土坡稳定分析普遍极限平衡法数值解的理论及方法研究
第25卷 第2期
岩石力学与工程学报 V ol.25 No.2
2006年2月 Chinese Journal of Rock Mechanics and Engineering Feb.，2006
收稿日期：2004–10–08；修回日期：2005–03–23
作者简介：邹广电(1961–)，男，1982年毕业于河海大学水利水电建筑工程专业，现为岩土工程在职博士研究生、高级工程师，主要从事土体极限平衡理论方面的研究工作。E-mail ：gdzou@https://www.360docs.net/doc/7f3128391.html, 。
土坡稳定分析普遍极限平衡法数值解的
理论及方法研究
邹广电，魏汝龙
(南京水利科学研究院，江苏 南京 210024)
摘要：现有的普遍极限平衡法沿用Morgenstern-Price 法的条间力假设作为补充原则，然后分别求得整体力矩平衡和力平衡的安全系数分布图形，两者的交点即为边坡的安全系数。为改变这种求解方法，从更普遍和广义的角度着手，将条间力关系与安全系数的定义紧密结合，使条间力关系与安全系数融为一体，以此建立更为严格的普遍极限平衡法(GLE 法)的理论及方法。同时，针对该理论及方法，构筑适用于任意滑裂面的数学模型和有效的数值模拟过程，从而给出普遍极限平衡法(GLE 法)数值解的更为严格的数值方法。若干实例的分析证实所建立的理论及数值方法的正确性和可行性。
关键词：边坡工程；普遍极限平衡法；条间力；任意滑裂面；模拟退火算法
中图分类号：P 642.22 文献标识码：A 文章编号：1000–6915(2006)02–0363–08
STUDY OF THEORY AND METHOD FOR NUMERICAL SOLUTION OF
GENERAL LIMIT EQUILIBRIUM METHOD
ZOU Guang-dian ，WEI Ru-long
(Nanjing Hydraulic Research Institute ，Nanjing ，Jiangsu 210024，China )
Abstract ：In the conventional general limit equilibrium method ，the inter-slice forces assumption of Morgenstern-Price is employed and the safety factor is calculated through the safety factor graphs of the moment equilibrium and the forces equilibrium. A new solution method is presented ，in which the assumption about the inter-slice forces is discarded ；and the calculation method of the safety factor in the conventional general limit equilibrium is not used either. Instead ，the inter-slice forces is united with the definition of the safety factor. A mathematical model of slope stability analysis and an effective numerical simulation method are proposed. The feasibility of the new theory and method for numerical solution of general limit equilibrium method is finally verified with several practical examples.
Key words ：slope engineering ；general limit equilibrium method ；inter-slice forces ；general slip surface ；simulated annealing algorithm
1 引 言
长期以来，土坡稳定分析一直是岩土工程领域
里的一个重大研究课题。在这个课题中，极限平衡法是人们最早提出、也是最被广泛应用和研究的方法，这主要归功于，长期的工程实践证明了极限平衡法对土坡稳定分析是有效且相对可靠的。对土的
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抗剪强度特性及孔隙水压力状态掌握比较清楚的大多数情况，极限平衡法的“记录”是相当令人满意的。
根据假定所满足的不同平衡条件，极限平衡法主要包括Fellenius瑞典条分法、Bishop法、Janbu 普遍条分法、Morgenstern-Price法、陈祖煜法和Spencer法等。加拿大著名岩土工程学者Fredlund 教授对各类方法进行了总结和归纳，于1981年首先提出了普遍极限平衡法(general limit equilibrium，GLE)的概念[1]，并指出其他各种方法都可看作是GLE法的特例或简化。GLE法的基本内涵为两条静力学原理加上一条补充原则或一条对某些力的补充假设。这两条静力学原理为：(1) 在两个正交方向上所有的力的和均为0；(2) 所有的力围绕一点的力矩之和为0。以这两条静力学原理再加上一条补充原则或一条对某些力的补充假设(如Morgenstern- Price法和Spencer法等对条间力作假设作为补充原则；又如Janbu普遍条分法利用各分条的力矩平衡计算条间剪力，亦为一种补充原则)，理论上便可使土坡稳定问题成为静定问题而使安全系数得以求解。
GLE法作为一种基本理论，无疑代表了土坡稳定分析极限平衡理论的最高峰，但自1981年被提出以来，并没有在理论界得到广泛的重视，究其原因，首先在于Fredlund教授在GLE法的研究过程中，并没有在安全系数和条间力等方面赋予GLE法更为严格的定义，只是给出了一种类似于Morgenstern-Price法的迭代格式；GLE法继续沿用Morgenstern-Price法的条间力假设[1]作为补充原则，然后再通过迭代各自求得整体力矩平衡的安全系数和力平衡的安全系数随λ (Morgenstern-Price 条间力比例常数)的分布图形，两者交点处的数值即为其安全系数，因此，这些与Morgenstern-Price 法是完全类同的。GLE法与Morgenstern-Price法的差别只是表现于两点，一点为GLE法应用的是整体力矩平衡条件，而Morgenstern-Price则应用各分条的力矩平衡条件；另一点为GLE法以前后两次迭代的安全系数值的差异作为迭代停止的控制条件，而Morgenstern-Price法以最后一条土条外侧的法向力和力矩应等于0作为迭代停止的控制条件。这里，前一点GLE法确是符合普遍极限平衡法的2条静力学原理的，而后一点却只是迭代控制方式的不同而已。因此，可以说GLE法与Morgenstern- Price法基本相同，应用者自然更乐于使用大家所熟悉的Morgenstern-Price法，从而使GLE法难以得到普及和推广[2～12]。
影响GLE法的普及和应用的另一个重要因素是GLE法没有明确地给出可适用于任意滑裂面的数值模型和方法，主要只是给出了圆弧滑裂面和简单复合滑裂面的数值方法，从而使应用者将其应用于一般滑裂面的稳定安全系数计算时难以着手。
综上所述，现有GLE法完全沿用Morgenstern- Price法的条间力假设作为补充原则，然后各自可求得整体力矩平衡和力平衡的安全系数随λ(Morgenstern-Price条间力比例常数)的分布图形，两者交点处的数值即为其安全系数，同时，所应用的滑裂面亦偏于简单。本文改变这种求解方法，从更普遍和广义的角度着手，不将条间力关系看作是独立于安全系数以外的某种关系，而是将条间力关系与安全系数的定义紧密结合，使条间力关系与安全系数融为一体，以此给出了理论基础更为严格的GLE法的安全系数定义，同时构筑了适用于任意滑裂面的数学模型和有效的数值模拟过程，从而建立起GLE法数值解的更为严格的理论及数值方法。
2 普遍极限平衡法数值解的基本概念
和定义
2.1力矩平衡的安全系数
考虑如图1(a)所示的一个任意边坡，其滑裂面亦是任意形状的。从滑动土体中任意取出一分条，则该分条上将作用如图1(b)所示的内力荷载群，即分条竖向面上的法向力
i
E，
1+i
E，剪切力
i
T，
1+i
T，
分条底部的法向力
i
N，剪切力
i
S。
考虑强度储备系数F，将滑裂面的黏聚力
i
c和
摩擦因数
i
f都分别除以F，根据滑裂面上的极限平衡条件和莫尔–库仑屈服准则，便有如下公式成立：
F
f
N
L
c
S
i
i
i
i
i
/)
(+
=(1) 式中：F为滑动土体沿该滑裂面的安全系数，以下来推导由力矩平衡条件所决定的安全系数F，为区
别起见将其表示为F
m
。
第25卷 第2期 邹广电等. 土坡稳定分析普遍极限平衡法数值解的理论及方法研究 ? 365
?
