2018届高三数学第57练高考大题突破练—立体几何
第57练高考大题突破练——立体几何
1.一个几何体的三视图如图所示,其中正视图与侧视图是腰长为6的等腰直角三角形,俯视图是正方形.
(1)请画出该几何体的直观图,并求出它的体积;
(2)用多少个这样的几何体可以拼成一个棱长为6的正方体ABCD—A1B1C1D1?如何组拼?试证明你的结论;
(3)在(2)的情形下,设正方体ABCD—A1B1C1D1的棱CC1的中点为E, 求平面AB1E与平面ABC 所成二面角的余弦值.
2.如图所示,四棱锥P -ABCD 中,AB ⊥AD ,AD ⊥DC ,PA ⊥底面ABCD ,PA =AD =DC =12AB =1,M 为PC 的中点,N 点在AB 上且AN =1
3
NB .
(1)证明:MN ∥平面PAD ;
(2)求直线MN 与平面PCB 所成的角.
3.在直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中,AC =4,CB =2,AA 1=2,∠ACB =60°,E ,F 分别是A 1C 1,BC 的中点.
(1)证明:平面AEB ⊥平面BB 1C 1C ; (2)证明:C 1F ∥平面ABE ;
(3)设P 是BE 的中点,求三棱锥P -B 1C 1F 的体积.
4.(2016·浙江)如图,在三棱台ABCDEF中,平面BCFE⊥平面ABC,∠ACB=90°,BE=EF =FC=1,BC=2,AC=3.
(1)求证:BF⊥平面ACFD;
(2)求二面角BADF的平面角的余弦值.
答案精析
1.解 (1)该几何体的直观图如图1所示,它是有一条侧棱垂直于底面的四棱锥. 其中底面
ABCD 是边长为6的正方形,高PD =6,故所求体积是V =13
×62×6=72.
(2)依题意,正方体的体积是原四棱锥体积的3倍,故用3个这样的四棱锥可以拼成一个棱长为6的正方体,即由四棱锥D 1-ABCD ,D 1-BB 1C 1C ,D 1-BB 1A 1A 组成.其拼法如图2所示. (3)因为△AB 1E 的边长AB 1=62,B 1E =35,AE =9,所以S △AB 1E =27,而S △ABC =18,所以平面AB 1E 与平面ABC 所成二面角的余弦值为1827=23
.
2.证明 方法一 (1)过点M 作ME ∥CD 交PD 于E 点,连接AE , ∵AN =13NB ,∴AN =14AB =1
2DC =EM ,
又EM ∥DC ∥AB ,∴EM ∥AN , ∴四边形AEMN 为平行四边形, ∴MN ∥AE ,
又∵AE ?平面PAD ,MN ?平面PAD , ∴MN ∥平面PAD .
(2)过N 点作NQ ∥AP 交BP 于点Q ,
NF ⊥CB 于点F ,连接QF ,过N 点作NH ⊥QF 于点H ,
连接MH ,易知QN ⊥平面ABCD ,
∴QN ⊥BC ,又NF ⊥BC ,NF ∩QN =N ,NF ?平面QNF ,QN ?平面QNF , ∴BC ⊥平面QNF ,∴BC ⊥NH , ∵NH ⊥QF ,BC ∩QF =F ,
BC ?平面PBC ,QF ?平面PBC ,
∴NH ⊥平面PBC ,
∴∠NMH 为直线MN 与平面PCB 所成角, 通过计算可得MN =AE =
22,QN =34,NF =3
4
2,
∴NH =
QN ·NF QF =QN ·NF QN 2+NF 2=6
4
, ∴sin ∠NMH =NH
MN
=
3
2
,∴∠NMH =60°, ∴直线MN 与平面PCB 所成角为60°.
方法二 (1)以A 为原点,以AD ,AB
,AP 所在直线分别为x ,y ,z 轴,建立空间直角坐标系
Axyz ,如图所示,
过点作ME ∥CD ,ME 交PD 于点E ,连接AE ,
由已知可得A (0,0,0),B (0,2,0),D (1,0,0),C (1,1,0),P (0,0,1),
M (12,12,12),E (12,0,12),N (0,12
,0).
