福建省南平市2016-2017学年高二上学期期末考试数学(A)试题(实验班) Word版含答案

福建省南平市2016-2017学年高二上学期期末考试

数学（A ）试题（实验班）

满分：150分 考试时间：120分钟

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。每小题有且只有一项是符合题目要求的） 1.已知i 是虚数单位，则复数()2

1i +=（ ）

A ．2-

B ．2

C ．2i -

D ．2i 2.已知复数z 满足(1)1z i i -?=+，则z =（ ）

A ．2i -

B ．2i +

C ．2i --

D ． 2i -+

3. 已知

()2

11i i z

-=+（i 为虚数单位）

，则复数z 在复平面内的对应点在（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限

4． 双曲线22

1124

x y -=的焦距．．是( )

A ．8

B ． ．．16 5．定积分

1

(2)x x e dx +?

的值为（ ）

A ．1e -

B ． e

C ．1e +

D ．2e +

6．已知m ，n 是两条不同直线，α，β是两个不同平面，则下列命题正确的是（ ） A ．若α，β垂直于同一平面，则α与β平行 B ．若m ，n 平行于同一平面，则m 与n 平行

C ．若α，β不平行，则在α内不存在与β平行的直线

D ．若m ，n 不平行，则m 与n 不可能垂直于同一平面

7.如图所示，在直三棱柱111ABC A B C -中，1AB BC AA ==，AB BC ⊥， 点E 、F 分别是棱AB 、1BB 的中点，则直线EF 和1BC 所成的角是（ ） A ．30? B ． 45? C ．60? D ．90?

8.已知抛物线2

4y x =焦点为F ，过焦点F 作倾斜角为60?的直线l 交抛物线于,A B 两点，其中点B 在x 轴

下方，则

AF

BF

=（ ） A B ． 2 C ．3 D ．9.已知函数3

2

()1f x ax bx cx =+++(0)a ≠，下列结论中错误的是（ ） A ．0x R ?∈，使得0()0

f x =

B ．函数()y f x =的图像一定是中心对称图形

C ．若0x 是函数()f x 的极值点，则()0'0f x =

D ．若0x 是函数()f x 的极小值点，则函数()f x 在区间0(,)x -∞上单调递减 10.函数()()

2

ax b

f x x c +=

+的图象如图所示，则下列结论成立的是（ ）

A ．0a >，0b >，0c <

B ．0a <，0b >，0c >

C ．0a <，0b >，0c <

D ．0a <，0b <，0c <

11.已知曲线Γ：x

y e =和直线l ：y kx =，若直线l 上有且只有两个点关于y 轴的对称点在曲线Γ上，则k 的取值范围是( )

A ．(,)e -∞-

B ． (,]e -∞-

C ．(,0)e -

D ．[,0)e -

12．如右图，2OA =（单位：m ）,1OB =(单位：m),OA 与OB 的夹角为

6

π

，以A 为圆心，AB 为半径作圆弧BDC 与线段OA 延长线交与点C 。甲、乙两质点同时从点O 出发，甲先以速度1（单位:m/s ）沿线段

OB 行至点B ，再以速度3（单位：m/s ）沿圆弧BDC 行至点C 后停止，乙以速率2（单位：m/s ）沿线段

OA 行至A 点后停止。设t 时刻甲、乙所到达的两点连线与它们经过的路径所围成图形的面积为()

S t （(0)0S =），则函数()y S t =的图像大致是（ ）

A ．

B ．

C

． D ．

二、 填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

13．i 是虚数单位，若复数()()12i a i -+ 是纯虚数，则实数a 的值为 14．设复数z 满足2

1z i =+（i 是虚数单位），则z 的模为_______

15.已知函数x

y e =与函数ln y x =的图像关于直线y x =对称，请根据这一结论求：

2

1

ln xdx =?

_______________

16．设a R ∈，若对任意的0x >均有2

(1)((1)1)0ax x a x --+-≥，则a =___________

三、解答题：本大题共6小题，17题10分，其它每题12分，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

