/r=0.414)。(2分) 2.四氧化三铁 科学研究表明,Fe3O4是由Fe2+、Fe3+、O2-通过离子键而组成的复杂离子晶体。O2-的重复排列方式如图b所示,该排列方式中存在着两种类型的由O2-围成的空隙,如1、3、6、7的O2-围成的空隙和3、6、7、8、9、12的O2-围成的空隙,前者为正四面体空隙,后者为正八面体空隙,Fe3O4中有一半的Fe3+填充在正四面体空隙中,另一半Fe3+和Fe2+填充在正八面体空隙中,则Fe3O4晶体中正四面体空隙数与O2-数之比为2:1,其中有12.5%正四面体空隙填有Fe3+,有50%正八面体空隙没有被填充。 Fe3O4中三价铁离子:亚铁离子:O原子=2:1:4 晶胞拥有8个正四面体空隙,4个O2-离子;所以2:1 一半三价铁离子放入正四面体空隙,即一个三价铁离子,所以为1/8=12.5%晶胞实际拥有4个正八面体空隙,其中已经有一个放Fe3+,另外一个Fe2+占据一个正八面体空隙,所以50%的正八面体空隙没有被填充。

六方最密堆积中正八面体空隙和正四面体空隙中心的分数坐标

密堆积中正八面体空隙和正四面体空隙 晶体结构的密堆积原理密堆积结构是指在由无方向性的金属键,离子键和范德华力结合的晶体中,原子、分子或离子等微粒总是趋向于相互配位数高,能充分利用空间的堆积密度大的那些结构。密堆积方式由于充分利用了空间,从而可使体系的势能尽可能降低。结构稳定。最常见的密堆积型式有:面心立方最密堆积(A1),六方最密堆积(A3)和体心立方密堆积(A2)。 我们主要介绍面心立方密堆积和六方密堆积。 等径圆球紧密排列形成密置层, 如图所示。 在密置层内,每个圆球周围有六 个球与它相切。相切的每三个球又围 出一个三角形空隙。仔细观察这些三 角形空隙,一排尖向上,接着下面一 排尖向下,交替排列。而每个圆球与 它周围的六个球围出的六个三角形空 隙中,有三个尖向上,另外三个尖向下。如图所示,我们在这里将尖向上的三角形空隙记为 B,尖向下的三角形空隙记为C。 第二密置层的球放在B之上,第三 密置层的球投影在C中,三层完 成一个周期。这样的最密堆积方式 叫做立方最密堆积(ccp,记为 A1型),形成面心立方晶胞。

若第三密置层的球投影 与第一密置层的球重合,两 层完成一个周期。这样的最 密堆积方式叫做六方最密堆 积(hcp,记为A3型),形 成六方晶胞,如图所示。 在这两种堆积方式中, 任何四个相切的球围成一个 正四面体空隙;另外,相切 的三个球如果与另一密置层 相切的三个球空隙对应,它们六个球将围成一个正八面体空隙。也就是说,围成正八面体空隙的这六个球可以分为相邻的两层,每层的正三角 形中心的连线垂直于正三角形所在的密置层,参 看下图,黑色代表的不是球而是正八面体的中 心。 在这两种最密堆积方式中,每个球与同一密置层 的六个球相切,同时与上一层的三个球和下一层 的三个球相切,即每个球与周围十二个球相切 (配位数为12)。中心这个球与周围的球围出八个正四面体空隙,平均分摊到每个正四面体空隙的是八分之一个球。这样,每个正四面体空隙分摊到的球数是四个八分之一,即半个。中心这个球周围还围出六个八面体空隙,它平均分摊到每个正八面体空隙的是六分之一个球。这样,每个正八面体空隙分摊到的球数是六个六分之一,即一个。总之,这两种最密堆积中,球数: 正八面体空隙数: 正四面体空隙数= 1:1:2 。等径球的两种最密堆积具有相同的堆积密度,都为%.

空间几何体的表面积体积公式(大全)

空间几何体的表面积与体积公式大全 一、 全(表)面积(含侧面积) 1、 柱体 ① 棱柱 ② 圆柱 2、 锥体 ① 棱锥:h c S ‘ 底棱锥侧2 1= ② 圆锥:l c S 底圆锥侧2 1 = 3、 台体 ① 棱台:h c c S ) (2 1 ‘下底上底棱台侧+= ② 圆台:l c c S )(2 1 下底上底棱台侧+= 4、 球体 ① 球:r S 24π=球 ② 球冠:略 ③ 球缺:略 二、 体积 1、 柱体 ① 棱柱 ② 圆柱 2、 锥体 ① 棱锥 ② 圆锥

