2012肇庆市二模文科数学
肇庆市2012届高中毕业班第二次模拟试题
数 学（文科）
本试卷共4页，21小题，满分150分. 考试用时120分钟. 1. 参考公式：锥体的体积公式1
3
V Sh =
其中S 为锥体的底面积，h 为锥体的高 球的表面积公式2
4S R π=，体积公式343
V R π=其中R 为球的半径.
2. 样本数据n x x x ,,,21???的样本方差2222121[()()()]n s x x x x x x n
=-+-+???+-，其中x 为样本平均数． 一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．若复数11z i =+，21z i =-，则
1
2
z z = A ．i - B ．1- C ．i D ．1
2．已知全集U ，集合,M N 关系的韦恩（V enn ）图如图1所示，则=)(N M C U A. {1,8,9} B.{1,2,8,9} C. {3,4,5} D. {1,2,6,7,8,9}
3．已知()f x 是定义在(0,)+∞上的单调递增函数，且满足(32)(1)f x f -<，则实数x 的取值范围
是
A. (,1)-∞
B. 2,13??
??? C.2,3??
+∞ ???
D. (1,)+∞ 4．已知向量)2,cos 2(-=x ，)2
1
,(cos x =，x f ?=)(，x R ∈，则()f x 是 A ．最小正周期为π的偶函数 B ．最小正周期为π的奇函数 C ．最小正周期为2π
的偶函数
D ．最小正周期为
2
π
的奇函数 5．曲线21()2f x x =
在点11,2??
???
处的切线方程为 A. 2210x y ++= B. 2210x y +-= C. 2210x y --= D. 2230x y --=
6．对于函数(),y f x x R =∈,“(||)y f x =的图象关于y 轴对称”是“()y f x =是偶函数”的
A ．充分而不必要条件
B ．必要而不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
7．给出以下三幅统计图及四个命题：
①从折线统计图能看出世界人口的变化情况；②2050年非洲人口大约将达到15亿；③2050年亚洲人口比其他各洲人口的总和还要多；④从1957年到2050年各洲中北美洲人口增长速度最慢. 其中命题正确的个数是 A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 8．在同一坐标系下，直线ax by ab +=和圆222()()(0,0)x a y b r ab r -+-=≠>的图象可能是
9．直线2y =与曲线2y x x a =-+有四个交点，则a 的取值范围是
A . 3,14?? ??? B. 51,4?? ???
C. 72,4?? ???
D. 92,4?? ???
10．若把能表示为两个连续偶数的平方差的正整数称为“和平数”，则在1～100这100个数中，能
称为“和平数”的所有数的和是 A ．130 B ．325 C ．676 D ．1300
二、填空题：本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分. （一）必做题（11～13题）
11．某调查机构就某单位一千多名职工的月收入进行调查，现从中随机抽出100名，已知抽到的职工的月收入都在[1500,4500)元
之间，根据调查结果得出职工的月收入情况残缺的频率分布直方图如图2所示，则该单位职工的月收入在[3000,3500)元之间的频率等于 ▲ ，月收入的平均．．数．
大约是 ▲ 元. 12．在数列{}n a 中，111,n n a a a n +==+，要计算此数列前30项的和，现已给出了该问题算法的程序框图（如图3所示），请在图中判断框内（1）处和执行框中的（2）处填上合适的语句，使之能完成该题算法功能.（1） ▲ （2） ▲
13．已知某几何体的三视图如图4所示，则该几何体的表面积和体积分别为 ▲ 与 ▲ .
（ ） ▲
14．（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，曲线sin a ρθ= 与θρcos a =（a >0，0,0ρθπ>≤<）的交点的极坐标为 ▲ ．
15．（几何证明选讲选做题）如图5，两圆相交于A 、B 两点，P 为两圆公共弦AB 上任一点，从P 引两圆的切线PC 、PD ，若PC =2cm ，则PD = ▲ cm.
三、解答题：本大题共6小题，满分80分. 解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.