17．已知抛物线Γ：2

y x =及抛物线Γ上的一点(2,4)A 。 （1）求抛物线Γ在点A 处的切线l 的方程； （2）求抛物线Γ及切线l 与x 轴所围成图形的面积。

18．设函数3

()212f x x x c =-+的图像经过原点 （１）求c 的值及函数()f x 的单调区间；

（２）求函数()f x 在[1,3]-上的最大值和最小值

19．如图，三棱柱111ABC A B C -的底面是边长为4的正三角形，侧棱1AA ⊥平面ABC ，1AA =M 为11A B 的中点．

（1）求证：MC AB ⊥；

（2）在棱

1CC 上是否存在点P ，使得MC ⊥平面ABP ？若存在，

确定点P 的位置；若不存在，说明理由．

（3）若点P 为1CC 的中点，求二面角B AP C --的余弦值．

20．已知椭圆Γ：22221x y a b

+=(0)a b >>的焦点和短轴顶点都在圆22

4x y +=上。

（1）求椭圆Γ方程；

（2）已知点(3,2)P -，若斜率为1的直线l 与椭圆Γ相交于,A B 两点，试探究以AB 为底边的等腰三角形

ABP 是否存在？若存在，求出直线l 的方程，若不存在，说明理由。

21.已知函数2

()ln f x x ax =+，其中a 为实常数。 （1）讨论函数()f x 的极值点个数；

（2）若函数()f x 有两个零点，求a 的取值范围；

（3）已知0a >，对任意定义域内的两个不等实数12,x x 都有1212()()f x f x x x ->-，求a 的取值范围。

22.已知函数()1x

f x e ax =-+，其中a 为实常数， 2.71828......e =为自然对数的底数。 （1）当a e =时，求函数()f x 的单调区间；

（2）若函数()f x 有最小值，并设函数()f x 的最小值为()g a ，求证：()2g a ≤； （3）设*

n N ∈，试比较

(1)

2

n n +与ln(1)ln(21)ln(31)......ln(1)e e e ne -+-+-+-的大小并加以证明。

福建省南平市2016-2017学年高二上学期期末考试

数学（A ）试题（实验班）评分标准

一．选择题

1-5：DBCAB 6-10：DCCDC 11-12：AB 二、填空题

13、2- 14

、2ln21- 16、1

2

三、解答题

17.解：（1） 2224x x k y x =='===切，……………2分 切点(2,4)A ，所以切线l 的方程为44(2)y x -=- 即44y x =- ……………4分

（2）令y=0,则x=1,所以切线与x 轴的交点为(1,0)B ……………5分 所以1

2

2

20

1

(44)S x dx x x dx =

+-+?

?……………7分

12

33201

11

(24)33x x x x =+-+……………8分 112

333

=+=……………10分 18.解：（1）∵(0)0f = ∴0c =…………………2分

所以3

()212f x x x =- ………4分

∴2'()6126(f x x x x =-=+-，………5分

列表如下：

递减区间是( …………8分 （2）

∵(1)10f -=，f =-(3)18f =

∴()f x 在[1,3]-上的最大值是(3)18f =

，最小值是f =-2分

19.本小题主要考查空间直线与直线、直线与平面的位置关系、简单几何体的体积、二面角等基础知识，考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想、函数与方程思想．

解：（I ）取AB 中点O ，连接OM ，OC.

∵M 为A 1B 1中点，∴MO ∥A 1A ，又A 1A ⊥平面ABC ，∴MO ⊥平面ABC ， ∴MO ⊥AB …………….2分

∵△ABC 为正三角形，∴AB ⊥CO 又MO ∩CO=O ，∴AB ⊥平面OMC 又∵MC ?平面OMC ∴AB ⊥MC ……………4分

（II ）以O 为原点，以OB ，OC ，M O 的方向分别为x 轴，y 轴，z 轴的正方向，建立空间直角坐标系．如图.依题意

(0,0,0),(2,0,0),(2,0,0),(0,(0,0,O A B C M -． …………….5分

设(0,)(0P t t ≤≤，

则(0,23,26),(4,0,0),(0,2)MC AB OP t =-==．………….6分

要使直线MC ⊥平面ABP ，只要0,0.

MC OP MC AB ?=?

?=?

? …………….7分

即2

0-=

，解得t =

…………….8分

∴P 的坐标为(0,．

∴当P 为线段1CC

的中点时，MC ⊥平面ABP ．…………….9分 （Ⅲ）取线段AC 的中点D ，则(

D -，易知DB ⊥平面11A ACC ， 故(3,

DB =

为平面PAC 的一个法向量．……….10分 又由（II ）知(0,MC =-为平面PAB 的一个法向量．

设二面角B AP C --的平面角为α，则

3cos MC DB MC DB

α?