3、 ① 棱台 ② 圆台 4、 球体 ① 球: r V 33 4 π=球 ② 球冠:略 ③ 球缺:略 说明:棱锥、棱台计算侧面积时使用侧面的斜高h ' 计算;而圆锥、圆台的侧面积计算时使用母线l 计算。 三、 拓展提高 1、 祖暅原理:(祖暅:祖冲之的儿子) 夹在两个平行平面间的两个几何体,如果它们在任意高度上的平行截面面积都相等,那么这两个几何体的体积相等。 最早推导出球体体积的祖冲之父子便是运用这个原理实现的。 2、 阿基米德原理:(圆柱容球) 圆柱容球原理:在一个高和底面直径都是r 2 的圆柱形容器内装一个最大的 球体,则该球体的全面积等于圆柱的侧面积,体积等于圆柱体积的3 2 。

分析:圆柱体积:r r h S V r 3 222)(ππ=?==圆柱 圆柱侧面积:r h c S r r 2 42)2(ππ=?==圆柱侧 因此:球体体积:r r V 333 423 2ππ=?=球 球体表面积:r S 24π=球 通过上述分析,我们可以得到一个很重要的关系(如图) + = 即底面直径和高相等的圆柱体积等于与它等底等高的圆锥与同直径的球体积之和 3、 台体体积公式 公式: )(31 S S S S h V 下下 上 上 台++= 证明:如图过台体的上下两底面中心连线的纵切面为梯形ABCD 。 延长两侧棱相交于一点P 。 设台体上底面积为S 上,下底面积为S 下高为h 。 易知:PDC ?∽PAB ?,设h PE 1=, 则h h PF +=1 由相似三角形的性质得:PF PE AB CD =

正方体和正四面体

第 1 页 共 4 页 高中化学竞赛辅导专题讲座——三维化学 近年来,无论是高考,还是全国竞赛,涉及空间结构的试题日趋增多,成为目前的热点之一。本文将从最简单的五种空间正多面体开始,与大家一同探讨中学化学竞赛中与空间结构有关的内容。 第一节 正方体与正四面体 在小学里,我们就已经系统地学习了正方体,正方体(立方体或正六面体)有六个完全相同的正方形面,八个顶点和十二条棱,每八个完全相同的正方体可构成一个大正方体。正四面体是我们在高中立体几何中学习的,它有四个完全相同的正三角形面,四个顶点和六条棱。那么正方体和正四面体间是否有内在的联系呢?请先让我们看下面一个例题吧: 【例题1】常见有机分子甲烷的结构是正四面体型的,请计算分子中碳氢键的键角(用反三角函数表示) 【分析】在化学中不少分子是正四面体型的,如CH 4、CCl 4、NH 4+、 SO 42-……它们的键角都是109o28’,那么这个值是否能计算出来呢? 如果从数学的角度来看,这是一个并不太难的立体几何题,首先我们把它抽象成一个立体几何图形(如图1-1所示),取 CD 中点E ,截取面ABE (如图1-2所示),过A 、 B 做AF ⊥BE ,BG ⊥AE ,AF 交BG 于O ,那么 ∠AOB 就是所求的键角。我们只要找出AO (=BO )与AB 的关系,再用余弦定理,就能圆满地解决例题1。当然找出AO 和AB 的关系还是有一定难度 的。先把该题放下,来看一题初中化学竞赛题: 【例题2 】CH 4分子在空间呈四面体形状,1个C 原 子与4个H 原子各共用一对电子对形成4条共价键,如 图1-3所示为一个正方体,已画出1个C 原子(在正方体 中心)、1个H 原子(在正方体顶点)和1条共价键(实线表 示),请画出另3个H 原子的合适位置和3条共价键,任 意两条共价键夹角的余弦值为 ① 【分析】由于碳原子在正方体中心,一个氢原子在顶点,因为碳氢键是等长的,那么另三个氢原子也应在正方 体的顶点上,正方体余下的七个顶点可分成三类,三个为 棱的对侧,三个为面对角线的对侧,一个为体对角线的对 侧。显然三个在面对角线对侧上的顶点为另三个氢原子的 位置。 【解答】答案如图1-4所示。 【小结】从例题2中我们发现:在正四面体中八个顶点中不相邻的四个顶点(不共棱)可构成一个正四面体, 图1-1 图1-2 图1-3 图1-4

