No.7-2 电势

《大学物理AI 》作业 No. 7 电势

一、选择题：（注意：题目中可能有一个或几个正确答案）[ D ] 1．关于静电场中某点电势值的正负，下列说法中正确的是： （A ）电势值的正负取决于置于该点的试验电荷的正负 （B ）电势值的正负取决于电场力对试验电荷作功的正负 （C ）电势值的正负取决于产生电场的电荷的正负 （D ）电势值的正负取决于电势零点的选取

解：电势值是相对的，其正负只决定于电势零点的选取。

故选D

2．真空中一半径为R 的球面均匀带电Q ，在球心O 处有一带电量为q 的点电荷，如图所示，设无穷远处为电势零点，则在球内离球心O 距离为r 的P 点处的电势为 ：

（A ）

r

q 04πε （B ）

)(41

0R

Q

r q +πε （C ）

r

Q q 04πε+ （D ）)(41

0R q Q r q -+πε 解：由高斯定理可得电场分布为

??????

?>+<=)

(4)

(42

020R r r

Q

q R r r q

E πεπε

根据电势的定义，P 点的电势为：

r r Q

q r r q l E U p

R

r

R p d 4d 4d 2

2

0?

?

?

∞

∞

++=?=πεπε

)(410R

Q r q +=

πε

故选B

3．在带电量为-Q 的点电荷A 的静电场中，将另一带电量为q 的点电荷B 从a 点移到b 点，

a 、

b 两点距离点电荷A 的距离分别为r 1 和r 2 ，如图所示，则移动过程中电场力做的功为

[ C ]

（A ）)11(4210r r Q --πε （B ）)11(42

10r r qQ -πεA (-

（C ）)11(42

10r r qQ --πε （D ）

)

(4120r r qQ --πε 解：-Q 在a 、b 两点产生的电势分别为：

2

2

02

1

044r Q ，U

r Q U b

a πεπε-=

-=

（以无穷远处为零电势点）

移动q 时，电场力的功为：

)1

1(4)(2

10r r qQ U U q A b a ab --=

-=πε 故选C

4．某电场的电力线分布情况如图所示，一负电荷从M 点移到N 点。有人根据这个图做出下列几点结论，其中哪点是正确的？[ C ]

（A ）电场强度E M

（C ）电势能W M

>0

解：由图可知M 处比N 处电力线密度大，故E M >E N ，U M >U N ，又电势能W= -q ΔU ，由此可知 W M

5．在真空中半径分别为R 和２R 的两个同心球面，其上分别均匀地带有电量q +和q 3-。现将一电量为＋Q 的带电粒子从内球面处由静止释放，则该粒子达到外球面时的动能为：［ C ］

(A) R qQ 04πε (B) R

qQ 02πε

(C)

R qQ 08πε (D) R

qQ

083πε

解：由电势叠加原理有内球面和外球面的电势分别为：

R

q R q q U U R

q

R q R

q U 000004)2(43)

0(421)2(434πεπεπεπεπε-

=-=

=-=-+

=∞外内

电场力将Q 从内球面移到外球面做功

R

Qq

U U Q A 08)(πε=

-=外内

由功能原理有粒子达到外球面时的动能：R

Qq

A E E k k 080πε=

=-=

故选C

二、填空题：

1．AC 为一根长为2l 的带电细棒，左半部均匀带有负电荷，右半部均匀带有正电荷。电荷线密度分别为－λ和＋λ，如图所示。O 点在棒的延长线上，距A 端的距离为l ，P 点在棒的垂直平分线上，到棒的垂直距离为l 。以棒的中点B 为电势的零点。则O 点电势U o ＝

43

ln

40πελ ；P 点电势 U P

＝ 0 。

解：U B ＝0

与0=∞U 等效。细棒上取一线电荷元，则由电势叠加原理有

43ln 4'4'd 4d 0320

200πελπελπελ=-+-=??