图1 一任意边坡受力示意图 Fig.1 Schematic map of a general slope
考虑滑动土体的整体力矩平衡条件，理论上可取任意一个点作为满足力矩平衡的中心点，为推导方便起见，现取坐标系的原点O 作为力矩平衡的中心点，同时规定逆时针方向的力矩为正，顺时针方向的力矩为负；将滑动土体上作用的所有荷载对点
O 求力矩，其力矩之和应为0，于是可得
/)sin cos (m i i i i i i X D Y D F αα?Σ=
)(i i i iX i iX i iY X W Y N Y N X N ?++ (2) i i i i i f N L c D += (3) i i iX N N αsin = (4) i i iY N N αcos = (5)
式(2)即为由整体力矩平衡条件所推出的安全系数表达式。
2.2 力平衡的安全系数
力平衡条件包括水平力平衡条件和竖向力平衡条件，理论上可从其中的任意一种平衡条件导出力平衡的安全系数表达式；但边坡滑动时，一般情况下沿水平方向的滑动分量更为大些，据此可推测水平力平衡条件起着更重要的控制作用，即从水平力平衡条件出发更有利于找出安全系数的真解。故此选择从水平力平衡条件出发推导力平衡的安全系数表达式。
所有的作用力沿水平方向的投影之和应等于
0，据此可推出力平衡条件的安全系数表达式为
)sin /()cos (f i i i i N D F ααΣ= (6)
2.3 竖向力平衡条件
两条静力学原理还包括了竖向力平衡条件，因此，竖向力平衡条件必须得到满足，即所有的作用力沿垂直方向的投影之和应等于0，则可得
i i i i i W N S Σ=Σ+Σ)cos ()sin (αα (7)
2.4 普遍极限平衡法安全系数的基本定义
考虑继续沿用土坡稳定分析中的两条基本假定，即：
(1) 材料是刚性–理想塑性的。
(2) 滑裂面上恰好达到极限状态且满足莫尔–
库仑屈服准则；那么，从理论上来说，对于一个所有边界条件和土性参数都确定的边坡，给定一个确定的滑动面，然后施加某种特定的外力或其他可能促使滑动的某种特定外在因素，当边坡沿该滑动面开始失稳时，这个特定的破坏外力或破坏因素的最终状态是唯一的，这个最终状态，实际上也就是潘家铮最大值原理所描述的那个状态。同时，与此相对应的内力状态亦是唯一的，在这个外力(或破坏因素)和内力状态下，土坡将满足物体平衡的两条静力学基本原理，在滑裂面上恰好达到极限状态且满足莫尔–库仑屈服准则。
显然，图1(b)所示的内力荷载群，即分条竖向面上的法向力i E ，1+i E ，剪切力i T ，1+i T ，分条底部的法向力i N ，剪切力i S 即为边坡内力状态的代表参数，则根据上述理论，便可得到：
推论1：存在一组与特定破坏外力或破坏因素所对应的唯一的边坡内力荷载群i E ，1+i E ，i T ，1+i T ，
i N ，i S ，它将满足两条静力学原理、滑裂面上的极限平衡条件和莫尔–库仑屈服准则，这组内力荷载群就代表了边坡沿该滑动面的临界滑动状态。
现考虑强度储备系数F ，假想将某一滑裂面的黏聚力i c 和摩擦因数i f 都分别除以F ，且不断地提高F 的数值，那么，边坡沿该滑裂面的抗滑能力便不断地被削弱，当达到某一数值时，边坡就将沿该滑裂面开始失稳而进入临界滑动状态；于是，根据上述理论，便可得到：
推论2：存在一组唯一的边坡内力荷载群i E ，
1+i E ，i T ，1+i T ，i N ，i S 和强度储备系数F ，它将满足两条静力学原理、滑裂面上的极限平衡条件和莫尔–库仑屈服准则，这组内力荷载群就代表了边坡沿该滑动面的临界滑动状态，强度储备系数F 就是需求的边坡稳定安全系数。
由节2.1～2.3的推导可知，式(2)，(6)，(7)代表了内力荷载群i E ，1+i E ，i T ，1+i T ，i N ，i S 所必须满足的静力学的3个平衡条件，式(1)则代表了滑裂
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面上的极限平衡条件和莫尔–库仑屈服准则，于是，根据推论2，便可得到：
推论3：存在一组唯一的边坡内力荷载群i E ，
1+i E ，i T ，1+i T ，i N ，i S 和强度储备系数F ，它将使得F = F m = F f 且满足式(1)，(2)，(6)，(7)，这组内力荷载群就代表了边坡沿该特定滑动面的临界滑动状态，强度储备系数F 就是需求的沿该特定滑动面的边坡稳定安全系数。
2.5 普遍极限平衡法安全系数基本定义的极值形式
令121(+=n E E E ，，，"X ；121+n T T T ，，，"；
n N N N ，，，"21；n S S S ，，，"21)和?=)(|m F X F D |)(f X F ，则根据推论3，可将普遍极限平衡法安全系数的基本定义转化为如下的极值形式：
???
????
?
??
?
??
??
???
??=+Σ=Σ+Σ=Σ=?+?Σ=∈?=)321()(/)()cos ()sin ()
sin /()cos ()/()sin cos ()(|
)()(|min f m f m f m F n i F F f N L c S W N S ?N D F X W Y N X N X D Y D F ?F F D i i i i i i
i i i i i i i i i i i ix i iy i i i i i i ，，，，或"ααααααX X X X X (8) 式中：?为X 的可行域，它必须满足的基本条件就是竖向力平衡条件，即式(7)。
根据推论3，存在一组与边坡临界滑动状态所对应的唯一的边坡内力荷载群i E ，1+i E ，i T ，1+i T ，i N ，i S 和强度储备系数F ，因此，以上极值问题必定可解且具有唯一解，这个唯一解的极小值即为0，与此相对应的m F (或f F )即为需求的边坡稳定安全系数。
由于式(8)中的变量X 所包含的变量总数极多，而约束条件却仅有i i i i i W N S Σ=Σ+Σ)cos ()sin (αα一项而已，可行域?可谓极其庞大，故此轻易求得式(8)的解答几乎是不可能的，必须通过严格的数学力学分析来减少X 所包含的独立变量个数，以此缩小可行域?的范围。
3 普遍极限平衡法数值解极值形式的
变量分析
3.1 滑裂面极限平衡条件的应用
应用滑裂面上的极限平衡条件和莫尔–库仑屈
服准则，便可得式(1)所示的F f N L c S i i i i i /)(+=，因此，121(+=n E E E ，，
，"X ；121+n T T T ，，，"；，1N n N N ，，"2；n S S S ，，，"21)中的(n S S S ，，，"21)依赖于(n N N N ，，
，"21)而非独立变量；于是X 可简化为
121(+=n E E E ，，，"X ；121+n T T T ，，，"；
，1N n N N ，，"2) (9)
3.2 各分条竖向力平衡条件的应用
对号码为1～2?j 和j+1～n 的分条应用竖向力平衡条件，可得
i i i i i i i W T N S T ?++=+ααcos sin 1
(i = 1，2，3，"，2?j ，1+j ，2+j ，"，n )
(10)
3.3 各分条水平力平衡条件的应用
同样地对号码为1～2?j 和j+1～n 的分条应用竖向力平衡条件，可得
i i i i i i S N E E ααcos sin 1+?=+
(i = 1，2，3，"，2?j ，1+j ，2+j ，"，n )
(11)
3.4 其他力平衡条件的应用
设系数1a ～8a 和1b ～8b 如下：
?
?????
?
?
????
??
?
???
?
?
?
?
?
??
??
?==?=?=?+=??===?==+=?=?+=+===++????????????354683
57116251142321354683
571
116112511114112312111//cos cos sin sin cos cos ////cos sin cos sin cos sin //b b b b b b b b b E b b a b b W T b b b F
f b F L c b a a a a a a a a a E a a a W T a a a a F f a F
L c a j
j j
j j j j j
j j j j j j j j j j j j j j j j ααααααααααα (12)
对号码为1?j 和j 的分条应用水平力和竖向力平衡条件(图2)，则可得
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图2 其他力平衡条件的应用
Fig.2 Application of other force balance conditions
)/()(7788b a a b T j ??= (13) 87b T b E j j += (14) 34/)(b b T N j j ?= (15) 341/)(a a T N j j ?=? (16)
3.5 普遍极限平衡法数值解极值形式的变量分析
由式(9)知121(+=n E E E ，，，"X ；，，，"21T T 1+n T ；，1N n N N ，，"2），由于===+111T E E n 01=+n T ，于是X 被简化为n E E E ，，，"32(=X ；，，，"32T T n T ；，1N n N N ，，"2），即X 内现在共包含了23?n 个变量；而式(10)～(15)所包含的方程总数为2n 个，故此，X 内的独立变量总数 =?n 3 222?=?n n ；因此，可从n E E E ，，
，"32(=X ；，，，"32T T n T ；，1N n N N ，，"2）内任取2?n 个独立变量作为极值问题的设计变量；本文取(，1N n j j j N N N N N ，，，，，，""2122++?)作为设计变量，
于是，普遍极限平衡法数值解极值形式的设计变量最终被简化为
X =(，1N n j j j N N N N N ，，，，，，""2122++?) (17)
与式(9)相比较，式(17)的变量总数已仅为式(9)的1/3程度，这使可行域?的范围得到了极大的缩 小，从而使式(8)所示的极值问题的求解得以可能。
4 普遍极限平衡法数值解极值形式的
最终数值模型
综合节2和3的叙述和推导，可得普遍极限平衡法数值解极值形式的最终数值模型为
??????????
????
???????
?
?
?
?
??
?
?
??
??
???
??
??
?????
???
