2011年安徽高考数学试题立体几何

安徽理(6)一个空间几何体得三视图如图所示，则该几何体的表面积为

（A ） 48

(B)32+817 (C) 48+817 (D) 80

(6)C 【命题意图】本题考查三视图的识别以及空间多面体表面积的求法.

【解析】由三视图可知几何体是底面是等腰梯形的直棱柱.底面等腰梯形的上底为2，下底为4，高为4，两底面积和为()12244242

?+?=，四个侧面的面积为()

44221724817++=+，所以几何体的表面积为48817+.故选C.

（17）（本小题满分12分）

如图，ABCDEF 为多面体，平面ABED 与平面ACFD 垂直，点

O 在线段AD 上，1,2,OA OD ==OAB ，△OAC ，△ODE ，

△ODF 都是正三角形。

（Ⅰ）证明直线BC ∥EF ；

（Ⅱ）求梭锥F —OBED 的体积。

解：（Ⅰ）设G 是线段DA 和线段EB 延长线的交点。由于OAB 与ODE 都是正三角形，所以： 1//,,22

OB DE OB DE OG OD ===；同理，/G 是线段DA 和线段FG 延长线的交点。有 /2OG OD ==，又由于G 和/G 都在线段DA 的延长线上，所以G 和/G 重合。

在GED 和GFD 中，由1//,2OB DE OB DE =和1//,2

OC DF OC DF =,可知,B C 分别是GE 和GF 的中点，所以BC 是GEF 的中位线，故//BC EF 。

（Ⅱ）由1,2,60OB OE EOB ==∠=知32

EOB S =，而O E D 是边长为2的正三角正（主）视图侧（左）视图俯视图

4 1 1 2 第6题图

形，故

3OED S =,所以332

OBED S =；过点F 作FQ AD ⊥于点Q ，由于平面ABED ⊥平面ACFD 知，FQ 就是四棱锥F OBED -的高，且3FQ =，所以

1332

F OBED OBED V FQ S -=?=。 16.如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，底面ABCD

是菱形，2AB ＝，60BAD ∠?＝.

（1）求证：BD ⊥平面PAC ；

（2）若PA PB ＝，求PB 与AC 所成角的余弦值；

（3）当平面PBC 与平面PDC 垂直时，求PA 的长.

16．（本小题共14分）

如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是菱形，2,60AB BAD =∠=.

(Ⅰ)求证：BD ⊥平面;PAC

（Ⅱ）若,PA AB =求PB 与AC 所成角的余弦值；

（Ⅲ）当平面PBC 与平面PDC 垂直时，求PA 的长.

（16）（共14分）

证明：（Ⅰ）因为四边形ABCD 是菱形，

所以AC ⊥BD.又因为PA ⊥平面ABCD.

所以PA ⊥BD ，所以BD ⊥平面PAC.

（Ⅱ）设AC ∩BD=O.

因为∠BAD=60°，PA=PB=2,所以BO=1，AO=CO=3.

如图，以O 为坐标原点，建立空间直角坐标系O —xyz ，则

P （0，—3，2），A （0，—3，0），B （1，0，0），C （0，3，0）. 所以).0,32,0(),2,3,1(=-=AC PB 设PB 与AC 所成角为θ，则

632226

||||cos =?=??AC PB AC

PB θ. （Ⅲ）由（Ⅱ）知).0,3,1(-=BC 设P （0，－

3，t ）（t>0），则),3,1(t BP --= D

P A

B C

设平面PBC 的法向量),,(z y x m =,则0,0=?=?m BP m BC 所以?????-+--=+-0

3,03tz y x y x 令,3=y 则.6,3t z x ==所以)6,3,3(t m = 同理，平面PDC 的法向量)6,3,3(t

n -=，因为平面PCB ⊥平面PDC, 所以n m ?=0，即03662=+

-t ，解得6=t ，所以PA=6。