∵NM →=(1
2,0,12),AE →=(12,0,12),
∴MN ∥AE ,∵MN ?平面PAD ,AE ?平面PAD , ∴MN ∥平面PAD .
(2)不妨设a =(1,y ,z ),且a ⊥平面PCB , 则a ⊥BC →,a ⊥BP →
,
而BC →=(1,-1,0),BP →
=(0,-2,1),
∴?
??
??
1-y =0,-2y +z =0??
??
??
y =1,z =2,
∴a =(1,1,2).
∴cos 〈a ,NM →
〉=a ·NM →
|a ||NM →|=1
2+0+16·
22=32.
即向量a 与NM →
的夹角为30°, ∴直线MN 与平面PCB 所成的角为60°. 3.(1)证明 在△ABC 中,
∵AC =2BC =4,∠ACB =60°, ∴AB =23,∴AB 2
+BC 2
=AC 2
, ∴AB ⊥BC ,
由已知得AB ⊥BB 1,且BC ∩BB 1=B , 又∵BC ?平面BB 1C 1C ,
BB 1?平面BB 1C 1C ,
∴AB ⊥平面BB 1C 1C , 又AB ?平面ABE , ∴平面ABE ⊥平面BB 1C 1C .
(2)证明 取AC 的中点M ,连接C 1M ,FM , 在△ABC 中,FM ∥AB , 而FM ?平面ABE ,
AB ?平面ABE ,
∴直线FM ∥平面ABE ,
在矩形ACC 1A 1中,E ,M 分别是A 1C 1,AC 的中点,∴C 1M ∥AE , 而C 1M ?平面ABE ,AE ?平面ABE , ∴C 1M ∥平面ABE ,
∵C 1M ∩FM =M ,C 1M ?平面FMC 1,FM ?平面FMC 1, ∴平面ABE ∥平面FMC 1, 又C 1F ?平面FMC 1, 故C 1F ∥平面ABE .
(3)解 取B 1C 1的中点H ,连接EH , 则EH ∥AB ,且EH =1
2AB =3,
又AB ⊥平面BB 1C 1C , ∴EH ⊥平面BB 1C 1C , ∵P 是BE 的中点, ∴11111
2
P B C F E B C F V V --=
=12×111
3
B C F S ?·EH
=12×13×2×3=33
. 4.(1)证明 延长AD ,BE ,CF 相交于一点K ,如图所示.
因为平面BCFE ⊥平面ABC ,平面BCFE ∩平面ABC =BC ,且AC ⊥BC , 所以AC ⊥平面BCFE ,因此BF ⊥AC .
又因为EF ∥BC ,BE =EF =FC =1,BC =2,所以△BCK 为等边三角形,且F 为CK 的中点,则
BF ⊥CK ,且CK ∩AC =C ,CK ,AC 都在平面ACFD 内,
所以BF ⊥平面ACFD .
(2)解 方法一 过点F 作FQ ⊥AK 于Q ,连接BQ . 因为BF ⊥平面ACFD ,AK 在平面ACFD 内,所以BF ⊥AK , 则AK ⊥平面BQF ,BQ 在平面BQF 内,所以BQ ⊥AK . 所以∠BQF 是二面角BADF 的平面角. 在Rt △ACK 中,AC =3,CK =2,得FQ =31313.
在Rt △BQF 中,FQ =313
13,BF =3,
得cos ∠BQF =
34
. 所以,二面角BADF 的平面角的余弦值为
34
. 方法二 因为△BCK 为等边三角形,取BC 的中点O ,连接KO ,则KO ⊥BC , 又平面BCFE ⊥平面ABC ,所以KO ⊥平面ABC .
以点O 为原点,分别以射线OB ,OK 的方向为x 轴,z 轴的正方向,建立空间直角坐标系Oxyz .