??==?=?=+=??==+=++?=+?=++?=?++==Σ=?+?Σ=∈?=?++)432(0)432(0/)(/)()/()()321()(/)()212321(cos sin )212321(cos sin )sin /()cos ()/()sin cos ()(|
)()(|min 3413
48
77788f m 11f m f m F n i N n i E a
a T N
b b T N b T b E b a a b T n i F F f N L
c S n j j j i S N E E n j j j i W T N S T ?N D F X W Y N X N X D Y D F ?F F D i i j j j j j j j
i i i i i i
i i i i i i
i i i i i i i i i i i i i ix i iy i i i i i i ，，，，，
，，，，，，，或，，，，，，，，，，，，，，，，
"""""""ααααααααX X X X X (18)
需要说明的是，以上的数值模型中已不再列入 式(7)所示的整体竖向力平衡条件，这是因为式(10)～
(15)已包含了所有分条的竖向力平衡条件，将所有分条的竖向力平衡条件两边相加，即得到整体竖向力平衡条件，因此，整体竖向力平衡条件已自然得到满足而不必列入。还应注意的是安全系数计算式
(式(2)和(6))均为超越方程，须经迭代求解。
另外式(18)中加入了滑裂面和分条界面上的法向力恒不为张力这项条件，即(i N ≥0，i = 2，3，
4，"，n )和(i E ≥0，i = 2，3，4，"，n )。
5 模拟退火算法的应用
式(18)构成的极值问题是相当复杂的，为此需要找出兼顾解的质量以及运算时间的较好算法。模拟退火算法是一种解复杂极值问题的有效近似算法。它源于对固体退火过程的模拟，采用Metropolis 接受准则，并用一种称为冷却进度表的参数控制算法进程，使算法在多项式时间里给出一个近似最优解。
模拟退火算法的一般形式为：从选定的初始解开始，在借助于控制参数t 递减时产生的一系列
Markov 链中，利用一个新解产生装置和接受准则，重复进行包括“产生新解→计算目标函数差→判断
≥≥
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是否接受新解→接受(或舍弃)新解”这4个任务的试验，不断对当前解迭代，从而达到使目标函数最优的执行过程。针对式(18)所构成的极值问题，对模拟退火过程中的关键步骤说明如下：
(1) 新解产生装置。产生新解的原则是必须为满足约束条件的有效解，具体方法为：
①，，，，，，12321(+?==j j i W N i ii i "ζξ +j ，2)n ，"，且ii i N ≥0( i = 1，2，3，"，2?j ，+j 1，+j 2，"，n )。
这里，ζ为(0，1)上服从均匀分布的随机数，完全由计算机的随机数发生器自行生成；ξ为一个大于1的数，为预先所定并根据迭代收敛情况随时调整。
② 由式(1)及式(10)～(15)迭代计算得到ii
i
E ，
ii i T (i = 2，3，"，n )，ii j N 1?，ii j N ，ii i S ，ii F m 和ii
F f 。
③ 判断是否满足ii
i
E ≥0(i = 2，3，"，n )、
ii j N 1?≥0和ii
j N 1?≥0。
如任意一项不满足，则回到步骤①重新开始。
(2) 新解接受准则。采取扩充的Metropolis 接受准则判断是否接受新解。若新解可行且优于当前解则接受；否则按t D /exp(F ?)的概率接受新解，即
??
????=)
0()
/exp()0(1
)(F F F T ＜D t D D j i P (19)
式中：i
j D D D F F F ?=?，T P (i →j )为转移概率，t 为控
制参数。
(3) 停止准则。如F D ≤ε，则停止算法输出安全系数值；这里ε为预先设定的允许误差。
根据模拟退火思想设计出求解式(18)的具体算法如下：
步骤1 使用“新解产生装置”产生初始解0i N
(i = 1，2，3，"，2?j ，j+1，j+2，"，n )并计
算相应的目标函数值0
F
D ；给出控制参数t 的初值0t ；控制参数t 的衰减常数α；Markov 链的长度k L 。
步骤2 产生新解并计算新解与当前解的目标函数值之差F D ?。然后由接受准则计算F T (D P ?，
)t ，取(0，1)上服从均匀分布的随机数δ，如果)(F T t D P ，?≥δ则接受新解，否则放弃新解。
步骤3 累计重排次数n 。若n ＜k L 转步骤2，否则转步骤4。
步骤4 判断停止准则是否满足。若不满足则令t t α=，n = 0转步骤2，否则停止算法输出安全系数值。
由于模拟退火算法的随机性，终止解可能不是整个过程所遇到的解中最优的；因而如简单地取终止解作为最优解，可能漏掉本已取得的较好近似解或甚至整体最优解。因此，本文对上述算法进行了部分改进，增加了记忆功能，具体可描述如下：
设*
F D 和*F 为用于记忆当前遇到的目标函数
值和安全系数值；当第一次接受新解时令*
F D 和*
F 等于当前的目标函数值和安全系数值；以后每接受
一个新解时，就将当前解的目标函数值与*F D 作比较，若优于*F D 就用当前的目标函数值和安全系数值替换*F D 和*F 。最后算法结束时，将所得最优解与
记忆器中的解比较，取较优的一个作为当前最优解。
经过上述改进后的模拟退火算法具有较好的稳定性，可以获得更好的近似解甚至整体最优解。
6 工程实例分析
利用节5所建立的普遍极限平衡法数值解极值形式的最终数值模型(式(18))以及节6所给出的应用模拟退火算法的迭代步骤，笔者运用美国微软公司的最新Com 组件技术和Visual Basic 6.0最新版编制了通用程序，程序收敛性良好，一般300～600 s 便可收敛得到良好的解答，以下给出3个工程实例的详细分析和计算结果。 6.1 工程实例1
图3所示为例1的边坡及地基剖面图。首先采用经中国科学院和工程院两院潘家铮院士改进后可适用于任意形状滑裂面的Bishop 法进行计算，对如图3所示的滑裂面取分条数为15，结果得安全系数为0.523；同样取15条分条，采用本文提出的普遍极限平衡法数值解的极值形式(式(18))并应用模拟退火算法进行求解，仅迭代了约6 min 便收敛得到安全系数为0.525，与Bishop 法的结果相当吻合。 6.2 工程实例2
图4所示为实例2的边坡及地基剖面图[4]，意大利学者V . R.Greco 应用蒙特卡罗随机搜索法对这个边坡进行了最危险滑裂面的搜索，安全系数的计算方法采用斯宾塞法(Spencer method)，结果得如图所示的临界滑裂面，其相应的斯宾塞法安全系数为
1.327～1.333；对图内所示的临界滑裂面取15条分条，然后采用本文提出的普遍极限平衡法数值
≥ →
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图3 实例1的边坡及地基剖面图
Fig.3 Section of slope and foundation of example 1
图4 实例2的边坡及地基剖面图
Fig.4 Section of slope and foundation of example 2
解的极值形式(18)并应用模拟退火算法进行求解，结果得安全系数为1.329，与Greco的斯宾塞法结果十分吻合。
6.3工程实例3
图5所示为实例3的边坡及地基剖面图。对如图5所示的滑裂面取分条数为15并同样地采用Bishop法进行计算，结果得安全系数为0.91。
图5 实例3的边坡及地基剖面图
Fig.5 Section of slope and foundation of example 3
采用本文提出的方法并取15条分条进行计算，得到安全系数为0.87，亦与Bishop法的结果基本一致。7 结语
(1) 与现有的普遍极限平衡法(即GLE法)相比较，本文所提出的普遍极限平衡法数值解的理论及方法的特点是彻底跳出了现有的GLE法的框架，即不再沿用Morgenstern-Price法的条间力假设作为补充原则和各自求得整体力矩平衡和力平衡的安全系数分布图形后得出两者交点的安全系数求解方式。本文所提出的方法不对条间力关系作任何假设，而是从更普遍和广义的角度着手，将条间力关系与安全系数的定义紧密结合，使条间力关系与安全系数融为一体，因而其理论基础更为严格。
(2) 本文提出的普遍极限平衡法数值解极值形式的最终数值模型和为此所建立的模拟退火算法迭代格式具有良好的收敛性，其计算结果与在工程上被广泛应用和认可的Bishop法和斯宾塞法十分相近，从而证实了所提出的普遍极限平衡法数值解的理论及方法的可行性和有效性。
参考文献(References)：
[1] Fredlund D G，Krahn J，Pufahl D E. The relationship of limit
equilibrium slope stability methods[A]. In：Proc. the 10th Int . Conf.
Soil Mech. Found. Eng.[C]. Stockholm，Sweden：[s. n.]，1981.
409–416
[2] Fredlund D G，Rahardjo H. Soil Mechanics for Unsaturated Soils[M].
New York：John Wiley and Sons，1993.
[3] Bishop A W. The use of slip circle in the stability analysis of slopes[J].
Geotechnique，1955，5(1)：7–17.
O
O X
注：尺寸单位以m计注：尺寸单位以m计
注：尺寸以m计。
? 370 ? 岩石力学与工程学报 2006年
[4] Greco V R. Efficient Monte Carlo technique for locating critical slip
surface[J]. J. Geotech. Engrg.，ASCE，1996，122(7)：517–525. [5] Janbu N. Slope stability computations[A]. In：Embankment Dam
Engineering，Casagrande Memorial V olume[C]. New York：John
Wiley and Sons，1973. 47–86.
[6] Morgenstern N R，Price V E. The analysis of stability of general slip
surface[J]. Geotechnique，1965，15：79–93.
[7] Spencer E E. A method of the analysis of the stability of
embankments assuming parallel inter-slice forces[J]. Geotechnique，
1967，17：11–26.
[8] 陈祖煜. 土坡稳定分析通用条分法及其改进[J]. 岩土工程学报，
1983，5(4)：11–17.(Chen Zuyu. The generalized method of slices for
slope stability analysis and its modifications[J]. Chinese Journal of
Geotechnical Engineering，1983，5(4)：11–27.(in Chinese))
[9] 戴自航，沈蒲生. 土坡稳定分析普遍极限平衡法的数值解研究[J].
岩土工程学报，2002，24(3)：327–331.(Dai Zihang，Shen Pusheng.