典型的晶体结构

典型得晶体结构 1、铁 铁原子可形成两种体心立方晶胞晶体:910℃以下为α-Fe,高于1400℃时为δ-Fe。在这两种温度之间可形成γ-面心立方晶。这三种晶体相中,只有γ-Fe能溶解少许C。问: 1.体心立方晶胞中得面得中心上得空隙就是什么对称?如果外来粒子占用这个空隙,则外来粒子与宿主离子最大可能得半径比就是多少? 2.在体心立方晶胞中,如果某空隙得坐标为(0,a/2,a/4),它得对称性如何?占据该空隙得外来粒子与宿主离子得最大半径比为多少? 3.假设在转化温度之下,这α-Fe与γ-F两种晶型得最相邻原子得距离就是相等得,求γ铁与α铁在转化温度下得密度比。 4.为什么只有γ-Fe才能溶解少许得C? 在体心立方晶胞中,处于中心得原子与处于角上得原子就是相接触得,角上得原子相互之间不接触。a=(4/3)r。 ①②③ 1.两个立方晶胞中心相距为a,也等于2r+2r h[如图①],这里r h就是空隙“X”得半径,a =2r+2r h=(4/3)r r h/r=0、115(2分) 面对角线(2a)比体心之间得距离要长,因此该空隙形状就是一个缩短得八面体,称扭曲八面体。(1分) 2.已知体心上得两个原子(A与B)以及连接两个晶体底面得两个角上原子[图②中C与D]。连接顶部原子得线得中心到连接底部原子得线得中心得距离为a/2;在顶部原子下面得底部原子构成晶胞得一半。空隙“h”位于连线得一半处,这也就是由对称性所要求得。所以我们要考虑得直角三角形一个边长为a/2,另一边长为a/4[图③],所以斜边为16 /5a。(1分) r+r h=16 /5a=3/5r r h/r=0、291(2分) 3.密度比=42︰33=1、09(2分) 4.C原子体积较大,不能填充在体心立方得任何空隙中,但可能填充在面心立方结构得八面体空隙中(r h/r=0、414)。(2分) 2、四氧化三铁 科学研究表明,Fe3O4就是由Fe2+、Fe3+、O2-通过离子键而组成得复杂离子晶体。O2-得重复排列方式如图b所示,该排列方式中存在着两种类型得由O2-围成得空隙,如1、3、6、7得O2-围成得空隙与3、6、7、8、9、12得O2-围成得空隙,前者为正四面体空隙,后者为正八面体空隙,Fe3 O4中有一半得Fe3+填充在正四面体空隙中,另一半Fe3+与Fe2+填充在正八面体空隙中,则Fe3O4晶体中正四面体空隙数与O2-数之比为 2:1,其中有12、5%正四面体空隙填有Fe3+,有 50%正八面体空隙没有被填充。ClMXxzK。zNa2qb4。 Fe3O4中三价铁离子:亚铁离子:O原子=2:1:4 晶胞拥有8个正四面体空隙,4个O2-离子;所以2:1 一半三价铁离子放入正四面体空隙,即一个三价铁离子,所以为1/8=12、5% 晶胞实际拥有4个正八面体空隙,其中已经有一个放Fe3+,另外一个Fe2+占据一个正八面体空隙,所以50%得正八面体空隙没有被填充。USLphY1。N1iF2Vt。

第一节 正方体与正四面体

近年来,无论是高考,还是全国竞赛,涉及空间结构的试题日趋增多,成为目前的热点之一。本文将从最简单的五种空间正多面体开始,与大家一同探讨中学化学竞赛中与空间结构有关的内容。 第一节 正方体与正四面体 在小学里,我们就已经系统地学习了正方体,正方体(立方体或正六面体)有六个完全相同的正方形面,八个顶点和十二条棱,每八个完全相同的正方体可构成一个大正方体。正四面体是我们在高中立体几何中学习的,它有四个完全相同的正三角形面,四个顶点和六条棱。那么正方体和正四面体间是否有内在的联系呢?请先让我们看下面一个例题吧: 【例题1】常见有机分子甲烷的结构是正四面体型的,请计算分子中碳氢键的键角(用反三角函数表示) 【分析】在化学中不少分子是正四面体型的,如CH 4、CCl 4、NH 4+、 SO 42-…… 它们的键角都是109o28’,那么这个值是否能计算出来呢? 如果从数学的角度来看,这是一个并不太难的立体几何题,首先我们把它抽象成一个立体几何图形(如图1-1所示),取CD 中点E ,截取面ABE (如图1-2所示),过A 、B 做AF ⊥BE ,BG ⊥AE ,AF 交 BG 于O ,那么 ∠AOB 就是所求的键角。我们只要找 出AO (=BO )与AB 的关系,再用余弦定理,就能圆满地解决例题1。当然找出AO 和AB 的关系还是有一定难度的。先把该题放下,来看一题初中化学竞赛题: 【例题 2】CH 4分子在空间呈四面体形状,1个C 原子与4 个H 原子各共用一对电子对形成4条共价键,如图 1-3所示为一 个正方体,已画出1个C 原子(在正方体中心)、1个H 原子(在正 方体顶点)和1条共价键(实线表示),请画出另3个H 原子的合适 位置和3条共价键,任意两条共价键夹角的余弦值为 ① 【分析】由于碳原子在正方体中心,一个氢原子在顶点,因 为碳氢键是等长的,那么另三个氢原子也应在正方体的顶点上, 正方体余下的七个顶点可分成三类,三个为棱的对侧,三个为面 对角线的对侧,一个为体对角线的对侧。显然三个在面对角线对 侧上的顶点为另三个氢原子的位置。 【解答】答案如图1-4所示。 【小结】从例题2中我们发现:在正四面体中八个顶点中不 相邻的四个顶点(不共棱)可构成一个正四面体,正四面体的棱 长即为正方体的棱长的2倍,它们的中心是互相重合的。 【分析】回到例题1,将正四面体ABCD 放入正方体中考虑,设正方体的边长为1,则AB 为面对角线长,即2,AO 为体对角线长的一半,即3/2, 图1-1 图1-2 图1-3 图1-4