由题意得B (1,0,0),C (-1,0,0),K (0,0,3),A (-1,-3,0),E ? ????1
2
,0,32,
F ? ??
??-1
2,0,
32.
因此,AC →=(0,3,0),AK →=(1,3,3),AB →
=(2,3,0).
设平面ACK 的法向量为m =(x 1,y 1,z 1),平面ABK 的法向量为n =(x 2,y 2,z 2). 由????? AC →·m =0,AK →·m =0,
得??
? 3y 1=0,
x 1+3y 1+3z 1=0,
取m =(3,0,-1); 由?????
AB →·n =0,AK →·n =0,
得??
?
2x 2+3y 2=0,
x 2+3y 2+3z 2=0,
取n =(3,-2,3).
于是,cos 〈m ,n 〉=m ·n |m |·|n |=3
4
.
所以,二面角BADF 的平面角的余弦值为
34
.
高三数学知识点总结:立体几何
2019年高三数学知识点总结:立体几何 由查字典数学网高中频道提供,2019年高三数学知识点总结:立体几何,因此老师及家长请认真阅读,关注孩子的成长。 立体几何初步 (1)棱柱: 定义:有两个面互相平行,其余各面都是四边形,且每相邻两个四边形的公共边都互相平行,由这些面所围成的几何体。 分类:以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱柱、四棱柱、五棱柱等。 表示:用各顶点字母,如五棱柱或用对角线的端点字母,如五棱柱 几何特征:两底面是对应边平行的全等多边形;侧面、对角面都是平行四边形;侧棱平行且相等;平行于底面的截面是与底面全等的多边形。 (2)棱锥 定义:有一个面是多边形,其余各面都是有一个公共顶点的三角形,由这些面所围成的几何体 分类:以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱锥、四棱锥、五棱锥等 表示:用各顶点字母,如五棱锥 几何特征:侧面、对角面都是三角形;平行于底面的截面与底面相似,其相似比等于顶点到截面距离与高的比的平方。 (3)棱台:
定义:用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥,截面和底面之间的部分 分类:以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱态、四棱台、五棱台等 表示:用各顶点字母,如五棱台 几何特征:①上下底面是相似的平行多边形②侧面是梯形③侧棱交于原棱锥的顶点 (4)圆柱: 定义:以矩形的一边所在的直线为轴旋转,其余三边旋转所成的曲面所围成的几何体 几何特征:①底面是全等的圆;②母线与轴平行;③轴与底面圆的半径垂直;④侧面展开图是一个矩形。 (5)圆锥: 定义:以直角三角形的一条直角边为旋转轴,旋转一周所成的曲面所围成的几何体 几何特征:①底面是一个圆;②母线交于圆锥的顶点;③侧面展开图是一个扇形。 (6)圆台: 定义:用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥,截面和底面之间的部分 几何特征:①上下底面是两个圆;②侧面母线交于原圆锥的顶点;③侧面展开图是一个弓形。
届高三文科数学立体几何专题训练
2015届高三数学(文)立体几何训练题 1、如图3,AB 是⊙O 的直径,PA 垂直于⊙O 所在的平面,C 是圆周上不同于A 、B 的一点. ⑴求证:平面PAC ⊥平面PBC ; ⑵若PA=AB=2,∠ABC=30°,求三棱锥P -ABC 的体积. 2、如图,已知P A ?⊙O 所在的平面,AB 是⊙O 的直径,AB =2,C 是⊙O 上一点,且AC =BC =P A ,E 是PC 的中点,F 是PB 的中点. (1)求证:EF 3、如图,四棱柱1111D C B A ABCD -中,A A 1?底面ABCD ,且41=A A . 