16.（本小题满分12分）
数列{n a }的前n 项和记为n S ，点(,)n n S 在曲线2()4f x x x =-上（x N +∈）. （1）求数列｛n a ｝的通项公式；
（2）设1(5)2n n n b a -=+?，求数列{n b }的前n 项和n T 的值.
17．（本小题满分13分）
某校高二年级研究性学习小组，为了分析2011年我国宏观经济形势，上网查阅了2010年和2011年2—6月我国CPI 同比（即当年某月与前一年同月相比）的增长数据（见下表），但2011年4，5，6三个月的数据（分别记为x ，y ，z ）没有查到. 有的同学清楚记得2011年2，3，4，5，6五个月的CPI 数据成等差数列.
（1）求x ，y ，z 的值；
（2）求2011年2—6月我国CPI 的数据的方差；
（3）一般认为，某月CPI 达到或超过3个百分点就已经通货膨胀，而达到或超过5个百分点则严重通货膨胀. 现随机地从上表2010年的五个月和2011年的五个月的数据中各抽取一个数据，求相同月份2010年通货膨胀，并且2011年严重通货膨胀的概率.
附表：我国2010. 注：1个百分点=1%）
18.（本小题满分13分）
如图6，某测量人员，为了测量西江北岸不能到达的两点A ，B 之间
的距离，她在西江南岸找到一个点C ，从C 点可以观察到点A ，B ；找到一个点D ，从D 点可以观察到点A ，C ；找到一个点E ，从E 点可以观察到点B ，C ；并测量得到数据：?=∠90ACD ，?=∠60ADC ，?=∠15ACB ，?=∠105BCE ，?=∠45CEB ，DC =CE =1（百米）.
（1）求?CDE 的面积； （2）求A ，B 之间的距离.
19.（本小题满分14分）
如图7，
111111ABCDEF A B C D E F -是底面半径为1的圆柱的内接正六棱柱（底面是正六边形，侧棱垂直于底面），过FB 作圆柱的截面交下
底面于11C E ，已知1FC .
（1）证明：四边形11BFE C 是平行四边形；
（2）证明：1FB CB ⊥；
（3）求三棱锥1A A BF -的体积.
20.（本小题满分14分）
已知点P 是圆F 1：16)3(22=++y x 上任意一点，点F 2与点F 1关于原点对称. 线段PF 2的中垂线与PF 1交于M 点．
（1）求点M 的轨迹C 的方程；
（2）设轨迹C 与x 轴的两个左右交点分别为A ，B ，点K 是轨迹C 上异于A ，B 的任意一点，KH ⊥x 轴，H 为垂足，延长HK 到点Q 使得HK =KQ ，连结AQ 延长交过B 且垂直于x 轴的直线l 于点D ，N 为DB 的中点．试判断直线QN 与以AB 为直径的圆O 的位置关系．
21．（本小题满分14分）
已知函数32()3611f x ax x ax =+--，2()3612g x x x =++，直线m ：9y kx =+，又(1)0f '-=． （1）求函数32()3611f x ax x ax =+--在区间(2,3)-上的极值；
（2）是否存在k 的值，使直线m 既是曲线()y f x =的切线，又是()y g x =的切线；如果存在，求出k 的值；如果不存在，说明理由．
（3）如果对于所有2x ≥-的x ，都有()9()f x kx g x ≤+≤成立，求k 的取值范围．
2012届高中毕业班第二次模拟试题
数 学（文科）参考答案
一、选择题
1C 解析：2121(1)21(1)(1)2
z i i i
i z i i i ++=
===--+ 2D 解析：因为{1,2,3,4,5,6,7,8},{3,4,5}U M N == ，所以 (){1,2,6,7,8,9}U M N = e 3B 解析：23202,1332131
x x x x x ?
->>????
??∈?? ?-
4A 解析：2()2cos 1cos 2f x x x =-=是偶函数，最小正周期为22
T π
π=
=. 5C 解析：()(1)1f x x k f ''=?==，由1
122102
y x x y -=-?--=
6B 解析：()y f x =是偶函数， (||)y f x =也是偶函数，故它们的图象关于y 轴对称；若(||)y f x =的
图象关于y 轴对称，如()||f x x =，但()f x x =不是偶函数.