六方最密堆积中正八面体空隙和正四面体空隙中心的分数坐标

六方最密堆积中正八面体空隙 和正四面体空隙中心的分数坐标 等径圆球紧密排列形成 密置层,如图所示。 在密置层内,每个圆球 周围有六个球与它相切。相 切的每三个球又围出一个三 角形空隙。仔细观察这些三 角形空隙,一排尖向上,接 着下面一排尖向下,交替排 列。而每个圆球与它周围的六个球围出的六个三角形空隙中,有三个 尖向上,另外三个 尖向下。如图所 示,我们在这里将 尖向上的三角形空 隙记为B,尖向下 的三角形空隙记为 C。第二密置层的 球放在B之上,第 三密置层的球投影 在C中,三层完成 一个周期。这样的

最密堆积方式叫做立方最密堆积(ccp ,记为 A1型),形成面心立方晶胞。 若第三密置层的球投影与第一密置层的球重合,两层完成一个周期。这样的最密堆积方式叫做六方最密堆积(hcp ,记为A3型),形成六方晶胞,如图所示。 在这两种堆积方式中,任何四个相切的球围成一个正四面体空隙;另外,相切的三个球如果与另一密置层相切的三个球空隙对应,它们六个球将围成一个正八面体空隙。也就是说,围成正八面体空隙的这六个球可以分为相邻的两层,每层的正三角形中心的连线垂直于正三角形所在的密置层,参看下图,黑色代表的不是球而是正八面体的中心。 在这两种最密堆积方式中,每个球与同一密置层的六个球相切,同时与上一层的三个球和下一层的三个球相切,即每个球与周围十二个球相切(配位数为12 )。中心这个球与周围

的球围出八个正四面体空隙,平均分摊到每个正四面体空隙的是八分之一个球。这样,每个正四面体空隙分摊到的球数是四个八分之一,即半个。中心这个球周围还围出六个八面体空隙,它平均分摊到每个正八面体空隙的是六分之一个球。这样,每个正八面体空隙分摊到的球数是六个六分之一,即一个。总之,这两种最密堆积中,球数: 正八面体空隙数: 正四面体空隙数= 1:1:2 。 立方最密堆积(ccp,A1型)中正八面体空隙和正四面体空隙的问题比较简单、直观。下面我们集中讨论六方最密堆积(hcp,A3型)中正八面体空隙和正四面体空隙中心的分数坐标。 在六方最密堆积中画出一个六方晶胞,如下面两幅图所示。 平均每个六方晶胞中有两个正八面体空隙,如下面两幅图所示。空隙中心的分数坐标分别为:(2/3,1/3,1/4),(2/3,1/3,3/4)。