梯 形ABCD 的面积为6,且AD 平面DCE A 1与B B 1交于点E . (1)证明:EC D A 111A ABB 4、如图,已知正三棱柱ABC —A 1B 1C 1,AA 1=AB =2a ,D 、E 分别为CC 1、A 1B 的中 点. (1)求证:DE ∥平面ABC ; (2)求证:AE ⊥BD ; (3)求三棱锥D —A 1BA 的体积 . 5.如图,矩形ABCD 中,3AB =,4=BC .E ,F 分别在线段BC 和AD 上,EF ∥AB , 将矩形ABEF 沿EF 折起.记折起后的矩形为MNEF ,且平面⊥MNEF 平面ECDF . (Ⅰ)求证:NC ∥平面MFD ; P A B C O E F A B C D E A 1 B 1 C 1 D 1 A D F
F E A (Ⅱ)若3EC =,求证:FC ND ⊥; (Ⅲ)求四面体CDFN 体积的最大值. 6、如图,在三棱锥P ABC -中,PA ⊥底面ABC,090=∠BCA ,AP=AC, 点D ,E 分别在棱,PB PC 上,且BC (Ⅰ)求证:D E ⊥平面PAC ; (Ⅱ)若PC ⊥AD ,且三棱锥P ABC -的体积为8,求多面体ABCED 的体积。 7、如图:C 、D 是以AB 为直径的圆上两点,==AD AB 232,BC AC =,F 是AB 上一点, 且AB AF 3 1 =,将圆沿直径AB 折起,使点C 在平面ABD 的射影E 在BD 上,已知2=CE . (1)求证:⊥AD 平面BCE ; (2)求证://AD 平面CEF ; (3)求三棱锥CFD A -的体积. 8、如图甲,在平面四边形ABCD 中,已知45,90,105,o o o A C ADC ∠=∠=∠=A B BD =,现将四边 形ABCD 沿BD 折起,使平面ABD ⊥平面BDC (如图乙),设点E 、F 分别为棱AC 、AD 的中点. (1)求证:DC ⊥平面ABC ;
2015届高三数学立体几何专题训练及详细答案
2015届高三数学立体几何专题训练 1.(2013·高考新课标全国卷Ⅰ)某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( ) A .16+8π B .8+8π C .16+16π D .8+16π 解析:选A. 原几何体为组合体:上面是长方体,下面是圆柱的一半(如图所示),其体积为V =4×2×2+1 2 π×22×4=16+8π. 2.(2013·高考新课标全国卷Ⅰ)如图,有一个水平放置的透明无盖的正方体容器,容器高8 cm ,将一个球放在容器口,再向容器内注水,当球面恰好接触水面时测得水深为6 cm ,如果不计容器厚度,则球的体积为( ) A.500π3 cm 3 B.866π3 cm 3 C.1 372π3 cm 3 D.2 048π3 cm 3 解析:选A. 如图,作出球的一个截面,则MC =8-6=2(cm), BM =12AB =1 2 ×8=4(cm). 设球的半径为R cm ,则R 2=OM 2+MB 2=(R -2)2+42,∴R =5, ∴V 球=43π×53=500π 3 (cm 3). 3.(2013·高考新课标全国卷Ⅱ)已知m ,n 为异面直线,m ⊥平面α,n ⊥平面β.直线l 满足l ⊥m ,l ⊥n ,l ?α,l ?β,则( ) A .α∥β且l ∥α B .α⊥β且l ⊥β