Study on numerical solution of general limit equilibrium method for stability analysis of soil slopes[J]. Chinese Journal of Geotechnical Engineering，2002，24(3)：327–331.(in Chinese))
[10] 潘家铮. 建筑物的抗滑稳定和滑坡分析[M]. 北京：水利出版社，
1980.(Pan Jiazheng. Analysis of Stability Against Slide of Building and Landslide[M]. Beijing：China Water Conservancy Press，1980.(in Chinese))
[11] 钱家欢，殷宗泽. 土工原理与计算(第二版)[M]. 北京：中国水利
水电出版社，1996.(Qian Jiahuan，Yin Zongze. Geotechnical Theory and Calculation(Second Edition)[M]. Beijing：China Water Power Press，1996. (in Chinese))
[12] 邹广电. 边坡稳定分析条分法的一个全局优化算法[J]. 岩土工程学
报，2002，24(3)：309–312.(Zou Guangdian. A global optimization method of the slice method for slope stability analysis[J]. Chinese Journal of Geotechnical Engineering，2002，24(3)：309–312.(in Chinese))
(上接第349页)
《岩石力学与工程学报》2005年增2被EI收录论文(122篇)题录
No. 论文题目作者名页码
61 三峡库首区蓄水前后构造应力场三维数值模拟研究陈蜀俊姚运生曾佐勋等 5 611–5 618
62 公路高陡病害边坡的三次治理浅析虞兴福周红武张莉等 5 619–5 624
63 基于能量耗散的土体本构关系及其参数确定秦理曼迟世春林皋 5 625–5 633
64 涵洞施工全过程弹塑性有限元模拟分析李俊伟李永刚黄宏伟等 5 634–5 640
65 石灰稳定均匀级配砾石土的路用性能试验研究郭爱国孔令伟胡明鉴等 5 641–5 647
66 岩石–混凝土相互作用力学行为的数值模拟研究刘小然周宏伟李洪 5 648–5 651
67 不同角度单裂纹缺陷试样的裂纹扩展与破坏行为林鹏黄凯珠王仁坤等 5 652–5 657
68 深厚覆盖层上堆石坝采用倒悬挂式防渗墙的渗流场特性研究蔡元奇朱以文周鸿汉等 5 658–5 663
69 关于土石坝心墙水力劈裂研究的一些思考王俊杰朱俊高张辉 5 664–5 668
70 高温井地层破裂压力计算技术李嗣贵邓金根蔚宝华等 5 669–5 673
71 虎跳峡龙蟠右岸斜坡变形的地质力学机制探讨谭儒蛟胡瑞林徐文杰等 5 674–5 679
72 杭州地铁1#线岩土工程问题探讨金兴平杨迎晓李辉煌 5 680–5 685
73 裂隙岩体表征单元体研究进展向文飞周创兵 5 686–5 692
74 高原冻岩隧道施工中融化圈深度对围岩稳定性的影响分析贾晓云李文江朱永全 5 693–5 697
75 路堤饱和软土地基初始孔压分布及沉降分析贾宁陈云敏陈仁朋 5 698–5 704
76 爆炸地震波荷载下饱和砂土液化有效应力法分析国胜兵潘越峰王明洋等 5 705–5 711
77 真空预压影响区安全措施有限元分析陈兰云朱建才 5 712–5 715
78 地应力和温度载荷耦合作用下注汽井射孔套管损坏的数值模拟薛彩军邱清盈武建伟 5 716–5 720
79 疏浚淤泥泡沫塑料颗粒轻质混合土的抗剪强度特性朱伟姬凤玲马殿光等 5 721–5 726
80 双连拱隧道两种工法的施工力学分析贾永刚王明年邓敦毅 5 727–5 732
81 单轴–三轴和渗透水压条件下砂岩应变特性的CT试验研究曹广祝仵彦卿丁卫华等 5 733–5 739
82 饱和软土单桩沉桩超孔隙水压力分析朱向荣何耀辉徐崇峰等 5 740–5 744
83 非线性弹性地基上受简谐激励矩形薄板的主共振与奇异性杨志安李志永 5
745–5 750
84 缓倾角红层路堑高边坡应力状态与防护研究赵建昌李永和吉随旺 5 751–5 755
85 上埋式刚性结构物土压力的调整方法张卫兵刘保健谢永利 5 756–5 761
86 土压平衡式盾构掘进试验及掘进数学模型研究张厚美吴秀国曾伟华 5 762–5 766
87 水平及缓倾斜煤层开采条件下离层值的计算赵德深徐涛刘文生等 5 767–5 772
88 天坛东门站浅埋暗挖施工顺序对地表沉降影响的数值模拟分析宋卫东谢政平张继清 5 773–5 778
89 应变速率对粘土不排水抗剪强度的影响高彦斌汪中为 5 779–5 783
90 岩样单轴拉伸应变局部化及全程应力–应变曲线王学滨 5
784–5 788
(下转第384页)
边坡极限平衡分析方法及其局限性
边坡极限平衡分析方法及其局限性 1.引言 边坡稳定性问题是边坡工程中最常见的问题，边坡稳定性分析的核心问题是边坡安全系数的计算。边坡稳定性分析的方法较多，极限平衡分析计算方法简便，且能定量地给出边坡安全系数的大小，方法本身已臻成熟，广为工程界接受，仍然是当今解决工程问题的基本方法。 本文比较分析边坡极限平衡方法中最常用的几种方法，同时对极限平衡法中的若干重要问题及其局限性进行探讨。 2. 极限平衡法基本原则 边坡的滑面可以是圆弧、组合面( 比如圆弧和直线的结合) 或者由一系列直线定义的任意形状的面。图1[3]以最一般的形式显示了作用于一个组合滑面上的所有力。 图1 条块受力分析[3] 注: W为条块的总重力; N为条块底部作用的总法向力; S m为条块底部作用的切向力; E为条间的水平法向力( 下标L、Ｒ分别指土条的左、右侧) ; X为条间的竖向剪力; D 为外加线荷载; k W为通过每一条块的水平地震荷载; A为合成的外部水压力;Ｒ、f、x、e、d、h、a、ω、α为几何参数。一般边坡经合理简化后均可看作是该模型的特殊形式。
在边坡稳定分析方法中，极限平衡原理主要包含以下四条基本原则[1,5]。 (1)刚体原则 极限平衡法最基本的原则就是将滑体简化为刚体，即不考虑滑体的变形，不满足变形协调条件，这种破坏是以平面破坏模式为主。 (2)安全系数定义 将土的抗剪强度指标c 和tan φ 降低一定的倍数，比如降低FS 倍，则土体沿着此滑裂面达到极限平衡。安全系数为：??+=l l s dl dl c F 00' 'tan τ?σ (1)，c 和tan φ两个强度参数共用同一安全系数F S ，即按照同一比例衰减。上述将强度指标的储备作为安全系数定义的方法被广泛采用。 (3)摩尔—库仑准则 当土体达到极限平衡时， 正应力c ′和剪应力tan φ′满足摩尔-库仑强度准则。如式(2)所示：''tan )sec (sec ?ααx u N x c T ?-+?=(2)，式中，α 为土条底倾角，tan α=dy/dx ；u 为孔隙水压力。 (4)静力平衡条件 把滑动土体分成若干个土条，每个土条和整个滑动土体都满足力的平衡条件和力矩平衡条件。当未知数的数目超过了方程式的数目，为使静不定问题成为静定问题，可对多余未知数作出假设，使得方程数目和剩余未知数相等，即可解出方程，求得安全系数。 3. 极限平衡分析方法及其局限性[1,3,5] (1)瑞典圆弧法 1915 年，瑞典K.E.Peterson 提出瑞典圆弧法。将滑动土体当成刚体，通常粘性土坡的滑动曲面接近圆弧，因此称为圆弧法。 该法不考虑滑动土体内部的相互作用力，假定土坡稳定属于平面应变问题。 (2)瑞典条分法 1927 年，Fellenius 提出瑞典条分法，该法假设滑动面上的土体分成若干个垂直土条，忽略土条之间的相互作用力，对作用于各土条上的力进行力和力矩平衡分析，求出在极限平衡状态下土体稳定的安全系数。安全系数定义为: ∑∑∑∑+=+= α?αβα?βsin )tan cos (sin )tan (W W c W N c F s (3)
(完整word)高中化学极限法