7B 解析：①显然正确；从条形统计图中可得到：2050年非洲人口大约将达到18亿，②错；从扇形统计图中能够明显的得到结论：2050年亚洲人口比其他各洲人口的总和还要多，③正确；由上述三幅统计图并不能得出从1957年到2050年中哪个洲人口增长速度最慢，故④错误．因此正确的命题有①③．
8D 解析：选项D 中，直线ax by ab +=在,x y 轴上的截距分别为0b <和0a >，圆心亦为0b <和
0a >.
9D 解析：如图，在同一直角坐标系内画出直线2y =与曲线22,0,0x x a x y x x a x ?-+≥?
=?++
必须满足2
4124
a a >??
?-
.
10C 解析：设两个连续偶数为22k +和2k ，则2
2
22(2)4(21)k k k +-=+（），故和平数的特征是4
的倍数，但不是8的倍数，故在1～100之间，能称为和平数的有41,43,45,47,425??????，，即1～
25之间的奇数个数，共计13个，其和为676132
25
14=?+? 二、填空题
11.填： 0.25（3分），3150（2分）
解析：收入在[3000,3500)元之间的频率等于1(0.00020.00040.00050.00030.0001)5000.25-++++?= 月收入的平均．．数．
大约是 (0.0002 1.750.0004 2.250.0005 2.750.0005 3.250.0003 3.750.0001 4.25)5003150?+?+?+?+?+??=
12填：（1）处应填30i >（3分）；（2）处应填p p i =+（2分）.
解析：该算法使用了循环结构，因为是求30个数的和，故循环体应执行30次，其中i 是计数变量，因此判断框内的条件就是限制计数变量i 的，故应为30i >.算法中的变量p 实质是表示参与求和的各个数，由于它也是变化的，且满足第i 个数比其前一个数大1i -，第1i +个数比其前一个数大i ，故应有p p i =+.故(1)处应填30i >；（2）处应填p p i =+. 13填：404π+,4163
π
+
解析：由三视图可知，几何体是底部是一底面对角线长为的正方形，高为4的长方体，上部为
一球，球的直径等于正方形的边长．设正方形的边长为a ，则222a =，即2a =，所以，长方体的表面积为122242440S =??+??=，长方体的体积为122416V =??= 球的表面积和体积分别为22414S ππ=??=，3244133
V π
π=??=
故几何体的表面积为12404S S S π=+=+（3分）， 几何体的体积为124163
V V V π
=+=+（2分）.
14填：4π?????
. 解析：两式相除得tan 1sin 44a ππθθρ=?=?= 15填：2
解析：由切割线定理可得，22, PC PA PB PD PA PB =?=?，∴22PC PD =， 即 2 ()PC PD cm == 三、解答题
16．（本小题满分12分）
解：(1)由点(,)n n S 在曲线2()4f x x x =-上（x N +∈）知24n S n n =-, （1分）
当n ≥２时1n n n a S S -=-＝224(1)4(1)n n n n ??-----??＝25n -； （4分）
当1n =时，113a S ==- ，满足上式； （5分）
∴数列｛n a ｝的通项公式为25n a n =- （6分）
（2）由1(5)2n n n b a -=+?得2n n b n =? （7分） ∴231122232(1)22n n n T n n -=?+?+?++-?+? ① （8分） 上式两边乘以2，得23412122232(1)22n n n T n n +=?+?+?++-?+? ② （9分） ①－②得23122222n n n T n +-=++++-? （10分） ∴12(12)
212
n n n T n +--=-?-，即1(1)22n n T n +=-?+. （12分）
17．（本小题满分13分）