C .α与β相交,且交线垂直于l D .α与β相交,且交线平行于l 解析:选D. 根据所给的已知条件作图,如图所示. 由图可知α与β相交,且交线平行于l ,故选D. 4.(2013·高考大纲全国卷)已知正四棱柱ABC D-A 1B 1C 1D 1中,AA 1=2AB ,则C D 与平面B D C 1所成角的正弦值等于( ) A.23 B.33 C.23 D.13 解析:选A.法一: 如图,连接AC ,交B D 于点O ,由正四棱柱的性质,有AC ⊥B D.因为CC 1⊥平面ABC D ,所以CC 1⊥B D.又CC 1∩AC =C ,所以B D ⊥平面CC 1O .在平面CC 1O 内作CH ⊥C 1O ,垂足为H ,则B D ⊥CH .又B D ∩C 1O =O ,所以CH ⊥平面B D C 1,连接D H ,则D H 为C D 在平面B D C 1上的射影,所以∠C D H 为C D 与平面B D C 1所成的角.设AA 1=2AB =2.在Rt △COC 1中,由 等面积变换易求得CH =23.在Rt △C D H 中,s in ∠C D H =CH CD =2 3 . 法二: 以D 为坐标原点,建立空间直角坐标系,如图,设AA 1=2AB =2,则D(0,0,0),C (0,1,0), B (1,1,0), C 1(0,1,2),则DC →=(0,1,0),DB →=(1,1,0),DC 1→ =(0,1,2). 设平面B D C 1的法向量为n =(x ,y ,z ),则 n ⊥DB →,n ⊥DC 1→ ,所以有????? x +y =0,y +2z =0, 令y =-2,得平面B D C 1的一个法向量为n =(2, -2,1). 设C D 与平面B D C 1所成的角为θ,则s in θ=|co s n ,DC → =???? ??n ·DC →|n ||DC →|=23. 5.(2013·高考大纲全国卷)已知正四棱柱ABC D-A 1B 1C 1D 1中,AA 1=2AB ,则C D 与平面B D C 1所成角的正弦值等于( ) A.23 B.33
高中数学立体几何专题
高中课程复习专题——数学立体几何 一空间几何体 ㈠空间几何体的类型 1 多面体:由若干个平面多边形围成的几何体。围成多面体的各个多边形叫做多面体的面,相邻两个面的公共边叫做多面体的棱,棱与棱的公共点叫做多面体的顶点。 2 旋转体:把一个平面图形绕它所在的平面内的一条定直线旋转形成了封闭几何体。其中,这条直线称为旋转体的轴。 ㈡几种空间几何体的结构特征 1 棱柱的结构特征 棱柱的定义:有两个面互相平行,其余各面都是四边形, 并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行,由这些面所 围成的几何体叫做棱柱。 棱柱的分类 棱柱的性质 ⑴侧棱都相等,侧面是平行四边形; ⑵两个底面与平行于底面的截面是全等的多边形; ⑶过不相邻的两条侧棱的截面是平行四边形; ⑷直棱柱的侧棱长与高相等,侧面的对角面是矩形。 长方体的性质 ⑴长方体的一条对角线的长的平方等于一个顶点上三 条棱的平方和:AC12 = AB2 + AC2 + AA12 ⑵长方体的一条对角线AC1与过定点A的三条棱所成图1-2 长方体
的角分别是α、β、γ,那么: cos2α + cos2β + cos2γ = 1 sin2α + sin2β + sin2γ = 2 ⑶ 长方体的一条对角线AC1与过定点A的相邻三个面所组成的角分别为α、β、γ,则: cos2α + cos2β + cos2γ = 2 sin2α + sin2β + sin2γ = 1 棱柱的侧面展开图:正n棱柱的侧面展开图是由n个全等矩形组成的以底面周长和侧棱为邻边的矩形。 棱柱的面积和体积公式 S直棱柱侧面 = c·h (c为底面周长,h为棱柱的高) S直棱柱全 = c·h+ 2S底 V棱柱 = S底·h 2 圆柱的结构特征 2-1 圆柱的定义:以矩形的一边所在的直线 为旋转轴,其余各边旋转而形成的曲面所围成 的几何体叫圆柱。 图1-3 圆柱 2-2 圆柱的性质 ⑴上、下底及平行于底面的截面都是等圆; ⑵过轴的截面(轴截面)是全等的矩形。 2-3 圆柱的侧面展开图:圆柱的侧面展开图是以底面周长和母线长为邻边的矩形。 2-4 圆柱的面积和体积公式 S圆柱侧面= 2π·r·h (r为底面半径,h为圆柱的高) S圆柱全= 2π r h + 2π r2 V圆柱 = S底h = πr2h 3 棱锥的结构特征 3-1 棱锥的定义 ⑴棱锥:有一个面是多边形,其余各面是 有一个公共顶点的三角形,由这些面所围成 的几何体叫做棱锥。