专题7·极限法 极限判断是指从事物的极端上来考虑问题的一种思维方法。该思维方法的特点是确定了事物发展的最大(或最小)程度以及事物发生的范围。 例1 ：在120℃时分别进行如下四个反应： A．2H2S+O2＝2H2O＋2S B．2H2S+3O2=2H2O+2SO2 C．C2H4+3O2=2H2O+2CO2D．C4H8+6O2=4H2O+4CO2 （l）若反应在容积固定的容器内进行，反应前后气体密度（d）和气体总压强（P）分别符合关系式d前=d后和P前＞P后的是；符合关系式d前=d后和P前=P后的是（请填写反应的代号）。 （2）若反应在压强恒定容积可变的容器内进行，反应前后气体密度（d）和气体体积（V）分别符合关系式d前>d后和V前
方法：采用极值法或平均分子量法。 解析：[解法一]：（极值法） 假设95mg全为MgCl2，无杂质，则有：MgCl2 ~ 2AgCl 95mg2×143.5mg 生成沉淀为287mg，所以假设95mg全部为杂质时，产生的AgCl沉淀应大于300mg。 总结：极值法和平均分子量法本质上是相同的，目的都是求出杂质相对分子量的区间值，或者杂质中金属元素的原子量的区间值，再逐一与选项比较，筛选出符合题意的选项。 例3 ：在一个容积固定的反应器中,有一可左右滑动的密封隔板,两侧分别进行如图所示的可逆反应.各物质的起始加入量如下:A、B和C均为4.0mol、D为6.5 mol、F为2.0 mol,设E为x mol.当x在一定范围内变化时,均可以通过调节反应器的温度,使两侧反应都达到平衡,并且隔板恰好处于反应器的正中位置.请填写以下空白:
芝诺悖论的极限分析
芝诺悖论的极限分析 学生姓名：王慧文指导教师：岳进 摘要：古希腊哲学家芝诺提出了著名的“二分法”，其结论的荒谬性不言而喻，可是对他的论证我们 似乎很难找出毛病，好像是可以接受的。其结论之所以不可以接受，源于在他的论证中隐藏着一些 谬论。在极限方面过程中把带有统一度量单位的“无穷”混为一谈。在哲学方面违反了辩证法的客观 性原则、全面性原则和对立统一性原则；但芝诺悖论的提出，对辩证法的方法，以及运动过程中诸 要素的多种矛盾，通过逻辑运算对芝诺悖论的荒谬性进行反驳，对数学的发展起了很大的作用。 同时本文利用数学求极限的方法,通过逻辑运算,揭示阿基里斯永远追不上乌龟结论的错误。 关键词：悖论；无穷与有穷；运动与静止；连续与间断 引言： 数学悖论是数学发展过程中的一个重要的存在形态,它是数学体系中出现的一种尖锐的矛盾,对于这一矛盾的处理与研究,丰富了数学的内容,促进了数学的发展。 芝诺是公元五世纪古希腊埃利亚学派的代表人物。芝诺“二分法”悖论是说，你不能在有限的时间内穿过无穷的点。在你穿过一定的距离的全部之前,你必须穿过这个距离的一半。这样做下去就会陷入无止境,所以在任何一定的空间中都有无穷个点,你不能在有限的时间中一个接一个地接触无穷个点。运动只是假象，不动不变才是真实。假如承认有运动，就得承认速度最快的赶不上速度最慢的”，即快的“只能无限地接近但永远不能赶上”慢的。因为，快的要追上慢的，总要到达慢的所处，的所经过的每个出发点，而当它到达第一个出发点时，慢的已经往前走了“一段，即阿基里斯追赶乌龟的赛跑。 芝诺的哲学观点虽然不对，但是，他如此尖锐地提出了空间和时间是连续还是离散的问题，引起人们长期的讨论和发展，不能不说是巨大的贡献。本论文就是通过极限与哲学的分析，对芝诺悖论进行剖析。 1、悖论对数学产生的作用 1.1从悖论说起 什么是悖论？它既属于逻辑矛盾、语义矛盾,也属于思想方法上的矛盾。简单地说，悖论一般表现为这样的命题：如果你认为它真，则可以推出它为假；如果你认为它假，则可以推出它为真[1]。悖论往往以逻辑推理为手段，深入到原理论的基础之中深刻地揭露出该理论体系中的无法回避的矛
高等数学求极限的常用方法
高等数学求极限的14种方法 一、极限的定义 1.极限的保号性很重要：设 A x f x x =→)(lim 0 ， （i ）若A 0>，则有0>δ，使得当δ<-<||00x x 时，0)(>x f ； （ii ）若有,0>δ使得当δ<-<||00x x 时，0A ,0)(≥≥则x f 。 2.极限分为函数极限、数列极限，其中函数极限又分为∞→x 时函数的极限和0x x →的极限。要特别注意判定极限是否存在在： （i ）数列{} 的充要条件收敛于a n x 是它的所有子数列均收敛于a 。常用的是其推论，即“一个数列收敛于a 的充要条件是其奇子列和偶子列都收敛于a ” （ii ）A x x f x A x f x =+∞ →=-∞ →?=∞ →lim lim lim )()( (iii) A x x x x A x f x x =→=→?=→+ - lim lim lim 0 )( (iv)单调有界准则 （v ）两边夹挤准则（夹逼定理/夹逼原理） （vi ）柯西收敛准则（不需要掌握）。极限 ) (lim 0 x f x x →存在的充分必要条件是： εδεδ<-∈>?>?|)()(|)(,0,021021x f x f x U x x o 时，恒有、使得当 二．解决极限的方法如下： 1.等价无穷小代换。只能在乘除．． 时候使用。例题略。 2.洛必达（L ’hospital ）法则（大题目有时候会有暗示要你使用这个方法） 它的使用有严格的使用前提。首先必须是X 趋近，而不是N 趋近，所以面对数列极限时候先要转化成求x 趋近情况下的极限，数列极限的n 当然是趋近于正无穷的，不可能是负无穷。其次,必须是函数的导数要存在，假如告诉f （x ）、g （x ）,没告诉是否可导，不可直接用洛必达法则。另外，必须是“0比0”或“无穷大比无穷大”,并且注意导数分母不能为0。洛必达法则分为3种情况： （i ）“ 00”“∞ ∞ ”时候直接用 (ii)“∞?0”“∞-∞”，应为无穷大和无穷小成倒数的关系，所以无穷大都写成了无穷小的倒数形式了。通 项之后，就能变成(i)中的形式了。即)(1)()()()(1)()()(x f x g x g x f x g x f x g x f ==或；) ()(1 )(1 )(1 )()(x g x f x f x g x g x f -=- (iii)“00”“∞1”“0 ∞”对于幂指函数,方法主要是取指数还取对数的方法，即e x f x g x g x f ) (ln )()()(=， 这样就能把幂上的函数移下来了，变成“∞?0”型未定式。 3.泰勒公式(含有x e 的时候，含有正余弦的加减的时候）
概率极限理论
随机微分方程基本理论 1、引言 随机微分方程（SDE ）的诞生有其一定的应用背景。随机微积分和随机微积分方程起源于马氏过程的构造和柯尔莫哥洛夫的分析方法与费尔的半群方法。常微分方程在物理、工程技术、生物和经济等领域中的应用是众所周知的，然而随着科学技术的发展，要求对实际问题的描述越来越精确。因此，随机因素的影响就不能轻易地被忽略，于是对于某些实际过程的分析也就有必要从通常的确定性观点转到随机的观点，从而对这些实际系统的描述，也就自然地从确定性的常微分方程转到随机常微分方程，简称随机微分方程。 随机微分方程是一种针对生物、化学、医药、机电、经济等领域中的随机现象而建立的数学模型，其广泛应用于自然科学、工程技术和经济学等领域。伊藤型随机微积分方程就是指带有白噪声的微分方程。自从爱因斯坦建立了布朗运动和随机分子扩散的数学理论以来，各种不同的领域内，如分子物理学、院子物理学、化学动力学、固态理论、结构稳定性、群体遗传学、通信以及自然科学、社会科学和工程的许多其他分支中开展了一系列理论的科学研究。在随机微分方程理论研究的早期阶段，爱因斯坦、斯莫路苏斯基、郎之万、奥伦斯坦、乌伦贝克和克拉美等人做了许多卓有成效的工作，这些工作综合在查德瑞赛卡1943男的主要论文中。随着随机微分方程的数学理论的发展数学研究人员在这一领域中发展了一些及其重要的结果，随着伊藤积分概念的引入，随机微分方程的理论向更深纵发展。 2、基础理论和线性方程 0)0( , )()),(()),(()(x x x dw t t x b dt t t x a t dx =+= (2.1) 是由伊藤积分方程 )() ),(()),(()(0 0s dw s s x b s s x a x t x t t ??+ + = (2.2) 定义。
极限平衡法介绍
基于极限平衡法原理的边坡稳定计算有多种方法，根据不同的适用条件，主 23111212 311121e e e e P e e P e P P K n n n n n n n n n n n n n n n n c ???++??+?+= --------ΛΛ （12—1） 式中： si i si i bi i i Q e ?δ?α?sec )[cos(-+-=
