专题3.12 综合求证多变换,几何结合代数算-玩转压轴题,突破140分之高三数学解答题高端精品(解析版)

【题型综述】

综合求证问题有以下类型：（1）证明直线过定点，设出直线方程，利用题中的条件与设而不求思想找出曲线方程中参数间的关系，即可求出定点.

(2)定值问题就是证明一个量或表达式的值与其中的变化因素无关，这些变化的因素可能是直线的斜率、截距，也可能是动点的坐标等，这类问题的一般解法是使用变化的量表示求证目标，通过运算得知求证目标的取值与变化的量无关．当使用直线的斜率和截距表示直线方程时，在解题过程中要注意建立斜率和截距之间的关系，把双参数问题化为单参数问题解决．

（3）恒等式的证明问题，将恒等式转化为常见的弦长、距离之比或向量关系等问题，进而转化为直线与圆锥曲线的交点坐标问题，利用设而不求思想及韦达定理即可证明.

(4)几何图形性质的证明，利用几何图形性质与向量运算的关系，转化为向量的运算或直线的斜率关系，再用直线与圆锥曲线的交点坐标问题，利用设而不求思想及韦达定理即可证明.

【典例指引】

类型一证明分点问题

例1 【2017北京，理18】已知抛物线C：y2=2px过点P（1，1）.过点（0，1

2

）作直线l与抛物线C交于不

同的两点M，N，过点M作x轴的垂线分别与直线OP，ON交于点A，B，其中O为原点. （Ⅰ）求抛物线C的方程，并求其焦点坐标和准线方程；

（Ⅱ）求证：A为线段BM的中点..

直线ON 的方程为22y y x x =，点B 的坐标为2112

(,)y y x x . 因为21122112112222y y y y y y x x y x x x +-+-=1221122

11()()222kx x kx x x x x +++-= 122121(22)()2k x x x x x -++=222

11(22)42k k k k x --?+=0=， 所以211122y y y x x +=. 故A 为线段BM 的中点. 类型二 几何证明问题

例2. 【2015高考湖南，理20】已知抛物线21:4C x y =的焦点F 也是椭圆22

222:1(0)y x C a b a b +=>>的一个焦点，1C 与2C

的公共弦的长为.

（1）求2C 的方程；

（2）过点F 的直线l 与1C 相交于A ，B 两点，与2C 相交于C ，D 两点，且AC 与BD 同向

（ⅰ）若||||AC BD =，求直线l 的斜率 （ⅱ）设1C 在点A 处的切线与x 轴的交点为M ，证明：直线l 绕点F 旋转时，MFD ?总是钝角三角形