=

=

=．…………….11分（公式1分） ∴二面角B AP C -- 的余弦值为

6

． …………….12分 20.（Ⅰ）设椭圆G 的右焦点为(,0)F c ，由题意可得：b c =，且2

2

8b c +=，所以2

2

4b c ==，

故2

2

2

8a b c =+=，所以，椭圆G 的方程为22

184

x y +=…………………………4分 （Ⅱ）以AB 为底的等腰三角形ABP 存在。理由如下

设斜率为1的直线l 的方程为y x m =+，代入22

184

x y +=中， 化简得：22

34280

x mx m ++

-=，①………………………………………………6分 因为直线l 与椭圆G 相交于A ，B 两点，所以2

2

1612(28)0m m =-->V ，

解得m -<<②…………………………………………………………8分

设1122(,),(,)A x y B x y ，则1243

m x x +=-，21228

3m x x -=；③

于是AB 的中点00(,)M x y 满足120223x x m x +=

=-，003

m

y x m =+=； 已知点P (3,2)-，若以AB 为底的等腰三角形ABP 存在， 则1

PM k =-

，即

002

13y x -=-+，④将2(,)33

m m M -

代入④式， 得3m =(∈-满足②………………………………10分

此时直线l 的方程为3y x =+.…………………………… …12分 21.解：（1）定义域：(0,)+∞

1

()2f x ax x

'=

+ ……………1分 ①当0a ≥时，因为0x >，所以()0f x '>在定义域内恒成立，()f x ∴无极值点。……………2分

②当0a <时，2121

()2ax f x ax x x

+'=+=，

令()0f x '=，则x =

x =（舍去）……………3分 列表（省略）可知()f x 有一个极大值点，无极小值点。即极值点个数为1.

综上，当0a ≥时，()f x 无极值点，当0a <时，有且只有一个极值点。……………4分 （2）法一：由（1）可知①当0a ≥时，()f x 为增函数，至多只有一个零点，不合。………5分

②当0a <时，max 11

()ln(2)22

f x f a ==---，……………6分 当x →+∞时，()f x →-∞；当0x +

→时，()f x →-∞，……………7分 要使得函数()f x 有两个零点，则须且只需max ()0f x >，即11ln(2)022a --->解得1

2a e

>-，又0a <，所以1

02a e

-

<< 综上：a 的取值范围是1

(,0)2e

-

……………8分 法二：函数()f x 有两个零点等价于方程()0f x =有两解等价于2ln x

a x

=-有两解……………5分 令2

ln ()x

g x x =

，则即为()y g x =的图像与y a =有且只有两个交点 3

12ln ()x

g x x

-'=，令()0g x '=，则1

2x e =……………6分 列表可知12

max 1()()2g x g e e

==

， 当x →+∞时，()0g x →；当0x +

→时，()g x →-∞，……………7分 作出函数()g x 的简图，由简图可知1(0,

)2a e -∈，所以a 的取值范围是1

(,0)2e

-……………8分 （3）由（1）可知0a >时，()f x 为增函数，不妨设12x x >，则原不等式即为

1212()()f x f x x x ->-，即1122()()f x x f x x ->- ……………9分

记()()g x f x x =-，则12()()g x g x >

由12,x x 的任意性可知，要使得上式恒成立，须且只需()g x 为增函数。……………10分

所以()0g x '≥在定义域内恒成立。即min

()0g x '≥

1

()()1211g x f x ax x ''=-=

+-≥当且仅当x =11分

所以min

()1g x '=，所以10≥解得1

8

a ≥。 ∴所求a 的取值范围为1

[,)8

+∞ ……………12分

22.解：（1）定义域：R

当a e =时，()x

f x e e '=-……………1分

令()0f x '=解得1x =，列表如下（略）……………2分

所以()f x 的单调递减区间是(,1)-∞，递增区间是(1,)+∞……………3分 （2）证明：()x

f x e a '=-

①当0a ≤时，可知()0x

f x e a '=-≥恒成立，

所以()f x 在R 上单调递增，无最小值。……………4分 ②当0a >时令()0f x '=，解得ln x a =， ……………5分 列表如下（略）

所以min ()()(ln )ln 1g a f x f a a a a ===-+……………6分 要证明()2g a ≤，则只需证明max ()2g a ≤……………7分

()ln g a a '=-令()0g a '=，解得1a =，……………8分

列表如下（略）

所以max ()(1)22g a g ==≤成立。()2g a ∴≤……………9分 （3）先比较n 与ln(1)ne -的大小。

ln(1)110n n n ne e ne e ne >-?>-?-+>……………10分

由（1）可知函数()1x

f x e ex =-+的最小值为(1)10f =>，所以对任意的*

n N ∈，都有()0f n >成立，

即10n

e ne -+>成立，即ln(1)n ne >-成立。……………11分

所以123......ln(1)ln(21)ln(31)......ln(1)n e e e ne ++++>-+-+-+- 即

(1)

2

n n +>ln(1)ln(21)ln(31)......ln(1)e e e ne -+-+-+- ……………12分