) cos(i ei i a i W Q P α?-?= ) tan (si i i si i PW d C S ??-?= )(11111+++++?-?=si i i si i tn PW d C S ? )tan sec (bi i i i bi i u b C R ?α?-?= 1 1cos )sec(+++-=si si i bi i Q ??α? bi ?——条块底面摩擦角 bi c ——条块底面粘聚力 si ?——条块侧面摩擦角 si c ——条块侧面粘聚力 式（12—1）分成n 块滑体达到静力平衡的条件。该式物理意义是：使滑体达到极限平衡状态，必须在滑体上施加一个临界水平加速度Kc 。Kc 为正时，方向向坡外，Kc 为负时，方向向坡内，Kc 的大小由式（12—1）确定。 在对该方法应用中，对其进行了进一步完善，充分考虑了分层作用，并使不同层位赋予不同的强度参数，同时它还要求对解的合理性进行校核，使分析计算更趋合理，从而显示了该方法很强的适用性。 Bishop 法概述： 目前，在工程上常用的两种土坡稳定分析方法仍为瑞典圆弧法(Fellenius 法)和简化毕肖普法，它们均属于极限平衡法。瑞典圆弧法的土条间作用力的假设不太合理，得出的安全系数明显偏低，而简化毕肖普法的假设较为合理，计算也不复杂，因而在工程中得到了十分广泛的应用。 当土坡处于稳定状态时，任一土条内滑弧面上的抗剪强度只发挥了一部分，
数学分析求极限的方法
求极限的方法 具体方法 ⒈利用函数极限的四则运算法则来求极限 定理1①：若极限)(lim 0 x f x x →和)(lim x g x x →都存在，则函数)(x f ±)(x g ，)()(x g x f ? 当0x x →时也存在且 ①[])()()()(lim lim lim 0 .0 x g x f x g x f x x x x x →→→±=± ②[])()()()(lim lim lim 0 x g x f x g x f x x x x x x →→→?=? 又若0)(lim 0 ≠→x g x x ，则 ) () (x g x f 在0x x →时也存在，且有 )()()() (lim lim lim 0 x g x f x g x f x x x x x x →→→= 利用极限的四则运算法则求极限，条件是每项或每个因子极限存在，一般所给的变量都不满足这个条件，如 ∞ ∞、00 等情况，都不能直接用四则运算法则，必须要对变量进行变形，设法消去分子、分母中的零因子，在变形时，要熟练掌握饮因式分解、有理化运算等恒等变形。 " 例1：求24 22 lim ---→x x x 解：原式=()()()022 22lim lim 22 =+= -+-- - →→x x x x x x ⒉用两个重要的极限来求函数的极限 ①利用1sin lim =→x x x 来求极限 1sin lim 0 =→x x x 的扩展形为： 令()0→x g ，当0x x →或∞→x 时，则有
()()1sin lim 0=→x g x g x x 或()()1sin lim =∞ →x g x g x 例2：x x x -→ππ sin lim 解：令t=x -π.则sinx=sin(-π t)=sint, 且当π→x 时0→t 故 1sin sin lim lim 0 ==-→→t t x x t x ππ ~ 例3：求() 11 sin 21 lim --→x x x 解：原式=()()()()()()()211sin 1111sin 1221 21lim lim =--?+=-+-+→→x x x x x x x x x ②利用e x x =+∞→)1 1(lim 来求极限 e x x =+∞ →)1 1(lim 的另一种形式为e =+→α α α1 )1(lim .事实上，令 .1 x =α∞→x .0→?α所以=+=∞ →x x x e )11(lim e =+→ααα1 0)1(lim 例4: 求x x x 1 )21(lim +→的极限 解：原式=221 210)21()21(lim e x x x x x =?? ?+????+→ 利用这两个重要极限来求函数的极限时要仔细观察所给的函数形式只有形式符合或经过变化符合这两个重要极限的形式时才能够运用此方法来求极限。一般常用的方法是换元法和配指数法。 ⒊利用等价无穷小量代换来求极限 所谓等价无穷小量即.1) () (lim =→x g x f x x 称)(x f 与)(x g 是0x x →时的等价无穷小量，记作)(x f )(~x g .)(0x x →.
数学分析习作-数列极限与函数极限的异同
云南大学 数学分析习作课（1）读书报告 题目：数列极限与函数极限的异同 （定义，存在条件，性质，运算四方面的对比）学院：物理科学技术学院 专业：数理基础科学 姓名、学号： 任课教师： 时间： 2009-12-26 摘要 极限是数学中极其重要的概念之一，极限的思想是人们认知数学世界解决数学问题的 重要武器，是高等数学这个庞大的数学体系得以建立的基础和基石； 极限在数学中处于基础的地位，它是解决微积分等一系列重要数学问题的前提和基 础； 极限是一种思维，在学习高数时最好理解透彻了，在线代中没什么用.但是概率中用 的比较多，另外物理中许多都用到了极限的思维，它也能帮助更好的理解一些物理知 识；
在高等数学中，极限是一个重要的概念，极限可分为数列极限与函数极限，下面是关于两种极限的简要联系与说明。 关键词：数列极限与函数极限的定义，存在条件，性质，运算 一数列极限与函数极限的定义 1、数列与函数： a、数列的定义：数列是指按自然数编了号的一串数：x1，x2，x3，…，x n，…. 通常记作{x n}，也可将其看作定义在自然数集N上的函数x n=N (， ), n n f∈故也称之为整标函数。 b、函数的定义：如果对某个范围X内的每一个实数x，可以按照确定的规律f， 得到Y内唯一一个实数y和这个x对应，我们就称f是X上的函数，它在x的数值（称为函数值）是y，记为) f y=。 (x (x f，即) 称x是自变量，y是因变量，又称X是函数的定义域，当x遍取X内的所有实数时，在f的作用下有意义，并且相应的函数值) f的全体所组成的范围叫作 (x
函数f 的值域，要注意的是：值域不一定就是Y ，它当然不会比Y 大，但它可能比Y 小。 2、 （一） 数列极限的定义： 对数列}{x n ，若存在常数A ，对N n N >?∈?>?,N ,0ε，有 ε<-A x n ，则称 数列收敛且收敛于A ，并称数列}{x n 的极限为A ，记为x n n lim ∞ →=A. 例1.试用定义验证：01 lim =∞→n n . 证明：分析过程，欲使,1 01ε<=-n n 只需ε 1 >n 即可，故 εεε<->?+?? ? ???=?>?01:,11,0n N n N . 例2.试用定义验证：).11(lim <<-=∞ →q n 证明：分析过程.欲使[]ε <=-n n q q 0， 只需q n lg lg ε > （注意0lg ??? ????????????????=?n q N n q N 对于比较复杂的表达式n n A x α=-，一般地，我们通过运算,适当放大，将n α变形简化到n β，既使得对于0>?ε由不等式εβ
数学分析中求极限的方法总结
数学分析中求极限的方 法总结 Document serial number【UU89WT-UU98YT-UU8CB-UUUT-UUT108】
数学分析中求极限的方法总 结 1 利用极限的四则运算法则和简单技巧 极限的四则运算法则叙述如下： 定理：如果0 x x lim f x =,lim g x =x x →→A B （）（） （1）[]0 lim ()()lim ()lim ()x x x x x x f x g x f x g x →→→±=±=A ±B （2）[]0 x x lim f x g x =lim f x)lim ()x x x x g x →→→??=A?B （）（）（ （3）若B ≠0 （4）0 x lim c ()lim ()x x x f x c f x c →→?=?=A （5） [] 0lim ()lim ()n n n x x x x f x f x →→??==A ????（n 为自然数） 上述性质对于,,x x x →∞→+∞→-∞也同样成立i 由上述的性质和公式我们可以看书函数的和、差、积、商的极限等于函数极限的和、差、积、商。 例1. 求225 lim 3x x x →+-的极限 解：由定理中的第三式可以知道 例2. 求3 2 lim 3x x →-的极限 式子经过化简后就能得到一个只有分母含有未知数的分式，直接求极限即可 例3. 已知 ()1111223 1n x n n = +++ ??-?，求lim n n x →∞ 解： 观察 11 =112 2- ? 111=2323-?