解析几何课程中求四面体体积新方法探究

解析几何课程中求四面体体积新方法探究 孙 欣, 马思佳, 李铭辉 【摘 要】对数学类专业开设的解析几何课程教材中求以不共面的4个点为顶点组成的四面体体积问题进行了研究。教材只给出了从四面体一个顶点出发的3个不共面向量求其混合积求体积的方法。事实上,只要从4个顶点中任取3个不共面向量,求其混合积就可以求四面体体积,并利用2种方法证明了所得结论。最后,以一个数值算例说明所用方法的正确性与有效性,对教材内容进行了深化与拓展。 【期刊名称】沈阳师范大学学报(自然科学版) 【年(卷),期】2016(034)003 【总页数】5 【关键词】关 键 词:四面体体积; 《解析几何》课程; 向量混合积 0 引 言 求四面体体积问题,一直是数学类问题研究的热点。文献[1-4]利用6条棱长给出四面体体积计算公式;文献[5-6]利用四面体由一个顶点出发的3条棱长及其中每2条棱的夹角求体积;文献[7-8]利用4个顶点坐标,形成由1个顶点出发的3条不共面向量,以行列式的形式给出四面体体积计算公式。文献[9]计算从1个顶点出发的3个向量混合积,求其绝对值再除以6,这样的3个向量共点却不共面,取法共有4种。事实上,不共面的3个向量除了这4种外,还有12种,即2个向量共点而第3个向量与2个向量既不共点也不共面,只要计算出3个向量混合积的绝对值再除以6就等于四面体体积。本文将用2种方法证明这16种不共面3个向量的混合积的绝对值都相等,等于已知四面体体积的6倍,由此给出求四面体体积的新方法。 1 问题的形成 现在来考虑,给出不共面4点A,B,C,D坐标,求其构成的四面体体积的问题。如图1,若不考虑向量的正反方向,4个点构成6个向量,从6个向量任取3个向量的方式共有=20种,其中3个向量共面的有4种,其余16种3个向量均不共面。其中,从1个顶点出发的3个向量共有4种,即情况Ⅱ;而从1个顶点出发2个向量,第3个向量与这两向量既不共点又不共面共有12种即情况Ⅲ。综述,如下所示: 情况Ⅰ 情况Ⅱ 情况Ⅲ 下面用2种方法证明这16种不共面的3个向量的混合积的绝对值都相等,等于以这3个向量为棱组成的四面体体积的6倍。

六方最密堆积中正八面体空隙和正四面体空隙中心的分数坐标

六方最密堆积中正八面体空隙和正四面体空隙中心的分数 坐标 密堆积中正八面体空隙和正四面体空隙 晶体结构的密堆积原理密堆积结构是指在由无方向性的金属键,离子键和范德华力结合的晶体中,原子、分子或离子等微粒总是趋向于相互配位数高~能充分利用空间的堆积密度大的那些结构。密堆积方式由于充分利用了空间~从而可使体系的势能尽可能降低。结构稳定。最常见的密堆积型式有:面心立方最密堆积,A,~六方最密堆积,A,和体心立方密堆积13 ,A,。 2 我们主要介绍面心立方密堆积和六方密堆积。 等径圆球紧密排列形成密置层~ 如图所示。 在密置层内~每个圆球周围有六 个球与它相切。相切的每三个球又围 出一个三角形空隙。仔细观察这些三 角形空隙~一排尖向上~接着下面一

排尖向下~交替排列。而每个圆球与 它周围的六个球围出的六个三角形空 隙中~有三个尖向上~另外三个尖向 下。如图所示~我们在这里将尖向上 的三角形空隙记为B~尖向下的三角形空隙记为C。第二密置层的球放在B之上~第三密置层 的球投影在C中~三层完成一个周 期。这样的最密堆积方式叫做立方 最密堆积,ccp~记为 A1型,~ 形成面心立方晶胞。

若第三密置层的球投影 与第一密置层的球重合~两层完成一个周期。这样的最密堆积方式叫做六方最密堆积,hcp~记为A3型,~形成六方晶胞~如图所示。在这两种堆积方式中~ 任何四个相切的球围成一个正四面体空隙,另外~相切的三个球如果与另一密置层相切的三个球空隙对应~它们六个球将围成一个正八面体空隙。也就是说~围成正

八面体空隙的这六个球可以分为相邻的两层~每层的正三角形中心的连线垂直于正三角形所在的 密置层~参看下图~黑色代表的不是球而是正八 面体的中心。 在这两种最密堆积方式中~每个球与同一密置层 的六个球相切~同时与上一层的三个球和下一层 的三个球相切~即每个球与周围十二个球相切 ,配位数为12,。中心这个球与周围的球围出八 个正四面体空隙~平均分摊到每个正四面体空隙的是八分之一个球。这样~每个正四面体空隙 分摊到的球数是四个八分之一~即半个。中心这个球周围还围出六个八面体空隙~它平均分摊 到每个正八面体空隙的是六分之一个球。这样~每个正八面体空隙分摊到的球数是六个六分之 : 正八面体空隙数 : 正四面体空隙数 = 一~即一个。总之~这两种最密堆积中~球数 1:1:2 。等径球的两种最密堆积具有相同的堆积密度~都为74.05%. .下面计算四面体空隙和八面体空隙中所能容纳的球的半径的大小。

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