l l l

l

x x x x U 由对称性可知

0=p U

2．图示为一边长均为a 的等边三角形，其三个顶点分别放置着电量为q 、2q 、3q 的三个正点电荷，若将一电量为Q 的正点电荷从无穷远处移至三角形的中心O 处，则外力需做功A ＝

)2/()33(0a qQ πε 。

解：以无限远处为零电势点，则由电势叠加原理，中心O 处电势为：

a Q a q q q U o 00

2333

432πεπε=++=

将Q 从无限远处移到O 点，电场力的功为：

000)(QU U U Q A -=-=∞∞

外力的功为：

==-∞00QU A A ＝外 )2/()33(0a qQ πε3．图中所示为静电场的等势（位）线图，已知U 1 < U 2 < U 3 ，在图上画出 a 、b 两点的电场强度的方向 ，并比较它们的大小，E a ＝ E b ( 填 <、=、> )。

q

U U U

4．一质量为m 、电量为q 的小球，在电场力作用下，从电势为U 的a 点，移动到电势为零的b 点，若已知小球在b 点的速率为V b , 则小球在a 点的速率V a ＝ 2

1

2

)

/2(m qU V b - 。

解：由质点的动能定理有：

222121)0(a

b K

mv mv U q E A -=-?= 可得小球在a 点的速率为： m

qU

V V b a 22-

= 三、计算题：

1．真空中一均匀带电细直杆，长度为2a ，总电量为+Q ，沿Ox 轴固定放置（如图），一运动粒子质量m 、带有电量＋q ，在经过x 轴上的C 点时，速率为V ，试求：（1）粒子经过x 轴上的C 点时，它与带电杆之间的相互作用电势能（设无穷远处为电势零点）；（2）粒子在电场力的作用下运动到无穷远处的速率∞V （设∞V

解：（1）在杆上x 处取线元d x ，带电量为：

x a

Q

q d 2d =

（视为点电荷） 它在C 点产生的电势

)

2(8d )2(4d d 00x a a x

Q x a q U -=

-=

πεπε C 点的总电势为：

3ln 8)2(d 8d 00a

Q

x a x a Q

U U a

a πεπε=-=

=??- 带电粒子在C 点的电势能为：

3ln 80a

qQ qU W πε=

=

(2) 由能量转换关系可得： 3ln 82121022

a

qQ m V m V πε=-∞ 得粒子在无限远处的速率为：

2120]3ln 4[V am

qQ V +=∞πε

2．图示为一个均匀带电的球层，其电荷体密度为ρ，球层内表面半径为R 1 ，外表面半径为 R 2 ， 设无穷远处为电势零点，求空腔内任一点的电势。

解：在球层中取半径为r ，厚为d r 的同心薄球壳，带电量为：

r r q d 4d 2πρ?=

它在球心处产生的电势为：

0d 4d d ερπεr r r

q U o =

=

整个带电球层在O 点产生的电势为：

)(2d d 2

1220

02

1

R R r r U U R R o o -===?

?ερερ 空腔内场强0=E

，为等势区，所以腔内任意一点的电势为：

)(22

1220

R R U U o -=

=ερ 3．图示为两个同轴带电长直金属圆筒，内，外筒半径分别为1R 和

2R ，两筒间为空气，内外筒电势分别为0201,2U U U U ==，0U 为

一已知常量。求两金属圆筒之间的电势分布。

解：设内筒电荷线密度为λ，由高斯定理可得两筒间的场强分布为：

2

02r r

E πελ

=

，两筒间的电势差为：

1

200021ln 2d 2d 2

1

2

1

R R r r r E U U U R R R R πελ

πελ=?=?==-?

? 由上式可得：.)(ln 21

200R

R U =πελ 设两筒间任一点P 的电势为U ，则

r E U U R r

d 2

2?=-?

r R R R U U r R U r r U U R r

2

1

2

020002ln )

(ln ln 2d 22

1

+

=+=?+

=?πελ

πελ