高三文科数学立体几何平行垂直问题专题复习(含答案)
高三文科数学专题复习:立体几何平行、垂直问题 【基础知识点】 一、平行问题 1.直线与平面平行的判定与性质 定义判定定理性质性质定理 图形 条件a∥α 结论a∥αb∥αa∩α=a∥b 2. 面面平行的判定与性质 判定 性质 定义定理 图形 条件α∥β,a?β 结论α∥βα∥βa∥b a∥α 平行问题的转化关系: 二、垂直问题 一、直线与平面垂直 1.直线和平面垂直的定义:直线l与平面α内的都垂直,就说直线l与平面α互相垂直.2.直线与平面垂直的判定定理及推论 文字语言图形语言符号语言 判定定理 一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直,则该直线与此平 面垂直 推论 如果在两条平行直线中,有一条垂直于平面,那么另一条直线也垂直这个平面
文字语言 图形语言 符号语言 性质定理 垂直于同一个平面的 两条直线平行 4.直线和平面垂直的常用性质 ①直线垂直于平面,则垂直于平面内任意直线. ②垂直于同一个平面的两条直线平行. ③垂直于同一条直线的两平面平行. 二、平面与平面垂直 1.平面与平面垂直的判定定理 文字语言 图形语言 符号语言 判定定理 一个平面过另一个平 面的垂线,则这两个平 面垂直 2.平面与平面垂直的性质定理 文字语言 图形语言 符号语言 性质定理 两个平面垂直,则一个 平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平 面 类型一、平行与垂直 例1、如图,已知三棱锥A BPC -中,,,AP PC AC BC ⊥⊥M 为AB 中点,D 为PB 中点, 且△PMB 为正三角形。(Ⅰ)求证:DM ∥平面APC ; (Ⅱ)求证:平面ABC ⊥平面APC ; (Ⅲ)若BC 4=,20AB =,求三棱锥D BCM -的体积。 M D A P B C
2019-2020年高考数学大题专题练习——立体几何
2019-2020年高考数学大题专题练习——立体几何(一) 1.如图所示,四棱锥P ABCD -中,底面ABCD 为正方形,⊥PD 平面ABCD , 2PD AB ==,点,,E F G 分别为,,PC PD BC 的中点. (1)求证:EF PA ⊥; (2)求二面角D FG E --的余弦值. 2.如图所示,该几何体是由一个直角三棱柱ADE BCF -和一个正四棱锥P ABCD -组合而成,AF AD ⊥,2AE AD ==. (1)证明:平面⊥PAD 平面ABFE ; (2)求正四棱锥P ABCD -的高h ,使得二面角C AF P --的余弦值是 22 .
3.四棱锥P ABCD -中,侧面PDC是边长为2的正三角形,且与底面垂直,底面ABCD是 面积为ADC ∠为锐角,M为PB的中点. (Ⅰ)求证:PD∥面ACM. (Ⅱ)求证:PA⊥CD. (Ⅲ)求三棱锥P ABCD -的体积. 4.如图,四棱锥S ABCD -满足SA⊥面ABCD,90 DAB ABC ∠=∠=?.SA AB BC a ===,2 AD a =. (Ⅰ)求证:面SAB⊥面SAD. (Ⅱ)求证:CD⊥面SAC. S B A D M C B A P D
5.在四棱锥P ABCD -中,底面ABCD 为矩形,测棱PD ⊥底面ABCD ,PD DC =,点E 是 BC 的中点,作EF PB ⊥交PB 于F . (Ⅰ)求证:平面PCD ⊥平面PBC . (Ⅱ)求证:PB ⊥平面EFD . 6.在直棱柱111ABC A B C -中,已知AB AC ⊥,设1AB 中点为D ,1A C 中点为E . (Ⅰ)求证:DE ∥平面11BCC B . (Ⅱ)求证:平面11ABB A ⊥平面11ACC A . E D A B C C 1 B 1 A 1 D A B C E F P