解：（1）依题意得4.9,5.0,,,x y z 成等差数列，所以公差 5.0 4.90.1d =-= （1分） 故 5.00.1 5.1,0.1 5.2,0.1 5.3x y x z y =+==+==+= （4分） （2）由（1）知2011年2～6月我国CPI 的数据为：4.9, 5.0, 5.1, 5.2, 5.3 其平均数为：1
(4.9 5.0 5.1 5.2 5.3) 5.15x =++++= （6分）
其方差为：2222221
(4.9 5.1)(5.0 5.1)(5.1 5.1)(5.2 5.1)(5.3 5.1)5
s ??=-+-+-+-+-?? （7分） 0.01= （8分）
（3）用（m ，n ）表示随机地从2010年的五个月和2011年的五个月的数据中各抽取一个数据的基本事件，其中m 表示2010年的数据，n 表示2011年的数据，则所有基本事件有：
（2.7，4.9），（2.7，5.0），（2.7，5.1），（2.7，5.2），（2.7，5.3），（2.4，4.9），（2.4，5.0），（2.4，5.1），（2.4，5.2），（2.4，5.3），（2.8，4.9），（2.8，5.0），（2.8，5.1），（2.8，5.2），（2.8，5.3），（3.1，4.9），（3.1，5.0），（3.1，5.1），（3.1，5.2），（3.1，5.3），（2.9，4.9），（2.9，5.0），（2.9，5.1），（2.9，5.2），（2.9，5.3）；共25种. （10分） 其中满足相同月份2010年通货膨胀，并且2011年严重通货膨胀的基本事件有： （3.1，5.0），（3.1，5.1），（3.1，5.2），（3.1，5.3），共4种， （11分） 所以16.025
4
==
P ，即相同月份2010年通货膨胀，并且2011年严重通货膨胀的概率为0.16. （13分）
18．（本小题满分13分）
解：（1）连结DE ，在?CDE 中，3609015105150o o o o o DCE ∠=---=， （1分） 11111
sin150sin3022224
o o BCD S DC CE ?=??=?=?=（平方百米） （4分）
（2）依题意知，在RT ?ACD 中，tan 1tan 60o AC DC ADC =?∠=?= （5分）
在?BCE 中，1801801054530o o o o o CBE BCE CEB ∠=-∠-∠=--= （6分） 由正弦定理sin sin BC CE
CEB CBE
=
∠∠ （7分）
得1
sin sin 45sin sin30
o o
CE BC CEB CBE =
?∠=?∠ （8分） ∵000cos15cos(6045)cos60cos 45sin 60sin 45o o o o =-=+ （9分）
12==
（10分） 在?ABC 中，由余弦定理2222cos AB AC BC AC BC ACB =+-?∠ （11分）
可得22AB =-= （12分）
∴AB （13分）
19．（本小题满分14分） 证明：（1）因为圆柱的上下底面平行， 且FB 、11E C 是截面与圆柱上、下底面的交线， 所以FB //11E C . （1分）
依题意得，正六边形ABCDEF 是圆内接正六边形，
所以，正六边形的边长等于圆的半径，即AB =AF =1. （2分 ） 在?ABF 中，由正六边形的性质可知，120o BAF ∠=，
所以，22212cos1202232o BF AB AF AB AF ??
=+-?=-?-= ???，即BF = （3分 ）
同理可得11C E =11FB C E =，故四边形BFE 1C 1是平行四边形. （4分 ） （注：本小问的证明方法较多，如有不同证明方法请参照上述证明给分）
（2）连结FC ，则FC 是圆柱上底面的圆的直径，∵90o CBF ∠=，即BF ⊥BC （6分） 又∵B 1B ⊥平面ABCDEF ，BF ?平面ABCDEF ，∴BF ⊥B 1B （7分） ∵B 1B ∩BC =B ，∴BF ⊥平面B 1BCC 1. （8分） 又∵B 1C ?平面B 1BCC 1，∴FB ⊥CB 1. （9分） （3）连结F 1C 1，则四边形CFF 1C 1是矩形，且FC =F 1C 1=2，FF 1⊥F 1C 1.