因此得到 ()1111223 1n x n n = +++ ??-? 所以 1lim lim 11n n n x n →∞→∞ ?? =-= ??? 2 利用导数的定义求极限 导数的定义：函数f(x)在0x 附近有定义，χ??，则 如果 存在， 则此极限值就称函数f(x)在点0x 的导数记为 () 0'f x 。 即 在这种方法的运用过程中，首先要选好f(x)。然后把所求极限都表示成f(x)在定点0 x 的导数。 例4. 3 利用两个重要极限公式求极限 两个极限公式： （1 （2）1lim 1x x e x →∞ ?? += ??? 但我们经常使用的是它们的变形： （1，
数学分析习作-数列极限及函数极限的异同
XX大学 数学分析习作课（1）读书报告 题目：数列极限与函数极限的异同 （定义，存在条件，性质，运算四方面的对比）学院：物理科学技术学院 专业：数理基础科学 、学号： 任课教师： 时间：2009-12-26摘要 极限是数学中极其重要的概念之一，极限的思想是人们认知数学世界解决数学问题的
重要武器，是高等数学这个庞大的数学体系得以建立的基础和基石； 极限在数学中处于基础的地位，它是解决微积分等一系列重要数学问题的前提和基础； 极限是一种思维，在学习高数时最好理解透彻了，在线代中没什么用.但是概率中用的比较多，另外物理中许多都用到了极限的思维，它也能帮助更好的理解一些物理知识；在高等数学中，极限是一个重要的概念，极限可分为数列极限与函数极限，下面是关于两种极限的简要联系与说明。 关键词：数列极限与函数极限的定义，存在条件，性质，运算 一数列极限与函数极限的定义 1、数列与函数：
a 、数列的定义：数列是指按自然数编了号的一串数：x 1，x 2，x 3，…，x n ，…. 通常记作{x n }，也可将其看作定义在自然数集N 上的函数x n =N n n f ∈),(， 故也称之为整标函数。 b 、函数的定义：如果对某个围X 的每一个实数x ，可以按照确定的规律f ，得到Y 唯 一一个实数y 和这个x 对应，我们就称f 是X 上的函数，它在x 的数值（称为函数值）是y ，记为)(x f ，即)(x f y =。 称x 是自变量，y 是因变量，又称X 是函数的定义域，当x 遍取X 的所有实数 时，在f 的作用下有意义，并且相应的函数值)(x f 的全体所组成的围叫作函数f 的值域，要注意的是：值域不一定就是Y ，它当然不会比Y 大，但它可能比Y 小。 2、 （一）数列极限的定义： 对数列}{x n ，若存在常数A ，对N n N >?∈?>?,N ,0ε，有 ε<-A x n ，则称 数列收敛且收敛于A ，并称数列}{x n 的极限为A ，记为x n n lim ∞ →=A. 例1.试用定义验证：01 lim =∞→n n . 证明：分析过程，欲使,1 01ε<=-n n 只需ε 1 > n 即可，故 εεε<->?+?? ? ???=?>?01:,11,0n N n N . 例2.试用定义验证：).11(lim <<-=∞ →q n 证明：分析过程.欲使[]ε <=-n n q q 0， 只需q n lg lg ε > （注意0lg 极限的常用求法及技巧 引言 极限是描述数列和函数在无限过程中的变化趋势的重要概念。极限的方法是微积分中的基本方法,它是人们从有限认识无限，从近似认识精确,从量变认识质变的一种数学方法，极限理论的出现是微积分史上的里程碑,它使微积分理论更加蓬勃地发展起来。 极限如此重要，但是运算题目多，而且技巧性强,灵活多变。极限被称为微积分学习的第一个难关，为此，本文对极限的求法做了一些归纳总结, 我们学过的极限有许多种类型：数列极限、函数极限、积分和的极限(定积分），其中函数极限又分为自变量趋近于有限值的和自变量趋近于无穷的两大类，如果再详细分下去，还有自变量从定点的某一侧趋于这一点的所谓单边极限和双边极限,x 趋于正无穷，x 趋于负无穷。函数的极限等等。本文只对有关数列的极限以及函数的极限进行了比较全面和深入的介绍．我们在解决极限及相关问题时,可以根据题目的不同选择一种或多种方法综合求解,尤其是要发现数列极限与函数极限在求解方法上的区别与联系，以做到能够举一反三,触类旁通 。 1数列极限的常用求法及技巧 数列极限理论是微积分的基础,它贯穿于微积分学的始终,是微积分学的重要研究方法。数列极限是极限理论的重要组成部分,而数列极限的求法可以通过定义法,两边夹方法,单调有界法,施笃兹公式法,等方法进行求解．本章节就着重介绍数列极限的一些求法。 1.1利用定义求数列极限 利用定义法即利用数列极限的定义 设{}n a 为数列。若对任给的正数N,使得n 大于N 时有 ε<-a a n 则称数列{}n a 收敛于a ,定数a 称为数列{}n a 的极限,并记作,lim n a n a =∞ →或 )(,∞→∞→n a n 极限平衡法在边坡稳定性分析中的应用 摘要从瑞典圆弧法、瑞典条分法和毕肖普法的基本原理出发，对比三者的不同假设，从得出的安全系数数据分析得出结论：三种方法中，毕肖普法得出的稳定性系数最大，瑞典条分法得出的稳定性系数居中，瑞典圆弧法迁出的稳定性系数最小。 关键词瑞典圆弧法瑞典条分法毕肖普法稳定性系数 1 概述 由于边坡内部复杂的结构和岩石物质的不同，使得我们必须采用不同的分析方法来分析其稳定状态。因此边坡是否处于稳定状态，是否需要进行加固与治理的判断依据来源于边坡的稳定性分析数据。 目前用于边坡稳定分析的方法有很多，但大体上有两种——极限平衡法和数值法。数值法有离散元法、边界元法、有限元法等；极限平衡法有瑞典圆弧法、毕肖普法、陆军工程师团法、萨尔玛法和摩根斯坦—普莱斯法等。 极限平衡法依据的是边坡上的滑体或滑体分块的力学平衡原理(即静力平衡原理)来分析边坡在各种破坏模式下的受力状态，以及边坡滑体上的抗滑力和下滑力之间的关系来对边坡的稳定性进行评价的计算方法。由于它概念清晰，容易理解和掌握,且分析后能直接给出反映边坡稳 定性的安全系数值，因此极限平衡法是边坡稳定性分析计算中主要的方法，也是在工程实践中应用最多的方法之一。 其中瑞典圆弧法（简称瑞典法或费伦纽斯法）亦称Fellenious法，是边坡稳定分析领域最早出现的一种方法。这一方法由于引入过多的简化条件和考虑因素的限制 , 它只适用于φ＝ 0 的情况。虽然求出的稳定系数偏低 10 % ～20 %。，但却构成了近代土坡稳定分析条分法的雏形。 而在费伦纽斯之后，许多学者都对条分法进行了改良，产生了许多新的计算方法，使计算的方法日趋完善。 在瑞典圆弧法分析粘性边坡稳定性的基础上，瑞典学者Fellenius 提出了圆弧条分析法，也称瑞典条分法。Fellenius将土条两侧的条间力的合力近似的看成大小相等、方向相反、作用在同一作用面上，因此提出了不计条间力影响的假设条件。而每一土条两侧的条间力实际上是不平衡的，但经验表明，在边坡稳定性分析中，当土条宽度不大时，忽略条间力的作用对计算结果并没有显著的影响，而且此法应用的时间很长，积累了丰富的工程经验，一般得到的安全系数偏低，即偏于安全，所以目前的工程建设上仍然常用这种方法。 1955年，毕肖普(Bishop)在瑞典法基础上提出了——毕肖普法。这一方法仍然保留了滑裂面的形状为圆弧形和通过力矩平衡条件求解的特点，与瑞典条分法相比，毕肖普法是在不考虑条块间切向力的前提下，满足力多边形闭合条件，就是说虽然在公式中水平作用力并未出现，但实际上条块间隐含的有水平力的作用。毕肖普法由于考虑到了条块间水平力的作用，因此得到的安全系数较瑞典条分法略高一些。 目录 引言 (1) 一、基本概念与基本理论 (2) (一)函数极限 (2) (二)重要极限 (9) (三)函数的上极限与下极限 (10) (四)Stolz定理的推广定理 (11) 二、习题类型与其解题方法归纳 (11) (一) 根据定义证明函数正常极限与非正常极限的方法。 (12) (二)根据定义与极限性质证题的方法 (14) (三)求函数极限方法 (15) (四)判断函数极限存在与不存在的方法 (20) 参考文献： (24) 函数极限理论的归纳与解题方法的总结 薛昌涛 (渤海大学数学系辽宁锦州121000 中国) 摘要：宇宙中的任何事物都是不断运动变化、相互联系、相互制约的。“函数”的产生正是为了满足刻划这种关系的需要，函数极限理论可谓函数理论重中之重。极限定义24个，性质60个，习题更是千变万化，看上去似乎很繁杂，但经过深入浅出的分析就会很明了。本文旨在化繁为简、总结规律，启示方法。 关键词：函数、极限、方法 The Conclusion of Theory of Function Limit and Methods Summary （Department of math bohai university liaoning jinzhou 121000） Xue Changtao Abstract: Everything in the universe is always moving, varying, intergrating or restricting each other. Function emerged for the need of describing this relation. The thory of function limit plays a key role in function theory. There are Twenty – four definitions to limit, sixty qualties, and the exercises are ever changing. It seems complex very much, but it will be clear after delicate analysis. This text aim at changing complex to simple, suming up the regulars, enlightening the methods. Key words: Function Limit Method 引言 “函数”一词是微积分的创始人之一莱布尼兹(Leibniz)最先使用的，并且把x的函数记为) f 等，但是，直到19世纪初，人们还是把函 x ( ), (x 数理解为“变量和常数组成的解析表达式”。直到1834年，狄里克莱(Dirichlet)指出，函数y与变量x的关系不但不必用统一的法则在全区间上给出，而且不必用解析式给出。