微机原理-06Programmability

可编程性与图灵机 Programmability and Turing Machine
一个图灵机…… 它可以计算一切“可计算”的函数
http://166.111.64.220/computer.htm
2004-10-9 Liping ZHANG, Tsinghua University

Today
INTERGER FUNCTIONS
1 Can FSM being a model? 2 Turing Machine
Models of computation~
3 Importance of Turing machine 4 Is every integer function Computable? 5 计算机《==》数学公式！！
2004-10-9
Liping ZHANG, Tsinghua University

准备好了吗？
今天有些数学~ 今天有些数学~
有理数
可数（可列） 可数（可列）
2004-10-9
Liping ZHANG, Tsinghua University

我们的历程
组合逻辑 时序逻辑： FSM
计算机结构 软件硬件接口
门电路
Programmability: 可编程性 程序的解释、汇编语言程序； 计算机的组成原理和实现； 存储器系统及I/O系统的原理 并行计算？
软件的执行
2004-10-9
FET和电压~
Liping ZHANG, Tsinghua University

有限状态机可以作为可编程的机器
看看基于Rom的FSM 给定i, s, o我们需要一个 ROM按照如下方式组织以实 现一个FSM： 2i+S种可能的输入 （地址有2i+S个） 每个地址存放着o比特 输出和S比特的新状态 共(o+s)个比特 还认识吧？仍然是一个状态 机 当状态的位数给定，输入的 i的位数给定，FSM仅仅由 该ROM表的内容所决定
所以，给定i, S, o以 后，总共有 (o+s)2i+S
2004-10-9
2
种
Liping ZHANG, Tsinghua University

TTR1: 试着列举一下总共有多少FSM？
我们将FSM们按照典型的顺序 排列一下
当然，是有无穷多 个，不过，是可列的 可…可列？！ Big Idea~
2004-10-9
Liping ZHANG, Tsinghua University
我们可以给每个FSM编个 号,比如第i个FSM

似乎我们找到了四海一家的解决方案?
计算机科学的根源来自于 对计算的模型问题的研究
1.一般性的”计算”问题可以 怎样建模? 2. 这些模型可以表示哪些 计算问题?
计算的模型 Models of computation
FSM是答案吗?
毕竟只是 “有限”状态机 很明显有的问题 状态数是无限的
2004-10-9
Liping ZHANG, Tsinghua University

简单来说，FSM局限于其”有限”状态
任意给定一个 FSM, 具有状态 数2S, 记该状态 机为T(i, s) old state
比较器
New state
S bit 一个新的FSM If s(n-1) == T(s(n-1), i) Then do sth Else Do sthelse 1 bit S+1 bit
2004-10-9
Liping ZHANG, Tsinghua University
给定一个状态数任意多的 FSM 我们都可以马上找到 它不能计算的函数

典型的无限状态机
尽管FSM很好，但是 还是有比较普通的问 题是FSM所无法处理 的，
“括号”的匹配检查器 给定一组经过编码的左括号和右括号组成的任意长的序列，输出0 如果这个序列是平衡的（语法正确），输出1如果序列是不匹配 的， 那么可以处理这个问题的自动机器是FSM吗？
NO
原因是，状态机为了记住还没有“括回去”的左半括号有几 个，必须有足够大的以容纳各种输入情况下的计数器，事实 上需要可以记到无穷大的计数器，这就不是有限状态的状态 机。 换句话说，每找一个FSM，我们都能找到一个 序列是它不能处理的。
2004-10-9 Liping ZHANG, Tsinghua University

TTR2: Turing Machine
于是，Turing在研究计算问 题的模型时提出了图灵机模 型； 在图灵模型中，一个FSM和 一个无限长的磁带联系在一 起，在每一步，该有限状态 机可以执行对该磁带的读或 者写操作； 图灵机解决了“FINITE STATE”的问题
说了半天，到底什么是图灵机？
2004-10-9
Liping ZHANG, Tsinghua University

一个图灵机的例子
图灵机的Specification 1 双向无限的磁带(没头没尾) 2 离散的符号位置 3 有限的符号表,比如{0,1} 4 控制状态机FSM 输入:当前的符号 输出:写入0?1 向左向右移动 初始状态{S0} 停机状态{Halt} 实际运行看看
2004-10-9 Liping ZHANG, Tsinghua University
图灵机可以像FSM 一样用真值表描述吗?

A machine may halt on some tapes……
INPUT WRITE ON TAPE
0 0 1
S1
1 0 1
S1
1 1 1
S1
1 1 1
H
2004-10-9 Liping ZHANG, Tsinghua University
如果原始的tape 是全零呢?

A machine may halt on some tapes……
INPUT WRITE ON TAPE
0 0 0
S1
1 0 0
S1
1 1 0
S1 Never halts
2004-10-9
1 1 1
S1
Liping ZHANG, Tsinghua University

Also this one never halts
2004-10-9
Liping ZHANG, Tsinghua University

Wait a minute, and Why TM?
? 多数实际的计算机都采用了随机访问的存储器 (RAM), 几 乎已经没有计算机用磁带这种只能顺序访问的存储器了, 那为什么我们还要用图灵模型作为计算的模型呢? model of computing ? It can be (i.e., has been) proved that a single one-way infinite tape "is computationally as powerful as any collection of known memory devices" (Floyd and Beigel). ? "Because Turing machines are very simple compared with computers in practical use, it is conceptually easier to prove impossibility results for Turing machines. These impossibility results apply as well to all known computers."
2004-10-9 Liping ZHANG, Tsinghua University

非常重要的问题:TM到底是什么模型?
非常重要的一种有限长度磁带TM的命名方法
哦，不过是图灵机第347号运 行在第51号磁带上而已~ 哪门子 思想?! 重要思想: 给磁带编号 从当前位置开始, 分别向左向右扩张并 把一个二进制数字的从低到高位依据读取并记录 下来,这样只要磁带上非零的区域是有限长的,就可以 找到一个整数与之对应;
2004-10-9 Liping ZHANG, Tsinghua University
那不是有限长的 呢? 顶多就是可列多 个磁带罢了~

TTR3: 于是我们可以把TM看成是函数
一个图灵机是一个运行于磁带x上的函数而已,
好，我们现在把问题局限在整数函 数，也即：所有“计算问题”我们认 为就是一个整数函数的问题
为什么啊？
En……属于定义
于是大家都想知道： 图灵机是一个可以计算所有整数函数的机器吗？
2004-10-9 Liping ZHANG, Tsinghua University

回顾一下历史
n
n -1
哪种模型可以表示更多的 整数函数呢？
2004-10-9 Liping ZHANG, Tsinghua University

终于来到一个重要的概念：可计算性
事实上：前面各种模型可以计算的函数集合是完 全一样的 不会吧？怎么证明？！ 证明的方法：构造这些模型之间的等价 变换 结论似乎预示着：可计算性与所选用的 计算模型无关~
未被证明的 结论，但是 普遍人们认 为是对的
2004-10-9
Liping ZHANG, Tsinghua University

可计算的函数
严重怀疑图灵机可以计算一切整 数函数！
2004-10-9
Liping ZHANG, Tsinghua University