在RT ? FF 1C 1中，13FF =，∴三棱锥A 1—ABF 的高为3. （11分）
11sin 1122ABF S AB AF BAF ?=
?∠=??=
（12分）
∴三棱锥A 1—ABF 的体积1
11
3A ABF ABF V S FF -?=?=
（13分） 又三棱锥A 1—ABF 的体积等于三棱锥A —A 1BF 的体积，
∴三棱锥A —A 1BF （14分）
20．（本小题满分14分） 解：（1
）由题意得，(
))
12
,F F （1分）
圆1F 的半径为4，且2||||MF MP = （2分）
从而12112||||||||4||MF MF MF MP F F +=+=>=（3分）
∴ 点M 的轨迹是以12,F F 为焦点的椭圆,其中长轴24a =,
焦距2c =
则短半轴1b =， （4分） 椭圆方程为:2
214
x y += （5分）
（2）设()00,K x y ，则2
20014
x y +=． ∵HK KQ =，∴()00,2Q x y ．∴
2OQ = （6分） ∴Q 点在以O 为圆心，2为半径的的圆上．即Q 点在以AB 为直径的圆O 上．(7分)
又()2,0A -，∴直线AQ 的方程为()0
0222y y x x =++． (8分)
令2x =，得0082,2y D x ??
?+??． (9分)
又()2,0B ，N 为DB 的中点，∴0042,2y N x ??
?+??． (10分)
∴()00,2OQ x y = ，000022,2x y NQ x x ??
=- ?+?
? ． (11分)
∴()()()()22
00000000000000004242222222
x x x y x y OQ NQ x x y x x x x x x x -?=-+?=-+=-+
+++ ()()0000220x x x x =-+-=． (13分) ∴OQ NQ ⊥
．∴直线QN 与圆O 相切. (14分) 21．（本小题满分14分）
解：（1）2()366f x ax x a '=+-，由(1)0f '-=，即3660a a --=，得2a =-. （2分） ∴32()231211f x x x x =-++-.令2()66120f x x x '=-++=，解得1x =-或2x = 当x 变化时，(),()f x f x '在区间()2,3-上的变化情况如下表：
，当x =2时，()f x 在区间（-2，3）上有极大值，极大值为9. （4分） （2）∵直线m 恒过点（0，9）.
先求直线m 是y =g (x ) 的切线.设切点为2
000(,3612)x x x ++,∵00()66g x x '=+.
∴切线方程为20000(3612)(66)()y x x x x x -++=+-,将点（0，9）代入得01x =±.
当01x =-时，切线方程为y =9； 当01x =时，切线方程为y =12x +9. （6分） 由()0f x '=得266120x x -++=，即有1,2x x =-=
当1x =-时，()y f x =的切线18y =-，
当2x =时， ()y f x =的切线方程为9y =，∴9y =是公切线， （7分） 又由()12f x '=得2661212x x -++=∴0x =或1x =，
当0x =时()y f x =的切线为1211y x =-；
当1x =时()y f x =的切线为1210y x =-，∴129y x =+不是公切线. （8分） 综上所述 0k =时9y =是两曲线的公切线. （9分） （3）①由9()kx g x +≤得2363kx x x ≤++，当0x =时，不等式恒成立，k R ∈；
当20x -≤<时，不等式为1
3()6k x x
≥++，而113()63[()]6()x x x x ++=--+
+-3260≤-?+=0k ∴≥ 当0x >时，不等式为13()6k x x ≤++， 1
3()612x x
++≥ ∴12k ≤
∴当2x ≥-时，9()kx g x +≤恒成立，则012k ≤≤. （11分）
②由()9f x kx ≤+得329231211kx x x x +≥-++-
当0x =时，911≥-恒成立，k R ∈；当20x -≤<时，有220
2312k x x x
≤-++-， 设220()2312h x x x x =-++-
=23105202()48x x
--+-， 当20x -≤<时231052()48x --+为增函数，20
x
-也为增函数，所以()(2)8h x h ≥-=
故要使()9f x kx ≤+在20x -≤<上恒成立，则8k ≤； （12分）
由上述过程只要考虑08k ≤≤，则当0x >时2()61612f x x x '=-++=6(1)(2)x x -+-
在(0,2]x ∈时()0f x '>，在(2,)+∞时0)(<'x f ，所以()f x 在2x =时有极大值，即()f x 在(0,)+∞上的最大值，又(2)9f =，即()9f x ≤而当0x >,0k ≥时，()9f x kx ≤+一定成立.
综上所述08k ≤≤. （14分）