至此，函数才被赋予了单值对应的意义。 求极限的常用方法（精髓版） 初等数学的研究对象基本上是不变的量，而高等数学的研究对象则是变动的量。极限方法就是研究变量的一种基本方法。极限分为数列的极限和函数的极限，下文研究的是函数的极限，这些方法对于数列的极限同样适用。 1．直接代入数值求极限 例1 求极限1lim(21)x x →- 解 1lim(21)2111 x x →-=?-= 2．约去不能代入的零因子求极限 例2 求极限11lim 41--→x x x 解 4221111(1)(1)(1) lim lim lim(1)(1)4 11x x x x x x x x x x x →→→--++==++=-- 3．分子分母同除最高次幂求极限 例3 求极限13lim 3 2 3+-∞→x x x x 解 3131lim 13lim 11323=+-=+-∞→∞→x x x x x x x 注：一般地，分子分母同除x 的最高次幂有如下规律 ??????? =<∞>=++++++----∞→n m b a n m n m b x b x b a x a x a n n m m m m n n n n x 0lim 01101 1 4．分子(母)有理化求极限 例4 求极限) 13(lim 22+-++∞ →x x x 解 1 3) 13)(13(lim )13(lim 2222222 2 +++++++-+=+-++∞ →+∞ →x x x x x x x x x x 1 32lim 2 2 =+++=+∞ →x x x 例5 求极限 x →解 01)2x x x →→→=== 5．应用两个重要极限的公式求极限 两个重要极限是1sin lim 0=→x x x 和1lim(1)x x e x →∞+=，下面只介绍第二个公式的例子。 例6 求极限 x x x x ??? ??-++∞→11lim For personal use only in study and research; not for commercial use For personal use only in study and research; not for commercial use 基于极限平衡法原理的边坡稳定计算有多种方法，根据不同的适用条件，主要有摩根斯坦－普瑞斯（Morgenstern-Price）法、毕肖普（Bishop）法、简布（Janbu）法、推力法、萨尔玛（Sarma）法等。 Bishop法概述： 目前，在工程上常用的两种土坡稳定分析方法仍为瑞典圆弧法(Fellenius法)和简化毕肖普法，它们均属于极限平衡法。瑞典圆弧法的土条间作用力的假设不太合理，得出的安全系数明显偏低，而简化毕肖普法的假设较为合理，计算也不复杂，因而在工程中得到了十分广泛的应用。 当土坡处于稳定状态时，任一土条内滑弧面上的抗剪强度只发挥了一部分，并与切向力相平衡，见图1(a)，其算式为 （1）如图1(b)所示，将所有的力投影到弧面的法线方向上，则得 （2）当整个滑动体处于平衡时（图1(c)），各土条对圆心的力矩之和应为零，此时，条间推力为内力，将相互抵消，因此得 (3) 图1 毕肖普法计算图 将式(2)代入式(3)，且，最后得到土坡的安全系数为 (4) 实用上，毕肖普建议不计分条间的摩擦力之差，即，式(4)将简化为 (5) 所有作用力在竖直向和水平向的总和都应为零，即并结合摩擦力之差为零，得出 (6) 代入式(5)，简化后得 (7) 当采用有效应力法分析时，重力项将减去孔隙水压力，并采用有效应力强度指标有 (8) 在计算时，一般可先给假定一值，采用迭代法即可求出。根据经验，通常只要迭代3~4次就可满足精度要求，而且迭代通常总是收敛的。 摩根斯坦－普瑞斯（Morgenstern-Price）法 该方法考虑了全部平衡条件与边界条件，消除了计算方法上的误差，并对Janbu推导出来的近似解法提供了更加精确的解答；对方程式的求解采用数值解法（即微增量法），滑面形状任意，通过力平衡法所计算出的稳定系数值可靠程度较高。 引言 在数学分析中，极限的概念占有主要的低位并以各种形式出现而贯穿全部内容,同时极限概念与方法是近代微积分的基础. 因此掌握好极限的求解方法是学习数学分析和微积分的关键一环.本文主要对一元函数极限定义和它的求解方法进行了归纳总结,并在具体求解方法中就其中要注意的细节和技巧做了说明, 以便于我们了解函数的各种极限以及对各种极限进行计算.求函数极限的方法较多,但每种方法都有其局限性, 都不是万能的, 对某个具体求极限的问题,我们应该选择合适的方法. 一、函数极限概念 定义1[]1 设f 为定义在[)+∞,a 上的函数，A 为定数.若对任给的ε>0，存在 正数M （a ≥），使得当M x >时有 ()f x A ε-<， 则称函数f 当x 趋于+∞时以A 为极限，记作 lim ()x f x A →+∞ = 或()().f x A x →→+∞ 定义2[]1 （函数极限的ε-δ定义）设函数f 在点 0x 的某个空心邻域0 U （0x ；'δ）内有定义，A 为定数。若对任给的ε>0，存在正数δ（<'δ），使得当0<0x x δ-<时有 ()f x A ε-<， 则称函数f 当x 趋于0x 时以A 为极限，记作 lim ()x f x A →∞ =或0()()f x A x x →→. 定理1[]1 设函数f 在0'0(,)U x δ+（或00(;')U x δ-）内有定义，A 为实数。若 对任给的0ε>，存在正数'()δδ<，使得当00x x x δ<<+（或00x x x δ-<<）时有 ()f x A ε-<， 则称数A 为函数f 当x 趋于0x +（或0x -）时的右（左）极限，记作 求极限的常用方法 摘要 极限思想是大学课程中微积分部分的基本原理，这显示出极限在高等数学中的重要地位。同时，极限的计算本身也是一个重要内容。 关键词 极限；计算方法 初等数学的研究对象基本上是不变的量，而高等数学的研究对象则是变动的量。极限方法就是研究变量的一种基本方法。极限分为数列的极限和函数的极限，下文研究的是函数的极限，这些方法对于数列的极限同样适用。 1．直接代入数值求极限 例1 求极限1lim(21) x x →- 解 1 lim(21)2111 x x →-=?-= 2．约去不能代入的零因子求极限 例2 求极限11 lim 41--→x x x 解 4221111(1)(1)(1)lim lim lim(1)(1)4 11x x x x x x x x x x x →→→--++==++=-- 3．分子分母同除最高次幂求极限 例3 求极限13lim 3 2 3+-∞→x x x x 解 3131lim 13lim 3 11323=+-=+-∞→∞→x x x x x x x 注：一般地，分子分母同除x 的最高次幂有如下规律 ??????? =<∞>=++++++----∞→n m b a n m n m b x b x b a x a x a n n m m m m n n n n x 0lim 01101 1ΛΛ 4．分子(母)有理化求极限 例4 求极限) 13(lim 22+-++∞ →x x x 解 1 3) 13)(13(lim )13(lim 2222222 2 +++++++-+=+-++∞ →+∞ →x x x x x x x x x x 1 32lim 2 2 =+++=+∞ →x x x 极限平衡理论的应用分析 极限平衡理论较常用于边坡稳定性分析，因可快速得到一潜在滑动面及其安全系数，但其假设较简单较不考虑岩土实际行为。本研究根据某一实例，由极限平衡理论的临界滑动面进行分析，接下来根据其安全系数加以讨论，有一定的现实意义。 标签：边坡稳定性极限平衡理论应用分析 由于近年来边坡灾害层出不穷，所以在边坡开发前，应审慎评估边坡安全性，因此边坡稳定分析是不可或缺的过程。一般工程界分析边坡稳定问题，大致可分为极限平衡理论与数值分析法，极限平衡理论为岩土在极限状态下计算力或力矩平衡方法，与岩土组合律无关；另外则为采用岩土应力-应变关系数值分析方法，如有限元素法、有限差分法等。 极限平衡方法用以评估边坡稳定已有相当多年的历史，其主要假设为所考虑的可能滑动土体范围内均达极限塑性状态，以寻求力、力矩或能量平衡。极限平衡方法所以能为工程界所接受并加以使用，主要是其简易且可得到不错结果。但该法无法确切反应边坡行为，除非边坡已接近临界状态，即安全系数接近或甚至小于1.0[1]。随着数值分析方法演进及计算能力提升，极限平衡方法有效性逐渐受到存疑[2]。 本研究使用Pcstabl 程序程序由美国普渡大学Siege 于1974 年所开发，并且不断发展新的功能。程序中有Bishop、Janbu 及Spencer 等切片分析法可求取边坡安全系数及可能滑动破坏面位置。此外对于异向性的岩土、地下水位、地表荷重、地震力等均能加以分析，其应用于边坡相关问题分析上相当普遍[3]。本研究采用Pcstabl5m Janbu切片分析法，此法可解决不规则地形与不同剪力强度土层边坡稳定问题，滑动面可为任意形状，且滑动面上与滑动土体内任意位置应力皆可计算[4]。 实务工程设计常使用极限平衡理论，因可快速求得安全系数与可能滑动面。而安全系数一般可由力平衡或力矩平衡求得，如式（1）所示。 但由于极限平衡理论假设沿边坡滑动面上的每一点均同时达到极限状态，即滑动面上每一点安全系数均相同，与实际边坡破坏并不相符[5]。其所假设与分析适用性均有不尽合理的地方，因此，极限平衡理论在使用上有其限制。 本研究区域由砂岩、页岩或砂页岩所构成，地层可概略分为两层，表层岩土为沉泥质砾石层至沉泥质砂土层，此层主要由黄棕色岩块及岩屑所构成，厚度约为0.7至24m不等；其下为风化砂岩层，此层主要由黄棕色至白色砂岩所构成，此层砂岩呈新鲜或完全风化不同现象，接近地表风化严重且破碎，大部份岩层锈染严重，反映地下水含量丰富。由一般物理性质试验可得，岩土干单位重为17至21kN/m3，饱和单位重为21至23kN/m3，三轴试验及直接剪力试验得凝聚力??? ????????????????=?n q N n q N 对于比较复杂的表达式n n A x α=-，一般地，我们通过运算,适当放大，将n α变形简化到n β，既使得对于0>?ε由不等式εβ
极限的常用求法及技巧.
极限平衡法在边坡稳定分析中的应用
函数极限理论的归纳与解题方法的总结
求极限的常用方法(精髓版)考试必备
极限平衡法的几种方法介绍
函数极限概念
求极限的常用方法
极限平衡理论的应用分析